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Full text of "Nouveaux mémoires de L'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres avec L'Histoire pour la même année"

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NOUVEAUX MÉMOIRES 

D E 

L’ACADÉMIE ROYALE 

DES SCIENCES ET BELLES -LETTRES. 


ANNÉE MDCCLXXII. 


AVEC L’HISTOIRE POUR LA MÊME ANNÉE. 



A BERLIN. 

Chez CHRÉTIEN FRÉDÉRIC VOS S. 


M D C C L X XI r. 



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HISTOIRE 

D E 

L’ACADÉMIE ROYALE 

DES 

SCIENCES 


BELLES-LETTRES. 


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4 *n&* -^i^pi ^pivr^i «Tfri^vnpl' "Tjpt ^pi f^pi vijpr^pi- w^pw; 


HISTOIRE 

DE L’ A C A D É M I E. 


MDCCLXXII. 

ASSEMBLÉES PUBLIQUES OU EXTRAORDINAIRES. 


Q uoique l’Académie ait eu plufieurs journées intéreflantes & bril- 
lantes, il n’y en a point qui ait égalé celle du Lundi i'] Janvier. 
L’ufagc de célébrer l’anniverfaire de la naifTance du Roi dans Taf- 
femblée du Jeudi 14, fi le cas y échet, ou du Jeudi fjivant, lut changé, à 
la requifition de S. M. la Reine Douairière de Suede, Sœur du Roi, qui fe 
rrouvoit alors à Berlin, & qui fixa le Lundi pour cette foJemniré. On fit 
les préparatifs convenables pour une femblable fête académique ; & le Lun- 
di, vers les quatre heures, S. M. vint accompagnée de S. A. R. la Prin- 
ceflc fa fille, de LL. AA. RR. le Prince & la PrincefTe de Prude, la Prin- 
ccffe HENRI, la PrincefTe FERDIN AND, la PrincefTe AMÉLIE, 
AbbefTe de Quedlimbourg, la PrincefTe PHILIPPINE, à préfent Land- 
grave de HefTe-CafTel, le Margrave H E N R I, & de LL. AA. SS. le Prince 
FRÉDÉRIC de Brunfwick & la PrincefTe fon Époufe. Ces auguflcs 
Personnes étoient fuivies des Cavaliers & des Dames de leurs Cours ; & il 
y avoit outre cela un très grand nombre de perfonnes de la première 
diftindion, tant de la ville & du pays qu’étrangcres. 

Quand la Reine eut pris place, le Secrétaire perpétuel lui adrefia la 
parole en ces termes. 


a 3 


6 


Histoire bb l’Acadbkib Royale 


M A D A M E, 

Pourrions -nous méconnoitre dans ce moment le prix de la fenfibilitè? (’) 
Pourrions- nous ne pas nous féliciter de la pojféder , et en éprouver les effets , 
portés à leur plus haut degré? Quelle vue plus propre à exciter en nous 
l'admiration 6’ le rejpccl , la tenir effe 6’ l'amour , que celle de tauguffe 
LOUISE UL RI QUE , Fille, Femme , llere , Sceur de Rois, de qui 
Elle tire un éclat qu Elle leur a bien rendu par toutes les qualités qui La dijl in- 
gu ent autant du vulgaire des Reines , fi j'ofe m'exprimer ainfi , que les 
FRÉDÉRIC & les GUS TA VE font au - deffus de ces Rois, qui ne 
fervent qu a lier le fl de la Chronologie. Oui , AI AD AAI E, T hommage 
que nous offrons à V. M. nous f offririons en apparence à toute autre Reine ; 
mais ce n'efl qu'à V ous, à Votre auguffe Perfonne , qu'une Société de Phi - 
lofophes peut payer ce tribut que n'obtiendront jamais de nous les titres & les 
grandeurs , 6' que nous réfervons uniquement aux lumières & aux vertus. 
Votre Couronne difparoitroit à nos yeux, f nous ri appercevions le laurier 
de t immortalité qui l entrelace. Nos fa/les confieront le fouvenir de cette 
journée , en y gravant que Minerve a préfidé à l Académie dont Apollon ef 
le Protecleur. (* *) 

Que ce fpeclacle , MADAME , doit être intéreffant , & fi je lofe 
dire , attendriffant pour V. M! Avec quelle complaijance ne deveq - vous 
pas regarder ce fancluaire confacré aux Alufs par FRÉDÉRIC! C'efl 
ici où, en nous efforçant de Lui plaire par notre application à la recherche de 
la vérité , nous travaillons à tranfmettre aux fecles à venir la gloire de fon 
Régné. C'efl ici où nous comptons nos jours par fes bienfaits , où nous ne 
ccffons de demander au Ciel la confervation du Alortel le plus digne de vivre , 
du Monarque le plus digne de régner. Vous joigne { fans doute , MA- 
DAME, Vos vœux aux nôtres ; & ils augmenteront puiffamment leur 

(*) Cette idée étoic prife de quelques n’en réfaltoit pu plus de peines que de 
convergions précédentes, dans lesquelles la plaifirs. 

Reine avoit mis en quellion s’il étoit avan- (**) Le Secrétaire & les Académiciens fè tinrent 
tageux d’avoir une grande fenfibilitè, & s’il debout pendant cet exorde; après quoi ils s’aflirent. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


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efficace dans cette Fête , toujours foleninelle pour nous , mais que la préfcnce 
de V. M. rend aujourd’hui fi éclatante. FRÉDÉRIC accomplit fon 
douzième lujlre . Vainqueur de tant de dangers qui ont menacé fa Perfonne 
facrée , que ne peut -il l'être du Temps , à la -voracité duquel rien n’ échappe'. 
Ah! qu’il atteigne au moins la fin d’un fiecle dont il efi le Héros! Mais 
non ; ne formons point de vœux indiferets. Le fiuprême Arbitre des événe- 
mens lit au fond de nos cœurs ; il entend nos requêtes ; il les a exaucées dans 
les conjonctures les plus critiques; il laijfera encore à la Terre fon plus bel 
ornement , à P État J a Divinité tutelaire , à P Académie fon Chef & fon Modèle. 
Ses Oracles (*) qui vont tout à l’heure Je faire entendre au milieu de nous , 
frapperont encore plus d’une fois nos oreilles , pénétreront encore plus d’une 
fois nos cœurs dans les années qui Juccéderont à celle-ci , dans ces années 
qui de /'Achille des Guerriers feront le Neftor des Rois. 

Vous l’aveq revu , MADAME , ce ROI , ceFrere, ce Grand- 
Homme , dont les defiinées ont été fi étonnantes pendant P intervalle du temps 
qui Vous en a féparée. Il Vous a revue , cette Reine, cette Sœur , dans 
les veines de laquelle coule un fang qui fimble être le fien propre. Ah ! que 
ce moment doit avoir rappelle' d’idées à vos efprits , excité de fient imtns dans 
Vos cœurs ! Jamais rien ne Vous aura mieux repréfenté le fionge de la vie, 
où les plus grands événemens , les plus merveilleufes fi tuât ions , vont avec le 
cours des années s’ ajfoiblir infenfiblement dans le lointain , & à la fin Jèm- 
blent s’y perdre & s’y évanouir. Que n’aveq-Vous pas vu, que n’aveq-V eus 
pas éprouvé, augufies Perfonnes , depuis P infant de votre féparation ! Ce 
pajfé nef plus : P avenir ejl caché dans une objeurité impénétrable : jouijfeq 
du préjent qui doit être délicieux pour Vous. Ép anche q journellement & ré- 
ciproquement dans le Jein P un de P autre , des âmes faites pour fie connoitre o' 
Je pénétrer, pour s'unir & Je confondre. 

C’efi un réveil pour Vous, AI A DA ME , que Votre retour dans ces 
contrées: réveil auffi réel que celui du PhiloJ'ophe de P Antiquité étoit fabu- 
leux. Il doit Vous avoir agréablement occupée, vivement ajfeclée. Vous 
avieq vu Votre augnfie Pere pojer les fonde mens fiolides de la grandeur de cet 
(') Le Difcourj du Roi qu’on lut «nfuite, & qui va fuivre celui-ci. 


8 


Histoire de l’Académie Royale 


État ; mais atirieq - Vous pu prévoir la rapidité avec laquelle cet édifice fer oit 
élevé jufqiüà fen comble? Aurie ç- V ous pu per fer que l’Europe Jeroit conjurée 
contre FREDERIC , 6 ' fembleroit ne ü avoir été que pour graver Jbn nom 
en car acier es ineffaçables dans le Temple de l'Immortalité? Ah.! MA - 
DAM E, fi le livre des deftinées s' é toit ouvert à Vos yeux le jour de Votre 
départ , quel boulevcrfement dans V otre anie généreufe à chaque page que 
Vous y aurieç lue! Quel frémiffement dans ces époques redoutables où la 
prudence humaine Jèmbloit avoir épuije toutes fes rcjfources! Mais quel ra- 
viffement lorfqu après avoir vu le Roi armé du foudre dans les combats , Vous 
l'aurieq apperçu dictant la Paix, & fe repofant fur fes lauriers! Qui Vous 
auroit dit que ces Frères fi tendrement chéris , que Vous laiffieç ici , encore 
dans leur première jeune]]} , affronteraient fitôt les plus grands ha q a rds ; 
qu'ils courraient avec tant de rapidité dans la carrière de la gloire ; que dé- 
fendeurs de la Patrie , libérateurs de V Allemagne , Vous les retrouveriez le 
front ceint d un éclat immortel; que V ous verrieq dans notre magnanime 
HENRI le plus fage des Capitaines , & fi puis employer cette expreffion , 
le Créateur de fes Triomphes. Et I Héritier du Thrbne, AI A DA AI E, 
avec toutes fes grâces , avec ce caraclere de bonté qui s'allie f heureufement en 
lui avec celui de dignité , ne V ous intéreffe-t-il pas autant que nous? Ne 
Vous confie -t- il pas de ne plus revoir ce Prince également augufe & ai- 
mable , dont la préface auroit rendu V otre fat isj 'action complctte? 

Riais détournons nos yeux de défi us Vos pertes & les nôtres, MA- 
DAME, & n altérons point la férénitê de ce beau jour. Rcfpeclons les 
arrêts d'enhaut ; & bornons-nous à demander la conjèrvation des Têtes fa- 

crées qui corr.pofnt acluellement f augufe Alaifon Royale. Nous ne verrons 
plus VOTRE MAJESTÉ au milieu de nous: ce délicieux moment 
s'écoule ; il va comme tous les autres s'engloutir dans l'abyme du paffé: 
j'avoue que cette idée m afflige, & que je cherche à prolonger au moins ce que 
je ne puis fixer , en donnant à ce d if ours plus d’étendue que je ne lui en avois 
d'abord defiiné. 

GUSTAVE, Sage couronné! CHARLES, FRÉDERIC- 
AdOLPHE , Soutiens du Throne le plus ancien peut-être (s ? un des 

* P lus 


des Sciences et Belles-Lettres. 9 

plus refpeclables qui furent jamais! il me femble que je Vous vois encore , 
que je Vous parle. . . . Mais quoi! des Terres 6' des Mers nous Je pa- 
rent : il ne me refie que Votre image , Voire fouvenir. Il en fera tout à 
r heure de même de Vous f Grande Reine! de V ous y Princejfe , en qui tout 
offre Ü empreinte des grâces & des vertus de Votre augufte Mere, Princejfe 
digne de porter les Couronnes les plus brillantes , £' de faire le bonheur des 
plus grands Empires! Vous aile ç difparoitre de devant nos yeux ; mais 
Vous aurefa tant que nous vivrons , un Temple & des Autels au fond de nos 
cœurs. 

Après que le Secrétaire perpétuel eut celle de parler, Mr. le ProfefFeur 
Thiebault s’acquitta de la fon&ion dont il écoit chargé, de lire un Difcours 
qui doit occuper ici une place également due à l’importance du fujet & à 
l’éminence de l’Auteur. 


DISCOURS 

Sur futilité des Sciences & des Arts dans un État. 

Dn s perfonnes peu éclairées ou peu finceres ont ofé fe déclarer les enne- 
mis des Sciences &c des Arts: s’il leur a été permis de calomnier ce oui fait 
le plus d’honneur à l’humanité, ù plus forte raifon doit-il être permis de le 
défendre: c’eft: le devoir de tous ceux qui aiment la Société, & qui ont 
un cœur rcconnoiflant de ce qu’ils doivent aux Lettres. Le malheur veut 
que fouvent des paradoxes faflènt plus d’impreffion far le public que des vé- 
rités: c’eft alors qu’il faut le détromper, & confondre par de bonnes rai- 
fons, Ôc non par des injures, de telles rêveries. Je fais honteux de dire 
dans cette Académie, qu’on a eu l’effronterie de mettre en queftion fi les 
Sciences font utiles ou nuifiblcs à la Société; chofe fur laquelle perfonne ne 
devroic avoir de doute. Si nous avons de la préférence fur les animaux, 
ce n’eft certainement pas par les facultés du corps; mais c’eft par i’efpri: 
plus étendu que la Nature nous a donné; & ce qui distingue l'homme de 
l’homme, c’eft le génie 3 c les connoiftances. D’où viemlroit la dilhn.cb 
Utf. 1 771. b 


Histoirb de l’Académie Royale 


ï o 

infinie qu’il y a encre un peuple policé 6c un peuple barbare, fi ce n’eu 
que l’un eft éclairé, & que l’autre végète dans l’abrutiirement & dans la 
ftupidicé? 

Les Nations qui ont joui de cette fupériorité ont été reconnoiffantes 
envers ceux qui leur ont procuré cet avantage: de là vient la jufte réputa- 
tion donc jouiffent ces Lumières de l’Univers , ces Sages qui par leurs favans 
travaux ont éclairé leurs compatriotes 5e leur fiecle. 

L’homme elt peudechofe par lui-même: il naît avec des difpofitions plus 
ou moins propres à fe développer: mais il faut les cultiver: il faut que fcscon- 
noiffances fc multiplient pour que fes idées puiflent s’étendre: il faut que la 
mémoire fe rempliffe, pour que ce magafin fournifie à l’imagination des ma- 
tières fur lesquelles elle puiffe s’exercer -, 6c que le jugement fe raffine, pour 
trier fes propres productions. L’efprit le plus vafte, privé de connoifiances, 
n’eft qu’un diamant brut, qui n’acquerra de prix qu’après avoir été taillé par 
les mains d’un habile Lapidaire. Que d’efprits perdus ainfi pour la Société! 
Et que de grands hommes en tout genre étouffés dans leur germe, foie par 
l’ignorance, foie par l’état abject où ils fe trouvoient placés! 

Le véritable bien de l’État, fon avantage & fon lultrc, exigent donc 
que le peuple qu’il contient, foit le plus éclairé 6c le plus infirme qu’il eft 
poffiblc, pour lui fournir en chaque genre un nombre de Sujets habiles 6c 
capables de s’acquitter avec dextérité des différens emplois qu’il faut leur 
confier. 

Ceux qui, par le hazard de la naiffance, font dans une pofition à ne 
pouvoir apprécier les torts infinis que fouftrent plus ou moins les Gouvcrne- 
mens Européens par les fautes dont l’igcor3nce eft caufe, ne fendront peut- 
être pas auffi vivement ces inconvéniens, que s’ils en avoient été les té- 
moins. On pourroit rapporter une multitude de ces exemples, fi la nature <5c 
l’étendue de ce Difcours ne nous refferroient dans de juftes bornes. C’eft la 
pareffe qui dédaigne de s’inftruire; c’eft l’ignorance ambitieufe qui prétend à 
tout, 6c qui eft incapable de cour, qu’auroit dû fronder je ne fai quel énergu- 
menc, qui ne débitant que de miférables paradoxes, a ofé foutenir que les 
Sciences font pcrnicieufes, qu’elles ont rendu les vices plus raffinés & qu’elles 


DIS SCIBWCIJ HT BHLLIS-LBTTR I S. 


I I 

pcrvcrtiflenc les mœurs. De pareilles faufTetés fautent aux yeux; & fous 
quelque apparence qu’on les préfentc, il demeure confiant que la culture de 
l’cfprit le rectifie au lieu de le dépraver. Qu’eft-ce qui corrompt les mœurs? 
Ce font les mauvais exemples; & comme les maladies épidémiques font de 
plus grands ravages dans des Villes immenfes que dans des hameaux, il arrive 
de même que la contagion du vice fait plus de progrès dans les Cités qui 
fourmillent de peuple, que dans les campagnes où les travaux journaliers 6c 
une vie plus retirée confervent la (implicite des mœurs dans leur pureté. 

Il s’eft trouve de faux Politiques, re/Terrés dans leurs petites idées, 
qui fans approfondir la matière onc cru qu’il étoit plus facile de gouverner 
un peuple ignorant 6c ftupide qu’une nation éclairée. C’eft vraiment puif- 
(àroment raifonner, tandis que l’expérience prouve que, plus le peuple eft 
abruti, plus il eft capricieux 6c obftiné! 6c la difficulté eft bien plus grande 
de vaincre fon opiniâtreté, que de perfuader des chofes juftes à un peuple 
affez policé pour entendre raifon. Le beau pays que celui où les talcns 
demeureraient éternellement enfouis, 6c où il n’y aurait qu’un feul homme 
moins borné que les autres! Un tel État, peuplé d’ignorans, reffembleroit 
au Paradis perdu de la Gcnefc, qui n’étoit habité que par des bêtes. 

Quoiqu’il ne foir pas néceffaire de prouver à cet illuftre Auditoire, 6c 
dans cette Académie, que les Arts 6c les Sciences procurent autant d’utilité 
qu’ils donnent d’éclat aux peuples qui les poftèdcnt; il ne fera peut-être 
pas inutile d’en convaincre un genre de perfonnes moins éclairées, pour les 
prémunir contre les impreflions que de vils fophiftes pourraient faire fur leur 
cfprir. Qu’ils comparent un Sauvage du Canada avec quelque Citoyen 
d’un pays policé de l’Europe; 6c tout l’avantage fera en faveur de ce der- 
nier. Comment peut- on préférer la Nature grofiiere à la Nature per- 
fe&ionnce, le manque de moyens de fubfifter à une vie aifee, la grofiiérctc 
à lapolitefte, la fureté des poflèffions dont on jouit à l’abri des loix, au 
droit du plus fort 6c au brigandage qui anéantit les fortunes 6c l’état des 
familles? 

La fociété formant un corps de peuple ne fauroit Ce paffer ni des Arts 
ni des Sciences. C’eft par le nivellement 6c l’Hydraulique que les contrées 

b x 


iz Histoire dk l’Acadkmii Rotalr 

fituées le long des fleuves fe mettent à couvert des débordemens & des 
inondations. Sans ces Arts, des terrains féconds fc changeaient en marais 
malfains, &c priveroient nombre de familles de leur fubfiftance. Les ter- 
rains plus élevés ne fauroient le paflèr d’Arpenteurs pour mefurer & parta- 
ger les champs. Les connoiflances phyfiques bien conftatées par l’expé- 
rience contribuent à perfectionner la culture des terres , & furtout le jardi- 
nage. La Coranique qui s’applique à l’étude des Amples, & la Chimie qui 
fait en extraire les fucs fpiritueux, fervent au moins à fortifier notre -efpé- 
rance durant nos maux , fi même leur propriété n’a pas la vertu de nous 
guérir. L’Anatomie guide & dirige la main du Chirurgien dans ces opé- 
rations douloureufès mais néceflaires, . qui fauvent une partie de notre 
exiftence aux dépens de la partie endommagée. La Mécanique fert à tout. 
Faut -il foulever ou tranfporter un fardeau? C’eft elle qui le meut. Faut- 
il crcufer dans les entrailles de la Terre pour en tirer des métaux? C’eft elle 
qui par des machines ingénieufes dcflcche les carrières, & délivre le Mineur 
de la furabondance des eaux qui le feroient périr ou cefler fon travail. 
Faut- il conftruire des moulins pour nous broyer l’aliment le plus connu & le 
plus néceflaire? C’eft la Mécanique qui les perfectionne: c’eft elle qui fou- 
lage les ouvriers, en rectifiant les diverfes efpeces de métiers fur lesquels ils 
travaillent. Tout ce qui cft machine eft de fon reflbrt: & combien n’en 
faut- il pas dans tous les genres? L’art de conftruire un vai fléau eft peut- 
être un des plus grands efforts de l’imagination : mais que de connoiflances ne 
faut -il pas que le Pilote poflede, pour diriger ce bâtiment & braver les 
flots en dépit des vents! Il faut qu’il ait étudié l’Aftrcnomie, qu’il ait de 
bonnes Cartes marines, une notion exaCte delà Géographie, de l’habileté 
dans le calcul pour connoître l’étendue qu’il a parcourue <5c le lieu où il fè 
trouve: à quoi il fera fecouru à l’avenir par des pendules qu’on vient ré- 
cemment de perfectionner en Angleterre. Les Arts & les Sciences fe tien- 
nent par la main: nous leur devons tout: ce font les bienfaiteurs du genre 
humain. Le Citoyen des grandes villes en jouit, fans que fa molleffe or- 
gueilleufe fâche ce qu’il en coûte de veilles & de travaux pour fournir à fes 
befoins, & contenter fes goûts fouvent bizarres. 


obs Sciences et Belles-Lbïtres. 


O 


La guerre, quelquefois néceffaire & fouvenr entreprife trop légèrement, 
que n’exige- 1 - elle pas de connoiflanccs! La feule découverte de la poudre 
en a tellement changé la méthode, que les plus grands Héros de l’Antiqui- 
té, s’ils pouvoienc revenir au monde, feroient obligés de le mettre au fait 
de nos découvertes, pour -conferver la réputation qu’ils ont fi juftement 
acquife. Il faut, dans ces temps modernes, qu’un Guerrier, étudie la 
Géométrie, la Fortification, l’Hydraulique, la Mécanique, pour conftruire des 
forts, former des inondations artificielles, connoitre la force de la pou- 
dre, calculer le jet des bombes, favoir diriger l’effet des mines , faciliter le 
tranfport des machines de guerre. Il faut qu’il fâche à fond la Caltraméta- 
rion & la Ta&ique, la méchaniquc de l’exercice; qu’il ait une connoiflance 
exa&c des terrains & de la Géographie, «5c que fes projets de campagne 
l'oient femblablcs à une démoriftration géométrique, quoiqu’il foit borné à 
l’art conjc&ural. Il doit avoir la mémoire remplie de l’hiftoire de toutes 
les guerres précédentes , pour que fon imagination ait la liberté d’y puifer 

comme dans une fource féconde. 

Mais les Généraux ne font pas les feuls obligés de recourir aux archi- 
ves des temps palfés: le Magiftrat, le Jürisconfulte , ne fauroient s’acquitter 
de leurs devoirs s’ils n’ont bien approfondi cette partie del’Hiftoire qui con- 
cerne la législation. Il faut non feulement qu’ils ayent étudié J’e/jpric des 
loix du pays qu’ils habitent, mais qu’ils fâchent encore celles des autres peu- 
ples , & à quelles occafions elles ont été promulguées ou abolies. 

Ceux même qui fe trouvent à la tête des Nations, &c ceux qui admi- 
niftrent fous eux les Gouvernemens, ne fauroient fe pafier d’étudier l’Hiftoi- 
re. C’eft leur bréviaire: c’eft un tableau qui leur repréfente les plus fines 
nuances des cara&cres, 8c les a fiions des hommes puiflans , leurs vertus, 
leurs vices, leurs fucces. leurs malheurs, leurs reilources. Dans l’hiftoirc 
de leur patrie, qui doit arrêter leur attention particulière, ils trouvent l’ori- 
gine des inftitutions bonnes ou m au va i fes , «Sc une chaîne d’événemens liés 
les uns aux autres, qui les conduit jufqu’au rems prefent: ils y trouvent les 
caufes qui ont uni les peuples, 6c les caufes qui ont rompu ces liens: ces 
exemples à fuivre, des exemples à éviter. Mais quel objet de médita- 

b 3 


1 4. Histoire de l’A cadémih Royale 

tion pour un Prince, que de paffer en revue cette multitude de Souverains 
que l’Hiftoire lui préfentc! Il s’en trouve nécclfairement dans ce nombre, 
de Ton caractère, ou dont les avions ont quelque rapport aux Iknnes; ic 
dans le jugement que la poftérité en a porté il voit, comme dans un miroir, 
l’arrêt qui l’attend dès que fa diflolution totale aura fait évanouir la crainte 
qu’il infpire. 

Si les Hiftoriens font les précepteurs des hommes d’État, les Dialecti- 
ciens ont été les foudres des erreurs & des fuperftitions. Ils ont combattu 
& détruit les chimères des Charlatans facrés & profanes: fans eux nous 
immolerions peut-être encore, comme nos Ancêtres, des viétiroes humai- 
nes à des Dieux fantaftiques: nous adorerions l’ouvrage de nos mains; 
obligés de croire fans ofer réfléchir, il nous feroit peut-être encore interdit 
de faire ufage de notre raifon fur la matière qui importe le plus à notre 
deftinée; nous achèterions au poids de l’or, comme nos peres , des paffe- 
ports pour le Paradis, des Indulgences pour les crimes : les voluptueux fe 
ruineroient pour ne point entrer en Purgatoire; nous dreflèrions encore des 
bûchers pour brûler ceux dont les opinions ne feroient pas les nôtres: la 
néceflité des aérions vertueufès feroit remplacée par de vaines pratiques; 
& des fourbes tonfurés nous poufleroient, au nom de la Divinité, à com- 
mettre les plus horribles forfaits. Si le fanatifme fubfifte encore en partie, 
il faut l’attribuer aux profondes racines qu’il a pouflees dans des tems 
d’ignorance, de même qu’à l’intérêt de certains corps vêtus en foutane, 
noirs, bruns, gris, blancs ou pies, qui réchauffent ce mal & en redoublent 
les accès , pour ne pas perdre la confidération où ils fe maintiennent encore 
dans l’efprit du peuple. Nous convenons que la Diale&ique n’eft pas à la 
portée de l’efprit de la populace : cette portion nombreufe de l’cfpece hu- 
maine fera toujours la derniere à fe delhller les yeux ; & quoiqu’en tout pays 
elle ait le dépôt de la fuperftition en garde, il n’en eft pas moins vrai de 
dire qu’on eft parvenu à la détromper des forciers, des poffédés, des 
adeptes , & d’autres inepties auffx puériles. Nous devons ces avantages à 
une étude plus fcrupuleufe qu’on a faite de la Nature: la Phyfique s’eft af- 
fociée à l’analyfe & à l’expérience : ou a porté la plus vive lumière dans ces 


des Sciences et B elles-Lettres. 15 

ténèbres quï cachoient tant de vérités à la doéte Antiquité; 6c quoique nous 
ne puifilons parvenir à la connoifTancc des premiers principes fècrets que le 
grand Géomètre s’eft refervés pour lui feul, il s’eft trouvé néanmoins de ces 
puiiïàns Génies qui ont découvert les loix éternelles de la pefanteur & du 
mouvement; un Cnancelier Bacon , le précurfeur de la nouvelle Philofo- 
phie, ou pour mieux dire, celui qui en a deviné 6c prédit les progrès, a 
mis le Chevalier Newton fur les voies de Tes merveilleufès découvertes. 
Newton parut après Des- Cartes, qui ayant décrédité les erreurs anciennes 
les avoit remplacées par les fiennes propres. On a depuis pefé l’air (*); 
on a mefuré les Cieux; on a calculé la marche des corps céleftes avec une 
juftefle infinie (**); on a prédit les éclipfcs; on a découvert une propriété 
inconnue de la matière, la force éleélrique, dont les effets étonnent l’ima- 
gination; 6c fans doute que dans peu le retour des Cometes fe pourra pré- 
dire comme les éclipfes; mais nous devons déjà au favant Bayle d’avoir 
diflipé lefTroi que ce phénomène caufoit aux ignorans. Avouons -le: 
autant que la foibleffe de notre condition nous humilie, autant les travaux 
de ces grands hommes nous relevent le courage 6c nous font fentir la digni- 
té de notre être. 

Les fourbes & les impofteurs font donc les fculs qui puiftent s’oppofe r 
aux progrès des Sciences, 6c qui puilfcnt prendre à tâche de les décrier, 
puifqu’ils font les fculs auxquels les Sciences foient nuifibles. Dans ce fiecle 
philofophe où nous vivons, on n’a pas feulement voulu dénigrer les hautes 
Sciences; il s’eft trouvé des perfonnes d’aftez mauvaife humeur, ou plutôt 
2 filz dépourvues de fêntiment 6c de goût, pour fe déclarer les ennemis des 
Belles- Lettres. A leur fen-s, un Orateur eft un homme qui s’occupe plus 
à bien dire qu’à penfer jufte; un Poète efi: un fou qui s’amufê à mefurer des 
fyllabcs; un Hiftorien efi un compilateur de menfonges; ceux qui s’occu- 
pent à les lire perdent leur temps ; «Se ceux qui les admirent font des efprits 
frivoles. Ils proferiroient les fiétions anciennes, ces fables ingénieufes 6c 
allégoriques qui renfermoient tant de vérités. Ils ne veulent pas concevoir 
que fi Aniphion , par les fons de fa lyre, bâtit les murs de Thebcs, cela 
(•) TwrSttUu (**) Newton. 


Histoire de l’Académih Roy a lu 


i o 

veut dire que les Arts adoucirent les mœurs des fauvages humains, 6c 
donnèrent lieu à l’origine des fociétés. 

Il faut avoir lame bien dure pour vouloir priver fefpccc humaine des 
confolations 6c des fecours qu’elle peur puifer dans les Belles -Lettres, con- 
tre les amertumes dont la vie eft remplie! Qu’on nous délivre de nos infor- 
tunes, ou qu’on nous permette de les adoucir! Ce ne fera pas moi qui ré- 
pondrai à ces ennemis atrabilaires des Belles -Lettres; mais je me fervirai 
des paroles de ce Conful philofophc, le pere de la patrie 6c de l’éloquen- 
ce (*). „Les Lettres, dit-il, cultivent la jeunefle, «réjouiflent la vieil- 
„leiïe, donnent du luftre à la fortune, offrent un afyle &c confolent dans 
„ladifgrace, plaifent au dedans de lamaifon, n’importunent point au de- 
„hors, veillent les nuits avec nous, voyagent avec nous, réfident aux 
„ champs avec nous.’’ Fuflions-nous même incapables d’y parvenir, ou 
d’en bien goûter les charmes; nous devrions toujours les admirer, à ne les 
voir que dans les autres. 

Que ceux qui aiment tant à déclamer, apprennent à rcfpeéter ce qui eft 
rcfpeétablc ; 6c au lieu de cenfurer des occupations également honnêtes & 
utiles, qu’ils répandent plutôt leur bile fur I’oifiveré qui eft la mere de tous 
les vices! Si les Sciences & les Arts n’étoient pas d’une néceflitc indifpenfa- 
ble aux fociétés; s’il n’y avoit pas de l’utilité, de l’agrément 6c de la gloire 
h les cultiver; comment la Grece auroit-clle jetté ce vif éclat dont clic 
éblouit encore nos yeux, dans ces teins mémorables où elle porta les .So- 
cratc, les Platon, les A r if oie, les Alexandre, les Périclès , les Thucydide , 
les Euripide, les Xénophon ? Les faits vulgaires s’effacent de la mémoire; 
mais les actions, les découvertes, les progrès des grands hommes font de* 
impreflions durables. 

Il en fut de même chez les Romains: leur beau fiecle fut celui où le 
ftoïque Caton périt avec la liberté; où Cicéron foudroyoit Verrès , publioit 
fon Livre des Offices, fes Tufculanes, fon Ouvrage immortel fur la nature 
des Dieux ; où Varron ccriyoit fes Origines 6c fon Poème fur la Guerre 

civile ; 


(*) Dans fa Harangue pour .Crciiat, 


des Sciences et Belles-Lettres. 


l 7 

civil e; où Céfar effaça par fa clémence ce que fon ufurpation avoit 
d’odieux; où Virgile récitoic fon Énéide; où Horace chantoic fcs Odes; 
où Tite-Live tranfmettoit à la poftérité l’Hiftoire de tous les grands -hom- 
mes qui avoient illuftré la République. Que chacun fe demande dans quel 
temps il auroit voulu naître à Athènes ou à Rome: fans doute qu’il choifira 
ces époques brillantes. 

Une affreufe barbarie fuccéda à ces temps de gloire; un débordement 
de peuples féroces couvrit prefque toute la face de l’Europe. Ils amenè- 
rent avec eux les vices & l’ignorance, qui préparèrent les voies à la fu- 
perftition la plus outrée. Ce ne fut qu’après onze fiecles d’abrutiffement 
que la Terre put fe dégager de cette rouille; 6c dans cette renaidance des 
Lettres, on fait plus de cas des bons Auteurs qui les premiers illuftrerenc 
l’Italie, que de Léon X qui les protégea. François I, jaloux de 
cette gloire, voulut la partager; il fit des efforts inutiles pour tranfplanter 
ces plantes étrangères dans un fol qui n’étoit point encore préparé pour 
elles; 6c ce ne fut qu’à la fin du régné de Louis XIII, 6c fous celui de 
Louis XIV, que commença ce beau fiecle où tous les Arts ôc toutes les 
Sciences s’acheminèrent, d’une marche égale, au point de perfe&ion où il 
eft permis aux hommes d’atteindre. Depuis, les différens Arts fe répandi- 
rent partout: le Dannemarc avoit déjà produit un Tycho- Brahé, la Prude 
un Copernic: l’Allemagne fe glorifia d’avoir donné le jour à Leibnicr. La 
Suède auroit également augmenté la liflc de ces hommes célébrés, fi les 
guerres perpétuelles où cette Nation fe trouvoit engagée, n’avoient pas nui 
aux progrès des Arts. 

Tous les Princes éclairés ont protégé ceux dont les favans travaux ont 
honoré l’efprit humain; 6c les choies de nos jours en font venues au point, 
que pour peu qu’un Gouvernement Européen négligeât d’encourager les 
Sciences, il fe trouveroit bientôt arriéré d’un fiecle à l’égard de fes voifins:. 
la Pologne en fournit un exemple palpable. 

Nous voyons une grande Impératrice fe faire un point d’honneur d’in- 
troduire 6c d’étendre les connoiffances dans fes vaftes États, 6c traiter com- 
me une affaire importante tout ce qui peut y contribuer. 

Hift. 177a. 


c 


18 Histoire de l’Académie Royale 

Qui ne feroic ému & touché, en apprenant l’honneur qu’on rend en 
Suede à la mémoire d’un grand homme? Un jeune Roi, qui connoit le 
prix des Sciences, y faic ériger actuellement un tombeau à Des- Cartes, 
pour s’acquitter, au nom de les Prédécefleurs, de la reconnoiflance qu’ils 
dévoient à Tes talcns. Quelle douce fatisfaCtion pour cette Minerve qui 
mit au jour, qui inftruifît Elle- même ce jeune Télémaque, de retrouver en 
lui fon efprir, les connoiflances & fon cœur! Elle a droit de fe complaire & 
de s’applaudir dans fon ouvrage; & s’il eft interdit à nos cœurs d’épancher 
avec profu lion tout ce que le fentiment nous infpire fur fon fujet; au moins 
fera- 1- il permis à cette Académie* & à toutes celles qui exiltent, en lui 
offrant les hommages les plus finceres, de la placer avec reconnoiflance dans 
le petit nombre des Princcfies éclairées qui ont aimé & protégé les Lettres. 

# * 

* 

L’AlTemblée publique pour l’anniverfaire de I’avénement de S. M. au 
Thrône s’eft tenue le Jeudi 4 Juin. Le Sécretaire perpétuel a ouvert la 
féance parle Difcours fuivant: 

Sa n s avoir le don de Prophétie , je pour rois dire , Messieurs , 
que cette année va faire époque dans les Annales du fiecle G dans PHtfioire de 
la patrie. Ce n’efi point ici le pajfé gros de l'avenir: défi le préfent qui ejl 
actuellement en travail. Cependant , quelles que fuient la vrajêmblance & 
la proximité des événemens qui fixent l’attention de l Europe , je m’abfiiens 
d’en parler , ayant toujours été de l avis de ce Philofophe qui difoit que , 
quand on ejl fimple pajfager dans un vaijfeau , il ne faut pas fe mêler du gou- 
vernail. Je me borne à fixer mes regards fur le Pilote , j'admire fa manoeu- 
vre ; ou {pour parler fans figure) je m’occupe du fujet de cette fiolemnité ; je 
repaffe le cours des années du glorieux Régné pour la durée duquel nous for- 
mons les voeux les plus ardens ; je penfe aux limites des États Pruffiens lors- 
que FR ÉDERIC efi monté fur le Thrône , & à celles que fis exploits G 
fon influence fur le fyfieme général leur ont données G leur donneront encore. 
Vit -on jamais de Puiffance s’élever avec plus de rapidité G s’affermir avec 
plus de flidité? A la grandeur G à la gloire Je joindront le bonheur des fit- 


des Sciences et Bkhes-Lettres. 


1 9 

jets , la profpérité intérieure , qui fait la vraie fantè des Corps politiques. La 
même main qui fait rajfcmbler & réunir , /aura femer & répandre. Le Mo- 
narque le plus révéré fera le plus aimé. Et quainfi le Ciel verfe toujours fur 
lui fes plus riches tréfors ! 

Le Secrétaire perpétuel a rapporté enfuite tout ce qui concernoit les 
Prix à diftribuer & les Queftions à propofer par l’Académie. On en trou- 
vera le détail dans le Programme qui va fuivre. 

Il a lu enfuite l’Éloge de M. Achard. 

M. le Direéteur Merian a terminé la féance par la le&ure d’un Mémoire 
intitulé : Expériences philofophiques fur la vue & le toucher. 

PRIX 

propofés par V Académie Royale des Sciences & B elles -Lettres 

pour l'Année iyj4- 

L ’Académie Royale des Sciences & Belles -Lettres, dans fon Affemblée publique du 
4 Juin 1771, a adjugé le Prix de la Clafle de Mathématique, qui concernoit la 
Queltion fuivante: 

Quelles font les dimenflons des objectifs compofés de deux matières , telles que 
le verre commun & le cri fiai cf Angleterre , les plus propres à détruire entièrement, 
ou au moins fenfblement , les aberrations de réfrangibilité & de fphéricité , tant 
pour les objets placés dans l’axe que pour ceux qui Jont hors de l’axe ? Et quel ejl 
le nombre & L’ arrangement des oculaires qu’il faudroit adapter à de tels objectifs 
pour avoir les lunettes les plus parfaites qu’il ejt pojfible ? 

Ce Prix a été remporté par M. Jean Frédéric Hetuiert, Profeflèur de Mathématiques à 
Utrcclit. 

La Gaffe de Belles- Lettres devoir adjuger le même jour le Prix fur la Queftion. 
fuivante: 

Quand on approfondit l’Hiftoire de Brandebourg , on trouve que les Margra- 
ves & les Électeurs qui ont gouverné ce pays, les Alberts, les Ottons, les Walde- 
mar d’Anhalr, les Louis de Bavière, & prefque tous les Électeurs de la Maifon de 
Z O LL ER N, quoiqu’ inférieurs en puijfance primitive aux quatre autres grands & 
anciens Ducs dé la Germanie, fe font cependant toujours dijlingués dans une fui e 
de fecles par l’influence fupérieure que la grandeur perfonelk de leur caractère & de 

C Z 


10 


Histoire db l’Académie Royale 


leur génie leur a procurée , non feulement dans les affaires de r Empire, mais encore 
dans celles de l'Europe en général, & particulièrement dans celles de la Bohême, de 
la Pologne, de la PruJJe, de la Slayie, de la Suede & du Dannernarc. On trouve 
encore que , fans être Rois , ces Princes ont prefque toujours joué un rôle égal-, & 
quelquefois Ji/périeur, à celui des Rois & des Souverains leurs voifins, tant dans les 
affaires de la Paix, que dans celles de la Guerre, 0 qu’ils ont eu une part très ef- 
Jent telle aux grands éve'nemens qui font arrivés de leur tems ; on voit que dejl par 
ce moyen & par la fage/fe de leur conduite, qu’ils Je /ont. frayés le. chemin à la 
Royauté, & qu’ils ont fucceffivement fondé la puiffance de cet Etat, qui, fans être 
une des anciennes Monarchies de l'Europe, & fans les égaler en étendue de territoire, 
y tient aujourd’hui un rang très di/lingué. 

L’Academie fouhaite 

„Que cette vérité Toit développée dans un Tableau général, où, làns entrer dans 
,, un détail minucieux de la vie de ces Princes, on ne mette en ufage que les or- 
donnances, les faits & les anecdotes les plus propres à les caraâérifer, à prouver 
„ce qu’on vient d’avancer, à tirer les induftions naturelles qui en réfultent, & cn- 
„ fin à faire difparoître les préjugés que les Etrangers peu inltruits de l’Hiftoire ont 
,, communément fur l’origine & les progrès de ce qu’ils appellent Monarchies nou- 
velles. 

L’Académie n’ayant pas été fatisfaite des Mémoires envoyés fur ce fujet, elle ren- 
voie l’adjudication du Prix à l'année prochaine (1773) & invite les Savans à s’occuper 
de cet objet. 

La Clafle de Mathématique propofe pour le Prix du 31 Mai 1774, une nouvelle 
Queftion, énoncée en ces termes. 

Il s’agit de perfectionner les méthodes qu'on emploie pour calculer les orbites 
des Cometes d'après les Olfrvations ; de donner Jiirtout les formules générales fit 
rigoureufes qui renferment la folution du Problème ou il s’agit de déterminer l'orbite 
parabolique d’une Comete par le moyen de trois olfervations , & d’en faire voir 
1 ’ufage pour réfoudre ce problème de la maniéré la plus funple & la plus exacte. 

On invite les Savans de tout pays, excepté les Membres ordinaires de l’Académie, à 
travailler fur cette Queftion. Le Prix qui confille en une Médaille d’or du poids de cin- 
quante Ducats, fera donné à celui qui, au jugement de l’Académie, aura le mieux réuffi. 
Les pièces, écrites d’un caraflere lifible, feront adreflees à M. leConfeiller Privé Formy, 
Sécretaire perpétuel de l’Académie. 

Le terme pour les recevoir eft fixé jufqu’au 1 de Janvier 1774, après quoi on n’en 
recevra abfolument aucune, quelque raifon de retardement qui puiiTe être alléguée en ù 
laveur. 


Des S'ciENCEs et Belcles-Le'Ttres. ar 

On prie les Auteurs de ne point fe nommer, mais de mettre Amplement une Devi/è, 
à laquelle ils joindront un Billet cacheté, qui contiendra, avec la Devife, leur nom & 
leur demeure. . - 

Le Jugement de l’Académie fera déclaré dans l’Aflemblée publique du 31 de Mai 1 774. 

On a été averti par le Programme de l’année précédente, que le Prix - de la Clafle 
de Philofoplue expérimentale qui fera adjugé le 31 Mai 1 773, concerne la Queftion 
fuivante: 

Comme l’Arfenic fe trouve dans les mines de la plupart,, pour ne pas dire, dé 
tous les métaux & demi -métaux en grande abondance, & que malgré cette abon- 
dance, il n’êft encore gueres connu que par feS qualités nuflibles: On demande 

Quel eft le véritable but auquel la. Nature femblc avoir defiiné.l’ArJènic dans les 
mines? Et fi l'on peut en particulier démontrer, par des expériences faites ou 
à faire, fi, comment, & jufqu'à quel point il fert, fioit à former les métaux, foit 
à les perfectionner, ou à produire en eux d'autres changemens nécejfaires & utiles i 

Il refte à parler du Prix extraordinaire, fondé par feu M. le Confeiller Privé EUer. 
La Queftion propofée a pour objet 

La Théorie des tranjplantations. 

Il s’agit de celles qui tranfportent les plantes d’un climat, Sc furtout de leur terroir 
natal, dans un autre. Il réfulte de ce tranlport divers changemens, qui, généralement 
parlant, détériorent les plantes. On doit expofer ces changemens & les expliquer, tant 
par la nature des chofes que d’après les expériences très fréquentes de ce "genre qui ont 
déjà été faites. La théorie demandée réduira les différens cas à certaines elpeces relati- 
vement aux caufes qui y influent. Elle fournira en même tems pour chaque efpece la 
méthode requife, afin que les eflais qu’on voudra faire à l’avenir réunifient en grand , & 
qu’on puifle s’afliirer fuffifamment d’avance s’ils font praticables. 

Les Pièces envoyées pour cette Queftion n’ayant pas paru fatisfaifantes , elle a été 
renvoyée au 3 1 Mai 1 774. 

Le fécond des Prix propofés par un Particulier de France, & que 
l’Académie s’étoic chargée d’adjuger, à la requifition de M. de la Conda- 
mine , a été donné, dans l’Aflemblée ordinaire du Mars, à M. JoJJe 
Léopold Frifch , Pafteur à Grüneberg en Siléfie. Voyez le Programme de 
ces Queflions dans les Mémoires de MDCCLXX, p. 3 1» 

L’Académie a fait des pertes & des acquittions dans le cours de l’an- 
née MDCCLXXIL Les pertes ont été celle de M» Antoine Achardy 

c 3 


x2 Histoire de l’Académie Royale, 

Confcillcr Privé & Eccléfiaftique, Pafteur de l’Églife françoife de Berlin, 
décédé le x de Mai, &c dont l’Éloge fe trouve à la fin de cette Hiftoiffc ; Sc 
celle de.M. François Vinçent Touffu int, ProfefTeur d’Éloquencç dans 
l’ Académie Royale des Nobles, auparavant Avocat au Parlement de Paris, 
décédé le 22 de Juin. •. . ... 

M. Louis Cochius , Prédicateur de la Cour, à Potsdam , qui avoit été 
aggrcgé à l’Académie le 2 6 Avril 1770, & placç comme Membre ordi- 
naire dans la Clafle de Philofqpliie Spéculative le 3 Mai ..Suivant, eft.venu 
prendre (eance le ip Mars 1771, & a fait Ton Difcours de réception en 
Latin: Oratio de quibusdam ad Philofophiam , preecipue Leibnitfianam , 
fpeclantibus. Nous en donnerons le précis ci- deflous. Voici la Réponfe 
que lui fit le Secrétaire perpétuel. 

Nous fommes convenus , Monjieur G’ très digne Confrère , que je répon- 
drois à votre beau Latin dans la, Langue de l'Académie , cejl à dire , en aujji 
bon François qu'il me feroit poffble. V ous faveç que nous avons defiré de 
vous acquérir, que nous nous fommes réjouis de vous pofféder, G' que nous 
attendions avec impatience le moment de jouir. Il efl venu ce moment : nous 
vous voyons au milieu de nous ; nous venons cF avoir le p/ai/ir de vous enten- 
dre: cela ne fait qii augmenter F envie que nous avons que ce plaifir devienne 
habituel , & qu'il foit durable. Nous fommes féparés , il ef vrai , par la 
diverfité du Je jour ; & nous f avons que vous aveç de grandes G" d’importantes 
occupations. Nous efpérons cependant qu'elles vous laifferont des momens de 
toifïr, 6 ’ que nous en profiterons. Initié , comme vous Fêtes, aux doctrines 
les plus profondes & les plus folides de la Philojophie, les four ces de médita- 
tion les plus intéref) antes Jont continuellement à votre portée ; il vous fuffit 
d'y puijèr, G’ vous n'en reviendrez jamais à vuide. Nos affemblées profite- 
ront du fruit de vos recherches; nos Mémoires s enrichiront ; G’ fi nos Mâ- 
nes confervent quelque J'enfibilité , ils fe réjouiront dans la fuite des temps de 
F affociation de nos biens, comme nous nous ré jouiffons dans ce moment de 
V affociation de nos perfonnes. 

' Le Roi ayant difpofé de la place de Profefleur d’Éloquence , qui va- 
quoit à l’Académie des Gentilshommes par la mort de M. Tquffaint , en 


pp.s Sciences BTBBLtBs-LBTTREs. 13 

faveur de M. Borrel/y , ci-devant ProfcÆeur d’Éloquence à Aix en Pro- 
vence; S. M. ordonna auflî à l’ Académie de le recevoir au nombre de fes 
Membres ordinaires dans la CIafTe de Belles- Lettres. Le nouvel Acadé- 
micien vint prendre féance le Jeudi 15 d’O&obre; & fit un Difcours 
'de réception ,- qui paroitra dans le Volume fuivant de ces Mémoires $ & 
qui traitoit de l'art de procéder dans le développement de t efprit humain. 
Voici la Réponfe du Sêcretaire perpétuel. 

Faire des pertes & les réparer , c’efi le fort de tous les corps tant phyfi- 
ques que moraux pendant le cours de leur durée. Tantôt il y a du gain } 
-tantôt il y a de la perte ; la balance ne fauroit jamais être exaclc. Mais elle 
ef cenfée l'être , lorfqu'à une privation digne d'être regrettée fuccede une ac - 
quifition digne d’être efimée. Nous J'ommes aujourd’hui dans le cas , Mon- 
fteur. Nous avons eu en M. Touflaint un Confrère dont le génie , les ta- 
lens , les écrits lui avaient fait une réputation difiinguée , dont les moeurs G’ 
le caràclere avoient gagné notre confiance G’ notre attachement. Vous ap- 
porte ^ au milieu de nous les préempt ions les plus favorables à tous ces égards. 
S'il n’étoit quefiion que d'autorités , les fff rages qui vous ouvrent les portes 
de T Académie font décififs. Mais , dans une Ajfemblée de Philofophes qui 

• veulent juger par eux - mêmes , ce que nous venons d’entendre efi le véritable 
poids dans la balance. Quiconque connoit aufji bien que vous , Monfieur , 
Tart de développer l'efprit humain , a pouffe lé développement du fien au degré 
qu'on exige ou qu’on fuppofe dans les Membres de ces Compagnies fondées 
pour éclairer le genre humain , pour répandre dans la Société toutes les con - 
noiffances qui peuvent la rendre plus parfaite & plus heureufe. Vene^ 
donc , mon digne Confrère , veneç réunir vos efforts aux nôtres pour concou- 
rir avec une application foiitenue à un but auffi excellent. Par là nous con- 
tinuerons à répondre de concert aux foins paternels que notre augufic Pro- 
tecteur ne ceffe de prendre de nous ; nous lui témoignerons la reconnoiffance 
qu'il en attend , & la feule qui puiffe lui être agréable ; nous aurons de jufles 
& continuels fujets de nous féliciter , vous de nous appartenir , nous de vous 
pofféder. 


. Histoibr;db i’Acadkmib Rotaib 


14 

M-. le Marquis de Tofchi - Tâgaano-., Archidiacre de la Cathédrale de 
Sinigaglia a été aggrégé au nombre des Aflociés externes , dans l’AfTemblée 
du i Juillet, en -conformité des ordres gracieux de Sa Majefté. 

HISTOIRE NATURELLE. 

JNJous placerons ici un Mémoire entier, lu dans l’Afiemblée du 17 Juillet, 
qui nous a paru appartenir à la partie hiftorique de ce Volume. . Sa lon- 
gueur ne nous permettra pas d’inférer beaucoup d’autres Articles. 

OBSERVATIONS 

D' HISTOIRE NATURELLE . 

Par M. Jban Bernoulli. 

Cesobfervations rouleront principalement fur la facultéque je crois pouvoir 
attribuer à quelques efpèces de Papillons de pondre des œufs féconds fans 
s’étre accouplés; elles pourroient donner lieu à un grand préambule fur les 
voyes miraculeufes de la Nature & je pourrais les faire fuivre par bien des 
conje&ures; mais celles - ci feraient encore fort hazardées & le préambule 
dont je parle ferait déplacé à la tête d’un petit nombre de remarques les- 
quelles, après les avoir fupprimées a/Tés longtems, je n’expofe enfin, que 
dans la vue d’engager ceux qui font leur principale occupation de l’Hiftoire 
naturelle) de publier pareillement les faits analogues qu’ils auront eu occa- 
fion d’oblerver, 6c de pourfuivre des recherches qui, à ce qu’il me femble, 
doivent conduire à des connoilfances nouvelles 6c furprenantes dans le 
fyfteme de la réproduâion des êtres. 

Il y a fept ou» huit ans qu’un de mes concitoyens des plus eftimables 6c 
très verfé dans l’Hiftoire naturelle, M. Basler , Profeffcur en langue hébraï- 
que, 


BBS SciBNCBS fi T B B L L BS -L E TTH BS. 15 

que, me marqua dans une Lettre qu’ayant nourri une des chenilles qui don- 
nent le papillon que M. de Réaumur nomme Paquet de feuilles feches (*), & en 
ayant fuivi la transformation , le papillon avoit pondu des œufs, desquels il 
avoit été fort furpris de voir fortir des chenilles, vu que la mere n’avoit resu 
l’approche d’aucun mâle. 

Quelques fortes que fuflènt mes raifbns pour ne pas douter de la vérité 
de l’obfcrvation de M. Basler , je ne fouhaitois pas moins de m’en convaincre 
par mes propres yeux, ou de voir arriver chés moi quelque fait femblable. 
Ce ne fut cependant que durant l’été de 1767 que je m’amufai de nou- 
veau à nourrir quelques chenilles & à augmenter ma colle&ion de papillons. 
Je trouvai alors vers la fin de Juin fur un poirier une chenille qu’on rencon- 
tre aflts fréquemment lûr cet arbre; elle cil représentée par les Figures 1 de 3 
PI. XVIII. du i r Volume de l’Ouvrage de M. de Kéaumur, qui la décrit 
dans le 7 e Mémoire, & elle fait le No. 15 de la fécondé Cla/Iè des phalènes 
dans le 4 e Recueil déjà cité des Récréations de M. Rcejèl. Je mis cette 
chenille féparément dans une petite bocte, &c comme elle avoit déjà toute là 
crue elle ne tarda pas à faire fa coque. Au bout de quelques jours je per- 
dis de vue la boëtc qui renfermoit cette coque, mais en la rouvrant plus de 
1 5 jours après, je fus très agréablement furpris en y trouvant une petite fa- 
mille de chenilles qui ne pouvoient être provenues que d’un papillon mort 
qui étoit dans la bocte, & que je rcconnoiflois pour celui de la chenille que 
j’y avois mife. 

Je vis aulfitôt la voracité que M. Rafel attribue à cette chenille, 
bien conftarée; carmes petits nouveaux- nés avoient dévoré entièrement 
la coque de leur mere & en partie celles des œufs d’où elles étoient forties, 
& je n’ai pu fatisfaire fuffifamment la gloutonnerie & la délicatdîè de ces 
petits êtres pour les confcrver. Mais ce n’cft pas là le fait le plus curieux 
de leur hilloire: j’ai dit plus haut que j’avois féqueftré ma chenille dans une 

(*) M. de Féauntur le décrit dans le feptieme uni Zapfcn bewachfene Crafsraupe, & elle fe trou* 
Mémoire du fécond Volume de fon grand Ou- vc décrite avec fon papillon dans le bel Ouvrage 
vrage fur Us Infcdes en 6 Volumes in 410. La intitule' Infe 3 en - Bciufigungen , au No. 41 de* 
chenille qui le produit a été nommée par M. phalènes de la fécondé Clalle. 

Fixjd, die grpjj'e kaanchlc uni mit vtelcn Wariien 

Hift. 177a. 


d 


■Histoire de l’Académie Royale 


%6 

petite boëte fermée, qui n’avoit point été ouverte jufqu’après la nailfance de 
ces petites chenilles; il étoic donc évident que l'e papillon femelle qui en 
étoit venu, avoir pondu des œufs féconds fans accouplement & fans même 
qu’aucun papillon quelconque en eût approché. Le fait étoit auflï curieux 
que certain, & il étoit femblable à l’obfervation de M . Basler ; aufîi ai- je 
toujours été curieux depuis, foit de connoître d’autres chenilles qui euffent la 
même faculté, fdic de chercher dans les Auteurs qui ont écrit fur cette partie 
de l’Hiftoire naturelle des traces d’obfervations pareilles. Bien des circonftan- 
ces m’ont empêché fréquemment de fatisfaire ma curiofité, mais je vais in- 
diquer du moins le peu que j’ai pu apprendre de plus fur ce fujet. 

Si on ajoute foi aux deux obfervations que j’ai rapportées & qu’on lei 
regarde comme concluantes, on fera difpofé à croire que les Naturalises en 
ont fait un grand nombre de femblables: mais je penfe qu’on fe tromperoit. 
D’un côté curieux de conferver leurs papillons beaux & entiers, & de l’au- 
tre regardant cette monogénéfie , qu’il me foit permis de me fervir de cette 
exp-eflion , comme impoflible, ils n’ont pas tourné leurs recherches de ce 
côté & les foupçons mêmes qu’ils pouvoient avoir de fa poffibilité n’ont pu 
les y engager. J’ajouterai qu’en fuppofant même qu’un grand nombre de 
papillons ayent la faculté dont nous parlons, il y a apparence qu’il faut un 
concours de circonfiances heureufes pour qu’on puiflè en faire l’obfervatioD. 
Cela me paroit d’autant plus vrai femblable, que le papillon de ma chenille du 
poirier eft forti de fa coque beaucoup plutôt qu’il ne l’auroit fait fi les obfer- 
vations que Mrs. de Rcaumur & RceJ'el ont faites fur le rems que ce papillon 
pafle dans fon état de chrylàlide étoient générales (*), de forte qu’il fe peut 
que ma petite boëte étoit expofée à un degré de chaleur tout à fait conve- 
nable; de plus la chenille avoir déjà toute fa crue, & ni la chrylàlide ni le 
papillon n’avoient été inquiétés. 

(*) M. Rtrftl dit que cette chenille eft de tou- cette cheoille ; mais on fait aufli que ce célèbre A- 
tes celles qu’il counoît celle qui refte le plus long- cadémicien a obfervé qu’on peut facilement hiter 
teins dans fi coque avant que de devenir chryft- ou retarder le dégagement des papillons de le'ifl 
lide, & que le papillon n’en n.îr qu'en automne: enveloppes, 5c qu’il a tiré même de cette propriété 
M. de Rcaumur dit pareillement que ce n’eft qu’en des induélions très curieufei. 

Septembre & Oélobre qu'il a eu le papillon de 


dbs Sciences et Belles-Lettres. 


i? 


Un de ceux qui a le plus élevé de chenilles & de papillons dans ce fic- 
elé c’eft M. Rafel , mais nous le voyons dans un grand nombre d’endroits 
de Tes Récréations regarder comme certain que des œufs de papillon ne peu- 
vent produire des chenilles fans qu’un accouplement ait précédé; par exem- 
ple au §. i i. ( Infeclen-Belufligung , IVte Sammlung Num. J.) de fa deferip- 
tion de la chenille qu’on nomme quelquefois Marte à points d'argent, M. 
Rixfel dit qu’il eft digne de remarque que la plupart des phalènes femelles de 
la fécondé clalTe, quand ils font enfermés ou embrochés par des épingles, 
lailTent tomber leurs œufs par néceflité ou par douleur, & que ceux-là mê- 
me le font qui n’ont pas été fécondés par le mâle. Mais , ajoute -t- il, il 
tjl pofitif quant à ces ceufs non animés , qu'il rien fort jamais de chenilles ; 
un grand nombre d'expériences que j’ai faites à ce fujet ni en ont convaincu. 
On trouve dans l’Ouvrage de M. Rafel plufieurs partages qui viennent à l’ap- 
pui de cette aflertion, je n’en citerai que les fuivans: Infcclen - Belufigung, 
Ilte Samml. Vorb. §. 3 * (7)- IVte Samml. Num. X X I V. 1. 

Num. XXX. §.4. Vte Samml. Num. VI. §.7. Ce dernier parta- 
ge prouve que la remarque de M. Rafel s’étend aufii aux papillons que don- 
nent les chenilles arpenteufes. 

M. de Réaumur qui ne le cédoit à perfonne dans la connoirtànce des 
Infe&es & qui les étudioit avec un efprit de recherche fupérieur, a glirte 
encore plus fur l’idée, que le fait qui nous occupe pouvoit avoir lieu. J’ai 
même été furpris de ne voir aucune trace de cette idée, ni dans la Préface de 
fon fécond Volume, ni dans le fécond Mémoire de ce Volume, où cependant 
ilconfeille fort de répéter & de retourner en toutes façons les expériences de 
Malpighi fur la maniéré dont fe fait la fécondation des œufs des papillons; 
car il regarde, dit -il, ces expériences comme propres à nous donner des 
éclaircijfemcns fur un des plus grands myfcres de la Nature fur celui de la gé- 
nération. Ma furprife en eft d’autant plus grande que M. de Réaumur a été 
mis en quelque façon fur les voyes par les célébrés Naturaliftes Gœdart &c 
Lifer y ainfi que le prouve le partage fuivant, que je tranferirai en entier parce 
qu’il a trait encore à la fuite de ce Mémoire. En parlant dans le fepticme 
Mémoire du fécond Vol. p. $10. de la furprife qu’eut Gœdart de voir 

d x 


18 


Histoire de l'Académie Royalb 


naître de la belle chenille à brofles, décrite dans le fécond Mémoire du pre- 
mier Volume, un papillon tout à fait vilain, de auquel Gadart refufe meme de 
donner le nom de papillon parce qu’il n’a pas d’ailes fenfibles, M. de Réau~ 
mur ajoute ce qui fuit: 

„Mais ce qui augmente le prodige, c’eft que l’animal, forti de la 
première des efpeces de chenilles ne s’eft point accouplé, à ce que dit 
Gœdœrt, qu’il a cependant fait des œufs, d’où font nées enfuite de pe- 
tites chenilles. Il eft furprenant que Lifter , dans fes notes fur cet 
Auteur, ait, avec lui, parlé de ce fécond fait comme d’une grande 
merveille, comme s’il nous prouvoit qu’il y a des œufs de papillons d’où des 
chenilles éclofènr, quoiqu’ils n'ayent pas été fécondés par l’accouplement du 
papillon mâle. Lifter n’avoit-il pas encore lû Swammerdam lorfqu’il écrivoic 
cette note ? Il nous a appris que l’efpece de chenilles à broflès qui vit des 
feuilles du prunier, donne un papillon mâle, qui a de belles de de grandes 
aîles, & que la même efpece de chenilles donne un papillon femelle, qui eft 
dépourvu d’aîles. En général, il n’a pas évité de relever les méprifes de 
Gœdœrt , de il ne lui a pas fait grâce fur celle-ci. Les chenilles à broflès de 
l’aulne avoient donné à Gœdœrt un papillon avec des aîles, & un autre fans aî- 
les, qu’il n’avoit pas voulu reconnoître pour papillon: ils fe font fans doute 
accouplés en/èmble à des heures où Gœdœrt ne pouvoir pas les obferver. 
Les chenilles à brofles du prunier m’ont auffl donné des papillons femelles 
fans aîles ; j’en ai eu qui m’ont pondu des œufs féconds de d’autres des œufs 
ftériles. Je n’ai jamais eu que de ces derniers* quand j’ai tenu les femelles 
dans des poudriers où il n’y avoir pas de mâles. Je n’ai pas eu befoin mô- 
me, l’année derniere, d’ufer de précaution pour avoir des femelles feules; il 
ne m’eft point né de mâles.” 

Nous voyons donc que parmi les Naturaliftes plus anciens, ni Swam- 
tnerdam ni probablement Malpighi n’ont accordé aux papillons la faculté 
de fe reproduire fans accouplement, de que dans ce fiecle-ci Mrs. de Réair- 
mur de Rœftel n’ont pas voulu non plus admettre cette monogénéfie, ont 
prérendu même en avoir reconnu par expérience l’impoflibilité. Je ne faii 
cependant fi, outre les deux obfèrvations que j’ai rapportées, on n’en trouva- 


des Sciences et Bkeees-Lettebs. 


*5 

roit pas, dans les Recueils académiques ou dans les Ouvrages des autres Natu- 
raliftes, pluficurs à oppofer à leur fentiment; j’ai lieu de le croire, car en voici 
d’abord deux alfés décifives, qui font confignées dans les Nova Acla Phyfi- 
co-Medica Académies Natur ce curioforum , de 1767. Obf. LXXXV 1 I. par 
un Savant très éclairé, M. P allas , a&uellement Profeflèur d’Hiftoire naturelle 
& Académicien à Pétersbourg. On y verra que M. de Réaumur s’y combat 
lui -meme fi on met les teignes au nombre des chenilles, comme Rcefel l’a 
fait avec alTés de raifon à ce qu’il me femble; & quand cela ne feroit pas, ces 
obfervations ne laifieroient pas de mériter d’être plus connues & de pouvoir 
faire foupçonner la monogénéfie poflible parmi un plus grand nombre d’In- 
fe&es, & même parmi des papillons. Voici un Extrait du . petit Mémoire 
que j’ai allégué : 

,, In clajje animalium Infeclorum, dit d’abord M. Pal las, miracula tan- 
ta tamque varia detexit recentiorum in natures ceconomia illujlranda defudan - 
tium indujlria , ut vix quidquam utcunque infolitum & a generaliore Natures 
norma abludens , paradoxum noflro fesculo videri debeat. înauditum hucus- 
que fuit , dari Phalænam fœmineam, nudo vermis habitu, non alis modo, 
quippe cujus plurima extant exempta, Jed & pedibus, antennis, paleisque 
Lepidoptero propriis deftitutam; inauditum Lcpidopteri ova, fine maris 
vivifico influxu, fœcunda najci pojjè. Prioris tamen in altéra hic dejeri - 
bendarum fpecierum , pojlerioris ctiam in utraqut exempta inveni , eaque me - 
morics prodidijfe , neque inutilis injucundusve , neque forte inglorius labor-cen - 
febitur.” M. Pallas obferve enfuite que c’eft dans les bois de fapins qui 
font aux environs de Berlin que ces deux efpeces d’Infe&es fe trouvent le 
plus fréquemment, & que c’eft la plus grande qui eft la plus rare; il com- 
mence par décrire celle-ci de ne laifie rien à défirer, ni fur la chenille ou 
teigne & fon fourreau (repréfentée par M. de Réaumur T. III. Table XL 
Fig. 10.), ni fur la chryfalide, ni fur le papillon tant mâle que femelle 
<}ui en réfulte ; après avoir fait remarquer tout ce que ce dernier a de parti- 
culier dans fon extérieur, il ajoute ce qui fuit: n Paradoxa hesc Pkalcsna fa - 
mina , dum e folliculo fuo exit f vehementi quafi perifaltico rnotu agitatur. 
Etiam aliquo poflquam exiit t empote , Jimili vermiculatione aliqualittr loeo 

à 3 


3 ° 


Histoire de l’Académie Royalb 


fnovetur ; tandem vero velut exanimis, quiefeit , vuîvam quæ b revis intefi- 
nuli injlar efi , pojlica corporis ex t remit ate exfer it , lente movet, per eam 
maxima ovorum parte fe exonérât & demiim marcefcit? 

„ Servavi fæpe folos in feparatis featulis jeemineos folliculos , vidiqut 
cmijjis plurimis ovis emarcuijfe vermiformes Phalœnas ; & aliquo tempore 

pojl , quamquam omnis mafcula progenies abfuijfet , totam feepe fcatulam 
innurneris Erucuïis featuiffe, mater nos r odent ib us folliculos , fibique e fur- 
fur ib us minutas domunculas conflruentibus , miratus fum. Vix credibilis 
pheenomeni frequent ius pofea in minori fpecie experientiam cepi, quippe 
cujus fcemince promtius certiusque ova fua edunt , quam prioris , quæ plerum - 
que ovis refertæ moriuntur atque Jiccefcunt. In eadem ad quam deferiben - 
dam progredior fpecie , eandem obfervaverat proprietatem Reaumurius 
( Vol. III. p. 151.) cui & Lawa hujus fpeciei cum folhculo ( T. XI. f. 7. £.9.) 
& mafeu/a Phalcena (/. c. f. 5. 6.) & feemina quoque anomala (p. i$z. i$g.) 
probe cognita fuit 

Je ne tirerai plus rien du Mémoire de M. P allas , far ce qui concerne 
ce dernier papillon femelle, fi ce n’eft le pafiage faivant, qui contient la rai- 
fon pour laquelle l’Auteur a donné à ce papillon le nom de Phalcena cafa: 
„Ubi e foiliculo prodiit , dit -il, incuno corpore ni décidât, poflicce ejus - 
dem extrenzitati per reliquam vitam adlucrere pergit, fepeque vulva & parte 
corporis adhuc intra folliculum hœrente, ut maris commercium reeufart vi- 
deatur , ibidem depoftis prius pro parte ovis, mareefeit 

Je n’ai rien à ajouter à ce que j’ai dit far ce que d’autres ont obfervé ré- 
lativement à la matière que je traite, fi ce n’eft que dans la Famille du célé- 
bré M. Iduber, Profeftèur d’Anatomie de Médecin de la Cour de Caflel, on 
m’a alluré, il y a 4 ans, avoir eu quelques exemples de la même nature, 
mais fans qu’on aie pu me nommer les efpeces. 

Je palfe au petit nombre de recherches que j’ai faites moi -même -dans 
l’intention de connoître un plus grand nombre de chenilles dont la naifiancc 
fait polliblc fans accouplement. 

Je n’avois pas encore lu ce que Mrs. de Réaumur & Rcefel ont écrit far la 
chenille à brolîes lorfqu’ayant trouvé en 17^8 quatre chenilles de cette 


dbs Sciences et Belies-Lettres. 


3 * 


efpece (*) que me donnèrent toutes des papillons femelles, je penfai aufii- 
tôt que fi un papillon au monde pouvoir être hermaphrodite, ce dévoient 
être ces lourdes mafles, privées d’aîles, de incapables meme à caufe de leur 
plénitude de faire quelques pas. Je fus donc fort attentif à les obferver, 
mais voici ce qui arriva: Mes papillons étant fortis de leurs coques ne s’en 
éloignèrent prcfquc pas; le dernier même y refta conftamment attaché; ils 
femblerent fe défendre de pondre; ce ne fut que quelques jours après leur 
naiflance qu’il leur échappa quelques œufs, & il y eut un intervalle de 
1 x heures au moins entre le premier & le fécond œuf d’un de ces papillons; 
enfin comme n’en pouvant plus ils laifierent partir tous la plus grande partie 
de leurs œufs à la fois de moururent, en gardant néanmoins chacun une 
quantité d’œufs plus ou moins grande dans le corps. Cette obfervation, 
telle que je la rapporte, rend déjà la monogénéfie de cette efpece de papil- 
lons a fies problématique, mais elle fournit de plus matière à une autre re- 
marque. 

M. Rcefel, avant que d’avoir trouvé cette efpece de chenilles, avoit 
élevé quelques années de fuite celle qui lui eft fort femblable, qui fc nourrit 
des feuilles du prunier: il n’en avoit jamais eu que des papillons femelles, de 
cela lui auroit, dit -il, prefque fait croire avec d’autres, (**) que c’étoient 
des efpeces d’hermaphrodites, fi les chenilles qu’il décrit dans le No. fui- 
vant ne l’eufient confirmé dans fes premières idées; celui de ces papillons 
femelles qu’il décrit pondit des œufs en grand nombre par différens tas de 
mourut; M. Rafel efpéra de voir naître des chenilles de ces œufs, mais il 
fut trompé dans fon attente. Il éleva enfuite l’efpece de ces chenilles qui a 
des rayes orangées , il en eut des papillons de l’un de de l’autre fexe, ces 
papillons s’accouplèrent, (***) fix jours après l’accouplement les femelles 

(*) Mes chenilles étoient de celles qui ont les (**) Peut-être que M. Rafel n’entend par lâ 
brodes jaunâtres & les rayes orangées, & qui font le que les mêmes Auteurs dont a parlé M. Je Reaw- 
No. 40- de la féconde clafTe des phalènes dans mur. 

l'Ouvrage deM .Pafil: je les trouvai le aoJuin. (***) Cet accouplement a fourni à M. Rafel 

J'en eus les papillons le 4, le J, le 10 & le l’occafion de faire encore une autre obfervation eu- 

13 Juillet; la chenille de ce dernier avoit fait fa rieufe: il a vu le petit papillon mâle emporter fi 
coque le a. lourde femelle Sc voler avec elle par la chambre* 


Histoire db l'Académie Royalh 

pondirent des œufs qu’ils couvrirent de poils de la maniéré que le fait le pa- 
pillon de la chenille à oreilles & celui de la commune, ôc de ces œufs forci- 
rent des chenilles au bout de i 5 jours. Or la femelle de la chenille du 
prunier n’avoit pas couvert ces œufs de poils, comme probablement elle eût 
pu le faire, & mes femelles n’avoient pas eu non plus pour les leurs cette at- 
tention ; ne pourroic-on donc pas en conclure que ces femelles non mariées 
fentent en quelque façon que ce feroit peine perdue que de coucher mol- 
lement ôc de garantir des injures de l’air, les œufs qu’elles ne peuvent s’em- 
pêcher de pondre; & fi cela eft il faudra leur accorder un efprit ou un 
inftinâ: fuperieur à celui du papillon de la chenille à oreilles, qui range tou- 
jours fes œufs avec le même foin, qu’il ait eu commerce avec un mâle ou non, 
ôc qui montre en cela très peu de prévoyance, ainfi que M. de Rcaumur le 
remarque dans le fécond Mémoire de Ion fécond Volume. 

Je viens de parler du papillon très pareffeux aufli de la chenille à oreilles; 
c’eft pareillement un de ceux que j’ai mis à l’épreuve. Cette chenille n’étant 
que trop commune eft la première que j’aye nourrie: je favois depuis dix 
ou douze ans que fon papillon garantit fes œufs avec beaucoup de foin, 
quand même il ne s’eft pas accouplé; mais dans mes derniers efiais je n’ai rien 
vu naître de pareils œufs & je ne me rappelle pas que mes anciennes obferva- 
tions puflent me fournir quelque chofe de plus fatisfaifanr. (*) 

J’ai trouvé en 17^8 I e 3 ° Juin f ur I e ^ a P‘ n deux papillons femelles qui 
reffemblent beaucoup à ceux de la chenille à oreilles, mais qui en different 
cependant principalement par la tête & par le corps; celui-ci eft rouge ôc 
coupé dans la dire&ion des anneaux par des bandes noires; la tête a des an- 
tennes du fixieme genre, mais des barbes feulement d’un côté de la tige; ôc 
chacune de ces barbes a près de fa racine encore une autre pointe ou barbe 

& 


nuis la conclufion qu’il en tire fur la maniéré 
dont les ail fis de ces infeôles fè difperfent ne me 
parole pas tout à fait jufte. 

(*) Mais une autre obfervation eurieufe qu’t 
fourni cette efpecc de papillon, c’eft qu’il naît 
des papillon» hermaphrodite» pour les cou- 


leurs; M. Happe, Deftinateur de l’Academie pour 
l'Hiftoiie naturelle m’a dit avoir vu un papillon 
de la chenille à oreilles qui avoit d’un côte' le» 
ailes comme les mâles & de l’autre comme les fe- 
melles. M. Happe a entendu parler aufli d'autre» 
exemple* de cette efpece. 


des Sciences et Bell es -Lettre s. 


33 


& du relie de la tige forcent plufieurs poils fort délits. Ces papillons ont 
à l’anus un canal alTés long par lequel ils pondent leurs œufs. Ils en pondi- 
rent plufieurs dès le lendemain, qui reflemblentauffi aux œufs du papillon de 
la chenille à oreilles; mais ils ne les couvrirent pas de poils, quoique le conduit 
dont j’ai parlé paroilfe fait pour cet ufage, à en juger par analogie avec 
d’autres papillons. Cependant, que les meresfefoicntaccoupléesou non, ilelt 
certain que ces œufs étoient féconds; car les ayant vus changer de couleur le 
i x Juillet, j’en ouvris un le i 6 ôc j’y trouvai une petite chènille velue, qui 
perdoit facilement fes poils & qui étoit encore blanche 6 c tranfparente; on 
n’y voyoic d’autres couleurs que quelques rayes longitudinales. (*) 

La grande chenille de fapin, qui ell décrite dans Rcefel , a beaucoup de 
relTemblancc avec celle qui donne le papillon paquet de feuilles fechcs, &c les 
papillons fe reflemblent pareillement beaucoup; cependant j’ai quelques 
preuves, peu concluantes à la vérité, contre la monogénéfie de ccs papillons. 
En ayant trouvé quelques-uns à la mi- Aoûr de i 76*8, un de ces papillons 
m’a pondu plufieurs œufs qui n’ont rien donné; &c la liqueur qu’ils conte- 
noient efl reliée verte jufqu’à ce qu’ils fe foient delféchés ; un autre au con- 
traire a pondu des œufs dans lesquels on voyoit 1 4 jours après en les ou- 
vrant nager des corps informes rougeâtres; c’étoient de petites chenilles 
qui fonr parvenues à maturité avec une grande vite lié, puisque quatre jours 
après elles font fortics de leurs coques, dont elles mangèrent meme auflitôt 
une partie avec grand appétit, parce que je n’avois pas leur nourriture natu- 
relle fous la main à leur donner. Ces chenilles, à ce que j’ai remarqué alors, 
ne font pas telles pour les couleurs qu’on les voit après leur entier accroilfe- 
menr,ainli qu’il arrive dans plufieurs cfpcces: les trois premiers anneaux font 
blancs avec quelques petits points noirs; les autres anneaux font jaunes dans 
leur partie fupérieure avec deux petits tubercules noirs de chaque côté; il régné 
le long du dos une ligne noire fort étroite; les côtés font bruns; mais au relie 
on y voit déjà les deux interférions bleues du fécond 6 c du troificme anneau. 

Au mois de Juillet 1770 j’ai trouvé la chenille que M. de Ré au mur 
nomme le Hériflon; die s’eft changée le 1 1 ou le 1 3 Août, en un papillon 

(*) Je ne trouve rien de plut djns mes pjpisrt fur le fort de ccs œufs. 

//{/?. 177a. 


e 


Histoire de l’ Académie Rotali 


34 

qui a pondu continuellement des œufs quelques jours de fuite, fans avoir eu 
affaire à aucun mâle; mais ils n’ont rien produit. 

ADDITION. 

Dans le tems que j’ai préfenté à l’Académie les obfervations précédentes 
je confcrvois dans une boëte une chryfalide que je voyois devoir me donner le 
papillon paquet de feuilles feches femelle: je fus fort attentif à ce qui en ré- 
fulteroit; j’obtins en effet le papillon que j’attendois; il refta ifolé dans la 
même boëte 6c toujours à l’ombre dans une chambre tempérée, expofée au 
couchant; il vécut 16 jours, 6 c pendant ce tems il fc délivra de tous fes 
œufs à l’exception de 3 ou 4 , mais ils fe font tous delféchés. J’ai reçu 
auffi depuis ce rems -là de M . Basler des éclairciflemens que je lui avois de- 
mandés fur fon obfervation; il me marque qu’après avoir nourri fa chenille 
de feuilles de prunier elle fit fa coque au bout de 3 ou 4 jours; qu’il mit 
dans un verre le papillon qui en vint peu après, 6 c que ce papillon pondit 
des œufs en quantité fur une feuille fur laquelle le papillon étoit couché 
dans le vafe: „Les ayant féparés, dit M .Basler, je les mis fur le fourneau 
de ma chambre, fans aucun defiein, ils furent là jufqu’au mois de No- 
vembre, lorsqu’on commençoit à chauffer le fourneau; ce fut alors que je 
fis une découverte qui me furpiir beaucoup; car en voulant chercher quel- 
qu’autre chofè fur ce fourneau j’apperçus ce papier rempli de petites chenilles, 
dont la plupart étoient encore en vie, mais qui faute de nourriture crevèrent 
enfuite; ces œufs étoient don.' fécondés, puifqu’ils ont produit des chenilles, 
mais par qui, ou dans quel tems ? Le papillon, dans cet état, ne pouvoit 
pas l’être, puifqu’il étoit fcul &c ifolé entièrement; l’étoit- il donc dans fon 
état de chenille? voilà ce que je ne puis pas favoir. J’ai répété dans la fuite 
cette obfervation fur la même efpece de chenilles 6c fur plufieurs autres, 
fins pouvoir faire la même découverte. 

Ce que je viens de rapporter femble fortifier lobjcâion qu’on m’a fakc, 
que les œufs, tant du papillon ifolé de M. Basler, que ceux du mien, peuvent 
avoir été fécondés d’une maniéré fortuite qui nous a échappé; cependant, 
quand je rejetterois entièrement ces deux obfervations, je ne pourrois m’em- 


des Sciences et Belles-Lettres. 


35 

pécher en réfléchifïànt fur celles de M. P allas, fur celle de Gadart, fur le 
rapport fingulier qu’on remarque entre le phalene de la chenille à brofïès Sc 
la première des deux efpeces que décrit M. P allas, je ne pourrois m’empê- 
cher, dis -je, de croire la monogénéfie dont il a été question réelle au 
moins dans quelques efpeces, ou poflible même dans un grand nombre; la 
réalité de cette fécondé fuppofition dépendroit probablement beaucoup d’uu 
certain degré de chaleur; quant à la première elle exigeroit peut-être encore 
qu’on admîc la conjecture avancée déjà, fi je ne me trompe, par plus d’un 
Naturalifte: qu’une même fécondation peut fervir pour trois ou quatre gé- 
nérations ou davantage. Quoi qu’il en foit, la matière me femblc mériter 
qu’on l’approfondifTe & qu’on la foumetre à des expériences réitérées; elles 
ne feroient peut-être infruétueufes abfolument qu’avec les femelles des pa- 
pillons diurnes, n’y ayant aucun exemple, que je fâche, que de tels papillons 
aycnc pondu des œufs fans avoir eu commerce avec quelque mâle. 


CALCUL. 


EXTRAIT B' U N E LETTRE 

de M. Euler le Pere à M. Bernoulli , concernant le Mémoire 
imprimé parmi ceux de p. Ji 8 - 

i^yant lu avec bien du plaifir vos recherches fur les nombres de la forme 
io ' 1 + i j’ai l’honneur de vous communiquer les critères par lesquels on 
peut juger, pour chaque nombre premier z p -f- i, laquelle de ces deux 
formules i o r — i ou io'-j- i fera divifible par zp -J- i. 

Pour cet effet il faut diftinguer les deux cas fuivans. 

I r Cas. Si zp i — 4/2 -J- i, on n’a qu’à confidércr les di- 
vifeurs de ces 3 nornbres n , n — z, & n — 6 , & fi parmi eux on 
trouve ou les z nombres z & 5 ou aucun d’eux, c’eft une marque que la 


e x 


Histoire de l’Académie Royale 


36 

formule 1 o p — 1 fera divifible; mais fi parmi les dits divifeurs ne fc 
trouvent que les nombres 1 ou 5, alors la formule 1 o F -j- 1 fera divifible; 
ainfi pour le nombre premier 'zp 1 ZZ 53 ZZ 4/1 -f- 1, on aura 
n — 13, &c nos 3 nombres feront 1 3. 1 1. 7, donc ni z ni 5 n’elt divifeur, 
& partant la formule 1 o z< — 1 fera divifible par 5 3. 

I J d Cas. Si i/; -{- 1 Z — 1, on doit confidércr ces trois 
nombres n, n -f- i, & n -j- 5 , & fi parmi leurs divifeurs Te rencontrent 
ou tous les deux nombres z & 5 ou aucun d’eux, alors la formule 1 o p — 1 
fera divifible ; mais fi feulement l’un des nombres z ou 5 s’y trouve , alors 
la formule 1 o p -f- 1 fera divifible; comme fi ip -f" 1 — 5 9 — 
4 n — 1, départant n ZZ 15; nos 3 nombres font 15, 17, 11 ou 5 
efl parmi les divifeurs de non pas i, donc la formule 1 o ÏJ -j- 1 fera divi- 
fible par 5 9. 

Ces réglés font fondées fur un principe dont la démonftration n’efl: pas 
encore connue. 

Le plus grand nombre premier que nous connoiffions efl fans doute 

î’ 1 1 zz 1147483^47, que Fermât a déjà alluré être premier, de 

moi je l’ai auffi prouvé; car puifque cette formule ne fauroit admettre d’au- 
tres divifeurs que de l’une de ou de l’autre de ces z formes 148 n -j- 1 de 
148 n -f- ^3, j’ 3 » examiné tous les nombres premiers contenus dans ces 
deux formules jufqu’à 45339, dont aucun ne s’efl trouvé divifeur. 

Cette progreflion 41. 43. 47. 53. 5 i. 71. 83 - 97- 1 13. 131 &c. 
dont le terme général efl 41 — xx, efl d’autant plus remarquable que 
les 40 premiers termes font tous des nombres premiers. 


MÉTAPHYSIQUE. 

T ves confédérations que nous allons préfenter, font tirées du Difcours que 
M. Cochius prononça le jour de fon entrée à l’Académie, de qu’il fit rou- 
ler fur divers objets appartenans à la Philofophie, de particulièrement à celle 
de Leibnitç. 


des Sciences et Belles - Lettres. 


37 


Toutes nos connoiflances tirent leur origine desfens; de notre ame 
deftituée d’organes ne feroic pas plus capable d’exercer fa faculté de penferde 
d’en avoir une connoiflance intime, qu’un Arrifte privé d’outils le feroic 
d’exécuter les ouvrages de fon Art. Leibnitç a die que nous ne penferions 
pas même à la penfée, .fi nous ne nous rappellions certaines circonftances, 
ou particularités, que les fens nous fourniflènt. 

La certitude de nos connoiflances roule fur ces deux principes ; l’ex- 
périence, & l’identité ou la contradiéfion. 

Les premiers hommes qui fe font appliqués aux connoiflances, fe font 
contentés des vérités de J intiment . Peu à peu on eft allé plus loin. 

L’Hifloire marque trois âges de la Philofophie : f enfance , où l’on ne 
rendoit raifon que des premières connoiflances, acquifes par la voie du 
fentiment. Les Philofophes de ce temps -lit fe bornoient à exciter le 
même fentiment dans ceux à qui ils parloient; de pour donner quelque relief 
à leurs enfèignemens , ils les revêtoient des grâces de la Poéfte & de la Mu- 
fique. La jeunejfe efl le tems où l’on commença d’élever le fentiment à des 
idées plus claires ; où l’on abandonna le chant &c la poéfie; mais comme 
on fentit que les dogmes avoient befoin du fecours de l’éloquence, on l’em- 
ploya. C’étoic la méthode des Philofophes Grecs avant Arijlote ; ils atti- 
roient les efprirs à l’étude de la Philofophie par la manière éloquente avec 
laquelle ils I’offroient: mais cette route n’étoit nullement propre à conduire 
à la certitude & à opérer la conviéfion. Enfin, quand on vit que la Philo- 
fophie n’acquiert de réalité de de force qu’au moyen des définitions précifes 
de des démonftrations rigoureufos, on penfâ à lui donner la forme de Scien- 
ce: c’eft fon âge viril, qui offre bien des viciflitudes depuis Arifloie jufqu’ù 
Leibnitç, auquel on peut attribuer la gloire de l’avoir conduit à fa maturité. 

Le génie de ce grand -homme avoir réuni tout ce qui peut réfulter de 
la nature de de l’induftrie, de l’étude des Anciens de d’une méditation afli- 
due. Il pofledoit ces deux éminentes qualités, rarement jointes enfemble, 
la force de la vivacité du fentiftient, la profondeur de la folidité du ju- 
gement. 

e 3 


38 


Histoire de l’Académie Royale 


Quelques fccrets philofophiques qu’il a devinés, prouvent cette vivaci- 
té de fentiment à laquelle rien n’échappoir. Lors même que Tes recherches 
philofophiques le conduifoient vers un but déterminé, il ne laiffoit pas de 
faire, comme en pafTant, une infinicé de remarques, propres à répandre du 
jour fur d’autres matières intéreffantes. Tels font les doutes qu’il a propo- 
fés fur l’invariabilité de la révolution tant journalière qu’annuelle de la Terre, 
& même fur la caufe de la gravité: il propofa des méthodes pour découvrir 
les changemens qui y arrivoient, au cas qu’il y en eut. Dans la Botanique, 
il avoit déjà confeillé d’aflocier la méthode fexuelle aux autres. Il attri- 
buoit aux plantes quelque perception ou appétit, mais foible & fans faculté 
de réfléchir. Il avoit prédit qu’on trouveroit un jour des êtres moyens en- 
cre les plantes & les animaux; en un mot fon flambeau diflïpoit déjà des 
obfcurités que le tems a fait pleinement cefier. 

Sa profonde médication fe manifefte dans tout ce qu’il nous a laifle fur 
la Philofophie. Il avoit tellement perfeâionné ce talent qu’il trouvoic 
d’abord des facilités dans ce qui paroifloit le plus difficile aux autres; & 
que fouvenc auffi il appercevoic des difficultés dans ce que les autres trou- 
voient facile. Cela venoit de ce que, non content des apparences, il fon- 
doit & pénétroit toujours auffi avant qu’il lui étoit poffible. Dès l’âge de 
quinze ans, il avoit paffié des journées entières dans la folirude & au fond des 
bois, délibérant fur le choix qu’il feroit entre les différentes Seétes des an- 
ciens Philofophes. Par là il avoit tellement augmenté les forces de fon 
efprir, qu’il étoit capable de répandre une grande lumière fur les matières 
les plus profondes & les plus abflraites; il joignoic à cela les beautés de 
l’élocution; il avoit même le talent rare d’égayer de d’embellir les matières 
de méraphyfique, dont les plus fublimes ont pris, pour ainfi dire, entre fes 
mains un tour romanesque. Quand il tendoic vers quelque but, rien ne 
l’arrêtoic, & il ne fe laiffoit point décourager par des difficultés, commu- 
nément regardées comme infurmontables. ^ Sa longue expérience l’avoir 
mis au fait des précautions à obfervcr pour'faire des progrès & des décou- 
vertes. HYecommandoit enrr’autres fortement celle de ne pas trop accu- 
muler d’obfervations , dans le deffein d’étudier la Nature; un trop grand 


DÈS ScikNCES feT BfeLLBS-LETTKH*. 3^ 

nombre d’obièrvations, félon lui, ne rend pas les chofes plus explica- 
bles; au contraire il y répand de la confufion & embarraffe le rationnement. 
Ce n’efl pas la quantité, c’eft le choix judicieux, qui conduit au bon ufà- 
ge, aux applications importantes, aux découvertes d’un ordre diftingué. 
Newton n’a conftruit fes admirables théories que d’après un petit nombre 
d’expériences. 

Cet abus de multiplier les obfervations eft furtout ordinaire & préjudi- 
ciable dans les recherches pfychologiques, parce que c’eft peut-être la partie 
des connoifïànccs humaines où il eft le plus aifé d’obferver. Chacun, avec 
une médiocre attention, peut réfléchir fur ce qui fe pafle en lui-même & fur 
ce qu’il apperçoit dans les autres; mais il eft fuffifamment connu qu’au lieu 
d’expliquer ainfi la nature de l’ame, on ne fait qu’embrouiller cette doétri- 
ne. De là toutes ces facultés imaginées & diflinguées dans une fubflance 
fimplc telle que lame, tous ces inftinéts primitifs qui ne peuvent être rame- 
nés à aucun principe commun, 2c de la réunion desquels on croit pouvoir 
former la nature 2c. développer l'eflcnce de l’ame. 

Un autre précepte capital de la méthode Leibniticnne confiftc à pouffer 
fanalyfe des idées aufli loin qu’elle peut aller, & à ne pas s’arrêter tant qu’on 
voit le moyen d’arriver à une réfolution ultérieure. Cette analyfè exaéte 
peut feule mener finalement à une connoiflànce folide, vraie & certaine: 
c’eft elle qui dévoile l’intérieur des chofes, toujours caché à l’étude fupcrfi- 
cielle; fi l’objet de la méditation appartient à la claffe des vérités dérivati- 
ves, elle fait parvenir au principe primitif; s’il eft compofé, en le décom- 
pofant, on trouve que quelques-uns de fes attributs tiennent à une qualité 
primitive commune, ce qui diminue le nombre des déterminations eflèntiel- 
les, de bannit toute fuperfluité des définitions. L’examen de l’homme peut 
fervir à prouver qu’une analyfe exaéte, quand on a foin de la pouffer allez 
loin, mer.e à la connoiffance de la nature. En analyfant le corps, on -n’y 
trouve rien qui puifle fervir de prémifïè propre à faire conclure que l’homme 
eft doué de la faculté de penfêr. Cela fait voir qu’il faut ajouter à la 
matière & au méchanifme corporel un principe immatériel pour rendit 
«•aifon de la penfee &c de fes opérations. Alors la dilputc fur la queftion : 


4 ° 


Histoire de l’Académie Royale 


Si un corps organifé comme celui de F homme peut penfer , ou non ? fe 
réduit à une pure logomachie. Le corps penfera fi on lui aflocie le 

principe, la force qui fait naître la penfée: fans quoi il ne penfera pas 
plus qu’un infiniment de Mufique ne fera entendre un fon harmonieux , fi 
aucun Muficicn n’en joue ; mais l’homme penfera conformément à la nature 
de l’organifati'on & à l’état a&uel de la machine, comme le Muficien fera 
entendre une mélodie bonne ou mauvaife , fuivant que l’inftrument eft lui- 
même bon ou mauvais, bien ou mal accordé. C’eft ce qui a conduit 
Leibnit^ à l’hypothefe de l’Harmonie préétablie, que peu de perfonnes pren- 
nent dans le véritable fens de l’Auteur, qui favoit parfaitement que l’homme 
efi r/n, & non pas deux, comme les deux horloges de lluygens. Leibnit ç 
prétendoit que l’ame ne pouvant apporter aucun changement aux loix du mou- 
vement, ni le corps à celles de la Logique, tandis que neanmoins les mouve- 
mens du corps fuivent les volontés de l’ame, & réciproquement les impreflïons 
que le corps éprouve font tranfmifes àl’amc, il faut, pour comprendre lapofli- 
bilité de ce phénomène, fuppofer qu’il y a une harmonie entre les difpofi- 
tions de l’un & de l’autre; & que c’eft là le premier pas par où l’on remonte 
jufqu’à en trouver la raifon. K\of\ Leibnit^ n’a jamais penfé à nier un premier 
principe commun d’où dépendent tous les faits pfychologiques & mcchaniques 
que nous obfervons; mais il a déclaré qu’il n’entreprenoit pas de le définir. 

Une troifieme précaution concerne les différentes méthodes de procé- 
der dans l’analyfe des idées. Il y a deux méthodes principales, dont l’une 
fe rt à la décompofition des quantités & l’autre à l’analyfe des qualités : la 
première peut être appellée mathématique & la féconde logique. M. Co- 
chius a réfervé cette matière pour un autre Mémoire, fe contentant de re- 
marquer en deux mots, que les contradiétions fréquentes & inévitables dans 
les recherches fur l’Infini viennent principalement de la confufion des mé- 
thodes mathématiques, qui diminuent ou augmentent les quantités, & des 
méthodes philofophiques, qui analyfent les qualités. Quand ceux qui em- 
ploient ces méthodes veulent empiéter fur le terrain les uns des autres, il« 
commettent aifément les plus étranges bévues. La queftion des élémens 
éprouve le même fort, par la même raifon. 


Leibnit % 


des Sciences et Bbllbs-Lbttres. 


41 


Leibnit ^ a tracé une route où il eft très avantageux de marcher après lui: 
cependant Ta philofophie a le malheur de trouver plus de gens qui fe plaifent à 
la réfuter qu’il n’y en a qui s’occupent à l’étudier. Sans doute qu’on eft 
rebuté par fon tour laconique: car fouvent il Ce contentoit d’énoncer la pro- 
pofition qu'il avoit trouvée’, & d’en indiquer la raifon. Il faifoit comme 
un Surintendant des Bâtimens, qui donne l’idée de montre la place, laiflant 
les détails du plan de de la conftruâion aux Architcéfes fubalternes ; mais 
les Archite&es des fÿftemes philofophiques n’ont pas toujours bien fàifi l’idée 
du Surintendant. 

De nos jours le terme de philofophie a pris un fens équivoque: tantôt on 
entend par là le fimple bonfens, ou l’ufàge de la réflexion ; tantôt la fcience 
fondée fur des démonftrations. Ces deux fens doivent être employés à 
propos rélativement au but de aux circonftances. Il y a des occafions où 
les méthodes feientifiques feroient, pour ainfi dire, une trifte figure, de fe- 
roient tout à fait déplacées; mais en revanche, il y en a d’autres où le bon- 
fens le plus épuré, fans la fcience, ne va pas loin de ne fuffit pas. 


NAVIGATION. 

M • de Berniercs , l’un des quatre Contrôleurs généraux des Chauffées de 
Ponts de France, a fait parvenir à l’Académie un Mémoire qu’il a adreflè à 
plufieurs autres Academies de l’Europe, où il annonce une découverte qui 
a été depuis longtems l’objet de fes méditations de de fes recherches, de 
qu’il croit digne de lui mériter l’eftime des hommes. Elle confifle dans le 
moyen de conftruire un bateau, un bac, un paquebot, une chaloupe, en- 
fin tout bâtiment deftiné à porter des hommes fur les rivières, de même fur 
la mer, de côte en côte, ou dans des trajets de moyenne étendue, comme 
du Continent à une Ile, de réciproquement, d’un Royaume à un autre 
Royaume, dcc. de façon que les Navigateurs n’auront point à craindre 
que leur bâtiment foie fubmergé ni renverfé par les vents, les tempêtes, les 

177a. f 


Histoire de l’Académib Royale 


4 l 

orages, les trombes même 6c les typhons qui font fi redoutables pour les 
bâtimens ordinaires. 

M. de Bernieres a exécuté, fous les ordres de M. le Marquis de Marigny t 
qui les tenoic du Roi lui -même, un modèle de i 6 pieds de long fur 8 de 
large, calculé pour porter 5 maîtres, x rameurs 6c un conduéleur de gou- 
vernail. Le 5 de Septembre 1771, le Roi étant à Choify, M. de Ber- 
nieres eut l’honneur de lui préfenter ce batelet, qui fut mis à diverfes épreu- 
ves dont S. M. parut fatisfaice. Ces épreuves ont confifté à le furcharger 
avec des pierres en telle forte, que ne Iaiflant hors de l’eau que fa proue 6c 
fa pouppe, la riviere pafibic par deflus librement d’un bord à l’autre, fans 
que pour cela ce batelet ccfiat d être à flot; 6c en cet état plufieurs hommes 
auroient encore pu y monter. 

L’Inventeur avoit propofé enfuite de faire tirer dans les flancs du batelet 
X4 coups de fufil h grofles balles ou à lingots, lesquels auroient pu repré- 
fenter, proportion gardée, 14 coups de boulets de canon dans un bâti- 
ment plus grand, conftruit fur les mêmes principes & dans les formes que 
M. de B. prétend être en état de donner pour la mer. Le Roi préféra d’y 
faire percer 14 trous avec des tarières de 1 4 pouces de long fur un pouce de 
groflèur, qui y furent enfoncées jufqu’au manche. S. M. vit ces X4 trous, 
ainfi que toute la Cour, & on ne les a point fait reboucher: ce batelet c II 
depuis plus de deux ans fur la riviere, fans qu’il ait été néceflaire d’en pom- 
per une goutte d’eau. Si les chaloupes du Roi avoient paflc autant de 
temps fans être vuidées, elles auroient été plus de fix fois à fond; mais le 
bateler, en vertu de fa conftruétion , rend autant d’eau qu’il en reçoit, 6c 
ainfi il fc débarrafle de lui - même de l’eau qui fubmergeroit tout autre. 

Cette découverte, fuivant fon Auteur, intéreflè toutes les Nations, fon 
principe pouvant avec la même fureté s appliquer à une grande partie des 
conftruétions marines. Jufqu’à préfent M. de B. n’a eu en vue que la feule 
confcrvation des hommes, parce qu il ne met point de proportion entre leur 
vie ôc leur fortune. „Ce moyen, continue — c - il , tout nouveau, tout 
„naiflànt qu’il cft, 6c par confé quent bien loin encore de la perfection à la- 
quelle il peut s’élever 6c s’élèvera un jour, ce que le teras 6c la néceflïté 


O K S SciEWCES ET BEUES-LETTR ES. 


43 

„ amèneront; ce moyen me met dès à préfenc en état d’aflurer que je puis 
„conftruire, jufqu’à porter ioo hommes à la fois, avec les vivres, les 
„ agrès 6c les apparaux néceflaires à un trajet de plus de ioo lieues, fans 
„que ces hommes ayent rien à craindre des événemcns qui font périr les au- 
„tres bâtimens. Je ne connois que la vétufté qui puiiïè détruire mes 
„conftruâions; mais c’eft le fort de la Nature entière, duquel il n’eft pas 
„au pouvoir de l’humanité de fe garantir.” 

Ne pourroit-on point a/îigner une place à cette invention entre le 
feaphandre & le char volant? 


MÉDECINE EXE É RI M EN T ALE. 

Nous rapporterons ici dans toute fon étendue un Mémoire fur la méthode 
finguliere de guérir plufieurs maladies par l'EmphyJeme artificiel, envoyé à 
M. le ProfefTeur Meckel , pour être préfenté à l’Académie de la part de 
M. D. H. Gallandat, Membre de l’Académie Impériale des Curieux de la 
Nature, Membre de Tréforier de la Société Zélandoife des Sciences, Opé- 
rateur Provincial de Zélande, 6c Démonftrateur d’Anatomie, de Chirurgie 
6c de l’Arc des Accouchemens à Fleflingue. 

Il feroit à fouhaiter que les gens éclairés qui voyagent dans les pays 
étrangers, 6c furtout ceux qui y vont pour exercer l’art de guérir, fiflent 
une attention particulière aux différens moyens que les gens du pays mettent 
en ufage pour opérer la guérifon des maladies qui y régnent, 6c qu’après tn 
avoir acquis une connoidance exaéte, ils en fifTent part au Public. Ce fe- 
roit fuivre le confeil du Per e de la Médecine, qui nous recommande de 
n’avoir aucune honte d’apprendre des gens du commun des chofes qui peu- 
vent, quoique très fimples en apparence, donner lieu à faire des découver- 
tes importances dans l’art de guérir. L’inoculation de la petite vérole dont 
nous fommes redevables aux Circadiens, 6c l’ufage du Quinquina que nous 
avons appris des Sauvages du Pérou, font des preuves bien frappantes de 
l’utilité du confeil que ce grand homme nous a laide. En effet la plupart 

f x 


Histoire de l’Acadbmib Royaih 


44 

des meilleurs remedes ont été découverts par des gens qui ignoroient abfo- 
1 ument les réglés & la théorie de l’art. Il ne faut pas s’en étonner; l’expé- 
rience a été & fera toujours chez tous les peuples le meilleur des maîtres. 
La vraie théorie de l’art de guérir n’eft , dans bien des cas, qu’une confé- 
quence de l’expérience; & il ell très rare que la théorie, fans l’aide de quel- 
que expérience antérieure, réponde à tous égards à la pratique. 

Je me propofe de faire voir dans ce Mémoire, qu’il ne faut pas toujours 
rejetter la maniéré de guérir que des Peuples vivant dans la fimpliciré & la 
bafitfle mettent en ufage. Parmi les Peuples que l’on appelle Sauvages, 
les habitans de la Guinée font généralement reconnus pour tels. Cepen- 
dant la plupart des Voyageurs qui ont eu occafion de les voir de près, at- 
tellent qu’ils polTedenr plufieurs remedes falutaires qui nous font inconnus: 
& le Chevalier Des Marchais nous apprend qu’ils ont parmi eux des Méde- 
cins & des Chirurgiens, qui, fans être Lettrés ni Gradués, opèrent par des 
remedes fort fimples, dont ils ont foin de garderie fecret, des guérifons 
qui pourroient faire honneur à nos Efculapes d’Europe. (*) 

Ayant fait plufieurs voyages en Guinée en qualité de Chirurgien-Major de 
VailTeau, j’ai eu occafion d’y voir traiter plufieurs maladies par des remedes 
qui nous font inconnus. Celui que j’ai vu employer au Cap La Hou en 
1756, cl! certainement de ce nombre, de mérite peut-être autant par fa 
fingularité que par fa nouveauté, l’attention des gens de l’art. Voici de 
quoi il s’agit. Dans les marafmes, hypochondries, rhumatifmcs &c. quand 
les Chirurgiens du Cap La Hou voyent que les remedes ordinaires font ad- 
miniftrés fans fuccès, ils fonr, pour guérir leurs malades, une opération que 
j’appelle infufflation, ou Emphyfime artificiel. Elle mérite ce nom à jufte 
titre, puisqu’ils font à une 6 c quelquefois aux deux jambes du malade, avec 
un infiniment tranchant, une incifion à la peau qui pénétré jufqu’au tilfu 
cellulaire. Au moyen de cette ouverture ils portent un tuyau dans le tiflu 
cellulaire, par lequel en foufflant ils infinuent autant d’air que le malade 

(*) Dans fes Voyages 'en Guinée, publiés par près du même avis, & recommande fort la re- 
ts P. Labat, Tome I. p. i 31. Bosmann, Be~ cherche de ces fortes de remedes. 
fehryvinge van Guinée, a Deel, p. 7. eft à peu 


dés Sciences et Belles-Lettres. 


45 

peut fupporter, ou autant qu’ils le jugent à propos. L’air introduit de 
cette maniéré occafionne bientôt un Emphyfeme univerfel. Enfuite ils re- 
tirent le tuyau de la plaie, 6c ils la referment avec un emplâtre agglutinatif, 
compofé de plufieurs gommes & réfines & un appareil convenable. Im- 
médiatement après cette opération , ils donnent au malade une forte dofe 
d’une potion compoféc de fucs de plantes , de jus de limons , de poivre de 
Guinée & d’eau de vie; après quoi ils font courir le malade autant qu’il 
peut, 6c enfuite extrêmement fatigué, ils le font mettre au lit, où il efiiiie 
une fueur copieufe. Ils continuent à lui donner trois ou quatre fois par 
jour une forte dofe de la potion fusdite jufqu’à ce que l’enflure foit paffée ôc 
que le malade fe trouve guéri. L’enflure ou le gonflement occafionné par 
l’air infinué dans le tiflu cellulaire, commence ordinairement à diminuer le 
troifieme jour ; & elle elfc totalement dilfipée vers le 9 e , 10 e , ouii r jour. 
Quelquefois le Chirurgien efl: obligé, pour obtenir la parfaite guérifon du 
malade , de faire une fécondé fois l’opération ; mais cela n’arrive que très 
rarement. 

Voilà ce qui m’a été communiqué au fujet de cette opération fingulie- 
re, par un Chirurgien Ncgre, qui l’avoit fouvent pratiquée avec beaucoup 
de fuccès: j’ai vu une Négrellè, le lendemain après qu’il lui avoit fait cette 
opération, dont tout le corps (excepté la plante des pieds 6c la paume des 
mains) étoit encore gonflé par l’emphyfeme univerfel : & lorfque j’en tou- 
chois quelque partie, j’entendois un bruit femblable à celui que fait un mor- 
ceau de parchemin fec quand on le preffe : j’ai parlé à plufieurs Negres à qui 
l’on avoit fait depuis longtems cette opération , 6c je n’en ai vu qu’un feul à 
qui on l’avoit faite pour la fécondé fois. 

Je crois que cetre opération a été jufqu’à préfent inconnue en Europe, 
ou du moins qu’elle n’y a jamais été pratiquée pour guérir ou pour prévenir 
quelque maladie. Le traitement après l’opération a quelque rapport avec 
celui des Tartares, furtout la maniéré de faire courir 6c fatiguer le malade. 
Lorfque les Tartares fe trouvent incommodés, dit le Chevalier de Polignac , 
on fait ouvrir la veine à un cheval, 6c on fait boire le fang tout chaud au 
malade: enfuite on fatigue beaucoup le malade, foit en le faifant courir 

f n 


Histoire de l’Académie Royalh 


46 

autant qu’il eft pofliblc, ou bien en le faifant galopper à cheval. Lorfquc 
Charles XII étoit à Bendcr, les Suédois de fa fuite n’ayant point de Chirur- 
giens pour les fecourir dans leurs maladies, firent ufage de ce remede & s’en 
trouvèrent bien. 

L’opération que les Scythes avoient coutume de faire aux jumens 
pour leur faire venir une plus grande quantité de lait, a beaucoup de 
rapport avec l’Emphyfeme artificiel des Negres. Hérodote rapporte, au 
commencement de fon quatrième Livre, intitulé Melponiene , qu’ils pre- 
noient des tuyaux, les introduifoient dans les parties génitales des jumens, 
& inlinuoient l’air dans ces parties en foufflant avec la bouche. Cette in- 
fulHation , difent-ils, fait gonfler les veines des mammelles, & produit 
une fécrétion abondante de lait. 

Qu’on puifle introduire de l’air de dehors en dedans, & enfler ainfi 
tout le tiflu cellulaire, c’efl: ce que n’ignorent pas bien des mendians qui fe 
font ainfi des maladies effrayantes par l’afpect, dans le de.Tein d’attirer des 
aumônes des pafllins. Hildanus entr’aurres en rapporte un exemple fingu- 
lier, Cent. III. Obfcrv. 18- Les Bouchers ulent du meme artifice pour 
donner à leurs viandes un coup d’œil féduifant. Les Payfans, au rapport 
de M. Mauchart, (*) fe fervent quelquefois du même moyen pour engraif- 
fer en peu de temps les bœufs qu’ils veulent vendre, ou pour tirer de leurs 
vaches une plus grande quantité de lait. Us font, comme il l’a appris 
d’eux, une ouverture à la peau, laquelle ouverture pénétré jufqu’au tiflu 
cellulaire; après y avoir infinué un peu d’air, ils la referment enfuite. 
Les deux ou trois jours qui fuivent cette opération, l’animal efl trifle & 
comme malade; mais la gayctc & l’appétit lui reviennent, ôc en fix femai- 
ncs il cngrailfc prodigieufement. (**) La même opération faite à une va- 
che lui fait donner une plus grande quantité de lait: il y a tout lieu de croi- 

(*) Dijfrrcatio meJica d: Emph.yftmate , i/uam même Ouvrage rédigé en Fnnçois, T. I. p. 171. 

l’r.TjiU Jo. Henr. Schultre P. P. tuebu-.ur Car. (**) Un de mes amis, qui n’eft ni Médecin ni 
Chrift. Pufch, Lignice'./ls , Haie, menfe Sepcem- Chirurgien, m’a nulïi attiré que cette même mé- 
bn, anno îyjj. Elle fe trouve d ms Haller , Col- thode d'engraifler les bœufs fe pratique dans 
U3. TheJ Med. Ciirurg. Tome IJ , & chns le quelques contrées du Dannemarc. 


des Sciences et Belles-Lettres. 47 

re, dit M. Mauchart , que l’air infinué de cette façon 6 c déployant fon r ef- 
fort, excite & provoque les fécrétions. 

Je conclus de ce que je viens d’alléguer; i°. Que quoique les Auteurs 
ne fafîent pas mention de l’Emphyfeme artificiel, dans leurs Traités des 
Opérations chirurgicales, il n’efl: pourtant pas tout à fait inconnu; x°. Que 
cette opération n’eft pas fort douloureufe, (*) ni dangereufe, puisqu’il n’eft 
pas apparent que les mendians qui font ufage de cet artifice, vouluflent fe 
foumettre à de grandes douleurs; & que, fi elle étoit dangereufe, les pay- 
fans n’y rifqueroicnt pas leurs bcftiaux; 3 °. Quelle eft d’une grande utilité 
pour engraifier les bœufs & pour faire donner aux vaches une plus grande 
quantité de lait; 4 0 . Que fi cette opération eft d’une grande utilité dans ces 
cas, parce que l’air infinué de cette façon en déployant fon rcflort excite 6c 
provoque les fécrétions, on a tout lieu de croire qu’elle peut être utile dans 
plufieurs maladies qui attaquent le corps humain, 6c que par conféqucnt elle 
mérite l’attention de ceux qui exercent l’art de guérir. 

On m’objeélera peut-être que, quoiqu’il l'oit très aifé de concevoir la 
facilité que l’on a d’introduire l’air infufflé dans les plus petites parties du 
corps, à raifon des cellules grailfeufes qui répondent les unes aux autres, il 
fera toujours très difficile d’expliquer comment cet air introduit procure la 
guérifon, d’autant plus que les malades atcaqucsd’Emphylème univerfel àl’oc- 
cafion de quelque plaie au poumon, en font ordinairement morts. L’in- 
fuffiation, au lieu d’exciter 6c de faciliter les fécrétions, pourra au contraire 
les fufpendrc. L’air introduit dans toutes les petites cellules cil un corps 
étranger qui doit néceftairement faire diminuer toutes les fécrétions, rallcn- 
tir la circulation, gêner toutes les fonctions, & par conféqucnt cailler la 
mort, comme on peut le voir par des Oblcrvations de M. Littré inférées 
dans les Mémoires de l’Académie Royale des Sciences de Paris, par cell'es 
de Bartho/in , dans fes Hiji. Anat. rar. 6c de plufieurs Auteurs célébrés. 

(*) Elle eft certainement bien moins doulou- tenu, dans un Livre intitule Mélangés Je Qurur- 
reufi que la c lutérifition &: l’application du gie, a fott préconifé cette tr.anitre de brûler, 
More recommandées contre des douleurs ancien- qu’il voudrait remettre en vogue. Certainement 
nés & opiniâtres, contre li goutte, & auxquelles l’E.'.iphyfeme artificiel n’en aura pas les incunvé* 
plufieurs perfonnes fe font fouiuifes. M. Pou- niens. 


48 


Histoire de l’Académie Royale 


Je répons à cette objection fpécieufe, que je n’ignore pas que les gran- 
des plaies du poumon font abfolument mortelles; quoique d’un autre côté 
on trouve aufli, dans les Auteurs, des Obfervations qui montrent que des 
plaies au poumon ont été guéries; mais elles étoient ou légères, ou à por- 
tée d’être panfées par un Chirurgien. 

Dire que l’Emphyfeme univerfel eft la caufe de la mort de ces malades, 
c’eft, fi je ne me trompe, confondre l’effet avec la caufe : car l’Emphyfeme 
furvenu en conféquence de quelque bleflure au poumon, n’eft qu’un fÿmp- 
tôme occafionné par la léfion de cet organe. Si l’on veut fe donner la pei- 
ne de feuilleter les Auteurs, on trouvera des cas de malades guéris d’un Em- 
phyfemc furvenu en conféquence d’une plaie légère au poumon, 6c il y a 
peu de Chirurgiens d’Armée qui n’ayent vu de pareilles guérifons; d’où il 
réfulte que ces malades ne font pas morts de l’Emphyfeme, mais de la plaie 
au poumon. Audi le favant M. van Swieten dit dans fes Commentaires fur 
les Aphorifmes de Bœrhawe: „Lorfqu’à la fuite d’une plaie à la poitrine le 
„ malade meurt, 6c qu’après l’avoir ouvert on trouve le poumon bleffé, on a 
„raifon de dire aux Juges que cette plaie a été la caufe de fa mort, quoique 
„des plaies au poumon ayent été quelquefois guéries.” 

Que l’Emphyfeme univerfel 6c artificiel opéré fuivant la méthode de* 
Nègres ne foit pas mortel, c’eft: une chofe dont chaque perfonne peut fc 
convaincre par des expériences inconteftables fur les animaux. Je les ai 
répétées plus d’une fois en mon particulier, 6c en préfence de pluficurs gens 
de l’art, 6c je ne fuis pas le feul: un de mes amis (M. Negre , célébré Chi- 
rurgien 6c Accoucheur à Middelbourg,) qui n’éroic point du tout de mon 
opinion fur cette opération, en a aufii fait plufieurs expériences fur des 
chiens; 6c ce n’eft qu’après des faits bien confiâtes qu’il a changé d’avis. 
Voici ce qu’il me marque fur ce fujer. 

„ Je fuis aéluellement d’un autre fentiment que jen’étois avant que j’euffe 
„ fait les deux expériences de l’infufilarion. Comme mes propres expérien- 
ces m’ont convaincu, il faut bien être du vôtre: cette opération pourra 
„ devenir utile au genre humain; mais elle exige encore du tems avant que 
,, d’être en vogue. Pour vous dire vrai, dans le commencement je craignois 


des Sciences et Belies-Lettkhs. 


4 9 

„fort pour la réuflice; mais aéfuellement, fi j’avois occafion de la mettre en 
„ufage, je naurois pas peur delà propofer le premier. . Et dans une 
autre Lettre: „Je viens de faire pour la troifieme fois l’expérience de l’in- 
„fufflation fur le chien qui a été le fujet d’une fécondé expérience. J’ai fait 
„Ia plaie comme à l’ordinaire avec un biftouri, après quoi j ’y ai introduit un 
„fouffler, (parce que je n’avois pas affez d’air dans mes poumons pour pouf- 
fer l’infufflation jufqu’au degré que je m’étois propofé,) au moyen duquel 
„j’ai inlinué l’air jufqu’au point que l’animal étoit d’une énorme grofleur. 
„ Pendant le tcms de l’infufflation le chien n’a fait aucun mouvement pour 
„ s’échapper, 6c il ne faifoit aucun cri. Le fcul lien dont je me fuis fervi 
„ étoit mon mouchoir autour de fa tête pour lui couvrir les yeux; fes pattes 
„étoient libres; d’où il réfulte que l’infufflation n’eft pas douloureufe; car 
„fi elle l’étoir, l’animal auroit fait tout fon pofflble pour s’échapper, & il au- 
„roit fait des cris affreux. Après l’opération j’ai laiffé la plaie aux foins de 
„la Nature; j’ôtai le mouchoir de fes yeux 6c je l’appellai; il fauta de la ta- 
„b!e fur laquelle je l’avois mis, avec une vivacité furprenante. Il lécha la 
„ plaie, après quoi je lui donnai une tranche de pain qu’il mangea dans 
,,1’inftant, 6c cnfuite une écuelle de lait qu’il a d’abord avalée. Après tout 
„cela je l’ai fait aller en rue, où il couroit fans difficulté après les autres 
„ chiens, mais il fe fecouoit fort fou venr. Voilà en abrégé le réfultat de 
„de cette expérience: je ferai charme fi elle peut aider à juftifier cette opé- 
ration.” 

Après le détail de cette expérience, il feroit fuperflu d’en rapporter 
d’autres. Il fuffit de faire remarquer que dans toutes les épreuves que M. 
Nègre de moi avons faites fur des chiens, le gonflement occafionné par la 
préfence de l’air contenu dans le tiffu cellulaire de tout le corps, a commen- 
cé à diminuer le troifieme jour, 6c qu’il a été tout à fait diflipé le onzième 
jour après l’opération. 

Quant à la difficulté d’expliquer comment l’air introduit par l’infuffla- 
tion fuivant la méthode des Negres, produit la guérifbn, elle ne me pa- 
roit pas grande. Voici comment je conçois les bons effets de cette opé- 
ration. 


Jhjl. 1771 . 


g 


50 Histoire de l’Académie Royale 

L’air élaftique infinué dans le tifTu cellulaire comprime, irrite 6c aug- 
mente la tenfion des vaifleaux, en partie comme corps étranger, 6c en par- 
tie parce qu’il Ce raréfie par la chaleur en déployant Ton reflbrt ; ce qui doit 
faire augmenter l’aAion diminuée des vaifleaux, 6c par conféqucnt accélérer 
la circulation rallentie du fang; ce qui doit aufTi provoquer les fécrétions 6 c 
les rendre plus abondantes. Cette explication me paroit trop (impie & trop 
plaufible pour n ’étre pas la vraie. Audi n’ai -je pas balancé, d’après ce rat- 
ionnement & les expériences ci-defliis mentionnées, de concilier à plu- 
(ieurs Chirurgiens de vaifTeaux qui vont en Afrique, d’en faire des épreuves 
fur des Negres lorfque l’occafion s’en préfeateroit ; 6c j’ai eu la fatisfaéHon 
d’apprendre que cette opération a été faice avec tout le fuccès poffible à un 
Negre en 1763 , par M. Takkemberg , Chirurgien -Major du VaifTeau de 
Chrijlophle , à la rade de Malembo, fur la côte d'Angola en Afrique. Voici 
le précis de cette obfervation, qui eft inférée dans les Mémoires de la Socié- 
té Hollandoife des Sciences établie à Harlem , Tome VIII. Part. H. 

Un jeune Negre, âgé d’environ dix ans, fe plaignit le 1 6 Avril 1 763 
d’un mal de côté accampagné de toux, de fievre 6c d’une refpiration gênée. 
M. Takkemberg crut que le malade étoit attaqué, finon d’une vraie, au 
moins d’une faufïè pleuréfie. Il le faigna deux fois, 6c lui adminiftra les 
remedes que l’art preftrit dans ces fortes de maladies, qui firent diminuer la 
fievre, le mal de côté 6c l’embarras de la poitrine; mais le malade Ce plaignit 
après, que les douleurs fe répandoient par tout le corps; il lui fit faire ufage 
des remedes indiqués en pareil cas. Le malade fut attaqué le troifieme jour 
d’un roidiflement contre nature, qui fe répandit & Ce fixa par tout le corps 
6c dans les extrémités. Les remedes internes 6c externes furent admi- 
niftrés félon les réglés de l’art; les bains, les véficatoires, les friétions 6c les 
linimens convenables ne furent pas oubliés, mais fans procurer le moindre 
foulagcmcnt; au contraire, le roidifTemcut prit tellement le deflus 6c aug- 
menta au point que le malade ne pouvoir plus faire ufage de remedes inter- 
nes; à peine pouvoit-il fucer un peu d’eau entre les dents fermées; tout 
(on corps devenu rigide de inflexible refTembloit à un cadavre gelé; la pa- 


rôle devint inintelligible; les Ievres fe couvrirent d’une croûte brune, & ce 
qui découloic de fa bouche avoir une odeur cadavéreufe. 

, Tel étoit l’état de ce Negre le 19 Avril, treizième jour de fa maladie. 
On le crut perdu, & le Capitaine du vaifTeau trouva fort ridicule lorfque le 
Chirurgien lui demanda la pexmi/fion de faire lepreuve de l’Emphyflme ar- 
tificiel à ce mourant. Cependant, après lui avoir fait obferver qu’il n’y 
avoir rien à rifquer, & qu’il valoir mieux employer un remede incertain que 
de ne rien faire, là demande lui fut accordée. En conféquencc, il Ce fit 
d’abord faire un ruyau de cuivre armé d’une embouchure de bois à un bouc 
& rondelet à l’autre. Après avoir placé le malade (qui depuis cinq jours 
n’avoit rien pris qu’un peu d’eau) d’une maniéré coçvenable pour faire 
l’opération, il fit une incifion proportionnée au calibre du tuyau, dans la 
partie moyenne & interne de la jambe; & ayant introduit le tuyau environ 
deux travers de doigt fous la peau dans le ciflu cellulaire, il commença à 
foufiier en ferrant en même tems les bords de la plaie avec les doigts pour 
empêcher l’air de reflorrir. On voyoit l’air s’infinuer en faifant de petites 
bofl'es dans lesquelles on pouvoic fentir & remuer l’air infufflé. En conti- 
nuant à foufîler il vint à bout de faire non feulement que la jambe jufqu’aux 
orteils, mais au/Ii que tout le corps en fut enflé, de façon que l’emphyfeme 
étoit univerfel. Après avoir retiré le tuyau, il appliqua un plumaccau avec 
un peu de baume de Pérou fur la plaie, & par defîus un emplâtre, une 
compreflc & une bande aflez ferrée pour empêcher l’air de fortir. Une 
heure après l’opération, le malade commença à revivre; il demanda un 
fruit nommé Banane, qu’il fuça entre fes dents, & le lendemain il fe trouva 
en état d’ouvrir la bouche. Comme il fe plaignoic d’une crudicé de poitri- 
ne, on lui fit prendre plufieurs jours de fuite un Linclus ou Lohoc peétoral; 
l’appétit revint: la rigidité des membres diminua à mefure que l’emphyfeme 
fe dilfipoit, & le malade reprit en peu de temps, au grand étonnement des 
gens de l’équipage, fa f'anré & fon embonpoint; & il a éré vendu à Suri- 
nam en bon état & à bon prix. J’ai appris depuis, que ce Ncgre étoit en- 
core en vie en 17 6 y. 


5 * 


Histoire de l’Académie Royaib 


Voilà une expérience bien conftatée d’un bon fuccès qui n’eft pas équi- 
voque. J’ai l’original de cerce obfervation en main , il eft ligné par le Ca- 
pitaine du vaifleau & par le Chirurgien qui a fait l’opération; de plus, j’ai 
parlé à plufieurs perfonnes de l’équipage qui en ont été témoins oculaires. 

Je fai aufli de bonne parc que cette opération a été faite depuis ce tems- 
là à deux Negres à bord du vailTeau qui eft arrive ici l’année paffée (1771); 
mais je n’en ai pu avoir le détail, attendu que le Chirurgien qui les a faites, 
eft venu à mourir quelque temps avant l’arrivée du Vaifleau. Tout ce qu* 
j’en ai pu apprendre des gens de l’équipage, c’eft qu’elle a très bien réufli 
A un Negre attaqué de marafme, & que le fujet à qui on a fait l’autre opé- 
ration, étoit feorbutique, ôc qu’il eft mort quelques jours après l’infuf- 
flation. 

Ces faits qui font autant de preuves décifives qui établiflent la poffibili- 
té de l’opération, ne doivent cependant être regardés que comme des maté- 
riaux encore bruts, ou comme des mafles informes. Des expériences mul- 
tipliées pourront feules fixer nos doutes fur l’efficacité de cette nouvelle mé- 
thode; ce n’eft que du temps quelle peut attendre ce qui lui manque, 
comme par exemple de pouvoir déterminer la quantité d’air qu’il faut infi- 
rmer dans le tiftu cellulaire, attendu qu’il y a toute apparence que cela doit 
varier fuivant la maladie, l’état, le tempérament, l’âge & les forces du 
malade. D’ailleurs, il eft à préfumer qu’une perfonne eft plus facile à in- 
fùfller que l’autre; que l’exercice après ^opération eft d’une grande utilité; 
& que lorfqu’il ne peut pas avoir lieu, on pourroit peut-être y fubftituer 
les friétions chaudes, &c. 

Malgré ces doutes, il me femble que l’on peut conclure de tout ce que 
je viens de dire dans ce Mémoire, que l’emphyfeme artificiel eft une opéra- 
tion chirurgicale qui mérite l’attention des gens de l’art; c’eft une nouvelle 
reftource qu’on pourroit employer en Europe dans plufieurs maladies chro- 
niques, & dans celles dont le tiftu cellulaire eft le fiege. Son efficacité 
dans k marafme femble être prouvée, tant par l’engraifiement des animaux 
à qui l’on a fait cette opération, que par le bon fuccès qu’elle a chez les Ne- 
gres; & il y a tout lieu de croire qu’elle eft très propre à guérir les aftèdions 


DKS SciKKCHS HT BeUES-LèTTRBS. 


53 

rhumatifmalcs, en particulier dans la feiatique & dans tous les cas où l’hu- 
meur rhumatifmale eft fixée dans quelque endroit. Quoique cette hu- 
meur foie un fluide d’une nature qui nous eft encore inconnu, nous pou- 
vons préfumer, comme le remarque M. Pouteau , quelle eft d’un caractère 
âcre, & meme quelquefois cauftique. Il n’eft pas douteux qu’elle cft hors 
des voies de la circulation, puifqu’elle refte fixée dans le meme endroit; 
elle n’eft donc pas dans les vaiflèaux, mais répandue dans le tiflu cellulaire. 
Cette humeur devient plus âcre lorfqu’elle eft fixée dans le même endroit, 
que quand elle eft errante, tant par fa ftagnadon que parce qu’elle eft raf- 
fembléc dans un moindre efpace: alors fon impreftion acrimonieuïè irrite Ici 
fibrilles nerveufes & caufe de cruelles douleurs; cette même impreftion fur 
les cellules que cette humeur occupe, en affoiblit la contexture &c les mec 
hors d’état de Ce débarrailcr de ce fluide étranger. Or, dans ce cas, J’Em- 
phyfeme artificiel me paroit être un moyen efficace pour aider la Nature à 
fe débarrafler de ce fluide rhumatifinal, en provoquant les fécrëtions par le 
méchanifme que j’ai expliqué ci-devant; & l’expérience faite par M. Tek - 
kemberg ù ce Nègre, fur qui tous les autres remedes que l’Art preferit ont 
été infru&ueux, femblent prouver ce que j’avance. 

Puiftènt de nouvelles expériences diriger nos doutes, & nous faire con- 
noître toute l’efficacité de cette nouvelle méthode ! 

# # 

* 

On a vu dans le Volume précédent, p. 33 - fl uc M- T. Guinâant , Mé- 
decin de Paris, avoit fait préfenter à l’Académie, dans fon Aflemblée du 
ii d’Avril 1771, un Ouvrage de fa façon, intitulé Expoftion des varia- 
tions de la Nature dans F cfpccc humaine , où Fon demande fi , pofées les Loix 
naturelles les plus générales fur lesquelles portent F ordre 6 ' Fharmonie du Corps 
humain, la Nature peut quelquefois s'en écarter. M. le Confeiller de Fran- 
che\nlle s’étoit chargé de rendre compte de cet Ouvrage, dont il a lu en ef- 
fet l’Analyfe dans I’Aflemblée du n Mars 1772.; & enfuite il a inféré cette - 
Analylc dans fa Gaqette Littéraire du 6 &c 1 3 Avril fuivant, N. CCCCXU^ 
& CCCCXX, auxquels nous renvoyons. 

■■ ■ » 


Histoire de l’Académie Royaib 


?4 


OUVRAGES, IMPRIMÉS 

OU MANUSCRITS, MACHINES ET INVENTIONS, PRÉSEN- 
TÉS A, L’ACADÉMIE PENDANT LE COURS DE 
L’ANNÉE 177 z. 

ï~)gns rAflembléc-du 7 Jaqvier, le Secrétaire perpétuel a remis un Projet, 
d' Écriture univerfelle envoyé .par M. l’Abbé Maudru. 

Le 1.6 Janvier* I e Tecond Volume de l ’ Abrégé chronologique de FHiJloi- 
re de Bourgogne, par M. Mille , a été préfenté avec une Lettre de l’Auteur à 
l’Académie, qui a été lue. 

M. le Profeflèur de Cajlillon a préfenté le meme jour de la part de 
l’Académie de Pife, des Objervations Agronomiques , ôc une Théorie des 
Gometes en Latin. 

M. le Dircèteur Merian a propofé, de la part d’une Société d’Acadé- 
miciens qui veulent publier un Journal, qu’il leur foit permis de prendre au 
titre la qualité de Membres de l’Académie: ce qui leur a été accordé. 

Le 3.0 Janvier, M. Bernoulli, a lu une Lettre de M . Pekko Davila, qui 
promet d’envoyer des Curiofités naturelles à l’Académie, & une Lettre de 
Pologne qui contenoit des particularités littéraires. 

S. M. la Reine de Suède a fait préfent à l’Académie d’un beau portrait 
de M. La Crnçe, fait par le célébré Peintre Pefne. II a été remis le 10 
Février; & M. le Comte de Redern s’elt chargé des très humbles remercî- 
mens de l’Académie. 

Le z 7 Février, le Sécrctaire perpétuel a remis une Quadrature du Cercle 
envoyée par un Négociant Allemand de Breslau. On fait mention de ces 
envois pour montrer que cette chimère roule encore dans bien des cerveaux 
d’où il n’y a pas moyen de la déloger. 

Le 5 Mars a été lue une Lettre de S. M. adrcïïce à l’Académie enticre, 
en réponfè à celle que Lui avoient écrite quelques Académiciens en Lui en- 
voyant le Profpeétus de leur journal Littéraire. 


»KS S&IBNCES li-T li EUES-Le.TTHHS. 


5 5 


M. Ic Profcfièur Toujfaint a demandé^ ce Journal pourrait prendre le 
titre à' Académique : la négative a prévalu. 

Le 2 Avril, le Secrétaire perpétuel a pré/enté Je Tome I. des Anti- 
quités de Mayence en Allemand, envoyé à l’Académie par Ton Auteur, Je 
Pere Ftkchs . ' .•'■■■■ 

Le 30 Avril, le même a remis un Mémoire de M .de Bcrnieres , fut l’art 
de conftruire des Vaifîcaux qui ne puiffent être fubmergés. - (Voyez ci- 
dtflus.) M. Lambert s’eft chargé de l’examiner, & a fait fon rapport dans la 
féancc fuivante du7 Mai. , 

Le 1 4 Mai, on a encore reçu une 'Quadrature du Cercle , & une Let- 
tre Allemande fur les manufactures de toile peinte. 

Le 2 1 Mai, M. Bernoulli a présenté le Tome II de fon Recueil pour les 
Ajlronomes. 

Le 18 Juin, le Secrétaire perpétuel a exhibé un Ordre du Roi, en- 
joignant l’examen d’une Diflerration imprimée de M. de Kcesfeld , fur un 
Moulin à élever l’eau. MM. de la Grange ôc Lambert s’en font chargés. 

— un autre ordre de S. M. concernant des pillules hydragogues, fpé- 
cifique contre l’hydropifie, propofe dans un Ouvrage de M. Janin. M. le 
Confeiller privé & premier Médecin Cothenius s’efl chargé d’en faire rapport. 

un Ouvrage Espagnol fur la conftruéKon des Vai/Ièaux, envoyé à 

l’Académie par fon Auteur, Dom George Juan, Commandeur tï Aliaga. 

Le 15 Juin, le Secrétaire perpétuel a préfenté une Lettre de M. Gal- 
landat , Démonftrateur d’Anatomie à Fleffingue, accompagnée d’un Mé- 
moire fur les cures qu’on peut opérer par l’Emphyfeme artificiel. (Voyez 
ci - deflus.) M. le Directeur Marggraf s’ efl chargé d’examiner ce Mémoire 
& d’en faire rapport. 

M. le Dircâeur de la Grange a rendu compte de la Machine hydrauli- 
que de M. Kcesfeld; de M. le Confeiller privé Cothenius des pillules hydra- 
gogues de M. Janin. Le précis de ces deux rapports a éré envoyé à S. M. 

Le 9 Juillet, le Secrétaire perpétuel a remis une Lettre Allemande 
écrite de Cologne, avec le projet d’une nouvelle Feuille périodique, de l’or- 
dre de celles qu’on nomme Billets d' Intelligence. 


Histoire de l’Académie Rotale 


Le io Août, le Secrétaire perpétuel a fait rapport qu’il avoit reçu d.- 
part de M. de Soççy une Brochure imprimée qu’il envoie à l’Académie , 
de la part de M. Court de Gebelin le Programme de l’Ouvrage qu’il a cm 
pris, & depuis publié. 

Le z -j Août, l’Académie a reçu deux Écrits de M. Gardant , l’un ‘ 
primé, 1 autre manuferir, fur la gonorrhée 6* le mal vénérien. 

Le 3 Septembre, M. le Diredeur de la Grange a rapporté que le . 
Garrone lui avoit écrit de Turin, qu’il avoit trouvé le fecret d’une cire h!n 
dont il a préfenté un échantillon. 

Le io Septembre, le Secrétaire perpétuel a remis une Lettre & 
Imprimé Jur la Quadrature du Cercle , envoyés de Scettin par M. Klocko 
M. Lambert s’eft chargé du rapport. 

M. le Diredeur Merian a lu une Lettre concernant le Microfcope 
M. Dellebarre , dont on propofe à l’Académie de faire I’acquifition. • 
Clafles de Phyfiquc & de Mathématique font convenues de s’entendre 
ce fujet. 

Le i 7 Septembre, le Sécretaire perpétuel a communiqué la découvo 
faite à Irkutqk, des parties du fquélete d’un Rhinocéros. 

M. le Profciïcur de Cafillon a rendu compte de quelques Ouvruw 
envoyés h l’Académie par M. David , Profefleur de Chirurgie à Rouer 

M. Lambert a fait le rapport de l’Écrit du Sr. Klockow fur la Quadrxi. 
re du Cercle. 

Le i Odobre, on a préfenté à l’Académie une féringue pour les incci 
dies, d’une nouvelle invention, avec un Mémoire deftiné à l’expliquer. I 
tout a été envoyé au Dircdoire général. 

M. le Diredeur Merian a lu une Lettre du Diredoire général, qui pi 
l’Académie d’examiner une terre dont il envoie un échantillon. M. le D 
redeur Marggraf s’eft chargé de cet examen. 

Le Sécretaire perpétuel a remis un Avis fur un Diclionnaire de NobleJJ 
en Allemand, qui eft fous prefte: 

— une Lettre & un Mémoire de M. Gariot fur les Longitudes. ù 
le Diredeur de la Grange s’eft chargé d’en rendre compte. Il s’en eft 

oui ï I • 


oes Sciences et Belles-Lettres. 


57 

quitté dans la féance fuivanre, & a dit que ce Mémoire ne méritoic aucune 
attention. 

Le i 5 O&obre, M. le ProfefTeur deCaJlillon a lu un extrait d’une Let- 
tre de M. Hahn , ProfefTeur d’Utrecht, qui rend le témoignage le plus 
avantageux au Microfcope de M. Dellebarre. 

Le zz Oélobrc, M. le ProfefTeur de Cajlillon a encore fait leéture d’une 
autre Lettre du meme ProfefTeur, où il s’agifToit de TaccroifTement du poids 
d’un pyrophore, dans le rems où il brûle. 

Le 5 Novembre, M. le Directeur Merian a été autorifé par l’Académie 
à faire venir le Microfcope de M. Dellebarre. 

M. Lambert a préfenté l’Oraifon funebre de M. Kowalewski , favant 
ProfefTeur de Kœnigsbcrg. 

Le n Novembre, le Secrétaire perpétuel a remis le Recueil des Pièces 
du Procès de M. Luneau de Boisjermain contre les Libraires -Imprimeurs de 
l’Encyclopédie. 

M. le ProfefTeur de Cajlillon a préfenté un defïin du Microfcope de 
M Dellebarre , avec l’explication. 

M. Bernoulli a remis , de la part de M. le ProfefTeur Kcefiner , un Vo- 
lume Allemand, contenant des Mémoires d’Affronomie. 

Le 7 Décembre, M. Bernoulli a lu un Avis publié par un Chymifte de 
Parme. 

Les Obfervations AJlronomiqucs , faites à Pétcrsbourg par M. Jean 
Albert Euler , ont été préfentées régulièrement tous les mois à l’Acadé- 
mie par le Secrétaire perpétuel, qui a fait parvenir réciproquement à M. 
Euler les Oljcrvations AJlronomiques faites à Berlin par M. Beguelin. 

•C — .J — y 


Illfi. 177 a. 


58 


Histoire db l’AcadiSmib Royau 


...... ■■-■■-rrr-v . :■ . ■ ■■■ ■■-jt.- , u... .. 9 

ÉLOGE 

D E 

M. A C H A R D. 


A NTOINE ACHARD naquit àGcncvelc 21 Décembre 1 6y6. 

v. ft. Son pere, fils d’un Minifire du Dauphiné, s’y étoit retiré peu 
de tems après la révocation de l’Édit de Nantes, & y avoit époufé Anne 
Pinault , fille d’un des plus rcfpcétablcs Pafteurs de l’Églife de Geneve, & 
d’une famille originaire du Poitou. 

Le jeune Achard marqua de bonne heure du penchant pour l’étude; & 
fon pere lui fournit avec plaifir tous les moyens de s’y appliquer & d’y 
réuffir. Après avoir achevé la carrière des Humanités, il fit fon Cours 
de Philofophie , & foutint en 1712 avec fuccès une Thefe publique fur 
le bonheur. Il l’avoit lui -même compofée; & le choix du fujet fem- 
bloit être un augure des deltinées que la Providence lui réfervoit. Son 
goût décidé pour la Philofophie l’engagea, pour fe l’inculquer à lui -même 
encore mieux, à l’enfeigner à de jeunes gens qui entroient dans l’Audi- 
toire dont il venoit de fortir. Et je dirai à cette occafion que M. Achard 
a confervé pendant toute fa vie cette dilpofition à ouvrir l’efprit des jeu- 
nes gens par des entretiens philofophiques qui leur étoient extrêmement 
utiles. II y mettoit beaucoup de netteté, donnoit une jufte idée des 
matières, développoit les difficultés ôc propofoit les folutions de la ma- 
niéré la plus fàtisfaifante. Je puis d’autant mieux en parler que j’ai eu 
l’avantage d’en profiter dans les années 1728, 2.9 & 30; & je puis 

afiurer avec vérité que c’eft ce que j’ai entendu de meilleur dans toutes mes 
études. 

On fit à M. Achard la propofition de fe rendre à Lyon pour pafler 
de là à Paris avec un jeune homme donc le pere fe trouvoit a&uelle- 


des Sciences et B blées-Lettres. 


5 9 

ment engagé dans les affaires du Mi/fiffipi, & avoic la brillante pcrfpeéfi- 
ve d’une de ces fortunes qui furent de beaux fonges, fuivis d’un promt 
6c accablant réveil. Il arriva dans cetce Capitale au fort du jeu des 
Aétions; 6c ayant été defeendre à l’Hôtel de Beaufort , rue Quinquempoix , 
où logeoit le pere de fon éleve, il fut au centre de ce tourbillon dont 
nous parlent les hiftoires du Syfteme. Les feenes 'qui fe paffoient fous 
fes yeux, fe gravèrent fortement dans fa mémoire; & il a pris plaifir 
jufqu’à la fin de fa vie à les raconter fréquemment & d’une maniéré fort 
détaillée. 

Cependant le jeune Voyageur favoit que Paris renfermoit des ob- 
jets plus dignes de fon attention; 6c il fe hâta d’en profiter. Il vie 
donc les Bibliothèques, 6c les Savans les plus diftingués. II eut plufieurs 
entretiens avec le P. le Long , Prêtre 6c Bibliothécaire de l’Oratoire, hom- 
me très verfé dans l’Hifloire de France 6c d’un caraétere affable. Mais 
celui avec qui il eut les liaifons les plus particulières, ce fut le célébré Pere 
Tournemine , qui le recevoir avec tant de bonté qu’il ne manquoit gue- 
rcs de fe rendre une fois par femainc à la Maifon Profeffe des Jéfuites, 
pour jouir de fon entretien & lui propofer des Queftions qu’il préparoit 
d’avance, & à la difeuflion desquelles le do&e Jéfuite fe prêtoit avec 
beaucoup de complaifance. Audi, quand ils fè féparerenr, le Pere Je Tour- 
nernine afiura M. Achard qu’il ne pafTeroit jamais un jour fans prier Dieu 
qu’il lui fît la grâce de l’éclairer, 6c il lui donna de fortes lettres de re- 
commandation pour le Pere Colonia y Jéfuite de Lyon. Le Pere Har- 
douiri fut pour M. Achard un objet de curiofité plutôt que d’agrément 6c 
d’inftru&ion. Il n’en put gueres tirer que des brufqueries, dont le pré- 
texte étoit I’héréfie à laquelle il vouloir l’obliger de renoncer. A en 
juger par les paradoxes de ce Pere, on ne l’auroit pas cru un fi ardent 
Convertiffeur. 

N’oublions pas un plaifir très vif que goûta M. Achard , en ren- 
contrant à Paris le plus cher compagnon de fes études, 6c fon ami le 
plus intime pendant le refte de- fa vie, malgré la diftance des lieux où 

h i 


6 <* 


Histoirb de l’Académib Rot ali 


ils ont vécu, M. Ver net, qui vit encore, & qui s’eft fait par des Écrits 
très folides & très utiles, une réputation diftinguée, & bien à l’abri des 
efforts qu’un Adverfaire furieux a employés pour la ternir. La joie de 
fe revoir fut réciproque pour les deux Amis; ils fe promenoient tous 

les jours aux Thuileries, & s’y étant entretenus fur divers fujets de 

Morale, ils formèrent du réfultac de leurs entretiens quatre Dialogues 
qu’ils préfenterent en Manufcrit avec, une Épitre Dédicatoire à une Dame 
refpf&able de Geneve, dont ils avoient reçu plufieurs marques de bien- 
veillance. 

M. Achard quitta Paris, & revint par Lyon à Geneve, où il re- 
prit avec ardeur fes études de Théologie fous le célébré Alplionfe Tur- 
retin , l’un des plus grands hommes dans fon genre que cette ville ait 
poffedés. Il foutint en 1711 fous fa Préfidcncc une Thefe fur le ca - 

r acier c de J. C. & de fes Apôtres: & le Répondant fe montra digne 

difciple de fon Gamaliel. II fut qucflion enfuirc de fe préparer aux Exa- 
mens pour le Miniftcrc, qui font très rigides h Geneve. M. Achard y 
fatisfit ; & en conféquence, fuivant l’ufage du pays où les jeunes Théo- 
logiens deviennent Miniftres, fans avoir d’Églife, il reçut l’impofition des 
mains en ijzz, avec M. Tronchin , mort Profefîèur en Théologie à 
Geneve, & M. Dumont, mort Paftcur de l’Ëglife de Berlin. Le Pafteur 
qui leur conféra l’ordination fut M. Samuel Turretin , coufin du célébré 
Alphonfe , homme d’un mérite dillingué, & dont la mort prématurée fut 
une perte très confidérablc pour TÉglife de Geneve. 

Peu après & dans la même année, M. Achard eut occafion de faire 
encore un voyage à Paris; mais il paflà en grande partie à la campagne 
le peu de tems qu’il féjourna en France, & ne fit point de nouvelles 
connoiffances. Il fè hâta même de regagner fa Patrie, avec la ferme 
réfolution de fe livrer férieufement à des études qui lui fiflènt réparer un 
tems que plufieurs diflraèlions avoient jufqu’alors confumé, & le mifient 
en état d’obtenir un pofte dans J’Églife ou dans l’Académie. 


b es Sciences et Belles - Lettres. 6 1 

La Philofophie, comme nous l’avons infinué, étoic plus de Ton 
goût que la Théologie: il vint à en vaquer une Chaire, & il l’auroic 
difputéc fans des railons d’amitié & la confidération qu’il devoir à M. Ga- 
latin , Palpeur de Geneve, & fils d’un des premiers Magiftrats de la Ré- 
publique, qui obtint cette Chaire. En attendant une autre occafioo, 
il fe forma entre M. Achard ôc fes amis une Société, qui, tant par le 
choix des membres qui la compofoient que par les matières qu’on y trai- 
toit , a fait une des plus agréables époques de fa vie. Le fujet de leurs 
Entretiens étoit l’Ouvrage de M. s GraveJ'ande fur la Philofophie de New- 
ton ; chacun en expliquoit un Chapitre à tour de rôle; & afin que rien 
ne leur manquât, ils avoient un guide, une efpece d’Oracle, dans la 
perfonne d’un Savant , plus recommandable encore par fa rare modeftic 
que par fes profondes connoiflances. C’eft M. Abau^ic^ fur le mérite 
duquel il n’y a qu’une voix, tant de ceux qui l’ont connu perfonnel- 
Iement, que de ceux qui ont etc en correfpondancc avec lui. Ré- 
fugié à Geneve, il y a fourni une longue carrière, fans titres ni dis- 
tinctions, mais jouiflànt de cette confidération qui vaut infiniment 
mieux. 

Le tems fe pafloit ainfi d’une maniéré également gracieufe & uti- 
le; mais il ne laifïoit pas de s’écouler fans que M. Achard vit encore, 
ni pût prévoir quel feroit l’emploi du refte de fa vie. Il étoit furtout 
bien éloigné de penfer qu’il eût près d’un dcmi-fieclc à paftcr dans une 
autre contrée, & qu’il dût y jouir de tous les avantages dont il a été 
en quelque forte comblé. Voici comment les chofes fe palTerent. 
M. David Ancillon , Pafieur de l’Lglife françoife du Werder à Berlin, 
étant mort vers le milieu de 1713, il s’agifloit de pourvoir à cette 
place par la voie ordinaire des éle&ions, dans lesquelles on propofe fix 
fujets au Troupeau. Un Candidat en Théologie (*), qui avoit connu 
particulièrement M. Achard à Geneve, en parla comme d’un homme de 
mérite & d’un Prédicateur éloquent: & cela fit naître l’idée de l’inviter 

(') M. de BoiJUgcr , qui eft mort en 1744, Pafteur de l’Églife de la Friderichftadc. 

h 3 


Histoirb de l’Académie Royale 


6 z 

à venir fc faire connoître. II accepta l’invitation, & quitta Gencve la 
z Janvier, 17x4- Vers les fêtes de Pâques il prêcha deux Dimanches 
de fuite devant un Auditoire anfii brillant que nombreux; & le Prince 
Royal, aujourd’hui notre augufte Monarque, honora ces deux Ser T 
mons de Sa préfcnce. Ils furent fort goûtés; & l’éleétion s’étant faite 
bientôt après, la grande pluralité des voix donna la préférence à M. 
Achard fur fes Concurrcns: de forte qu’il prit polTefTion de la place 
vacante. 

Un jeune Orateur, qui joint à une belle figure & à des dehors 
impofans tout ce qu’on appelle l’aétion, ou l’art de déclamer, & qui die 
en même tems des chofes inréreflantes par un degré de clarté qui les 
met à la portée de tous fes Auditeurs, par une diétion élé-g -r.ee & or- 
née qui les accommode au goût des perfonnes d’un rang ddu gué, en- 
fin par ce vrai pathétique qui émeut, qui étonne, qui touche 6: péné- 
tré; un tel Orateur ne peut manquer de réunir tous les fuffrages: & tel 
parut M . Achard dès la première fois qu’il monta en Chaire; tel cft-il 
demeuré aufii longtems qu’on a eu la facisfaclion de l’y voir. Il avoir 
admirablement faifi l’art ou le talent que le P. Gisbert recommande le 
plus dans fon Traité de l’Éloquence Chrétienne, la belle popularité. Jo 
m’étendrois avec complaifance à rendre ici l’impreflion de cette efpccc de 
Magie oratoire, que j’ai tant de fois éprouvée, fi l’objet étoit plus aca- 
démique. 

Dès ce moment M. Achard fut non feulement couru comme Pré- 
dicateur, mais recherché & fêté comme un homme aimable dans toutes 
les Sociétés, & furtout chez les Grands. Cela répand fans doute bien 
des agrcmens fur la vie, mais il fentoir lui -même que cela dérange un 
peu celle d’un Eccléfiafiique, qui a des devoirs nombreux à remplir, & 
des provifions, fi je puis ainfi dire, à ralTembler pour faire face à tous 
ces devoirs. Auffi ne fc prétoit-il fouvent qu’à regret à cette diffi- 
pation, & déroboic aux heures de fon repos celles que le Monde s’étoit 
appropriées. Sa confticution auroit demandé néanmoins de plus grands 


cbs Sciences et Belles-Lettïes. 6 3 

ménagemcns. Elle droit affez finguliere. Jufqu’à l’âge de zo ans il 
avoir joui de la plus parfaite fanté, quoiqu’il n’eût vécu que de lait, 
par une répugnance invincible pour toutes fortes de viandes fie de légu- 
mes. Trois ou quatre mois d’une application exceflive à l’étude firent 
alors dans fon tempérament une fi grande révolution qu’il n’a jamais pu 
recouvrer fa première vigueur. La néceffité l’obligea cependant de re- 
noncer à fon ancien régime lorfqu’il eut quitté la maifbn paternelle; fie 
depuis, les fréquens fie grands repas, quoiqu’il y fût fort fobre, ont été 
probablement l’une des caufes du defordre de fa fanté pendant le refi* 
de fa vie. 

Entre les liaifons auxquelles M. Achard auroit voulu fè fouftraire, 
il ne faut pas en compter une dont le fouvenir au contraire lui eft de- 
meuré toujours infiniment précieux. C’cft celle qu’il eut l’honneur d’en- 
tretenir avec le Prince Royal jufqu’à fon avènement au Thrônc, foit 
dans des repas chez la Grande Gouvernante de la Maifon Royale, Ma- 
dame de Rocoulle , Dame d’un rare mérite, foit même par une correfpon- 
dance dans laquelle le Prince lui propofoit quelques queftions philofophiques 
à traiter fie quelques difficultés à réfoudre. M. Achard foutenoit ce per- 
fonnage en Philofophe inftruit fie en Courtifàn poli. Il fàvoit dire la vérité 
fie l’afiaifonner. 

Il avoit déjà paffé les cinq premières années de fon féjour à Berlin 
en penfion dans une maifon bourgeoife où il avoit tout l’agrément pof- 
fible: fie il ne paroifioit pas penfer à renoncer au célibat. Mais il fe 
prefenta un mariage avantageux, fie dans lequel les qualités cftimables 
de la Dcmoifelle lervirent plus à le déterminer que fon bien. Il époufa 
donc en 1719 Mademoifelle Marie Horguelin , fille d’un riche Négo- 
ciant de Breslau, avec laquelle il a goûté les douceurs d’une parfaite 
union, fans poftérité, fie qui lui furvit. 

L’opulence de M. Achard ne changea point fes fentimens ni fes 
mœurs; mais elle le mit en état de fatisfaire le penchant qu’il avoit à 
vivre honorablement, à obliger fes amis, fie furtout à faire du bien aux 


Histoire de l’Académie Rotaib 


*4 

pauvres. C’etl par ce dernier endroit furtout qu’il n’a cefle de Te rendre 
recommandable & vraiement refpeélable. 

Des lettres de Geneve l’ayant averti qu’une tendre Mere fentoit ap- 
procher fa tin & fouhaitoit encore de le voir, lui firent prendre la réfo- 
lucion de s’acquitter de ce devoir filial. Il partit de Berlin le 2 Juin 
1730, & eut le bonheur de mener avec lui le fécond fils de M. le Ma- 
réchal Comte de Finkenjlein , qui ett aujourd’hui premier Minitire du 
Cabinet. Ce jeune Seigneur alloit faire fes études à Geneve; & une 
autre fatisfa&ion bien fenlible à M. Achard fut le choix que M. le Ma- 
réchal fit de M. fon frere, autfi notre Confrère, pour diriger le Comte 
6c dans fes études 6c dans fes voyages. Pour achever le récit du féjour 
de M. Achard à Geneve, la Compagnie des Paiteurs, l’Académie & le 
Contèil d’Etat lui donnèrent les plus grandes marques de dilèin&ion 6c 
de confiance. . Il prêcha deux fois & fut applaudi. Il laitia fa mcrc 
encore vivante 6c vint retrouver fon Ëpoufe apres une abtcnce de fix 
mois. 

En Juillet 1738» le Roi 1 e nomma Confcillcr du Confifloire fu- 
péricur à la place de feu M. de Beaujobre. Cetre diùinclion, quoique 
flattcufe, lui fit de la peine, parce qu’il y avoit des Pafteurs plus an- 
ciens que lui, à qui cette place devoit être donnée. Il auroit bien 
voulu le repréfenter lui -meme; mais la chofc n’étoit pas poffible. 
C’étoit la volonté du Roi; 6c il n’y avoit d’autre parti que celui de 
l’obéiflance. 

Biencôt après le Roi qui avoit, comme l’on voit, une idée avan- 
tngeufe de M. Achard , voulut le faire coopérer au dtflèin qu’il n’avoit 
jamais perdu de vue de procurer la réunion des Réformés avec les Lu- 
thériens. Le Monarque crut que la traduélion d’un Ouvrage Allemand 
de M. Reinbeck fur la Confefiion d’Augsbourg, qui étoit fort goûté, 
contribueroit à l’avancement de cette bonne œuvre. Il y avoit à la 
vérité un obllacle qui paroifloit infurmontable, c’efl que M. Achard 
n’entendoit pas la langue de l’Ouvrage qu’il devoit traduire. Cela ne 

rebuta 


DES SciEKTCES ET B E E L F. S-L ET TR E S. 


*5 

rebuta pourtant pas le Roi, qui leva la difficulté, en difant qu’il n’y avoir 
qu’à employer quelque traducteur fubalcernc, & qu’enfùice M. Aclurd 
fèroit la rcvifîon de concert avec M. Reinbeck. Le travail fut com- 
mencé en effet; mais la more du Roi, fui vie bientôt après de celle de 
M. Reinbeck , y fit renoncer. 

Ce fut vers ce tems-là qu’une jauniffe opiniâtre accabla M. Achard 
avec tant de force 6c de durée qu’il ht venir de Genève un de fes ne- 
veux qui avoic été reçu Minifixe depuis peu, 6c qu’il prit pour Adjoint. 
C’étoit un digne Paflcur, dont la mort prématurée a été également dou- 
loureufe pour le Troupeau & pour Mrs. fes Oncles. L âge alors avan- 
cé de M. Achard lui fie choifir un nouvel Adjoint en M. Ernian , qui 
promettoit déjà tout ce qu’il a tenu depuis; 6c quand M. Erman fuccé- 
da à M. Pelloutier , M. Achard fit venir de Magdcbourg M. Bocquet , pour 
qui il a toujours eu l’affcélion la plus tendre 6c la mieux placée, 6c qui à pré- 
fent remplit dignement fa place de Pafteur du Werdcr. 

Le Roi avant jugé à propos à fon avènement au Thrône de rem- 
plir les places vacantes au Confcil François, en lui donnant le titre de 
Grand- Directoire français 6c à fes Membres celui de Confeillers Privés , 
S. M. fit à M. Achard l’honneur de le mettre de ce nombre, 6c les Pa- 
tentes lui en furent expédiées en date du z8 Septembre 1740 . 

En 1743 , les Affemblées dont j’ai fouvent parlé d’une Société qui 
précéda le renouvellement de l’Académie, ayant commencé chez M. le 
Maréchal de Schmettau , 6c continué chez M. le Miniftre d’Êtat de Borcke } 
M. Achard y affifla; 6c au renouvellement il fuc aggrégé à l’Académie 
dans la Gaffe de Philofophic fpéculative. Sa mauvaife fanté lui fit 
bientôt demander la vétérance; mais, depuis quelques années, nous 
l’avons vu affifter régulièrement à nos Affemblées, 6c prendre beau- 
coup d’intérêt à tout ce qui concernoit l’honneur 6c le bien de l’A- 
cadcmie. 

Il n’eft pas difficile de comprendre pourquoi nous n’avons pas joui 
du fruit de fes lumières, auffi bien que du plaifir de fa préfence. Si 
Hifi. 1 77 a. i 


66 


Histoire de l’Académie Royale 


l’on veut cependant que je dife quelque chofe de plus précis à cet égard, 
j’employcrai les propres termes du défunt, que je tire d’un Manufcrit donc 
j’ai fuivi le fil jufqu’à préfent, & qu’il avait expreflement deftiné à cet ufa- 
gc. Apres y avoir raconté les principales particularités de fa vie & de 
(es études, il finit en difanc: „On m’a fouvent demandé pourquoi, 
„ ayant eu l’honneur d’être membre de l’Académie depuis Ton renou- 
vellement, je n’avois jamais rien donné au Public? En voici les 
„ raifons. 

„La première a été le peu de cas que j’ai toujours fait de mes 
„ comportions. Dès qu’en 1743 j e ^ us déchargé de la plus grande 
„ partie de mes fondions puftoralcs, je tentai d’écrire fur quelque nia- 
„tiere de Philofophic; j’avois meme déjà afîèz de remarques fur la 
„qucftion de la liberté pour en former un gros volume; mais outre 
„que j’étois très fouvent interrompu dans mon travail par mes in- 
„ difpofitions, quand je vins à repaflcr attentivement le tout, j’en fus 
„ fi peu content que je renonçai entièrement à mon entreprife. Je 
„cherchois des éclairciflemens, de je ne trouvois que des difficultés. 

„Ma fécondé raifbn c’cft que ) aurois voulu produire quelque 
„ chofe de neuf, 6c je ne trouvois rien qui n’eût déjà été dit. Je 
„me flattois, il eff vrai, de répandre quelque jour fur plufieurs en- 
droits de l’excellent Traité de Lucie fur l’Entendement humain; 
„mais les mêmes obflacles m’ont toujours arrêté. Ma fanté fe re- 
„fufbic à toute méditation fuivie, 6c j’étois obligé de quitter la 
„ plume. 

„Enfin 3°, Je refpcéf, peut-être outré, que j’ai toujours eu pour le 
„ jugement du Public, m’a retenu. Je commençois 6c je ne finiffois 
„ncn. Ajoutez que m’étant moi -même fouvent plaint de l’énorme quan- 
,, tiré des Livres qui s’imprimoient, j’avois tout lieu de craindre qu’on ne 
„ m’appliquât le reproche que je faifois aux autres.” 

Dans les dernières années de fa vie, M. Achard s’eft occupé à re- 
voir fes Sermons, 6c même à en confier la révifion à des amis qu’il en 


des Sciences et Belles-Lettres. 


67 

croyoit capables. Il fembloit d’abord vouloir en publier un ou deux 
Volumes; mais il a au/b abandonné ce tic idée. Il eft à fouhaiter qu’on 
fafTe un choix parmi ces Sermons; &c qu’ils contribuent à l’édification de 
l’Églifc apres Ta mort, comme ils y ont contribué pendant là vie. 

M. Achard a fait, comme Confeiüer Eccléfiaftiquc , la vifite de 
l’Églife de Halle en 1741 avec M. de Jauges , mort Grand - Chancelier. 
Il vit à cette occafion les plus célébrés Profcflèurs de ce rems -là, Woff, 
Hoffmann, Ludwig, Baunigarten , Bœhmer &c. qui lui firent tout l’ac- 
cueil qu’il méritoic. II fit encore la vifite des Eglilés de l’Uckcrmarck 
en 1753, & il fe félicitoit d’avoir rendu alors fes hommages pour la pre- 
mière fois à S. A. S. Madame la PrincefTe héréditaire de Darmfbdt, mere 
de notre augufte PrincefTe de Prufle. Il a toujours eu le plus grand 
accès auprès de toute la Maifon Royale. S. A. S. Madame la Duchelïe 
de Brun/Vick l’a honoré d’une correfpondance dans laquelle régnoit la 
confiance la plus intime: & rien n’a été plus fenfible pour lui, dans 
le cours de fa maladie, que d’être privé du bonheur d’en recevoir en- 
core les afTurances de fa propre bouche. La Reine Mere l’invitoit fou- 
vent, foit à prêcher, foit à fa table avec d’aurres Savans, & particuliè- 
rement avec M. des l’ignoLs , qui a été intimement lié avec lui jufqu’i 
la fin de fa longue carrière. La Reine, notre refpectuble Souveraine, 
a eu les mêmes bontés pour lui: & en dernier" lieu la Reine de 
Suede lui a témoigné une bienveillance toute particulière, & l’a ho- 
noré des plus tendres regrets. M. Achard méritoic ces diftir.&ions 
par toutes forces d’endroits, & furtouc par le degré de fcnübilité avec 
lequel il les recevoir. 

Pour ne rien omettre des emplois & des fondions de M. Achard, 
nous dirons encore qu’il écoit Inlpecfeur du College françois & Di- 
recteur d’une Fondation qu’on nomme Maifon de Charité , ou Mai- 
Jon Franco je. 

Les années s’accumuloient; on n’auroic pas cru que M. Achard 
dût pouffer fa carrière au/fi loin; & à d’autres égards l’exuditude de /bn 


1 a 


(>8 Histoire dh l’Académie Royalb &c. 

régime & la force de fon organifacion fembloient devoir encore pro- 
longer fa vie. La décadence fe faifoic fentir depuis quelque tems; 
fes empreinres fe manifeftoient fur le vifage, dans la démarche, & 
quelquefois en converfation par le défauc, tantôt d’ouïe, & tantôt de 
mémoire. La dernicre de nos aflemblécs à laquelle il ait aflifté eft 
celle du 17 Février. Je le vis malade le 1 1 Mars, & je délèfpérai 
de fon rétablillemenr. C’étoit une hydropifie de poitrine, que de fortes 
évacuations fcmblercnt difliper d’abord , mais qui revint avec plus de force, 
& caufa au malade des fouffrances confidérables par les fuffocations dont 
elle étoit accompagnée. Il avoir prévu fa fin, il s’y étoit préparé & ne 
la craignoit point. Après de rudes combats il ceffa de vivre le 2. Mai, 
à huit heures du foir, âgé de 75 ans & 4 mois. Il cfl aifé de réunir 
les trairs de fon caraélcre répandus dans cet Éloge, & d’en conduire 
qu’il avoit un droit incon refia ble au Monument que je viens de lui ériger. 







yprx { 









NOUVEAUX 


NOUVEAUX 

MÉMOIRES 

D E 

L’ACADÉMIE ROYALE 

DES 

SCIENCES 

E T 

BELLES-LETTRES. 


CLASSE 

DE PHILOSOPHIE EXPÉRIMENTALE. 


Nouv. Mém. l'jji. 


A 





EXPÉRIENCES CHYMIQUES 

fur diverfes parties du Tilleul. 

Par M. M a a g g r a f. (*) 


Traduit de J’Allemand. 

I. 

occasion qui m’a engagé à cc travail eft une Lettre du 
î 6 Juin 1771, que je reçus de Potsdam, & où l’on me 
mandoit que Sa Majefté fouhaitoit que je fifle quelques expé- 
riences pour vérifier ce qu’avoir avancé un Médecin François, 
nommé M. Mi/Ja, au fujet de la préparation d’un Chocolat tiré des fruits 
du Tilleul & de fes fleurs, qui préparés enfemble réuniflbient les propriétés, 
le goût & l’odeur du Cacao & de la Vanille. M. Mijfa eft le premier qui 
ait obfcrvé que les fruits du Tilleul donnent un beurre qui cft tout- à- fait 
femblable à celui du Cacao, ayant le même goût & donnant la même pâte 
que le Cacao. Pour m’aflurer mieux fur quoi toutes ces aflertions étoient 
fondées, je fis -les expériences fuivantes. 

(*) Lû le 14 Janvier 1773. 

A & 




4 


Nouveaux Mémoires dh l’Académie Royale 


II. Comme ce qu’il y a de bien odorant dans le Tilleul confifte 
principalement dans les fleurs, & que chez nous la pleine efîlorefcence de 
cet arbre arrive pour l’ordinaire vers le milieu du mois de Juillet, j’eus foin 
de faire cueillir une bonne & fuffilànte quantité de ces fleurs, tout -à -fait 
court, & bien dégagées de toutes les queues & des petites feuilles. J’en 
fis féchcr la moitié à l’air, & je confcrvai les autres fraîches. Je remplis de 
celles-ci un vaiflèau à diftiller ordinaire jufqu’à la moitié, je verfai defius de 
l’eau bien nette autant qu’il convenoit, & je fis fortir par la diftillation à la 
maniéré ordinaire avec une chaleur bouillante environ deux quartes d’une li- 
queur qui avoit une fort bonne odeur, pareille à celle de la fleur de tilleul. 
J’cn procurai encore une couple de fois la cohobation fur des fleurs fraîches; 

n». i. mais cela r.e me procura aucune huile que je pufle en fcparer. 

III. Je preflai dans un linge bien net ce qui étoic reflé de cette 
diftillation dans le vaiflèau , je le laiflai repofer, j’en fis écouler la liqueur 
claire, qui fc fépara des parties pulvérulentes, lesquelles demeurèrent au fond 
du vaiflèau, & au moyen d’une chaleur convenable j’obtins pai l’évapora- 
tion une matière de la confiftance d’un miel médiocrement épais : ce qui 

■n u . a. me donna un extrait douceâtre dont l’odeur n’étoit pas défagréablc. 

IV. Je délayai cet extrait avec autant d’eau nette qu’il en falloir pour 
qu’un œuf frais pût y furnager; j'y joignis un peu de levain pour mettre le 
tout en fermentation, je le plaçai dans un endroit où la chaleur étoit entre 
le 65 & le 70 e degré du Thermomètre de Fahrenheit. Le mouvement de 
la fermentation s’y fit bientôt appercevoir; & l’ayant laifle durer pendant 
quatre femaines, ce mélange fc changea en une liqueur vineufe, qui donna, 
au moyen d’une diftillation convenable & de la rectification dont elle fut 

n°. fuivie, un fort bon cfprit de vin. 

V. Cet efprit de vin que j’avois ainfi tiré des parties de la fleur de 
tilleul qui étoient demeurées après la diftillation, m’engagea à eflàycr fi la 
fleur toute fraîche du tilleul, par la Ample addition de l’eau nette, fans le 
mélange d’aucune fubftance qui y produifît la fermentation , pourroir fc 
difpofcr d’elle -meme a fermenter. . Je remplis donc bien exaétement de 
ces fleurs une bouteille de verre qui pouvoir contenir quatre à cinq quartes, 


5 


des Sciences et Belles - Lettres. 

je les y preffai même un peu; puis j’y verfai de l’eau nette diftillée jufqu’à 
ce qu’elles en fuffent toutes couvertes. Enfuite, après avoir couvert l’ori- 
fice de cette bouteille d’un fimple papier, je la mis dans une chambre oh la 
chaleur étoit entre le 6% & le 70 e degré du Thermomètre. Le mélange, 
après avoir repofé douze heures, commença à fermenter de lui-même; & 
après que cette fermentation eut duré quatre femames, cette liqueur vincufe 
me donna par la diftillation fuivie de la rétification, un efpric de vin dont 
l’odeur étoit beaucoup plus agréable que celle du précédent. _ N *' *■ 

VI. Alors je me propofai d’effayer ce qui réfultoit des mêmes 
opérations faites fur les fleurs féchées à l’air. Pour cet effet j’en remplis de 
la même maniéré une bouteille de pareille groffeur, je verfai deffus de 1 eau 
diftillée , & je plaçai ce mélange dans une chambre au même degré de cha- 
leur. La fermentation commença dans le même efpace de tems ; & au 
bout de quatre femaines, j’eus une liqueur vineufe qui, par la diftillation ôc 
la rétification, donna pareillement un bel efprit de vin , mais dont l’odeur 
n’étoit pas aufii agréable que celle du précédent tiré des fleurs fraîches. II N ° >• 
eft aifé d’inférer de là qu’il faudrait cueillir ces fleurs à la fois en grande 
quantité, & les conferver pour un même ufage, fi cela ne préjudicioit pas 
aux arbres; & qu’alors elles fourniraient une matière dont on ferait un 
bon &c agréable brandevin, qu’on pourrait préparer en tout tems, fans y 
joindre ni grain, ni aucune autre fubftance femblable. 

VII. Les expériences précédenres me donnèrent l’envie d’en faire de 
pareilles fur les feuilles de tilleul. Pour cet effet j’en fis cueillir en quantité, 
au commencement de Septembre, aufii fort courtes, ôc fans y laiffc-r de 
queues. J’en fis féeher une partie en plein air, Ôc je les gardai. Je pris 
une bonne portion de feuilles fraîches, je les diftillai de la même maniéré 
que les fleurs; & j’en tirai une eau dont l’odeur à la vérité n’étoit pas défa- 
gréablc, mais qui n’approchoit pas de l’odeur de celle de la diftillation des 
fleurs. J’employai, comme ci -deffus, une couple de cohobations fur des 
feuilles fraîches; ce qui ne me donna non plus aucune huile que je pûffe en 
féparcr, quoique cette, eau fentîc beaucoup les feuilles. Je procédai avec n°. 6 
ce qui étoit refté dans le vaifl’eau comme il a été rapporté §§. II ôc III au 

A 3 


6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalb 

fujct d.s fleurs; & j’obtins de même, par une douce évaporation, un ex- 
trait douceâtre, dont l’odeur netoic pas défagréable, où au bout de quel- 
que tems fe formèrent des cryftaux falins, que j’ai encore deflcin de fou- 
n°. 7. mettre à des épreuves. Cet extrait tiré des feuilles ayant été traité comme 
cc’ui des fleurs §. IV. a pareillement donné, par la diftillation & la rc&ifi- 
n». g. cation, un bon efprit de vin. 

VIII. Il en fut aufli des feuilles à peu près comme des fleurs, par 
rapport aux procédés énoncés dans les §§. V & VI. Les feuilles tant fraî- 
ches que feches, fur lesquelles j’avois verfé de l’eau, ont commencé à fer- 
menter au bout d’un court cfpace de tems. Et j’en ai tiré de même, par 
la diftillation & la rectification , un fort bon efprit de vin, mais dont 

n os . 9 v 10. l’odeur n’étoit pas aufli agréable que celle de l’efprit de vin tiré des fleurs. 

I X. J’ai aufli pris quatre onces des feuilles de tilleul féchécs à l’air, &c 
je lésai mifes en digeftion avec une quantité fufHfante de l’efprit de vin le plus 
rcCtifié; j’ai filtré la liqueur que j’en avois exprimée, j’ai procuré par la 
diftillation l’abltraétion de l’efprit fuperflu, 6 c j’ai trouvé que l’extrait qui en 
ctoit demeuré, fe fcparoit en deux parties, dont l’une comme une réfine 
pure étoit au fond du vaiflèau, recouverte d’un peu de fubftance fluide 
comme du miel, que je fcparai de la partie réfineufe en y verfant de l’eau 
tiède; & 1’ayant de nouveau épaiflie a la chaleur, elle devint comme un 

>jos u a,,!, miel purifié, ayant aufli le goût douceâtre. 

X. Il étoit queftion de palier aux fruits du tilleul, que je ne pus me 
procurer qu’à la fin d’Oélobre. En ayant raflemblé une quantité fuffifante, 
je trouvai que chaque capfulc renfermoit un ou tout au plus deux grains, ou 
femenccs, dont la grofleur étoit celle d’un fort grain de chanvre, 6 c qu’on 
avoir de la peine à les féparcr de leur enveloppe. Ces grains font couverts 
d’une efpcce de croûte mince, qui contient un noyau huileux dont le goût 

n 01 . 13 & 1 1 reflemble ’ à celui de l’amande. J’cn fis 1 objet des expériences fuivantes. 

XI. Je fis médiocrement piler dans un mortier de fer deux onces 
de cette femence de tilleul bien nettoyée; je les mis aufli fous une forte 
prefle où elles furent comprimées à la maniéré ordinaire; 6 c cela me 
donna à la vérité quelque peu d’huile exprimée, mais qui n’alloit pas au 


des Sciences et Belles-Lettres. 7 

delà de vint grains. Je fis prcffer une autre quantité pareille de ces graines 
à chaud, & cela produifit encore moins d’huile. Le goût de cette huile 
approchoit de celui de l’huile d’amande fraichcment exprimée; mais elle 
ne fe durcit point comme celle qu’on tire des graines de Cacao, qui au 
froid devient une elpece de beurre: au contraire elle conferva toujours fa 
fluidité, comme le fait l’huile d’amande. N05 ’ ,f e 

XII. Je fis enfuite griller de ces graines de tilleul, de la même 
maniéré qu’on grille celles de Cacao quand on veut faire du Chocolat, 
c’eft à dire, jufqu’à ce qu’elles deviennent d’un brun clair. Je les con- 
caflài enfuite de façon que l’écaille extérieure fe détachoit aifément de 
l’intérieure, & qu’en fecouant 8c foufflant on parvenoit à les nettoyer 
affez bien. Je les fis enfuite piler dans un mortier de fer jufqn’à ce qu’il 
s’en fit une pâte cohérente, que je fis fortement comprimer dans une 
prefie chaude; 8c cela me donna une bonne quantité d’huile, plus grande 
que celle qu’avoient fourni les graines non rôties; mais cette huile, comme 
celle dont il a été fait mention au §. XI, ne prenoit point la confiftancc 
du beurre, comme celle de Cacao, &c demeuroit toujours fluide comme 
l’huile d’amande. Cela fait qu’un Chocolat préparé de cette graine de n°. , 7 . 
tilleul ne peut jamais durcir comme celui du Cacao, 6c qu’il devient 
plutôt rance. 

XIII. Je pris encore deux onces de cette graine de tilleul, je les 
fis griller, je féparai les écailles de la façon indiquée dans le §. précédent, 
je les fis piler dans un mortier chaud jufqu’à une pâte cohérente, & j’en 
tirai une elpece de Chocolat, qui a bien quelque relTemblance avec celui 
du Cacao, mais qui ne laifle pas d’en différer beaucoup quant à la con- 
fiftance, à l’odeur 8c au goût. J’en fis deux portions; j’inférai dans* 05 - 
l’une trois dragmes de fucre pilé, ce qui ne la rendit pas fort différente 
de l’autre, à un peu de douceur près que lui donnoit ce fucre; en l’en- 
veloppant dans un fimple papier, elle le graifloit beaucoup, ce qui n’arrive 
point avec le Chocolat ordinaire. 

XIV. J’ai procédé de la même maniéré avec des amandes douces, 
en y ajoutant du fucre, ou fans en ajouter; & j’en ai fait de même une 


8 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

efpcce de Chocolat, mais encore plus mou & plus graiffeux que le précé- 
dent. Je lui trouve pourtant le goût meilleur. On peut en juger par ces 
n°*. ïo&îi. échantillons. (*) 

y 

XV. Je préfente aufïi une pâte faite de graines de Cacao, en procé- 
dant des différentes maniérés fusdites, tant avec du fucre que fans fucre, 
nos. aî & sj. a f]n qu’on puiffe en obfcrver les différences. Si avec cela on compare les 
fraix néceffaircs pour recueillir la graine du tilleul, la féparer de fes écor- 
ces &cc. avec le prix du Cacao, (pour "ne pas parler des amandes douces, qui 
font û beauconp meilleur marché,) je crois qu’on aura peine à fc réfoudre à 
faire du Chocolat de graines de tilleul plutôt que de Cacao. Il eft pour- 
tant vrai que les différentes parties du tilleul, fpécialemeut les fleurs & les 
feuilles, peuvent être utilement appliquées à des ufages économiques; ainfi 
je ne doute point que cela ne puiffe conduire dans la fuite à quelques autres 
travaux intéreffans, auxquels je me propofe de revenir dans la fuite. 


(*) Les Numéros indiquas à Li marge fe rap. 
portent à ces divers échantillons que AI. Murggraf 


a fait voir ^ l’Académie, a mefure qu’il lifoil foi» 
Mémoire. 



SUR 


des Sciences et Belles-Lettres. 


5> 


SUR 

LE FROTTEMENT 

entant qu’il rallentit U mouvement. 

Par M. Lambert. 

§• i* 

O n rcconnoit généralement que pour juger de l’effet d’une machine il 
ne fuffit pas de la confidérer Amplement dans fon état d’équilibre, 
mais que le frottement qu’elle fouffre dans fes différentes parties doit né- 
ceffairement entrer en ligne de compte. Ce n’cft cependant que vers la fin 
du fieele pafTc qu’on a commencé à en examiner les effets, tant par la théo- 
rie que par l’expérience. Je ne retracerai pas l’hifloire de ce qu’on a fait à 
cet égard. Il fuffira ici d’obferver qu’o# s’eft ordinairement borné à déter- 
miner de combien dans chaque machine il faut augmenter la force mouvante 
pour qu’elle commence à vaincre le frottement. On a cru affez générale- 
ment que l’effet du frottement étoit le même, ou demandoit la même 
augmentation de la force mouvante, quelle que pût être la vitcflè du mou- 
vement de la machine. C ’étoit cependant là ce qu’on pouvoir croire de 

plus paradoxe. Auffi Mr. de Mujfchenbroeck s’en douta bien, & les expé- 
riences qu’il fit au moyen de fon Tribometre lui firent voir le contraire, du 
moins de la façon dont il envifageoit la chofc. Car du refte ces expérien- 
ces ne font pas ce qu’il a fait ou imaginé de mieux. 

§. z. Mais confidérons d’abord la chofc en elle -même. Il me pa- 
roit évident que les parties des machines expofées au frottement reçoivent 
continuellement de petits chocs dans les particules éminentes de leur furface. 
Chacun de ces petits chocs contribue à s’oppofer au mouvement & à le ral- 
lentir, à proportion que l’inégalité de la furface, la preflion & la viteffe fonc 
plus grandes. Quelques-unes des particules éminentes font déprimées, 
Nuuv. Mtm. 1771. B 


io Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

d’autres font froiffées , & c’cft de là que refaite le double effet du frotte- 
ment que perfonne n’ignorc, c’eft que le frottement polit la furfàce & l 'ufe. 

§. 3. Voici donc ce que je crois pouvoir établir. Que la furface 
qui cft frottée parcoure l’élément de l’efpace dx, elle rencontre un certain 
nombre d’obftacles, & ce nombre eft proportionel à dx. Chaque obftacle 
diminue la viteffe à proportion quelle eft plus grande. Cela fuit immédia- 
tement de la théorie du choc des corps. Ainft nommant la viteffe ~ c, 
on aura 

— u de ZZ c d x. 

§. 4. Cette formule eft la même que celle qu’on trouve pour la 
rcftftancc des fluides, que l’on peut également déduire de la théorie 
du choc des corps. Auffi la différence entre la réflftance des fluides, & 
celle qui réfulte du frottement des corps, ne me paroit pas être fort grande. 
Car dans l’un & l’autre cas il y a des particules déplacées & écartées. 
Toute la différence qu’il y a c’cft que dans le frottement les particules, 
pour être déplacées, demandent plus d’effort de diminuent la viteffe plus 
confidérablemenr. 

§. <; . L’analogie que je viens d’établir entre le frottement & la ré- 
flftance des fluides, me difpenfe d’expofer ici toutes les formules qu’on peut 
déduire de la formule générale 

— «de HZ cdx. 

Je m’en rapporterai donc Amplement au Mémoire que j’ai lu à l'Académie 
en 1 7 £ 5 , & qui fe trouve dans le Volume de cette année. II s’agira prin- 
cipalement d’en appliquer les réfultats à quelques expériences, afin de voir 
comment elles s’accorderont avec cette théorie. 

§. 6 . Les expériences dont je ferai ufage fe trouvent depuis 17^1 
dans un petit mais excellent Ouvrage allemand de Mr. ScAoùer, qu’il inti- 
tule: Qîkrfucf) eincr Z'jcorie üon fccr ilc&emc&t, qu’on pourroit peut- 
être traduire par FJJai d'une théorie de la prépondérance. Cet Ouvrage ren- 


des Sciences et Belibs-Lkttres. ii 

ferme, outre une bonne théorie, un affez grand nombre de très belles ex- 
périences, dont le but eft de faire voir comment la force accélératrice de la 
gravité cft diminuée tant par des contrepoids que par l’inertie & par le frot- 
tement, entant que l’effet du frottement, ou eft très petit, ou peut être 
regardé, finon comme indépendant de la viteffe, du moins comme y étant 
fenfiblement proportionel. Mr. Schober applique fa théorie à la plus grande 
partie de fes expériences avec affez de fucccs. Auff Mrs. KceJIner & Kar- 
Jten n’ont -ils pas manqué d’en tirer parti dans leurs élémens de Mathémati- 
ques. Car dans ces fortes de recherches les expériences bien entendues & 
bien exécutées ne font pas encore fort fréquentes, & on doit favoir bon grc 
à Mr. Schober d’avoir publié celles qu’il a faites. 

§. 7. Mr. Schober cependant foupçonne que l’opinion affez généra- 
lement reçue fur la quantité confiante du frottement n’eft pas trop jufle, 
parce que l’aétion de la force mouvante ceffant ou étant arrêtée tout d’un 
coup, le mouvement des parties fe rallentit très fenfiblement < 5 c enfin tout 
rentre dans le repos. Il ajoute que la machine étant une fois en mouve- 
ment, il faut affez peu de force pour le continuer, mais qu’il laiffe cette 
difeuflion à quelque grand théoréticien. Mais quoique fuivant cela 
Mr. Schober renonce à ces recherches, il ne laiffe pas de rapporter les expé- 
riences qu’il a faites là-deffus, & qui font très bien imaginées. Elles font 
deftinées à fervir de confirmation à la théorie, & c’ell rendre juftice à 
Mr. Schober que de les y employer. Voici donc d’abord les expériences. 

§. 8- Qu’on fe figure quatre roues dentées & engrenant dans leurs 
pignons. Celle d’en -bas a 7 i dents, fon pignon en a ii. La fécondé a 
64. dents, fon pignon 8- La troifieme a 5 6 dents, fon pignon 8* .La 
quatrième 348 dents, fon pignon 6 . A l’eiïieu de ce dernier pignon fe 
trouvoit affermie une platine circulaire ou un difque de plomb, de 4 pouces 
de diamètre & de 4^ lignes d’épaifièur, pefant 4 livres 1 4^ onces, poids de 
Cologne. A l’efiieu de la roue d’en -bas étoit affermi un cylindre dont la 
circonférence étoit de 1 pied de Paris. C’cft à ce cylindre qu’on ap- 
pliqua les poids qui dévoient faire tourner les roues & le difque. M. Schober 

B % 


il Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

y appliqua encore une clochette, qui devoit Tonner toutes les fois que le 
poids en dévidant le fil faifoit faire un demi -tour au cylindre, & par con- 
féquent 3 tours à la fecondç roue, 14 tours à la troifieme, 1 6 8 tours à la 
quatrième, ou enfin 1 344 tours au difquc. C’efl ainfi qu’il croit fort fa- 
cile de compter les fécondes de tems que le cylindre employoit pour chaque 
demi -tour, tandis que la machine continuoit Ton jeu. Mr. Schober répéta 
l’expérience quatre fois en employant des poids de 15, 10, 15 & 3° 
livres. Voici maintenant les réfultats. 


Lkmi-tcurs 

Poids de 

Poids de 

Poids de 

Poids de 

du e\ lindic. 

15 livres. 

20 livres. 

25 livres. 

30 livres. 

1 

J 8 S" 

a 94 " 

141 " 

113 " 

a 

163 

IlS 

»°4 

93 

3 

m 

98 

8'7 

75 

4 

**7 

87 

7> 

t>4 

5 

109 

78 

66 

5<5 

r, 

105 

7> 

6 r 

5i 

7 

103 

67 

56 

49 

8 

101 

63 

54 

4 / > 

9 

100 

60 

5o 

45 

10 

10 1 

58 

48 

43 

] 1 

ICO 

5 6 

47 

4i 

la 

99 

5 5 

46 

43* 


II y a apparence que le dernier nombre 43 doit être 40 ; peut-être qu’il y 
a là une faute d'impreflion. 

5?. Comme dans chaque demi -tour du cylindre le poids defeen- 
doit de d’un pied, on voit que pour chacune de ces defeentes le nom- 
bre de fécondés étoit & fort grand & fort inégal. Le poids delcendoit 
donc fort lentement. Il devoit d’abord vaincre l’inertie du difque de 
plomb. Et s’il n’y avoir point eu de frottement, cela n’auroit pas empê- 
ché le poids de defeendre d’un mouvement uniformément accéléré, en forte 
que pour les quatre premiers demi -tours du cylindre il n’eût fallu que le 
double du tems quedemandoie le premier demi -tour. Mais le frottement 
empêcha cette accélération uniforme. On voit, tout au contraire, que la 


des Sciences et Belles-Lettres. 


i3 

viteflc de la rotation du cylindre étoit afymptotique, & qu’après les 6 pre- 
miers tours ou les 1 z premiers demi -tours elle devint fenfiblemcnc confian- 
te dans toutes les quatre expériences. 

§. 10. Or comme 1 effet du frottement revient à celui de la ré- 
fiflance des fluides, on voit que ce cas eft entièrement analogue à celui de 
la defeente d’un corps dont la gravité fpécifique n’eft gucrcs plus grande que 
celle du fîuidc dans lequel il defeend, à commencer du repos. Et comme 
ici il ne s’agit que de comparer le tems avec l’cfpacc parcouru, nous pour- 
rons nous en tenir aux formules 

c : C — co f i », 
x — a. log. cofcc z », 

•f — log.COt », 

que j’ai données dans le Mémoire fur la nf fiance des fuides cité ci-deffus. 

§. rr. Dans ces formul.s le tems t fc compte du commencement 
de la defeente, de même que l’efoace parcouru x. Enfuire c eft la 
vitcflè qui répond à un tems quelconque r, & C eft la viteffe termina- 
le, ou qui répond un tems infini. Enfin a eft une confiante qui 
dépend des circonflances particulières des expériences , ôc des unités qu’on, 
met pour bafe. 

§. 1 z. Comme donc le tems t doit être compté dir commence- 
ment, & que Mr. S c ho ber ne rapporte que les intervalles du tems em- 
ployé pour chaque demi -tour du cylindre, on. voit qu’il faut fuccefïivc- 
ment prendre les fommés de ces. intervalles. C’efl ce qui nous, donne 
la Tablé fuivante. 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalh 



15 livr. 

20 lier 

25 livr. 

30 livr. 

X 

T 

T 

T 

T 

1 

3 8 5 " 

2.94" 

24 *" 

11 3 

a 

548 

419 

34 * 

30 6 

3 

670 

517 

43 i 

381 

4 

7 S 7 

604 

I07 

44 * 

s 

89 6 

68l 

*73 

JOI 

6 

1001 

7*3 

<*34 

**3 

7 

1 104 

820 

6y 0 

6oz 

8 

iao C 

883 

744 

648 

9 

1 306 

943 

794 

<>93 

10 

1407 

JOOI 

841 

7i 6 

1 1 

1507 

IOJ 7 

889 

777 

n 

1606 

I t 12 

93 * 

817 


§. 13. Or afin de m’aflurcr s’il n’y a pas dans ccs expériences des ir- 
régularités trop confidérables , je conftruifis les nombres de cetre Table en 
n. t prenant les .y comme des abfciiïes fur la droite AB, de en faifant les or- 
Fi s- '' données égales aux nombres t. C’efl de cette façon que j’obtins autant de 
points pour les quatre lignes courbes AD, AE , AF, AG, & je vis 
que ccs courbes avoicnt une courbure affez uniforme de régulière, de que fi 
dans les expériences il y avoir quelque irrégularité elle ne pouvoit être que 
très petite de de peu de conféquence. 

§. 1 4. J’entrepris donc d’appliquer les formules 
c : C ~ cof 1 «, 
x — a. log. cofec. 2 

T — ^ log. COt CJ, 

à la première expérience. Il s’agifToit de déterminer la confiante a de la 
vitefle terminale C. On voit bien qu’il falloir y parvenir par approxima- 
tion. Pour cet effet la Table me fit voir que dans cette expérience le poids 
alloit acquérir une vitefle telle que le cylindre fît un demi -tour environ ea 
100 Tcondcs de tems. Enfuite, je pouvois par conflruétion déterminer 
à très peu près le point de la courbe AD où la vitclfe étoit la moitié de c. 


dis Sciences et Belles-Lettres. 


Ccft ce que j’obtins par le moyen des tangentes. Ce point répondoit à 
très peu près à l’abfciflè x ~ x. Or ayant de cette façon c — ^ C, 
j’avois w — 30°, & comme à x — x répond t — 548, il n’ctoit 

pas difficile de déterminer les valeurs a, ^ & ainfi C. Or cette valeur 

de C étant un peu différente de la valeur C — 77— que j’avois mife 
pour bafe, je continuai de déterminer le tout plus exactement au moyen 
des interpolations. 

§.15. De cette maniéré & en employant les logarithmes tabulai- 
res je trouvai 

x — 15,78- Iog. cofec x 
T ZZ 1518- log. COt CO. 

Ainfï, par ex. lorfqu’il s’agit de trouver le tems r qui répond à x ~ 8, 
on a 

£ 

— ZZ 0,50 606 ZZ log. cofcc ICO, 

1 S* 7& 

donc 

log. fini * z= ^,49304, 
ii- zz 18° 8', 

w = 9-4, 

log. COt 10 — O, 7970 » 
ce logarithme étant multiplié par 1518 donné 

T ZZ I llo ". 

Calculant de cette façon les valeurs de r répondantes à x ZZ 1 , x , 3 . . . 11, 
ces valeurs pourront être comparées à celles que donne l’expérience, conune 
on le verra dans cette Table. 


1 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


X 

t par 

cxpJr. 

T 

ca’cuitf. 

diff. 

I 

3 S 5 

3 4 » S 

— 

20 

a 

54 « 

528 

— 

20 

■y 

y 

670 

66 3 

— 

7 

4 

787 

7*3 

— 

4 

5 

8 y 6 

8 y -5 

+ 

0 

6 

1001 

1003 

+ 

2 

7 

1 104 

1 108 

+ 

4 

8 

r :o^ 

1210 

+ 

4 

y 

1306 

i;io j 

+ 

4 

10 

1407 

1410 

+ 

3 

1 1 

1507 

1 508 

+ 

I 

12 

1606 

1 606 

+ 

0 


On voie que les différences font très petites «Se qu’il n’y a que les deux pre- 
mières qui foient plus confidérables. Cela peut être attribué à ce que 
dabord le mouvement eft fort lent. Car alors les moindres irrégularités 
dans le frottement deviennent perceptibles & arrêtent le mouvement. 

§. i 6. Pour trouver la véritable valeur de a, il faut dans les deux 
équations 

x ZZ 15,78- log. cofec i u 
t ZZ 1518 log. COt a 

introduire les logarithmes hyperboliques, 6 c par conféqucnt multiplier les 
cocdicicns par 0,434x7 - - - -, ce qui donne 

.v zz 6, S 5 3 • log. cofcc x *>, 

7 ZZ 657,3. log. cota-, 

6 c ainli 

a — 6 , 853 , 

C zz 0,01037- 

§. 17. Comme on a en général 

on 


des Sciences et B elees-Lettres. 


*7 


on aura, en fubfti tuant les valeurs a , C, 

e + r -.6 J 9 . 3 T = <J 9 ,J 

cc qui pour le mouvement initial donne 
2 £2 

x ZZ =Z o, 00000787^.^*. 

§. i 8* Or comme l’unité pour la mefure de la defcente eft un 
demi -tour du cylindre, c’eft à dire pied de Paris, en multipliant 
o, 000007876 par o, 57, on aura en parties décimales du pied de 
Paris 

a — 3,91, 

C ~ 0,00593, 

AT — 0,000004489.7% 

Or pour l’aétion de la gravite naturelle on -a 

a: — 1 5 , o 9 6 . T*. 

Donc la gravité naturelle cft à la gravité rélative qui dans cette expérience 
fit defeendre le poids, comme 15,096 à 0,000004489, ou comme 
1 à 0,0000001974. 

§. 19. Pour la fécondé expérience je trouvai , en employant les lo- 
garithmes tabulaires, 

x — 50,85 Io g- cofcc 1 «, 

T — 1151 log. CQt w, 

& par confcqucnE la Table fuivante. 


Iftuv. Man. 1771 . 


C 


i8 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


X 

T p-’r 
expér. 

r p’r le 
calcul. 

diff. 

I 

a<?4 

2-97 

+ 3 

1 

419 

4-3 

+ 4 

3 

J *7 

ïai 

+ 4 

4 

*<•4 

606 

+ 4 

5 

6 gl 

*83 

+ 1 

6 

7 5 

714 

+ i 

7 

810 

8 -0 

0 

8 

883 

883 

0 

9 

943 

944 

+ 1 

JO 

1 00 1 

1 coi 

+ 1 

1 1 

1057 

1058 

+ « 

11 

1 1 1 ï 

r « 1 4 

+ i 


Ici fes difïcrences font encore plus petites que dans la première expérience, 
& en diminuant le coefficient ZZ5Z de 3 ou 4 unités elles deviennent 
encore plus petites. 


§. z o. Or en introduïfànt les logarithmes hyperboliques on a 
x — z z, 08 log. cofec z&>, 

T — 978,1 log.cot», 

& ainfi 

a ZZ 08 HZ 1 z, 5 9 pieds, 

C — o,ozz57 — 0,01 z8 6 pied, 
ce qui pour le mouvement initial donne 

T 2 . C z 

x zz — - — zz 0,00001 131.^ 

%a 


ou bien en parties décimales du pied de Paris 
x ZZ o, 000006447.1-*. 

Ainfi la gravité relative dans cette expérience eft ZZ 0,000006447, 
tandis que la gravité naturelle eft 15,096, ce qui donne le rapport de 
1 à o, 0000004Z7 o. 


»ES SciEWCES ET B E L L E S -L E TTR E S. 


J 9 

§. 21. Pour la troifieme expérience je trouvai, en employant les lo- 
garithmes tabulaires, 

x — 5 3t. log. cofec. i a, 
t — 1 944. log. cot «, 

& par conféquent la Table fuivante. 


X 

T exp. 

T Clic. 

dirt'. 

I 

241 

2JO 

+ 9 

X 

345 

35* 

+ n 

3 

43* 

441 

+ 9 

4 

507 

ÏIO 

+ 3 

5 

573 

575 

+ 2 

6 

634 

634 

0 

7 

690 

69 O 

0 

8 

744 

743 

— 1 

9 

794 

793 

— ■ 1 

10 

84* 

842 

0 

1 1 

889 

890 

+ I 

12 

935 

935 

0 


Ici donc il n’y a que les trois premières différences qui foient un peu plus 
confidérables, ce que j’attribue encore à ce que le mouvement initial étant 
fort lent, les irrégularités dans le frottement deviennent plus fênfïbles. 
Cependant comme dans cette expérience les premières différences font pofl- 
tives, il femble que la rotation du difque avoit d’abord été moins retardée 
que dans la première expérience. 

§. 2 2. En introduifant les logarithmes hyperboliques, les deux équa- 
tions pour cette expérience font 

x ZZ 23,16 log. cofec 2«, 
r zz 844> 3 log. cot », 
ce qui donne 

a — 23,16 zz 13,20 pieds, 

C zz 0,02743 zz 0,01563 pied, 

C 2 


io Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalb 

& par conféquent pour le mouvement initial 

t 2 . C 2 £ , 

x — — o,ooooi6 iii. r, 

2 a 

ou bien en parties décimales du pied de Paris 

X ZZ O, OOOOOCJ15 J. T 1 . 

Ainfi la gravité relative dans cette expérience étoit ZZ 0,000005157, 
tandis que la gravité naturelle eit ZZ 15,056; ce qui donne le rapporc 
de 1 à 0,0000006131. 


§. 13. Enfin je trouvai pour la quatrième expérience 
.v ZZ 50,85 - log. cofec 1 ai, 
r ZZ 1654. log. cot w, 

5 c par conféquent la Table fuivante. 


X 

T exp. 

T eilc. 

d.tf. 

I 

11 3 

11 8 

-r 5 

a 

306 

310 

+ 4 

3 

38i 

353 

+ 1 

4 

445 

44* 

+ 1 

î 

Soi 

0 

»■> 

+ 1 

6 

r î 

7 54 

+ 1 

7 

60 1 

^03 

+ 1 

i> 

0.‘ s 

*49 

+ I 

9 

*93 

*93 

0 

10 

73<î 

73* 

0 

1 1 

777 

777 

0 

12 

H17 

8i3 

+ 1 


Encore ici les deux premières différences font les plus confidérables, comme 
dans les trois expériences précédentes. La raifon en eft la meme, c’clt que 
dans les mouvemens lents les effets du flottement font plus irréguliers. 
C’eftce que j’ai conftammcnt obfcrvc dan» les bouffolcs, 6c furtout dans 
celles qui ne font pas fort aimantées, 6c qui par cette ra Ton font leurs ofcil- 
Iations fort lentement. Quelquefois leur mouvement, au lieu de s’accélé- 


des Sciences et Belles-Lettres. 


i i 


rer, fe raücntir pour vaincre un obfhclc que le frottement leur oppofe, & 
après l’avoir v aincu il recommence il s’accélérer au point qu’il femble n’avoir 
rien perdu. C’eft ainfi qu’une boule rallentic fon mouvement lorfqu'clle 
rencontre quelque élévation où elle doit monter; mais ce mouvement re- 
commence à s’accélérer lorlqu’ellc redefeend. 

§. 14. Mais pour revenir à notre expérience, il refte encore à intro- 
duire les logarithmes hyperboliques dans nos deux équations. C’eft ce 
qui les change en 

x zz xi, o 8. log. cofec z», 
t zz 7 i 8, 3 log. cot (■>. 

De là on tire 


a ZZ il, o 8 — il, 59 pieds, 

C zz 0,03074= 0,01751 pied, 
& ainfi pour le mouvement initial 
T 2 - C 2 


1 a 


~ 0,000011403.-.% 


ou bien en parties décimales du pied cic - Paris, 
x zz 0,00001 11 85. t 1 . 

Air.fi la gravité relative dans cette expérience eft: ZZ o, 000011185, 
tandisque la gravité naturelle elt zz 15,096, ce qui donne le rapport 
de 1 2 0,0000008701. 

§. 15. On voit donc que les formules 
x zz a. log, cofec la», 

t zz log. cot iv, 
c 

expriment dans les quatre expériences de Mr. Sdiobcr 1 accélération du 
mouvement suffi exactement qu’on pouvoit s’y attendre, & qu ainfi la théo- 
rie de la rcfifhancc des fluides s’applique parfaitement bien à la réfiflance 
qui réfulte du frottement. On voit auffi que les différences entre la théorie 

C 3 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


L Z 


& les expériences font plus petites h mcfure que le mouvement eft plus ac- 
céléré, 6c que ces différences ne font anomales que lorfque le mouvement 
«ft encore fort lent. 

§. z6. Il nous reflc h comparer entr’ellcs les quatre expériences. 
Mais faute de données je ne pourrai pas faire cette comparaifon fort com- 
plètement. On fait que pour mettre une machine en mouvement il 
faut un certain degré de force pour contrebalancer le frottement. Je 
désignerai cette force par un poids ZZ b. Et cette quantité pour une 
meme machine eft confiante, à moins que les parties de la machine ne 
s’ufent ou ne s’altèrent avec le rems. 


§. 27 . ' Mais fi en augmentant la force motrice il en réfultc une plus 
grande prdlion 6c ainfi un frottement plus fort, il eft clair que le poids b 

doit être augmenté d’une quantité , que je défignerai par n(P Z>), où 

P dénote le poids égal à la force entière, 6c n une partie de ( P — />), 
de forte qu’en général n (P — b) eft une fonétion de P, qui fe déter- 
mine par l’arrangement de la machine. 


§. ag. Ce qui étant établi, la partie de la force qui met la machine 
en mouvement eft exprimée par 

p ZZ P — n(P — b) b — (P /’) . ( i — n). 

Et c’eft de cette partie que dépend l’accélération du mouvement, du moins 
dans les premiers inftans. 

§. i<j. Or dans les expériences de Mr. Schober il y a deux caufes qui 
rallentiflcnt cette accélération. L’une c’eft l’inertie des roues 6c des 
pignons, & furtout celle du difque de plcrmb, dont l’effet eft fort confidé- 
rable; car fon poids eft de 4 ^ livres ZZ livres. Et fi le poids P, 

fufpendu au cylindre, croit immédiatement appliqué à l’efïieu qui fait tour- 
ner le difque, fa diftance du centre ne pourroic être que de j~ . ^ ' — 

pied. Or le demi -diamètre du difque écant ZZ ^ pied, 


>9 


. aaoo.12.8 

il s’enfuit que la gravité relative du poids P eft 

, 19.19 .P 

y — 


P . 19-19 H- 3 S - 32.aaoo.zaoo * 


des Sciences et Belles - Lettres. 


il 


ou bien 

15,09 6. P 

y — ■ ■■ — ■ — 0 

F q- 1)016066 

§. 30. Or comme dans ces expériences le poids P ne va pas an 
delüi de 3 o livres, on voit aifément qu’on peut omettre ce poids dans le dé- 
nominateur de cette fraction, ce qui donne plus brièvement 

y ZZ 0,000001005 31. P. 

Si donc le poids P n’avoit à vaincre que Finertie du difque, il au- 
roit la gravite rélative y, &c delcendroit avec une vitefle uniformé- 
ment accélérée, en forte que là chute dans la première fécondé feroic de 
0,0000010053a. P pied. 

§. 31. Quant à l’inertie du rouage, je ne faurois l’évaluer faute de 
données. Mais l’effet en devoir être une diminution à très peu près pro^ 
portionelle au poids P, de forte que nous pourrons faire 

y “ 0,00000100531.^? 
où m eft une fraétion d’une valeur à très peu près confiante. 

§. 3 x. Cette gravité auroir donc lieu fi le frottement n’y mettoit un 
double obftacle. D abord la partie efficace du poids P fc réduit à p ~ 
(P — b) . ( 1 — n) , & cela change cette gravité en 

y ZZ o, 00000 r 005 3 i. m.(P — b) . (1 — ri) 
qui ne laifièroit pas néanmoins de produire un mouvement uniformément 
accéléré. Mais comme le frottement s’oppofe encore en raifon du quarré 
de la vitefle, comme dans la réfiftance des fluides, cela change l’accéléra- 
tion, en forte que les courbes AD, AE , AF, AG, au lieu d’être des 
paraboles de la forme 

.v ZZ o,oooooioo53l./7z.(P — b).( 1 — n).r% 
deviennent afymptotiques. 

§. 33. Mais comme elles ne s’écartent que peu â peu de la nature 
parabolique, cela fait que pour les premiers inflans on peut leur fubftituer 


a 4 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


des paraboles. C’e fl: au/fl ce que j’ai fait ci - deflus en déterminant la gra- 
vité relative pour chacune des quatre expériences. Voilà donc ce qui, en 
fubftituant les valeurs de P , nous fournit les quatre équations fui van ces: 
0,0 000010053 2.. ni, ( 1 5 — à).(i — n) — 0,000004489, (§. 1 6 .) 
0,00000 I 005 3 i . m (a o — Z>).(i — n) zz 0,0 co 00 6447, (§• 2 -°0 
0,00000100531.772(15 — b).( 1 — n) — o, 000009x57, (§. xx.) 
0,000001 005 3 x. m (3 o — £).(i — n) ~ 0,0000 1 11 8 Jj (§.14-) 
d’où l’on tire 


m. (15 

~ b) . 

(r 

— n) — 

4,47 

m. (xo 

— b) . 

(1 

n) ZZ 

*,41 

m. (15 

— b) . 

(1 

— ’ ri) ZZ 

9,11 

m. (30 

— b) . 

(1 

— n) — 

1 1, 1 1. 


». •§. 34. Soient maintenant les abfcifiès AP , pro- 

portionclles aux poids' P zz 15, xo, 15, 30, & les ordonnées £ 27 , 
(7 2 T, A/ 1 ', AG proportionclles aux gravités y répondantes. La courbe 
DEP G exprimera les rapports entre P 6 c y, en ce que y doit être en 
raifon de (P — b) . (1 — n) ou bien 

y = 0,90000100531. ni. (P — b) . (1 — n ). 

§.35. Or fi dans cette équation n étoit confiante, y croîtroit 
dans le rapport de ( P — b), & par conféquenr la ligne GI) feroit 

droite. Lu Figure fait voir quelle ne l’efi pas, mais que cependant la par- 
tie £ G ne s’écarte pas fcnlibicment de la droite TE G. La valeur de n 
eft donc variable, en forte qu’elle approche allez vite d’une quantité 
confiante. Voilà donc ce qui fait que dans les trois dernières expérnvccs 
la partie des poids requile pour vaincre le frottement efi ~ A I\ ce qui 
revient à environ 9 livres. 


§• 3*. 


dis Sciences et Beiies-Lettre*. 25 

§. 3 6 . De cette maniéré !a partie des poids qui produifoit le mou- 
▼enaent dans ces trois expériences étoit 

Exp. 2. TQ ZZ 10 9 ZI 11, 

3. TR ~ ^ 5 — 9 z= 16, 

4. T, S’ = 30 — 9 — — 1 1 > 

& c’eft à ces poids que les gravites relatives QE t RF t SG font à très 

peu près proportionelles. 


§• 37 - 


nous aurons 


Si donc nous faifons 

AG — o,oooon 5 , 


RF zz 0,000009*?, 
QE zz 0,00000 66 . 


§. 38. Or la valeur - étant la mefure abfolue de la réfiftance, elle 

doit avoir été dans ces trois expériences à très peu près confiante, puifque 
le poids requis pour vaincre le frottement l’eft de même. Aulli les valeurs 
de a trouvées ci - dcfTus pour ces trois expériences étant 


a ~ 11,59 pieds 

(§. 10.) 

a ZZ 13,20 

(§.*■*•) 

a ZZ 11,59 

(§. X 4 -) 


on voit que ces valeurs different allez peu entr’elles. Je poferai donc pour 
plus de brièveté a Z pieds. 


§. 39- 


Comme donc on doit avoir 
2 a y ZZ CC t 


on aura pour la valeur de C 

Exp. 2. C ZZ 1/(25. QE) ZZ 0,01285 pied 

3 * C zz 1/(25. RF) — 0,01549 

4 - G zz 1/(15. SG) — 0,01789. 

Mâ n. I77x. D 


Pig * 


r 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

Or nous avons trouvé ci-dcfîùs 

Exp. i. C — o,oiig(j pied 

3. C zz o, 01563 

4. C zi 0,01751. 

Ainfi ces valeurs ne difFerenc gueres entr’elles. 

§. 40. La première expérience fait en tout ecla une exception a fiez 
confidérable. La valeur de a eft — 3,^1, ce qui fuppofb une ré- 
filtance beaucoup plus grande. La vitefîe terminale C eft 0,005 93 » 
& par conféqucnt beaucoup plus petite qu’elle ne feroit en comparail'on des 
trois autres expériences, mais pourtant plus grande que la valeur de 
a ~ 3, ^ i ne femble l’exiger, puisque ces deux valeurs 

a ~ 3,91 

C ~ 0,00593 

donnent la gravité rélativc 

y zi PD — o, 000004489* 

qui fait que le point D tombe beaucoup au-defius de la droite F G. 
Ain/i cccre gravité relative auroit été plus grande qu’elle n’auroit dû être 
comparativement aux trois autres expériences. Il n’y a gueres moyen d’ex- 
pliquer ce phénomène autrement qu’en admettant que dans la première ex- 
périence quelque taufe accidentelle a arrêté ôc raüenti le mouvement de la 
machine au commencement, mais que cette cauiè a celle peu à peu à mefu- 
re que la vitelTe alloit en augmentant. Voici ce qui me porte à juger de 
cette maniéré. 

§. 41. Les courbes AD, AF, AF, AG different cTabord 
infiniment peu de la parabole, & ne commencent à s’en écarter 
fenfiblcment qu’après la première révolution du cylindre. Voilà ce qui 
nous met en état d’évaluer la lettre y au moyen du tems employé peur la 
première demi - révolution, pendant laquelle les poids dcfccndoicnt de 
o, 5 7 pied. Or ce tems étoic dans les quatre expériences de 38 5 » 2-94, 


des Sciences et Belles-Lettres, 


^7 

2,4,1 , 113 fécondes. Divifanc donc 0,57 par les quarrés de ces ccms, 
les quotiens nous donneront fcfpacc parcouru dans la première fécondé, & 
par conféquenc les gravités relatives. 

Exp. 1. 7 ZZ 0,00000384^ P icd * 

1. 7 ZZ 0,000006594 

3. 7 ZZ 0,000009811 

4. 7 ZZ 0,000011780. 

On voit donc que dans la première expérience la gravité rélarive, au lieu 
d’être 7 ZZ 0,000004489, netoit que y ZZ 0,000003846, & 
ainfi beaucoup plus petite. Or la première de ces valeurs ayant été dédui- 
te des abfciffes & des ordonnées de la courbe A D beaucoup plus éloignées 
du fommec A, il s’enfuit que cette courbe différé, pour ainfi dire, d’elle— 
même, ce qui ne peut êcrc attribué qu’à quelque caufe accidentelle qui peu 
à peu ceffa de produire fon effet. 

§. 41. Il y a cependant une autre confidération à laquelle il con- 
vient c!c nous arrêter. A proprement parler, la ligne GD n’efl pas dans 
toute la rigueur géométrique une ligne courbe, mais un polygone, qui 
commence quelque -part en B , qui s’élève fort brufquement au-defîus de 
A S, & dont les côtés deviennent & même affez vite fi petits que pour peu 
que la vitcfTe foie confidérable elle affeéte la continuité d’une ligne courbe. 

§. 43. Qu’on mette un corps fur un plan incliné. Si d’abord l’in- 
clinaifon cil très petite, ce corps reliera en repos fans gliffer, puifquc le 
frottement de la bafe y mec obftacle. On conçoit qu’il y a un angle d’in- 
clinaifon ZZ où la force qui tend à faire defeendre le corps efl en équi- 
libre avec le frottement. Il femble donc qu’en augmentant cet angle tanc 
foit peu, le corps doit commencer à gliffer avec une lenteur infinie. Ce- 
pendant cela n’arrive jamais. Car le corps, ou rcfle en repos, ou s’il 
gliffe, c’eft toujours avec une vitcfTe qui n’efl rien moins qu’infiniment pe- 
tite. Il y a là toujours une efpece de faut de la viteffe zz o à une vitclfc 
finie. La raifon en efl que l’inégalité des furfaccs n’cft pas un objet du 

D 2. 


îg Nouveaux Mémoires de l’Académie Royal* 

calcul des quantités continues mais des quantités diferetes. Les parti- 
cules éminentes forment autant d’unités numériques, quoique de différente 
valeur. Ces unités ne fc confondent que lorfque la viteffe eft affez grande 
pour qu’elles puifïcnt être regardées comme infiniment petites. Ce n’eft 
qu’alors que le calcul des quantités continues peut avoir lieu. Voilà donc 
ce qui fait qu’il refie indécis, de quelle maniéré la ligne GD doit être 
*■*- *• continuée au-delà de Z), & que peut-être déjà en D elle commence à 
être anomale. 

§. 44. Du refie c’efl faire l’éloge des expériences de Mr. Schober 
que de dire que les anomalies qui s’y trouvent font toutes fort petites. 
Car en examinant de la même façon quelques autres expériences, comme 
par ex. celle que Mr. MuJJchenbroech rapporte dans le §. 349. de fon EJ} ni 
de Phyjique , non feulement on ne voit pas comment il en a déterminé les 
réfultats, mais en admettant ces rcfultats il s’enfuivroir que les virefîès 
augmentent dans une plus forte raifon qu'c le frottement. C’efl tout le 
contraire de ce qui devoit s’enfuivre, puifque le frottement croit comme le 
quarré de la vitcfîc. J’ai vu encore d’autres expériences où les vireffes C 
feroient à très peu près proporrionelles au quarré des poids P, qu’on regar- 
doit comme la mefure du frottement, au lieu qu’il eût fallu trouver 
CC ZZ xay f c’eft à dire le quarré de la viteffe terminale cri raifon direele 
de la gravité rélativc y, &. en raifon inverfe de la mefure abfolue du frotcc- 

menr, qui eft ZZ J’en inféré qu’il eft très difficile de bien faire ces 

fortes d’expériences, furrout lorsqu’il s’agit d’en déduire les Ioix du frotte- 
ment, ou d’examiner celles qu’on déduit de la théorie. Les mouvemens 
lents n’y font d’aucun ufage, parce que les petites irrégularités y produifent 
des anomalies trop fênfiblos. Et fi en général le mouvement eft rallenti 
par une caufe accidentelle quelconque, cela influe dans toute la fuite de 
l’obfervation. 

§.45. Il convient cependant de faire encore mention des expérien- 
ces de Mr. Adeijler dans le premier Volume des Nouveaux Commentaires 


dh s Sciences et Beues-Lettihs. ty 

de la Société R. de Gœttingue, qui vient de paroître. Ces expérience» 
me parodient être faites avec beaucoup de foin de quatre manières différen- 
tes & plufieurs ont été répétées plus d’une fois, tant immédiatement 
que quelque rems après. Mr. Mcijîer ne détaille pas à la vérité tou- 
tes les circonftances. Il fe borne à indiquer les tems & les efpaces parcou- 
rus, £ms en donner cependant les mefures abfolues. Comme dans fa pre- 
mière machine la réfiftance de l’air pouvoir en rallentir le mouvement, je 
paierai d’abord aux expériences faites avec la fécondé machine, 06 un 
poids fit tourner une poulie en dévidant le fil auquel il étoit fufpendu, & qui 
fe détaçha entièrement auflitôt que le poids fut defeendu autant qu’il dévoie 
defeendre. Le premier jour M. MeiJIer trouva 


«fpacîs 

terni 

46 

2 

40 

26, J 

35 


30 


a J 

IV, 5 

10 

17,8 

1 S 

1 

10 

1 *,S 

î 

9-0 

1 

3 ,o 


§. 4 G. Afin d’examiner d’abord s’il y a dans ces nombres quelque ré- 
gularité, je regardai les efpaces comme des abfciiïès & les tems comme les 
ordonnées d’une ligne courbe, & en conflruifant cette courbe je vis qu’elle 
devoir néceff'.ircmtnt p.tïTer au-deflus des points trouvés pour les ordon- 
nées répondantes aux abfcifils ou aux efpaces 15, 30, 30, & que les or- 
données répondantes aux efpaces x, 5 croient pareillement un peu irrégu- 
lières. Du reltc ces différences étoienc aflez petites & au-deffous d’une 

unité. 


§. 47. J’entrepris donc d’y appliquer les formules (§. 10.) & je 
trouvai qu’en employant les logarithmes tabulaires il fàlloit faire 


3o Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


les efpaces .v — — -- — . loz. cofec. i « 
r 0,0075 c 

les te ms t — — . log. cor. ", 

0,00*15 D ’ 

Ge qui me donna 


X 

T CllC. 

t exp. 

diff. 

.\6 

18» 8 


— o, 2 

40 

z6, 5 

16, s 

* 

3 * 

14 » 5 

13. 5 

+ 1,0 

33 

2'., 4 

22» S 

+ 0, 9 

15 

10, 1 

' 9 . S 

+ 0, 6 

10 

17, 8 

17,8 

* 

1 5 

I Si 2 

1 S. 1 

— 0, 1 

10 

23 . I 

11. S 

+ 0» ^ 

5 

8, 5 

9 .Q 

— o, 5 

1 

3.8 

3 .o 

+ 0,8 


§. 48. Mr. Meijîcr répéta les mêmes expériences le fécond jour plus 
d’une fois. Je pris donc le terme moyen du réfulrat de chacune, & je vis 
qu’il fufiifoit d’augmenter les rems trouvés dans le précédent §, dans le 
rapport de 5 3 à 5 g, pour avoir les réfulcats fuivans: 


.V 

t cale. 

t eip. 

diff. 

46 

J 1 ** 

31.0 

— 0,4 

40 

lÿ. 0 

18, 8 

+ 0, 2 

3 > 

15 , 9 

16, 3 

— 0,4 

3 ° 

13. 6 

14, x 

— 0, 5 

U 

il. 1 

2 1, tf 

+ 0, 5 

20 

19. s 

19. 1 

+ 0. 3 

I S 

26, 5 

2 $, 2 

+ 0,4 

10 

24 , 3 

2 3.1 

+ 2.1 

S 

9 - 3 

9 . 0 

+ 0,3 

2 

4 ,i 

3 .o 

+ 1,1 


H n’y a donc ici que l’ordonnée r — 1 3, % < 5 c t — 3, qui foie 

confidérablement plus petite que celles- que donne le calcul. Ccft encore 
ce qu’il faut attribuer à la lenteur du mouvement, -que le moindre obftaclç 
rend fort irrégulier. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


3 1 

§. 49. Je me difpcnfcrai d’appliquer le calcul aux autres expériences 
que Mr. Aieifîer a faites avec la même machine. Les réfultats ne différent 
qu’en ce que l’effet du frottement varia par différentes caufes extérieures, 
p. ex. la chaleur, l’humidité &c. que Mr. Meifzer n’a pas laiflë de rappor- 
ter. Tout te qui s’enfuit en general c’eft qu’il faut écarter les expériences 
qui different trop confidérablement de toutes les autres, & que de celles-ci 
il faut prendre les termes moyens qui répondront à ce qu’il y a de plus 
confiant & de plus régulier dans le frottement, fans cependant faire entiè- 
rement abltraëtion des caufes extérieures & accidentelles, qui ne laiffcnt pas 
de furvenir, du moins de rems en tems. Il efl clair que la force motrice 
qu’on applique à la machine doit toujours fuffirc, même dans les cas où ces 
caufes accidentelles s’y oppofent le plus. 

§. 5 o. Quant aux expériences que Mr. Mcijler a faites avec fa troi- 
fiemc machine, elles demandent encore d’ërre examinées par la conflrucHon, 
chacune féparément. J’cn ai fait l’eflài pour la première de ccs expérien- 
ces, qui m’a paru etre la plu; anomale. Voici ce que j’ai trouvé: 



On voit par là que la féconde & furtout les deux dernières de ccs expérien- 
ces different très confidérablement de ce que demande la régularité de l’ac- 
croiffcment du tems. Or en retenant les ordonnées t trouvées par la 
conflru&ion, j’ai vu que les tems t croiflént à très peu près comme les ra- 
cines quarrées des efpaces, ce qui indique que l’effet du frottement dù à la 
vkeffe ne doit pas avoir été fort confidérable , probablement encore par 


3t Nouveaux Mémoires de l’Académie Rotalh 

quelque caufe accidentelle. Car dans quelques autres expériences que 
Mr. Meijîer a faites avec la même machine il n’en a pas été de même. 

§. 51. Dans les expériences que Mr. Meijîer a faites avec fa 4™' 
machine je trouve qu’en général les tems requis pour parcourir l’efpace 
— 1 o furpaffoient du double & même du triple les tems requis pour par- 
courir l’efpace zz 5 . Or cela ne fauroit être à moins que l’effot du frot- 
tement ne croiffe en plus forte raifon que le quarré de la vitefîe. Mais ou- 
tre que Mr. Meijîer rapporte lui - même différentes caufes qui peuvent avoir 
renforcé l’effet du frottement, il me femble que ces mêmes caufes y ont in- 
flué encore d’une autre façon. Mr. Meijîer a renouvellé fes expériences 
pour chacun des cfpaccs 1, i, 3 - - - - 10 féparément, ce qu’il ne 
pouvoit faire que fuccefBvement. Or de fes expériences ff réfulte en géné- 
ral , qu’à mefure qu’il les répéta de fuite le frottem*nt diminua. Si donc 
p. ex. il a commencé par Telpace z 10, il devoir trouver le tems r plus 
long que s’il avoir commencé par quclqu’autre elpace. La différence n’eft 
pas fi petite, puifque pour un même efpace ZZ 10 les tems différoient 
depuis 347 jufqu’à 6 3. Je fais donc entièrement abflraétion de ces expé- 
riences, & je reviens à rendre juftice à M . Schobtr fur ce qu’il aeu l’attention 
de noter les efpaces & les tems employés pour chaque demi -révolution du 
cylindre, fans fc voir obligé de remonter la machine pour chacune des 1 z 
demi -révolutions féparément. (§• 8-) C’eft là précifément ce que deman- 
dent les loix de la continuité, de l’uuiformité de de l’égalité des circonftan- 
ccs dans les expériences. 



SUR 


-Vour.A/em . de lAcad R. des Sc.et£J,jJJ2.f.-I.p.33. 



des Sciences et Belles-Lettres. 


33 


SUR 

LA FLUIDITÉ 

DU SABLE , DE LA TERRE ET D'AUTRES CORPS MOUS \ 

relativement aux loix de V Hydrodynamique. 


Par M. Lambert. 


§. r. 

L es expériences & la théorie qui feront le fujet de ce Mémoire, regar- 
dent le pilotage 6c la folidité du fondement des ouvrages d’archi- 
teffure, 6c contribueront en meme temps à répandre du jour fur quelques 
queffions embarraflàntes. 

§. z. Il y a longrems qu’on s’eff étonne de ce qu’un petit coup de 
marteau fait plus d’effet que n’en produit un poids d’une groffeur confidéra- 
blc, lorfqu’il s’agit d’applatir du plomb, ou d’enfoncer un clou, ou de fen- 
dre & de caffer un corps 6c c. Mr. de Camus, dans fon Traité des forces 
mouvances publié en r/n & réimprimé en 172-4, rapporte pluficurs ex- 
périences qu’il a faites pour déterminer ces effets du choc en les comparant 
avec ceux qu’il produifit au moyen de la fimple preflion des poids. Quoi- 
que ces expériences foient allez peu exactes, parce que M. de Camus, au lieu 
de mefurer les effets, s’eff contente de les effimer, elles ne laiff.nt pas de 
faire voir que la différence entre le choc 6c la fimple preflion eff très confidé- 
rable. C’cft ainfi par ex. que dans la 1 o mf Proportion du troifïeme Cha- 
pitre il trouve, au un poids de 1 ^ livre tombant de huit pouces de haut fait 
autant c? effort pour comprimer ou écrafcr un corps ou folide, qu'un poids de 
zoo livres pofé fans chute. La différence entre 1^ 6c zoo livres eff fans 
contredit très confidérable, & d’autant plus qu’une chute de 8 pouces de- 
haut ne produit pas une fort grande viieiîè. 

Nliut. Aient. 1 77a. 


E 


54 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

§. 3. M. Je Cdnius crut pouvoir mcfurçr l’efrct des chocs par ces fortes 
de comparailons. A cet égard il n’eit pas le premier- qui ait eu cette idée. 
O11 dt naturellement porté à croire que le choc peut être évalue par des 
poids, & c’eft fur ce pied que le P. Merfcnn : 6c Défi art es 6c enfuite Leib - 
nitf ont cru pouvoir établir quelque loi générale, en regardant l'effet du 
choc comme égal au produit de la raafic de de la viteflè ou du quarré de la 
viteffe. Les difputcs occafionnées par ces évaluations font trop connues 
pour que je m’y arrête ici, 6 c j’en ai déjà parlé autre -part. Ainli je di- 
rai Amplement que dans ccs difpuces on a cherché de parc 6 c d’autre à 
confirmer par des expériences le lcntiment qu’on avoir embraflè, 6c que 
parmi ces expériences il y en avoir pluiieurs qui ctoient allez mal arran- 
gées pour qu’on n’en ait pu tirer aucuns couléquence légitime 6 c géné- 
rale. J’aurai occafion d’en parler dans la fuite. Je commence par celles 
que j’ai faites moi -même, dans l incencion de les établir pour baie de 
la théorie. 

§. 4. Je n’employai d’abord que du fable, que j’avois criblé pour 
l’avoir bien fin. Je le verfai dans un vafe 6c j’en applanis la lùrface. 
Enfuite je pris un parallélipipede de bois de buis, qui au moyen d’une 
charnière pouvoir être replié. En un mot c’éroit un pied de Paris, tel 
qu’on en acheté. Comme j’en ferai ufage dans les expériences luisan- 
tes , je l’appellerai fimplcment le pied ou le parallélipipede de buis. La 
bafe écoit de 1 5 lignes quarrées, 6c en le repliant elle lé doubloit. Le 
poids en étoit de 1 fi once, 6 c la pefanreur lpécifique de 93 à 94 li- 
vres, poids de Berlin, pour le pied cubique. Je plaçai ce parallélipi- 
pede doucement fur le labié, afin de voir jufqu’où il s’enfonceroit, après 
que je l’eus chargé de différons poids. Voici les réfultats. 


b es Sciences et Beiles-Lhttres. 


35 


Ce parallélipipede pefant 

- 

- 

s’enfonça 

demi -onces 

- 

- 

- lignes 
z 

X 

• 

— 

2 

3 - 

- 

- 

2 

T 

4 " 

- 

- 

- 1 

5 - 

- 

- 

- l ï 

6 

- 

- 

- X 

7 “ 

- 

- 

- a i 

8 - 

- 

- 

- *k 

9 - 

- 

- 

- 3 

10 

- 

- 

- 35 

14 - 

- 

- 

- 5 

ig - 

- 

- 

- 6 


D’après ccs nombres j’ai conftruit la première Figure où les abfciffes mar- 
quent les poids, & les ordonnées les lignes de l’enfoncement répondant. 
On voit qu’à quelques petites anomalies près les ordonnées aboutiflènt à une 
ligne droiEc, & qu’ainfi les enfoncemens font finalement en raijon des poids. 


n i r. 

Fig. «. 


§. 5 . Là - deflus je repliai le parallélipipede pour en doubler la bafe , 
6c en répétant ccs expériences je trouvai les enfoncemens répondans aux 
mêmes poids deux fois plus petits. Cela me fit voir que les enfoncemens 
font en raijon réciproque des bafies. Je répétai ces expériences avec d’autres 
parallélipipedes 6c je trouvai ces conféquences très bien confirmées, aufii 
longtems que j’employai le même fable. Mais lorfque je changeai de fable, les 
parallélipipedes s’enfoncèrent plus ou moins, fuivant que le fable étoir plus 
ou moins fin, ou que les grains de fable étoient plus ou moins arrondis. 
Cela me fit voir que dans la formule que je voulois établir par ces expérien- 
ces il y entroit un 'coefficient qui, pour une même efpece de fable, étoic 
confiant, mais qui varioit fuivant les diffèrens fables que j’employois. 


§. 6. J’établis donc que les enfoncemens font en raifon directe des 
poids de en raifon réciproque des bafes, & que le coefficient qui doit rédui- 

E x 


3 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

rc ccs rapports à l’égalité, Ce détermine par la nature du fable qu’on em- 
ploie. 

§. 7. Les enfonccmens dont je viens de parler, font l'effet de la 
chute du parallciipipcde, depuis la fur fa ce du fable jufqu’ù la profondeur où 
il s’enfonce. Cette profondeur cependant n’cit pas celle où le paralléli- 
pipede fait équilibre avec le fable, parce que celle-ci 11’en eft que la moitié. 
(Ù3r fi par ex. dans la dernière expérience du §. 4. le paraliélipipede pefant 
j g demi- onces s’enfonce de 6 lignes en tombant depuis la furfave, il ne 
s’enfonça point du tou: lorsque je commençai à de placer en ferre que fa bafe 
étoic 3 lignes au -de flous de lu f.-rCucc du flble. Ainfi ce paraliclipipedc 
pefant 1 8 pouces fait équilibre avec le fable lorfqu’il s’y trouve enfoncé de 
3 lignes. 

§. 8- Dans tou: cela il y a bien des chofcs qui foa: entrevoir une par- 
faite rcffemblance entre la fluidité du fable C: celle des liquides. Car enco- 
re dans les liquides un paralléüpipede fpéciSquemcnr plus léger, fera en 
équilibre îorfque la profondeur à laquelle il y efr enfoncé eA en raifon 
dircéte de fou poids & en raifon réciproque de fa bafe de de la gravité fpéci- 
fique du liquide. 

§. 9. A ect égard donc on peut attribuer au fable une cfpcce de gra- 
vite fpécifique , entant qu’il fait équilibre aux corps qui y font enfoncés h 
une certaine profondeur. C efc ainfi que dan; le f'-ble dont j’ai fait ufligc 
dans les expériences du §. 4, le psrallclipiptdc refte en équilibre lorfqu’il y 
ef: enfoncé à la profondeur de 3 lignes (ù. 7). Ür fa bafe étant de 1 5 
lignes quarrées (§■ 4) la partie enfoncée du paralîtiipipcdc cft de 45 lignes 
cubiques. CMt donc autan: que fi un volume égal de fable, en vertu de-s 
loix de l’HydroAatiquc, faifoir équilibre au poids du paralléüpipede qui cft 
de 18 demi-onces. Car c’cft moyennant ce poids qne le paralîélipipede 
peut -être cenfé avoir chafiè de leur place ces 45 lignes cubiques de fable. 
Or ces 45 lignes cubiques font à un pied cubique, comme ccs 18 demi- 
onces à 37314,8 livres. Ainfi à l’égard de fa force hydrofhttiquc ce fa- 
ble eft équivalent, quanta l’eflcr, à un liquide dont un pied cubique pc fa- 


des. Sciences et Belles - Lettres. 37 

roit au-delà de 37000 livres. Voilà donc l’évaluation de la force hy- 
droftatique du fable que j’ai employé dans les expériences du §. q. 

§. 1 o. Je crois n’avoir pas befoin d’avertir qu’en comparant de cette 
façon le fable à un liquide cette comparaifon admet certaines reftrictions. 

Ainfi par ex. un corps peut être enfoncé dans le fable beaucoup plus qu’il 
ne faut pour qu’il y ait équilibre. Il reliera dans cet état, tandis que s’il 
étoit trop enfoncé dans un liquide il remonterait & fe remettrait dans 
l’équilibre après différentes ofcillations. C’eft à cette différence qu’il con- 
vient d’avoir égard, & c’eft aufii en quoi la fluidité du fable diffère de celle 
des liquides. Le'fable s’oppofe à l’enfoncement comme les liquides, mais 
il n’eft pas affez Huide pour faire remonter ce qui y cft enfoncé au-delà du 
point où il fait équilibre. 

Ç. 11. Après ce que je viens de dire fur l’état d’équilibre- qui peut 
avoir lieu dans le fable, je pafîèrai à examiner ce qui fe fait dans les enfon- 
cemens en n’y employant que ce que je viens de nommer la force hydrofta- 
tique du fable (§.9). Soie donc D la furftice du fable, AB un corps f, £ î 
cylindrique ou prilmatique. Suppofons que ce corps tombe dans le fable 
de quelque hauteur — H, & qu’il s’enfonce jufqu’cn C. Soit encore 
_AE HZ b la partie qui doit être au -de flous de la furface du fable pour 
qu’il y ait équilibre. Si donc le corps en s’enfonçant eft parvenu à la pro- 
fondeur AD, qui eft moindre que AC, il y aura encore quelque refte 
de viteffe. Soit cette viteflè due à la hauteur “ h, & faifons AD ~ 
nous aurons, comme pour les liquides, 

bàh ~ (b — K) d£, 

(b — f) : b étant la force retardatrice du mouvement. L’intégrale de 
cette formule eft 

i) h — b£ ££ -j- Conft. 

1 x. Or pour g — o, on a H ~ h, donc 

bh — b h + — ut, 

E 3 


38 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

ce qui pour h Z o, donne 

l — AE ~ b + V(bb -f %bH). 

§.13. Si doue le corps ne tombe que depuis la furface du fable D f 
on a H Z ~ o, & par conféquenc % ~ x/>, c’elt à dire , la profon- 
deur à laquelle le corps, tombant depuis la furface, s’enfonce, cft double 
de ceile à laquelle il faut le placer pour qu’il y ait /implcrncnt équilibre. 
Et c’eft auffi, comme je l’ai dit (§-7.), ce que mes expériences m’ont 
fait voir. 


§. 1 4. Mais pour examiner la formule £ ~ b -f- 1 / (b b -f- x b H) 
dans les cas où JI n’cft pas ~ o , je pris le même fable de le meme pa- 
rallclipipede que j’avois employés dans l’expérience du §.4; & après avoir 
chaque fois applani la furface du fable, j’y lai/Tai tomber le parallélipipcde 
de la hauteur de o, 1, x, 3, 4, 5, 6 , 1 x pouces, & je trouvai les enfon- 
cemens répondans de f, ij, 3% 4^, 5 p, 6 , 6 y lignes. Or en 
faifant dans la formule b ~ elle devient 

£ — i ~h J V' ( 1 + 8 ff ) 

&c donne les valeurs renfermées dans la Table fuivante. 


U 

K 

Ç cxn * 

r.111 

1 /// 

2«i 

O 

T 

s 

IX 

x| 

2-î 

2-4 

4 

3t 

3* 

4t 

4ï 

48 

5 3" 


7 1 

H 

6 

144 

H 

9 


Ç. if. Il ne m’étoit gueres poffiblc de continuer ces expériences 
avec le meme fable, vu que je n’en avois pas allez pour en remplir un vafe 
plus large. J’en pris donc d’aurre qui étoit moins lin, & y laiflâne tomber 
le même parallélipipcde de la hauteur de o, 1, x, 3, 4, 5 pieds, je 
trouvai les enfoncemens répondans de 4, 7, 10, 1 x, 14, 1 5 \ lignes. 
Il étoit allez difficile de mefurer ces enfoncemens avec quelque exaétitude, 


des Sciences et Belles-Lettres. 


3 9 

la furface du fable s’élevant: à l’entour du parallélipipedc. Faifant cepen- 
dant b ZZ j, la formule fc change en ~ j-f- ^K(i -f- i zH), 
6 c donne les valeurs fuivantes 


H 

£ c;Ic. 

£ «-M’- 

0 '" 

1 

T 

1 

TL 

1 44 

7 TV 

1 


10 

1 0 

43 - 

!-•* 

1 1 

576 

14 

14 

7-> 

>5? 

« Si 


§. 1 6. Comme dans ces dernières expériences le parallélipipedc 
tombant de 5 pieds de haut s’enfonça de 15^ lignes, tandis que b n’eft 
que ligne, on n’aura qu’à divifer 1 5| par & le quotient 53 indiquera 
que le parallélipipedc enfoncé de 1 5 fait équilibre à fon poids pris 
9 3 fois, & ainli à un poids de 1 jz fois 93 — 1 o 1 1 onces. Car b — J 
ligne eft la profondeur à laquelle le fable fait équilibre au parallélipipede 
lorfqu’il n’eft charge d’aucun poids (§. 1 1), de le poids doit être augmenté 
en railon limple de l'enfoncement (§. 4, 7). 

(§. 17. Les expériences que. je viens de rapporter, répondent à la 
théorie autant que je pouvois le Ibuhabcr. Je n’ai pas cru en devoir refter 
là. On voie fans peine que le paraiîéüpipede en s’enfonçant perd fuccclli- 
vement la vitefle qu'il avoir acquife en tombant, en forte qu’à la profon- 
deur ~ g il a encore la vi tede qu’il pourroit acquérir en tombant libre- 
ment d’une hauteur zz h\ tandis que la vi telle iqitiale eft: celle qui eft 
due à la hauteur zz Lï. Or la formule (§. 1 z.) 

bh — bH bi — Ui 

nous donne 

ü — " - '( .-JJi. 

b 

Ainfi les valeurs é, £ étant prifes à volonté , on peut toujours déterminer 
la hauteur li de laquelle la vieille initiale dépend. 


40 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

§. i 8. Suppofons donc les quantités h , £ données, il s’agir de trou- 
ver la profondeur <f, à laquelle le parallélipipcde s’enfoncera lorfqu’à la 
profondeur £ fà vite (Te répond à la hauteur h. La formule generale 
(§. i z) nous donne 

S — b 4. l/(M 4- * J H). 

Subftituant donc dans cette formule la valeur 

H — tLzJL+JJi. 
nous aurons 

e = 5 + + .f* — 

§. ip. Cette formule s’abrege en faifant 

= b + & I' = b -f *' 

de forte que x exprime la profondeur au - défions de celle où le fable fait 
équilibre au parallélipipedc. Subliituanc donc tes valeurs nous aurons 

x — \ / (z l> h -(- xx )' 

§. z o. Je viens de fuppofer qu’à la prefrnda»: £ “ b -f- .r la 

viteffe du parallélipipcde foit celle qui e(t duc à ! . '•au: ur h. Or il effc en- 
tièrement indifférent de quelle part lui vient cette viaife. Ainfi nous pour- 
rons egalement fuppofer qu’elle (oit communiquée au parallélipipcde par un 
choc, comme cela fe fait dans le pilotage. Le réfultat en efl: toujours 
qu’il s’enfoncera julqu’à la profondeur ZZ ar'-f- b ~ b -f- V (xb A-j-xx). 

§. zi. Nous voici donc en état de déterminer l’enfoncement répon- 
dant à un nombre quelconque de chocs tonfécutifs. Examinons d’abord le 
cas le plus ffmple, en mettant pour bafe que d’abord le parallélipidede foit 
enfoncé jufqu’à la profondeur — b , où le fable lui fait équilibre, & que 
chacun des chocs lui communique un même degré de vitefle. Nous au- 
rons donc d’abord 

x — o & ainfi x' ~ V x (bh). 

Enfuite 


DES SCIENCBS BT BELLES-LETTRES. 


4 * 


Enfui te 

x — V (bh) & ainfi x ~ V'(zbh) 
x — V(zbh) - - - x' ~ V( 3 bb) 

&c. 

Donc les enfonccmens croîtront comme les racines quarrées des nombres 
naturels i, z, 3, 4, 5 êcc. 

§. z z. Cette égalité des chocs, & des vitefîcs qui en réfultent, dé- 
pend limplement de ce qu’on laiffc tomber fur le parallélipipede un même 
poids « 5 c d’une même hauteur. Je me fuis fervi pour ccc effet d’un marteau 
mobile autour de l’extrémité du manche, & que je pouvois abaiffer à mefu- 
re que le parallélipipede s’enfonçoit. Voici maintenant les expériences que 
j’ai faites. 

§. ^3. Je pris le même parallélipipede dont je m’étois fervi dans les 
expériences précédentes, mais du fable moins fin, quoique criblé. Ap- 
puyant le marteau fur le parallélipipede, je l’approchai doucement de la fur- 
face du fable, & le laiffant s’enfoncer librement je vis qu’il s’enfonça de 
4 lignes, & qu’à deux lignes de profondeur le fable lui fit équilibre. Je 
laiffai le parallélipipede à cette profondeur, en le tenant légèrement appuyé 
de la main. J’y fis tomber le marteau de la hauteur de 3 pouces , & j’ob- 
fervai combien le parallélipipede s’enfoncoit d’avantage à chaque coup de 

marteau. Cet enfoncement fe trouva être fucceflivemcnt de 3, 4^, 5-j, 
^5» 7Î> 85, 8f, 9^ 9J, io-j, 11, 1 1 \ lignes, fuivant l’ordre des 
1 z coups de marteau. Je dois remarquer qüe les fecouffes que le fable ôc 
le vafe reçurent de ces coups, remirent la furface du fable de niveau, de 
forte que l’enfoncement pouvoir être affez facilement mefuré après les deux 
premiers coups de marteau. Or par ce que je viens d’établir, les enfoncc- 
mens doivent être en raifon des racines quarrées du nombre des coups de 
marteau. Faifant donc ce nombre — n, j’ai trouvé que je pouvois faire 



Nouw. Mem. 177a. F 


4 X Nouvbaux Mémoires de l’Académib Royale 
Voici la comparaifon 


n 

X «ic. 

• exp. 

t.*: 

1 

3 > 3 

3 

T O. 3 

2 

4.7 

4 4 

+ 0. 4 

3 

5. 

5 t 

+ 0. î 

4 

6 >7 

<4 

+ O, 2 

5 

7,7 

7 i 

+ 0, a 

fi 


H 

0 

7 

8, 8 

1 . ** 

«'t 

+ 0. i 

h 

9> 1 

9? 

— 0, J 

9 

*-« 

0 

0 

l JÎ 

+ 0,1 

10 

io, y 


-r 0, 1 

1 1 

.11,1 

1 1 

0 

12 

1 1. 5 


0 


§. zq.. Je répétai la môme expérience en Liftant tomber le marteau 
de la hauteur de 4 pouces. Voici le réfultat comparé au calcul. 


n 

.r c .le. 

r exr. 

àilK 

1 

3- * 

34 

+ °> 3 

2 

5 . 3 

yf 

— 0, 3 

3 

6.4 

H 

1 

O 

4 

7, 6 

7t 

+ 0, 1 

1 s 

8, 5 

84 

0 

6 

9-3 

94 

0 

7 

1 0, 0 

JO 

0 

8 

10, 7 


• 0 

9 

1 3 

1 >4 

0 

10 

12,0 

1 2 

0 


La fcconde colonne eft calculée au moyen de l'équation 

* z= 3,78. V n. 

§. z 5 . Voyant ainfi que ces deux expériences répondoient à la théo- 
rie (§. io) autant que je pouvois le fouhaiter, je m’occupai à les compa- 
rer cnfemble, rélarivemcnt à la chûcc du marteau, qui étoit de 3 & de 4 
pouces. Or les valeurs de h étant, tout au moins à très peu près, pro- 
porrionelles à ces hauteurs, les formules (§. z 1 ) indiquent que les enfon- 
cemcns doivent être proportioncls aux racines quarrees de //, & par confé- 


des Sciexcis et Bellhs-Lettiies. 43 

quent aulfi de la chute du marteau. Or il fe trouve que les cocfficiens dans 
les deux équations 

x - y-- y* 

X — 3 , 78 . Vn 

font à très peu près dans le rapport de V 3 à V 4. Car 
K 4 : K3 = 3 » 7 8 : 3^7 au lieu de 3j. 

Ainfi la différence eft une bagatelle, dont il n’eft gueres poflîble de tenir 
compte dans ces fortes d’expériences. 

§. z 6 . Je répétai encore cette expérience en employant un fil de lai- 
ton de la longueur de i o pouces, & de lignes de diamètre, pefant 
370 grains, poids de Berlin. Ce fil tout fcul s’enfonça de 3 lignes dans 
le fable, &c de 1 o lignes lorfqu’il étoit chargé du poids du marteau, de for- 
te qu’à 5 lignes de profondeur le fable lui fit équilibre. Je le laiflai à cette 
profondeur, & le marteau y tomba de la hauteur de 4 pouces. Je conti- 
nuai l’expérience jufqu’au z4 mc coup de marteau. Voici le réfultat com- 
paré avec le calcul au moyen de l’équation 

x ~ Vn 


n 

X c.ilc. 

x exp. 

difF. 

1 

8. î 

8'" 

4 - 0. 5 

a 

ia, 0 


0 

3 

M ,7 

1 5 

— 0,3 

4 

17,0 


+ 0, 5 

5 

lÿ.O 


+ 0, ï 

6 

10, 8 

10 T 

+ 0,3 

7 


ai 

4 - o, s 

8 

14. 0 

=4 

0 

9 

15 , 5 


0 

10 

x6, 9 

17 

— 0, 1 

1 1 

iS.i 

184 

— 0,3 

ii 

19.4 

30 

— 0 ,6 

1 6 

34 .o 

34 i 

— 0, j 

ÎO 

38,0 

374 

4 - 0, s 

24 

41, 6 

4 i 

4 - 0, 6 


F i 


44 Nouveaux Mémoires de l’Academie Royale 

§. 27. Dans cette expérience chaque enfoncement devoit être me- 
furé, parce que le fil de laiton n’étoit pas divifé en pouces & lignes comme 
le pied ou le parallélipipede employé dans les expériences précédentes. 
Cela m’empêcha de pouflèr la mefure jufqu’à des j & des £ de ligne. Et 
de là vient que les différences entre le calcul &c l’expérience font prcfque 
toujours d’une demi -ligne. Mais comme elles font indifféremment pofiti- 
ves & négatives, elles ne font d’aucune conféquence. Je vais donc encore 
comparer le coefficient de l’équation 

x = ¥• V* 

avec celui de la précédente expérience (§. 24) 

at — 3,78. y n . 

La chute du marteau ayant été la meme, ces coëfficiens font fimplement en 
raifon de la racine quarrée de b , & par conféquent en raifon réciproque de 
la racine quarrée des bafes, les poids, y compris celui du marteau, ayant été 
à très peu près les mêmes. Or le diamètre du fil de laiton efl de | ligne, 
donc l’aire de fa bafe de 2,41 lignes. Et la bafe du parallélipipede étoit 
de 1 5 lignes quarrées (§. 4). Cela donne à très peu près 

1/(15) : J / (2,4i) — 5 : 2 

& 

5 : i i= Y : 3 , 4 ° au lieu de 3,78, 
ce qui différé environ d’une ~ partie, ou dans le rapport de 9 à 10, diffé- 
rence qui peut très bien provenir de quelque inégalité des coups de marteau, 
ou même de quelques grains de fable, qui par leur pofition plus ou moins 
embarraffée pouvoient retarder ou faciliter l’enfoncement. Car en répé- 
tant la même expérience j’ai toujours vu que les fuccès ctoient plus ou 
moins différens. 

§. 28. Avant que de paffer à quelques autres expériences, j’ajoute- 
rai ici quelques réflexions fur la viteffe que le choc communique à un corps 
enfoncé dans le fable. Les trois expériences que je viens de rapporter, 
confirment ce que j’avois établi au §. 22, favoir que le marteau tombant 
d'une même hauteur, communique au parallélipipede un même degré de vi- 


des Sciences et Belles-Lettres. 


45 


telle, quel que puiflè être l’enfoncement dans le fable. Il s’agit donc d’exa- 
miner jufqu’à quel point cette vitefle peut être déterminée par les loix con- 
nues du choc des corps. Ces loix ne regardent ordinairement que les 
corps qui ont une élafticité parfaite & ceux qui en font entièrement prives. 
Cela fait qu’elles ne paroiflènt pas être applicables au cas dont il s’agit. 
Car encore que le marteau étant d’acier puiflè être regardé comme 
élaftique, le parallélipipedc de bois de buis l’eft dans un moindre degré. 
J’ai au ffi remarqué dans ccs expériences, que le marteau ne rebondiflbir ordi- 
nairement qu’après que le parallélipipede étoit déjà enfoncé de plufieurs 
lignes. C’efl: qu’alors il ne s’enfonçoit plus beaucoup, au lieu qu’aux 
premiers coups de marteau le parallélipipede cédoit plus facilement, « 5 c le 
marteau, au lieu de rebondir, pouvoit fuivre le mouvement du parallélipipede, 
qui, pour avoir eu i o à 1 1 fois moins de malle, devoir, pour peu qu’il fût 
élaftique, avoir après le choc plus de vitefTe que le marteau n’en avoit acquis 
en tombant. En tout cela il n’y a rien encore qui ne foit fort naturel & 
fort conforme aux loix du choc. 

§. 19. J’ai dit encore 3u §. zz. que pour communiquer au paralléli- 
pipede le même degré de vitefle, le même marteau ou poids devoir tomber 
d’une même haureur. Je fais bien qu’on établit communément qu’il fufHt 
que le poids foit en raifon réciproque de la hauteur d’où il tombe. Mais 
cet énoncé eft un peu trop général & trop peu déterminé. Il s’enfuivroit 
que la hauteur de la chute étant infiniment petite, le poids devroit être infi- 
niment grand, ce qui, dans le cas dont il s’agir, n’a pas lieu, parce qu’en- 
core que la chute du poids fur le parallélipipedc foit nulle, ce poids n’a pas 
befoin d’être infiniment grand pour qu’il enfonce le parallélipipede d’une 
quantité quelconque donnée. Dans ce cas le poids conjointement avec ce- 
lui du parallélipipede s’enfonce par la fimplc aélion de la pefanteur, & fans 
que le choc y contribue, puifqu’il ne Ce fait point de choc. 

§. 30. Voici d’abord le calcul pour ce cas où le poids donc on char- 
ge le parallélipipede enfoncé jufqu’à une certaine profondeur p , l’enfonce 

F 3 


4^ Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

encore d’avantage par la fïmple aétion de la gravité, & fans choc. Il ne 
s’agit que de déterminer la confiante dans la formule générale (§. i i.) 

b h ZZ Æ| — \ | | -}- Conft. 

Or dans cette formule on a | > p, & b eft la profondeur à laquelle le 
fable fait équilibre au parallélipipede chargé du poids donné, & non pas au 
parallclipipede tout feul. Mais h doit être ~ o, lorfque £ ~ p. 
Cela donne 

b h — b(ç — p) — i(|| — pp\ 

équation qui détermine la valeur de h pour un enfoncement | quelcon- 
que. Or h la fin h doit être — o , parce que le parallélipipede perd 
entièrement fa vitefie. Nous avons donc 

0 ZZ b(£ — p ) — 5 (|| — pp ) 
cc qui donne les deux valeurs 

1 — b — ± (p — b). 

La première de ces valeurs, en prenant le figne pofitif, donne | — p , 
c’eft à dire, la profondeur initiale du parallclipipede. La fécondé valeur, 
en prenant le figne négatif, donne 
£ — xb — p 

& c’eft la profondeur terminale. On voit qu’elle eft d’autant plus grande 
que la profondeur initiale p eft plus petite , <Sc qu’elle devient ZZ i b 
lorfque p — o , ou que l’enfoncement fe fait depuis la furface du fa- 
ble (§13). Obfervons encore, à l’égard du fable, que p ne fàuroit être 
pris >• b. Cela feroit | < b , & le parallélipipede remonteroit. Or 
j’ai déjà dit que la fluidité du fable ne s’accorde avec celle des liquides qu’en- 
tant qu’il rallcntit l’enfoncement (§. 1 o). 

§. 31. Si le parallélipipede fe trouve précifémenr enfoncé jufqu’à la 
profondeur où le fable lui fait équilibre, il s’enfoncera encore d’avantage 
dès qu’on le charge de quelque poids. S’il eft moins enfoncé, il s’enfon- 
cera d’avantage par fon propre poids. Mais s’il eft plus enfoncé, alors 


des Sciences et Belles-Lettres. 


47 


pour l’enfoncer d’avantage il faut que le poids dont on le charge foit plus 
grand que celui qui fuffit pour que le fable lui faffe équilibre. Il n’en ell 
pas de meme du choc, dont l’effet ell toujours tel que le parallélipipedc 
s’enfonce d’avantage. 

§. 3 1. Soit la maffe du marteau ou du corps dont la chute fur le pa- 
fallclipipede produit le choc, ZZ M. La maffe du parallélipipedc ZZ m t 
la viteffe de la maffe M avant le choc foit ZZ F, celle du parallélipipe- 
dc avant le choc ZZ o, apres le choc ZZ c. Nous aurons 
_ (i + fi ) . M. v 

M + m 

Dans cette formule on a pour les corps non- élafliques V ZZ o, pour les 
corps parfaitement élaitiques p ZZ i, & pour les corps qui n’ont pas une 
parfaite éla/licité t i .cil une fradion > o & < i, qu’il faut dans cha- 
que cas particulier déterminer par 1 expérience. 

§. 33. Mais pour donner à ccttc formule plus de généralité, luppo- 
fons la viidic du parallélipipedc, avant le choc, ZZ v, & nous aurons fa 
viteffe, après le choc, 

( I + fl) MV + (ni — fjL M) V 

C M -j- m 

§. 34. Soit maintenant, comme ci- ddïùs, b la profondeur à la- 
quelle le fable flair équilibre au parallélipipedc. Suppofons que le paralléli- 
pipede n’efl encore enfoncé qu’a la profondeur p ; il pourra s’enfoncer d’a- 
vantage quand encore fa viteffe à la profondeur p eft ZZ o. Mais fup- 
pofons qu’il ait la viteffe ZZ v, & que dans le même inftant, au moyen 
du choc, cette viteflè fc change en 

(1 + fi,MV 4- (« — fiM) v 

M -+• ni 

§. 35. Cela pofé, voici les deux cas qui peuvent avoir lieu. 

1 °. Si la niaïïè M en tombant fur le parallélipipedc rebondie apres le 
le choc, & qu’on l’empêche d’y retomber une féconde fois, alors la valeur 
de la lettre b cft celle qui répond limplement au poids du parallélipipedc. 


48 Nouveaux Mémoires dh l’Académie Royale 

II 0 . Mais fi la malle M ne rebondit pas, de forte qu’elle refte& con- 
tinue de pefer fur le parallélipipedc, alors la valeur de b doit être prifc 
plus grande en raifon de la malle m à la fomme des mafles m -j- M. 
En échange il fcmble que dans ce dernier cas la valeur de eft ou très pe- 
tite ou n: o, tandis que dans le premier elle fera ZZ i ou approchera 
du moins fort de l’unité. Mais quoi qu’il en foit, il nous fuffira de lai/Tcr 
ces valeurs de b & de \i indéterminées. 

§. 3 6 . Ainfi, à la profondeur donnée ZZ p> la vitefîe du pa- 
rallélipipede eft z v, & après le choc ZZ c. C’eft avec cette vitefîe 
que le parallélipipedc continue de s’enfoncer en forte qu’à la profondeur 
— £ la vitcfTe qui lui refte eft due à la hauteur ZZ é, & qu’on a (§. 1 1 .) 

bh ZZ b£ — + Conft. 

Soit a la hauteur de la chute qui produit la vitefîe iz : c, 5 : il eft clair 
qu’en faifant £ ZZ p, il faut que h foit zz a. Cela donne 

bh ZZ ba -j- b (£ — p) — §(££ — pp ). 


§. 37. Faifons maintenant h ZZ o, pour avoir la profondeur en- 
tière à laquelle le parallélipipedc s’enfonce, & cette profondeur fera 

( = b + V(xia + (i — p )’). 

§. 38. Subftituons aux vitefïès v , c les hauteurs u 4 } «, a , « 5 c 

nous aurons (§. 3 4.) 

-1/ (1 + n)M . V A + (m — fiM)V a 

V a — M + m 

yaleur qui peut être fubftituée dans l’équation 

S = i + J /(lia + (4 — p)‘) 

que nous venons de trouver. 

§. 39. Le cas le plus ordinaire étant celui où <* ZZ o, ce qui rend 
le choc plus efficace, nous aurons pour ce cas 

Va — VA 

M + tn 


ce 


des Science* ht Belles-Lettres. 


4? 


ce qui donne 

f = 1 + + (4 - O- 

§. 4©. Si donc dans ce cas il ne fe fait point de choc, on aura A — o, 
3 c par conféquenc 

t ~ rb — p 

précifément comme nous l’avons trouve ci - defïus (§. 3 o). On voit donc 
comment dans cette formule générale (§. 39)» l’effet du choc fe joint à ce- 
lui de la (impie preflion, ^jui réfulte du poids. 

§. 41. Comme cette formule comprend les cas du pilotage, il ne 
fera pas hors de propos de l’y appliquer plus particulièrement : m eft le 
poids du pieu, M celui du mouton, ôc A la hauteur de laquelle on le 
laiffe tomber. Or comme il faut toujours faire remonter le mouton, cela 
demande du tems & les forces d’un certain nombre d’ouvriers. C’eft 
d’après ces forces qu’il faut eftimer le produit MA rélativement au tems 
qu’ils y emploient. A cet égard le nombre d’ouvriers étant donné, la 
quantité MA eft confiante \ car il leur faut autant de tems pour faire 
monter la maffe M par la hauteur A , qu’il leur en faut pour élever la 
mafTe vM à la hauteur A : v. Jufques-lk donc il n’y a rien à gagner. 
Mais voyons quel fera l’effet. 

§. 41. Soit donc MA~ Conft. ZZ C, & la formule fe change eu 

i = 4 + v[y (. + + » - py } 

Dans cette formule la partie variable eft 

M 

{M m)* 

& nommément la maffe M. Or £ augmente à mefure que cette quantité 
augmente. Ainfi il ne s’agit que de voir fî cette quantité 

M 

{M + m)* 

peut être un maximum. Nous aurons donc 

Nouv. 1771 . 


G 


50 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

AM 1 Ai ■ à AI 

° (i« -f m) 2 ( Al + 

ce qui donne 

M z z m. 

m 

§. 43. Donc M, de même que £, devient un maximum lorfque le 
poids du mouton ejl égal à celui du pieu qu'il doit enfoncer. Je dis un maxi- 
mum ; car en faifant M ZZ ru ±_ q, on a 

M m ±_ 1 I j - 

( M 4- m) 2 (lm+. {)* 4 m 

Ainfi, foit qu’on prenne £ pofitive ou négative, le quotient eft toujours 
plus petit que lorfqu’on fait ^ ZZ o. 

§. 44. Dans ce calcul j’ai fait abftra&ion du tems que le mouton 
emploie à tomber. Ainfi la conféquencc n’ell à proprement parler appli- 
cable qu’aux cas où le tems qu’on emploie pour faire remonter le mouton 
eft beaucoup plus long, comme cela arrive lorfqu’on remonte le mouton au 
moyen d’une machine, & non à force de bras, comme cela (c fait dans les 
machines h piloter ordinaires, où le mouton monte à peu près auffi vite qu’il 
tombe. Je ne décide pas fi ce dernier cas efl fort différent du premier. Je 
dis Amplement qu’il n’eft pas compris dans le calcul que je viens de faire. 
Je me bornerai donc à dire, que dans les cas où le mouton monte beaucoup 
plus lentement qiiil ne tombe , l'effet ejl le plus avantageux quand le poids du 
mouton ejl égal à celui du pieu qu'il doit enfoncer. C’efl alors qu’avec un 
même nombre d’ouvriers & dans un même intervalle de tems le pieu s’en- 
fonce le plus. 

§.45. On fâvoit généralement parlant de tout tems, qu’il doit y 
avoir un certain rapport entre le poids du mouton & celui des pieux. Rien 
n’étoit plus facile que de s’appercevoir que c’étoit perdre du tems & des 
forces que de vouloir enfoncer un petit clou au moyen d’un marteau pefant 
plufieurs quintaux & qui écraferoit tout. Et réciproquement on favoit que 
c’étoit perdre du tems & ne point faire allez ufàge de fes forces que de 
vouloir enfoncer un pieu pefant plufieurs quintaux en y frappant de la main 


des Sciences et Behes-Lettres. 


5i 


ou avec un marteau pefant quelques onces. De là rien de plus facile que 
d’éviter ces deux excès dans la difproportion entre la force 8c l’effet. On 
fe rapprocha affez facilement du milieu, 8c comme pour enfoncer des 
pieux d’un pied d’épaiffeur les coups de marteau n’étoient d’aucun effet, on 
mit en œuvre des moutons pefant $, 10 ou plus de quintaux. O* 
fit même une différence entre mouton ôc mouton, pour les proportion- 
ner plus ou moins au poids & à la maffe du pieu qu’il s’agilfoit d’enfoncer. 
Tout cela fc fit parce qu’on s’y vit comme obligé, fans cependant en entre- 
voir clairement la raifon. Ce qu’il reftoit donc à faire c’étoit de déterminer 
au jufte le rapport entre la maffe du mouton 8c celle du pieu. Nous ve- 
nons de voir que ce rapport eft celui d’égalité , 8c il me femble qu’en géné- 
ral 8c fans le favoir on s’en approche fort dans la pratique , tant dans l’ufage 
des moutons que dans celui des marteaux de différente grandeur. 

§. i\6. Je paflerai maintenant à confidérer les cas où le corps qu’il 
faut enfoncer eft pointu, ou de figure conique ou pyramidale. Soit ce 
corps AB , la furfacc du fable D, A E ~ b, AD — A, h la 
hauteur qui répond à la viteffe du coin lorfqu’il eft enfoncé jufqu’en La 
force retardatrice du fable fera — {P — i?) : b ’ 8c ainfi on aura 


dh — 

ce qui donne 



h b' — Pi — -f- Conft. 


§. 47 . Si donc le coin pour s’enfoncer dans le fable tombe de la 
hauteur — H, on aura h ~ JJ, lorfque i ZZ o, 8c par conféquent 
P h — PH + Pi — 
ce qui pour l’enfoncement total, ou h ~ o, donne 

i* — 4 Pi = 4 ph. 


§. 48- Si le coin pour s’enfoncer ne tombe que depuis la furfacc du 
fable on a JJ — o, 8c ainfi 

i — b. i/ 4 . 


F, g. 


G 1 


5 * 


Nouveaux Mémoires db l’Académie Royale 


§. 49. Réciproquement, on a en général 

H — h — i + iï' : b* 

ce qui eft la hauteur de laquelle le coin doit tomber pour qu’à la profon- 
deur £ il ait encore la vitclTe qui répond à la hauteur h. 


§. 5 o. Cette vitefle pouvant également être communiquée au coin 
par un choc, nous n’avons qu’à pofer — la profondeur à laquelle le 
coin pénétrer?., & nous aurons 

b — 4 * 5 i = 4 b'k — 4*’* + £ 4 

de forte que h, £ étant données on trouve 


§. 51. Suppofons, comme ci -deflus (§-3 8), que le choc fe fade 
par la chute d’une maflè ZZ M, de la hauteur A , & foit m la maflè du 
coin, nous aurons 



M . VA 


& ainfi 

. . e — *b'è - 4 b'.Qz^y.M-.A — 4 i<f + r 


ce qui en général veut dire 

<P? — B + QZ 

où <f> dénote une même fonélion de & de 


§. 5 i. Si donc on a d’abord £ zz o, on aura fucceflivement 

M — B 
<PZ" — xB 
<p?" — 3 B 
&c. 

& pour le n™ choc 
ZZ nB , 


des Sciences ht Belles-Lettres. 


5 3 

cc qui veut dire 

b - 4*’f = 4 

Dans cette formule les chocs font fuppofés égaux. 

§.53. Je fis une pyramide de bois longue de i pouces; la bafe étoit 
un reétanglc de 7 lignes de longueur & de 47 lignes de largeur. Ayant 
chargé ce coin du même marteau dont je me fuis fervi ci-deffus, je trouvai 
que le fable lui fit équilibre lorfqu’il étoit enfoncé de 8 T lignes ZZ b. 
Voici le réfultat de l’expérience que j’ai faite en laifiant toujours tomber le 
marteau de la hauteur de 3 pouces. 


n 

£ 

£ — A 

Conflr. 

dtff. 

0 

C I lll 

0 

0 

0 

1 

1 a 

4 . î 

y» 3 

0, 8 

1 

1 ï 

<>, ï 

7 .° 

0, y 

3 

•H 

7 . J 

8,3 

0, 8 

4 

1 7 2 

9- 0 

9,3 

0, 3 

I 

'H 

9.7 

10, 1 

0, 4 

6 

>9 

10, 5 

10, 8 

3 

7 

1 9 t 

1 1, 0 

11,4 

0,4 

8 

*°i 

>i»7 

**# 9 

0, a 

9 

lc i 

• 2 . 3 

la, 4 

0, 1 

10 


ia , 7 

13 , 0 

0, 3 

1.1 


13 , » 

13. y 

0.3 

ia 

llir. 

13-7 

13- 9 

a 

>3 


14 , 2 

14. 3 

0, 1 

'4 

23 

14, y 

14, 

0, 1 

1 J 

2 3i 

14.8 

1 4, 8 

0, 0 

1 6 

a 3l 

j y, 2 

1 j, 0 

0, a 

>7 

14 

1 y, y 

iy, 3 

0, 1 


Les nombres de la pénultième colonne font ceux que j’ai trouvés en 
conftruifanc la courbe 

? — 4 b'Z Crt Tï\ 

par là je me difpenfai de réfoudre 1 7 équations du quatrième degré. Les 
différences de la dernicre colonne font prefque toutes poficives, de forte 

G 3 


54 Nouveaux Mémoires de l’Acadbmib Royale 

qu’cn changeant tant foit peu le coefficient dont je devois me fervir pour 
proportionner la confiruélion aux nombres que donna l'expérience, ces dif- 
férences auroient été encore plus petites. 


§. 5 4. Je répétai cette expérience en enfonçant un clou fore poinni 
dans du bois de fapin le long des fibres longitudinales, au moyen du même 
marteau que j’y laiflai tomber de la hauteur de 4 pouces. Eu voici le 
réfultat. 


Nombre des 
coups 

n 

Enfoneemsns 

lignes 

t 

I 

1 . 9 

z 

3.o 

3 

3.7 

4 

4. 2 

5 

4. I 

6 

4,« 

7 

5. 0 

8 

5, 2 

9 

5.4 

10 

5,6 

II 

5,7 

IZ 

5, 9 

n 

6, 0 

24 

7,o 

37 

8, 0 

52- 

9,o 

68 

10 , 0 

96 

11,0 

134 

1 e, 0 


§.55. Or en faifant £ — b ~ x l’équation (§. 51.) 
change en 

x* _j_ 4 bx* 6b'x 3 “ ç/i. 

Et comme l’expérience donne 


pour n — 13 

n — 134 


X ZZ 


6 


I X 


fe 


x 


des Sciences et Belles-Lettres. 


5 5 


nous aurons 

ç ~ z6 o 
b — i, 6 88 

& par conféquent 

x 4 -f- 6, 7 5 x x 1 -f- 17, 0^4 x -f- z 6 on y 
ce qui pour chaque ligne d’enfoncement donne 


X 

n cale. 

n exp. 

diff. 





1 

2 

O, y 

1 

— 0, S 

3 

1, 6 

a 

— 0.4 

4 

3-7 

3»* 

+ 0, 1 

5 

7.3 

7 

+ 0,3 

/i 




U 


1 3 


7 

*i>4 

24 

— 2» 6 

8 

33» 3 

37 

— 3.7 

9 

49 » 9 

Si 

~ 2» 1 

10 

7i 

<58 

+ 3' 

1 1 

9 « 

96 

*34 

+ 2 





Les différences font, généralement parlant, allez petites pour que le moindre 
defaut dans la mefurc des enfonccmens ait pu les produire. Mais la valeur 
b — 1 , 688 , trouvée par le calcul, eft plus grande que celle que 

l’expériende me donna immédiatement; car le clou chargé Amplement du 
poids du marteau ne s’enfonça gueres plus que de ^ ligne. 

§. 5 6 . Je répétai la même expérience en enfonçant le même clou 
dans du plomb, au moyen du même marteau que j’y laiflài tomber de la 
hauteur de 4 pouces. Voici le réfultat,. comparé avec le. calcul fait moyen- 
nant féquation 

x* -j- 16, 86 x* -J- 106,64 x — îzjn. 


5 6 Nouveau* Mémoires de l’ A cadémih Royale 


.r 

n cale. 

n exp. 

drtf. 

1 

1 

3 

4 

I 

4 . J 

1 ! * 7 

1 

6 — 

1 1 

14 

0 

— I,f 
+ 0,7 



? 

4 ». 5 

48 

— î, î 

6 

61, 1 

80 

— io, 9 

7 

1Q 5 » 7 

113 

— 7 * 3 

8 

— 

• Jî 



§. 57. Vers la fin de l’expérience le clou commença à fe plier, ce 
qui, joint à ce que vers la fin il eût fallu divifcr une ligne en 30 ou 40 par- , 
ties pour juger fi en effet l’enfoncement avoir augmenté d’une ligne, peut 
très naturellement avoir produit les différences qui fe trouvent entre le calcul 
& l’expérience. Du refte encore ici la valeur de b , trouvée par le calcul, 
eft — 4"', xi 6 (Se par conféqucnt encore plus grande que dans l’expé- 
rience précédente. Mais outre que le clou n croit pas pointu dans la rigueur 
géométrique il s’en faut de beaucoup que le bois & le plomb, quoique fort 
mous, puiffent, à l’égard de la fluidité, être comparés au fable. Auffi n’ai-jc fait 
les deux dernières expériences que pour voir jufqu’à quel point la formule 
(§. 52.) y feroit applicable. Les deux Tables (§§. 55. 5 6 .) font voir 
que la différence entre le calcul & les expériences eft affez petite pour pou- 
voir être regardée comme nulle. Ainfi il n’y a que la lettre b & le coeffi- 
cient ç qui femblent avoir une valeur & une lignification un peu différen- 
tes de celles qu’ils ont à l’égard du fable & des liquides. 

58- Ce que je puis dire à ce fujet c’cfl: que les corps mous, tels 
que le plomb, peuvent plus ou moins être comprimés &par là être con- 
denfés , & cette condenfation peut avoir lieu indépendamment de la pro- 
fondeur des particules au-deffous de la furface. Ce font les forces de co- 
héfion qui entrent ici en ligne de compte, & dont la loi n’eff pas encore 
fuffifamment connue. Du refte en enfonçant un clou dans du plomb, 
l’enfoncement fe fait toujours d’autant plus difficilement qu’il y a plus de 
particules à déplacer. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


57 

§. 5 Les mêmes remarques fe préfentcnc à faire à l’égard du ter- 
rain marécageux, qui peut plus ou moins différer du fable, quoique tou- 
jours beaucoup moins que n’en different le bois & le plomb. Les expé- 
riences que j’ai rapportées dans ce Mémoire, me femblent mériter d’être 
faites en grand. On peut à cet égard fc fervir des occafions qu'offre le pi- 
lotage, furtout dans un terrain égal, parce qu’il fuffit d’avoir attention à ce 
que le mouton tombe toujours d’une même hauteur, ce qui n’eft pas difficile 
pour peu que la machine à piloter foit arrangée en confêqucnce. Les 
moyens de mefurer l’enfoncement du pieu font également fort fimplcs & fa- 
ciles, parce qu’il fuffit de le divifer en pieds & pouces, en notant les divi- 
sons avec de la craie. On voit fans peine que ces fortes d’expériences, faites 
avec quelque foin, aboutiroient à nous donner des mefures juftes de la fo- 
lidité du terrain. C’cft ainfi par ex. qu’on pourroit évaluer le poids que 
pourra porter un pieu enfoncé à une certaine profondeur, fans que ce poids 
dont il feroit chargé, l’enfonçât d’avantage. Par là on détermineroit le 
nombre des pieux, leur épaiffeur & la profondeur à laquelle il faudroir les 
enfoncer pour qu’ils puflènt porter un édifice ou quelqu’autre ouvrage d’ar- 
chitc&ure d’un poids donné. Et comme le terrain marécageux & fpon- 
gieux, à force de pilotis qu’on y enfonce, fe reflèrre, ôc contribue par là 
à augmenter la force des pieux, il eft clair que c’eft encore là un article 
qui mériteroit d’être examiné par des expériences faites avec foin , & dans 
Je but de répandre du jour fur la théorie de la folidité du terrain & de la fta- 
Wité des ouvrages d’architeélure. 

§. 6 o. Pajouterai encore quelques confidérations fur le cas où le 

corps qui s’enfonce eft fjffiérique. C’eft le cas des bombes ôc des boulets 
de canon. Soit donc la boule A enfoncée jufqu’cn D, & que fa viteffe % *. 
réponde à la hauteur ZZ h. Que le terrain faffe équilibre lorfquc la boule 
eft enfoncée jufqu’cn de forte que A E ~ b. Faifons AD ~ t f, 
la force retardatrice pour l’enfoncement £ fera 

: t 

3 Dl> 2 — ai 3 * 


Nouv. Ment. 1771, 


H 


58 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


De là nous aurons 
& en intégrant 

h - Z — (D? — H 4 ) : ÜDb'- 


ib 1 ) -f- Conft. 


§. 6 1 . Soit h ZZ H lorsque £ — °> on aura 

h ~ H + Z — (D? — U 4 ) : (iDb 1 — a P). 

§. 6 x. Pour appliquer cette formule à des cas particuliers il y a 
deux cas qu’il faut diftinguer. Car h peut devenir ZI o, ou avant que 
la boule foit entièrement enfoncée, ou après qu’elle l’eft déjà. Dans le 
premier cas, on trouvera l’enfoncement total en fàifant Amplement h ZI Q> 
Cela donne 

o zi H + Z — — l?) : (3 Db' — i* ? ) 

d’où l’on tire 

o — e— -f- (6D — $b)b'-£ + (6D— 4b)b'HÏ 

§. 63. En laiflant tomber une boule de plomb dans du fable, j’ai 
trouvé quelle s’enfonçoit de la moitié de fon diamètre lorfqu’elle tomboit 
de la hauteur de 5 o de fes diamètres. Pofant donc D z 1, H n 5 o, 
Z zi 7 , on trouve b — Cecte valeur, de même que celle de D, 

étant fubllituéc, on a 

H — — i7i,i£ 4 -f 541,4 $ — Z- 

Voici donc comment la boule s’enfonce à mefure qu’elle tombe d’une plus 
grande hauteur. 


des Sciences et Bettes-Lettres. 


*9 


? 

H | volt] ne. 

0, 1 

0, a 

o .3 
o .4 
0, ï 

O. 41 
3 - 7 ' 
14 . 

"- 7.37 
Jo, 3 5 

0,028 
o, 104 
0,0.16 

0. 3 * 1 

0. 500 

0, 6 
0.7 

0, fl 
o, 9 
1,0 

7 '. 44 

1 18. 78 
i6ï, 83 
a 16, 71 
270, 20 

0, 648 
o, 784 

0, 896 

0, 924 

1, 000 


§. 6 \. Dans cetcc Table la première colonne marque l’enfoncement 

en parties décimales du diamètre de la boule; la fécondé la hauteur de la 
chute en diamètres de la boule & leurs parties centéfimales; la troifieme 
indique le volume de la partie enfoncée de la boule, le volume entier étant 
exprimé par l’unité. J’ai ajouté cette troifieme colonne, parce que dans 
les difputes fur les forces vives on a cru pouvoir démontrer, & par la théo- 
rie & par l’expérience, que ces forces font proportionnes aux cavités for- 
mées par l’enfoncement, & par conféquent aux nombres de la troifieme co- 
lonne. Ainfi ces nombres dévoient encore étre proportionels aux nombres 
répondans de la fécondé colonne. Mais on voit qu’il y a une énorme 
différence. 

§. 65. L’équation que nous venons de trouver ne s’étend qu’aux cas 
où £ < D, c’efl: à dire où la boule ne s’enfonce qu’en partie. Mais fi 
elle tombe d’une plus grande hauteur, en forte qu’après s’étre entièrement 
enfoncée elle ait encore aflèz de virefTe pour s’enfoncer davantage, alors il 
faut commencer à déterminer cette virefTe, ou la hauteur due à cette vitefTe. 
Cela fe fait en pofant dans lequati'on (§. 6 1 .) 

h — H + £ — ( D P — IP) : (3 Db' — 2 £’) 
ç — D. Par là on obtient 

K — H 4 - D EL. 

ibb{',D — ai) 

ce qui eft la hauteur due à la virefTe que la boule a encore lorfqu’elle com- 
mence à être entièrement enfoncée. 


H 2 


60 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


§. 66 . Cctre viteffc fe perd uniformément. Car la boule étant en- 
tièrement enfoncée, la force retardatrice commence à être confiante 

D 3 Z?3 — 3 Db^+^b 3 

— 1 ( i D — ib)bb 3 Db* — ib 3 * 

ce qui, pour un plus grand enfoncement £, donne en général 

D 3 — 3 Db* -f- a b 3 


h — K — 


3 jD/> 2 — a b 3 


(I — Z». 


§• *> 7 * 
qui donne 


Pour trouver l’enfoncement total il faut faire h ~ 


o, ce 


K - *L t 11 ’ . (f 


ou bien 


£ = D + 


3 Di 2 — a b 3 

k'(',Db* — ib* 

D 3 3 Dbt + 2 b 3 ' 


— D) 


§. 6^8. Je ne puis rapporter ici qu’une feule expérience faite en grand 
près de Strasbourg par Mr. du Moutier. Ce Capitaine d’Artillerie f t dref- 
fer verticalement une pièce de canon de 14 livres de balle, & chargée 
d’abord de I z livres, enfuire de 1 6 livres de poudre. La première fuis le 
bouler refta dans l’air pendant 5 1 fécondés de rems, l’autre fois il employa 
f 3" pour monter ôc redefeendre. L’une 6 c l’autre fois en retombant il 
s’enfonça d’environ z8 pouces en terre, à une diftance de 300 6 c de 367 
toifes du canon. 

§. 6 9 . Te ntens que le boulet étoit de fer, ce qui fait que fon diamè- 
tre efl à très peu prés pied de Paris. Je poferai encore fa gravite fpécifi- 
que 5 3 é» 5 fois plus grande que celle de l’air & je ferai la chute des 
corps, qui dans le vuide répond à une fécondé de rems, ~ 15, op 6 pieds. 
Appliquant donc à ce cas les formules que j’ai données dans les Mémoires 
de ? Académie 17 6 j, je trouve la vitcfTe terminale, c’cfl à dire la plus 
grande que ce boulet puifTe acquérir en tombant — 190,91 pieds; le 
rems de la montée dans la première expérience ZZ 18,9; le rems de la 
defeenre IZ 3 1 J la viteffe initiale avec laquelle le boulet fortit du ca- 
non “ 1182., 5 pieds par fécondé ; la vireflè avec laquelle il retomba à 


DBS Sciences et Beiles - Lettres.' 6 1 

terre ZZ 1 8 8, 8 pieds; la hauteur à laquelle le boulet monta ZZ 
4611,1 pieds. 


§. no. Or ici il fuffit de nous en tenir à la vitefTe avec laquelle le 
boulet retomba à terre 6c qui eft zz 188,8 pieds; ce qui donne la 
hauteur duc à cette vitefTe 


H =r 5 5 o, 3 pieds zz 1 3 r z diamètres de la boule. 

Le boulet s’enfonça de ig pouces, ce qui donne 
% ZZ diam. de la boule. 

Pofant donc le diamètre z i , & fubftituant ces valeurs dans les équa- 


tions (§§. 6 y. 6 5.) 

( = D + 


h!{\ Db i — -.* 3 ) 

£)3 _ 3 Hb z + i£3 


h 1 — H D — 
nous en déduirons l’équation 

o ZZ b' — + 


D* 

a ai) 

I 

629,44* 


Cette équation a trois racines réelles de pofirives. La plus grande, qui eft 
à très peu près b ZZ |, eft exclue, parce qu’elle feroit b "> D. Les 
deux autres font b ZZ 0,031c; de Æ zz 0,03x1, de forte que 3 eft 
à très peu près ZZ -y; du diamètre du boulet; ce qui dans un terrain 
mou, tel que feroir celui d’un champ labouré, peut très bien avoir lieu. 
Car pour le fable de des boulets de plomb j’ai trouvé b zz - 4 ÿ (§• 64.) 


§. 71. Si le même boulet, au lieu d 'être tiré verticalement en haut, 
avoir été tiré contre terre h plomb, il fe feroit enfoncé bien d’avantage. 
Car fa vitefïe étoit ZZ I 18 2 -j 5 pieds. La hauteur qui répond à cette vi- 
tcfïe eft zz 17135 pieds zz 60531 diamètres du boulet. Faifanc donc 



H ZZ 60531 


H 3 


6 z Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

on trouve (§.65. <>7.) 

K — 60379 
I = 198- 

Ainfi le boulet s’cnfonceroit de 198 de fes diamètres, ou de 89 pieds. 
Cet enfoncement croît ou décroît à très peu près comme le quarré de la vi- 
tcflè. Si donc la vitefle n’eft que de 500 pieds par fécondé, il ne 
s’enfoncera que de zo pieds. Et fi la -vitefle n’effc que de 400 pieds, 
il ne s’enfoncera que de 1 4 pieds. Or la viceflè des boulets qui vien- 
nent frapper les remparts n’eft gueres plus grande que de 400 pieds par 
fécondé, vû que la ré/iffance de l’air la diminue fort conlidérablemcnr. 
Voilà donc pourquoi on exige pour le parapet près de 20 pieds d’é- 

§. 72. Dans les calculs précédons j’ai fait abftraétion de ce qu’on 
peut appcllcr la réjifisnce du fable ou du terrain, entant qu’elle dépend du 
plus ou du moins de viceflè. La retardation du mouvement qui en ré- 
fulte elt fort petite en comparaifon de celle qui vient de ce que j’ai nom- 
mé ci-defliis (()'. 9.) la force hydrofbtique du fable ou du terrain. Mais 
elle peut entrer en ligne de compte lorfqu’un corps fe meut fous terre 
dans une direction plus ou moins horizontale, quoiqu’encore dans ce 
cas elle fe combine & fe confonde avec la force hydrofbtique. Sup- 
pofons un boulet qui fous terre fc meuve horizontalement. Il eft clair 

qu’à mefure qu’il avance, il trouve de la terre à déplacer. Cela fe fait 
en ce qu’il foulcve la terre, & à cet égard l’effort qu’il doir faire dé- 
pend de fa profondeur au-dtflbus de la furface du terrain où il fc meut. 
Il foulevera plus facilement la rerre qu’il touche par en haut que celle qu’il 
touche par en bas. Cette dcrnicre fera en partie déprimée, & ne pou- 
vant pas céder elle oblige le boulet à courber fon chemin & à remonter vers 
la furface. Cette courbure peut encore être regardée comme un effet 
de la force hydrofhtique, d’autant plus qu’elle a encore lieu dans les 
liquides. 



des Sciences et Belxbs-Lbttk us. 6 3 

§. 73. Une bombe de 10", 6 3 du pied de Rhin, & 4078 fois 
plus pefànte qu’un meme volume d’air, fut jettée fous un angle de 45 
degrés. Elle retomba à terre à une distance de 1650 pieds de Rhin. 

On la trouva enfoncée de 13^ pouces fous terre, de à 35 pouces de 
diftance horizontale de l’endroit où elle avoit commencé à s’enfoncer. 

Le chemin qu’elle parcourut (ous terre étoit une ligne courbe, qui à la 
lin avoit une dircétion entièrement horizontale. Cette courbure elè ffm- 
plement un effet de la force hyarofiatique du terrain, qui étoit celui 
d’un champ labouré de làblonneux. 

§. 74. En ajoutant aux 1 3 t pouces d’enfoncement le diamètre de 
la boule 10, 63? 011 a l’enfontcnimi total £ ZZ 14", 13, qui par con- 
féquent elt ZZ i, 17 diamètres de la bombe. 

§. 75. Or par la théorie delà réfîflrance de l’air je trouve que cette 
bombe tomba à terre fous un angle d’incidence de 48^ degrés, avec une 
viteffe de 1 11 pieds de Rhin par lèconde. Cela donne la viteffe verticale 
ZI 159 pieds, d: Ja hauteur due à cette viteffe ell ZZ 401 pieds ZI 
453 diamètres de la boule. Faifant donc 

H =453 
D — 1 

on trouve b = Cette valeur peut très bien avoir lieu dans un 

terrain labouré, mou de fablonneux. 

§. 76. Soit AB la furface du terrain, BD ZZ 3 5 pouces, rig s. 
B E ZZ pouces, DA ZZ E C le diamètre de la bombe ZZ 

10 , 6 } pouces, on aura BD ZZ 45, 6 pouces, BC ZZ a 4, 1 pou- 
ces. La bombe commença à toucher la terre en A, de le point A 
parcourut la courbe AC. L’angle d’incidence en A , qui étoit de 
48 t degrés, devoir diminuer un peu pendant que la bombe entroit en terre. 

Or je trouve que la courbe AC eff à très peu près parabolique. Car en 


6 ti Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

divifanc iBC ~ 48,1 par AB zz 4. 5 , 6” le quotient 1,057 
la tangente de l’angle DAF, ce qui fait cet angle — 4 6 °. 3 6 ', un 
peu plus petit que n’étoit l’angle d incidence. Cependant en regardant 
de plus près le chemin que la bombe avoic parcouru fous terre, il m’a 
paru être plus courbé, de forte qu’au lieu d’être une parabole A G C, 
c’ctoit une autre courbe AHC ; ce qui peut très bien provenir de la 
réliftance du terrain. Il arrive encore quelquefois que la bombe, apres 
s’être d’abord enfçncée, commence à remonter vers / , lorl'que dans le 
point le plus bas C elle n’a pas encore perdu toute fa vitefle. 



SUITE 



DES SciEKCES BT B E LL ES -L E TTRE S. 


*5 


SUITE DE UES S AI D'HYGROMÉTRIE 

Par M. Lambert.}*) 


A près m’être a/Turé par des obfervations de plufieurs années de la Ior>- 
gueur qu’il faut donner aux cordes de boyaux pour que de la plus 
grande humidité à la plus grande fécherefle de l’air elles ne fartent qu’un 
tour, je commençai en i 77 x à faire trois hygromètres correfpondans de la 
même corde que dans mon premier Ertai j’ai appellée la corde mince, & 
qui a I>g ne de diamètre. Je nommerai ces hygromètres G, H , /, 
afin de les distinguer des fix hygromètres dont j’ai fait ufage dans mon pre- 
mier Ertai d’Hygrométrie. Je lairtai ces hygromètres pendant plufieurs 
mois à côté l’un de l’autre 6 c je vis qu’ils continuoient d’avoir la même 
marche. 

Au mois de Mars 1771 j’envoyai l’hygrometre G à Mr. le Prélat 
de Felbiger , à Sagan, qui prend beaucoup d’intérêt à tout ce qui regarde 
les obfervations météorologiques, & qui tout récemment a fait appliquer au 
clocher de fon Abbaye un conducteur éleétrique, pour mettre l’églife à cou- 
vert des coups de foudre auxquels elle avoit été expofée ci-devant. 

Ce Prélat avoit déjà reçu de Mr. Titius , Profefieur de Mathématiques 
à Wïttembcrg, un hygromètre dont la corde devait faire quatre tours du 
plus humide au plus fec. Il ne tarda pas à en comparer la marche avec ce- 
lui que je venois de lui envoyer. Ces deux hygromètres fe trouvèrent 
correfpondans. L’hygrometre de Mr. Titius avoit une fpirale dont quatre 
tours étoient divifés en 360 degrés, 6c afin de ne point confondre les 
tours, Mr. Titius y avoit attaché un fil par les deux bouts, en forte que 
l’aiguille tournant en arriéré, le fil fe dévidoit de la corde. Mon hygromè- 
tre ne faifant qu’un feul tour n’avoit qu’un fimple cercle divifé en 3 60 de- 
(*) Voyez Ane. Mém, T. XXV. p. $8. 

Nwv. Menu 177a. 


I 


66 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

grés. Ainfi dans l’un & l’autre hygromètre le zéro de la divifion marque la 
plus grande humidité, le i8o me indique l’humidité moyenne, & la plus 
grande fécherefle de l’air va jufqu’au '$ 6 o me degré. 

Ces deux hygromerres corrcfpondoient, à quelques degrés près donc 
tantôt l’un tantôt l’autre avançoit, & cette correfpondance continue encore à 
préfent. J’ignore comment M. Titius a déterminé le zéro de Ton hygromètre. 
Mais pour ce qui regarde le point de la plus grande féchercflè il propofoit un 
air échauffé au 3o mc degré du Thermomètre de Mr. de Réaumur. Quant 
à moi je. mu fuis borné à déterminer les degrés excremcs par une fuite d’ob- 
fervatiôns de plufieùrs années. Ainfi ces deux hygromètres fe trouvoient 
correfpondans par un fimple hazard. 11 y ' a dans chaque année 
des jours où différentes marques extérieures font concoure la féche- 
reffe & l’humidité extremes. Les jours les plus fec s fe rencontrent or- 
dinairement au mois de Mai après plufieurs jours fercins 6 c après que les 
vents de terre ont féché les rues, les champs & les marais. Le tems le plus 
humide a lieu ordinairement au commencement 6 c quelquefois vers la fin 
de l’hyver. C’eft alors que l’humidité entre dans les maifons 6 c s'attache 
aux murs au point qu’elle eft fcnfible. On peuc affez bien régler un hygro- 
mètre conformément à ces' degrés extremes, pour juger enfuite des degrés 
intermédiaires. Si dans les années fuivantes on trouve un teins encore 
plus fec ou plus humide, il eft toujours facile d’en tenir compte 6 c de recti- 
fier l’échelle faite d’après les premières cbfcrvations. C’efl au moins 
ce qu’on peut faire de mieux jufqu’à ce qu’en ait trouvé deux degrés de fé- 
chcrcffe 6 c d’humidité conftans pour la divifion de l’échelle des hygro- 
mètres. 

Ayant appris de Mr. le Prélat de Felbiger qu’il fait faire à Sagan des 
obfcrvations météorologiques trois fois par jour, j’en fis de meme à Berlin, 
afin de pouvoir enfuite comparer la marche de l’hygrometre à Sagan avec 
les deux que j’avois gardés chez moi. Le io Nov. 1771 je plaçai l’hy- 
grometre I dans tme chambre que je ne fis point chauffer & pour l’autre H 
je le laifiài dans la chambre où je fuis ordinairement, qui fut chauffée tous les 
matins iufqu’au 14 Mars 1 771, où le beau teins commcnçoità rendre la cha- 


bbj Sciences et Beiges-Lettres. 


6 7 

leur du fourneau fupcrflue. Je marquai chaque jour les degrés de ces "hy- 
gromètres. Je communiquai cous les mois ces obfervations à Mr. le Prélat 
de Felbiger , de je reçus les fiennes en échange. Les premières obfervations 
firent d’abord voir que les variations de l’humidité à Sagan & à Berlin 
étoient fort analogues, &c je trouvai enfuite qu’il en étoit de meme dans les 
mois fuivans. Je m’attachai furtout à comparer enfemble les degrés obfer- 
vés les matins, qui font, pour ainfi dire, le réfulcat des variations journalie-- 
rcs r caufées furtout par l’aéfion du Soleil pendant le beau rems, & par les 
vapeurs qui s’élèvent pendant la nuit. On trouvera à la fin de ce Mémoire 
trois Tables. La première confient les degrés de l’hygrometre /, que 
j’avois placé dans la chambre qui ne fut point chauffée. La fécondé Table 
marque les degrés de l’hygromcrrc H que j’ai laiffé dans le poêle chaud où 
je me tiens pour l’ordinaire. Enfin la troifieme renferme les obfervations 
faites à Sagan avec, l’hygrometre G que j’avois envoyé à Mr. le Prélat 
de Felbiger. On voit par ces Tables, que la variation totale de ccs hygro- 
mètres clt fort différence. Car elle fut pour l’hygrometre 
I de — i i “degrés jufqu’à 189 
H de 191 - - - 

G de 70 2-8°* 

Ainfi l’hygrometre / varia de 310 degrés , l’hygrometre H de 77 & 
l’hygrometre G de uo. 

Cette différence doit principalement être attribuée aux circonftances où 
ccs hygromètres fe trouvèrent. L’hygrometre A étoit, pour ainfi dire, 
expol'é immédiatement ù l’air extérieur. La chambre ne fut point chauffée 
pendanc l’hyver. Par conféquenc point de chaleur qui eût pu le tenir plus 
au fec. Une fenêtre étoit prefque toujours ouverte, & perfonne n’y en- 
troit; j’y allois feulement obferver les degrés de l’hygrometre ou pour d’au- 
tres occupations de peu durée. Il n’en fut pas de même de l'hygromctre H. 
La chambre fut tenue chaude pendant tout l’hyver. Les fenêtres étoient 
alors fermées, & pendant l’été il n’y en avoir qu’une que je laiffois ouverte 
de jour. Tout cela dévoie néceffairement retenir l’hygromctre B plutôt 
au-deffus qu’au - delfous des degrés de féchereffe moyenne. Audi cec hy- 

I i 


<>8 Nouveaux Mémoires de l’Académie Rôyalk 

gromerre ne participant que très peu aux variations de l’air extérieur, fur- 
tout pendant les mois d’hyver, n’indiquoit, pour ainfi dire, que les vertiges 
de ces variations. ' L’hygrometre C de Sagan tint à peu près le milieu en- 
tre les hygromètres B. Il fut placé dans un corridor dont l’une ou l’au- 
tre porte étoit prefque toujours ouverte. 

Pour voir maintenant d’un coup d’œil l’analogie entre la marche de l’hy- 
grometre 1 à Berlin & de l’hygrometre G à Sagan, je l’ai dertinée dans une 
Figure fuivant une même échelle. Cette marche fur, à deux ou 3 degrés près 
abfolument la même pendant les 10 derniers jours du Mois de Novembre 1771. 
Après cela l’hygrometre de Berlin tourna confidérablement plus vers l’humide 
que celui de Sagan. Cela dura jufqu’üt la fin de Mars, où l’hygrometre de Berlin 
commença à être prefque toujours plus fur le fec que celui de Sagan. Vers 
le mois de Septembre ils commencèrent à fe rapprocher, en forte que tantôt 
l’un tantôt l’autre fe tint plus fur le fec, & au mois de Novembre celui de 
Berlin commença à fe tenir conftamment plus fur l’humide, comme il l’avoit 
fait l’hyver précédent depuis le 1 o Déc. 177 1 jufqu’au 1 Avril 1771. 

Ces différences entre les hygromètres de Sagan & de Berlin n’empêche- 
rent point que leurs variations particulières ne fuffent fort femblables, à 
l’exception de quelques anomalies où ces hygromètres par des caufes acci- 
dentelles varioient en fens contraire, ou fc dévançoient l’un l’autre d’un ou 
de deux jours. 

On voit encore que la caufe qui vers la fin de Février avoir rendu l’air 
à Berlin extrêmement humide, n’influa que fort peu fur l’hygrometre de 
Sagan. C’étoit un vent du Sud , qui nous amena une forte pluie & un 
tems fort humide. Il paroit que ce vent dominoir beaucoup moins à 
Sagan. 

Les variations hygrométriques étant donc fort analogues à Berlin & en 
Siléfie, je ne doute pas qu’elles ne le foient dans un plus grand diftrift de 
pays. Mais je n’ai point là-deflùs d’oblèrvations détaillées. Cependant M. 
Brandtr , célébré Méchanicien d’Augsbourg, me mande que Mr. Mafchen- 
bauer , Direâeur du Bureau d’adrefle de cette ville, obferve l’hygrometre, <5 c 
en publie les réfultacs dans une feuille hebdomadaire. Ses hygromètres 


des Sciences et Belles-Lettres. 



font de ficelle & s’allongent quand le tcms devient plus fec. Il en a trouvé 
la longueur 


pour la plus grande fécherefie 43 p . 8 P - 4* 
pour la plus grande humidité 41. 5. 0 

34 p - 7 P ' 

‘3x. 7. 6 

& par conféquent la variation 1. 3* 4 

1. 7. 6 


Ainfi la variation pour l’un ou l’autre de ces hygromètres elt comme 3 7 
à 39. 

Mr. Mafchenbauer trouva Tes hygromètres le plus au fec le x8 Juin 
1771. A Berlin cela n’arriva que le xcj après midi, où l’hygrometre I 
marqua le 17 i n,e dcgré. Cette fécherefie arriva donc à Berlin un jour plus 
tard qu’à Augsbourg. A Sagan l’hygromctre avoit marqué le degré le plus 
fec le 10 Juin, mais le 18 & le xc) il marqua un tems moins fec. 

La plus grande humidité à Augsbourg fut obfervéc le 1 3 Décembre 
1771. Nous avions pareillement à Berlin une humidité très forte, qui 
s’attacha aux murs dans les maifons, le 1 x Décembre au foir où l’hygrome- 
tre fe tint fur le 74"* degré. Cependant cette humidité, quoique fort 
grande, fut furpaiïee par celle du 19 Février 1772., où l’hygromecre A 
fe trouva fur le xi mc degré au-deflbus de zéro. Avec tout cela l’humidité 
du 1 x Décembre à Berlin peut toujours être regardée comme parallèle à 
celle du 1 3 Déc. à Augsbourg, de forte qu’à cet égard on peut dire qu’elle 
fut antérieure à Berlin d’un jour entier, tandis que tout au contraire ce fut 
à Augsbourg que la plus grande fécherelTe fut antérieure d’un jour. La 
pofition des deux villes, tant à l'égard des mers qu’à l’égard des vents, fait 
qu’en tout cela il n’y a rien qui ne foit fort naturel. 

Comme donc les degrés extremes d’humidité & de fécherefie fe ren- 
contrent à un jour près à Augsbourg & à Berlin, il y a apparence qu’il en 
fera de même des autres variations confidérables. Car quant aux petites 
variations qui ne font que journalières, il eft naturel de conclure qu’elles 
iront d’autant plus fouvent en fens contraire, que les deux endroits qu’on 
veut comparer, font plus éloignés l’un de l’autre. J’ai cependant prié 

13 


7 ° 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royaiî 


Mr. B'ander de vouloir bien me faire avoir deux mois entiers des obferva- 
lions de Mr. Mafchenbauer, & nommément les mois de Décembre i 771 
& de Juin 1771, ce qu’il a eu la bonté de faire. Mr. Majchenbauer a di- 
vifé l’échelle de fon hygromètre en 100 degrés, dont 1 00 fe comptent vers 
Je fcc, & les autres 100 vers l’humide. J’ai tiré d’après les oblèrvations 
des matins une courbe à double trait au mois de Décembre & de Juin, qui 
marque la marche de l’hygrometre d’Augsbourg. On voit par là d’un coup 
d’œil que cet hygromètre tourna vers l’humide depuis le 1 jufqu’au 1 3 Dé- 
cembre, à la petite exception près qu’il y a entre le y 6 c le 1 o Décembre. 
Cette exception fut plus grande à Berlin , & encore plus grande à Sagan, 
Depuis le 13 Décembre jufqu’au 13 les hygromètres avancèrent & reculè- 
rent, celui d’Augsbourg fort uniformément, celui de Berlin & de Sagan 
d’abord avec plus de vitcITe, enfuite plus lentement & avec moins d’unifor- 
mité. Depuis le 13 jufqu’au 31 l’hygrometre de Sagan varia fort peu ; 
celui de Berlin avança d’abord vers le fec, mais moins vite que celui d’Augs- 
bourg, qui enfuite recula de deux jours plutôt & plus fortement. La va- 
riation pendant ce mois fut à peu près la même. 

Il en eft tout autrement au mois de Juin, où la variation de l’hygrome- 
tre d’Augsbourg eft très confidérable en comparai fon de ceux de Berlin 6 c 
de Sagan. Il y a pourtant quelque analogie, fi on compare les maxi- 
mum 6 c les minimum , entre ces trois hygromètres. Voici comment je 
crois que cette comparaifon doit être faite. 



Augsbourg 

Bei lin 

Minimum 

le 3 

le 4 

Maximum 

le 5 

le I 

Minimum 

le 6 

le 7 

Maximum 

le 8 

le 9 

Min. 

le 9 

le 10 

Max. 

le 11 

le 1 I 

Min. 

le 11 

le il 

Max. 

le 17 

le 1 6 

Min. 

le 19 

le 18 

Max. 

le io 

le 1 9 

Min. 

le ai 

le 

Max. 

le 14 

le 15 

Min. 

le 2 J 

le as 

M.x. 

le 2.8 

le 19 


Sagan 

le 4 
le 5 

le 7 
le 1 o 


le it 
le iî 

le 19 
le 10 
le 1} 
le 2 J 
le 16 
le ".9 


des Sciences et Beiees-Lettres» 


7 1 

Du f) au 1 1 Juin l’hygrometre de Sagan avoir une variation de moins, & 
le 17 celui de Berlin en avoit une de plus. Il femble que le fol élevé 
d’Augsbourg contribue à rendre les variations en été plus fortes. 

Les obftrvations d’une feule année ne font gueres fuffifances pour déter- 
miner ce qu’il peut y avoir de régulier dans la variation annuelle de l’humi- 
dité de l’air. Les années 1771, 1772. y font peut-être les moins pro- 
pres. L’année 1771 éroit une des plus humides que nous ayons eues de- 
puis longrcmsj & l’année 1772., depuis le mois d’Avril jufqu’à la fin du 
mois d’Oétobre , amena un tems fcc, qui n’étoit que très rarement inter- 
rompu par quelque pluie abondante. J’ai pris pour chaque mois la fomme 
des degrés de l’hygrometre A dans la première Table , & en la divifant 
par le nombre des jours j’ai obtenu les termes moyens pour chaque mois. 
Les voici» 


1771. Nov. 

1 5 5 

1771. Mai - - - 

141 

Déc. 

145 

Juin - - - 

x 6 7 

1771. Janv. 

- - - 140- 

Juillet - - - 

151 

Févr. 

jx 9 

Août - - - 

2-38 

Mars 

13 * 

Scpr. - - - 

2-3 9 

Avril 

2.33 

oa. 

m 



Nov» - - - 

1 9 5 


On voit par lit que le mois de Novembre rjyT éroit de près de 40 degrés 
plus humide que le même mois en 1 771» A en juger par toutes les cir- 
conftancec, les termes moyens feront, pour le mois le plus fec 170, & pour 
le mois le plus humide 1 1 o. 

J’ajourerai encore les termes moyens tirés de la rroifieme Table, qui 
renferme les obfcrvations faites à Sagan. Et comme je viens de recevoir 
encore le tableau de la marche de l’hygrometre de Mr. le ProfelTcur Titius 
h Witrcmberg, je n’ai pas manqué d’en faire la comparaifon avec ceux de 
Berlin & de Sagan. J’ai vu d’abord que réchelle n’étoit pas la même, mais 
que le nombre des degrés diflèroic bien au-delà du double, l’hygromerre de 
W'itremberg ayant varié depuis le 5 8 mf degré jufqu’au 6 oq, me „ J’ai donc 
pris les termes moyens pour chaque mois , & en les comparant à ceux que 


7% Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

donne la première Table j’ai trouvé que le zéro de mon hygromètre dévoie 
correfpondre au degré — 1 5 o de l’hygrometre de Mr. Titius , & que le 
36 o mc degré du mien dévoie correfpondre au 78 8 me du lien, de forte que 
l’hygrometre de M. Titius parcourt 938 degrés pendant que le mien fait le 
tour entier de 360 degrés. Le rapport elt à très peu près comme 1 3 à ÿ, 
de forte que 1 3 degrés de l’hygrometrc de M. Titius équivalent à 5 du mien. 
Du re/le cette comparaison peut très bien n’être pas tout à fait exaéle. Elle 
fc fonde fur ce que le cems fec de l’été e(t à peu près au même degré à Wic- 
temberg & h Berlin, & que réciproquement le tems humide de l’hyver ell à 
peu près également humide dans ces deux endroits. Ce dernier énoncé eft 
plus fujet c\ caution que le premier, furtout lorfqu’on ne veut comparer que 
les degrés obfervés pendant quelques femaines. Mais comme j’ai fait la 
comparaifon pour 13 mois confécutifs, l’un portant l’autre, j’ai lieu de 
croire qu’elle fera affez jufte. Elle l’eft encore allez pour le but que je me 
propofe & qui eft que moyennant cette réduction l’analogie de la marche 
des hygromètres à Sagan, à Wittemberg & à Berlin fe voie mieux que fi je 
laiflois les degrés de celui de Wittembcrg deux ou trois fois plus grands que 
ceux des hygromètres de Sagan & de Berlin. La quatrième Table renfer- 
me les degrés de l’hygrometre de Wittemberg réduits d’après ceux que Mr. 
Titius a obfervés chaque jour le marin. Pour comparer ces degrés avec 
ceux de la première &de la troifieme Table, il faudroit les defliner dans la 
même Figure, ce qui rendroit la Figure trop chargée & trop confufe. J’ai ce- 
pendant deffiné la courbe qui repréfente la marche de l’hygrometre de Wittem- 
berg depuis le 8 Janvier jufqu’au 1 9 Février, où cela pouvoit fe faire fans con- 
fufion à caufe de la différence allez confidérable qu’il y avoir alors entre l’hu- 
midité des trois endroits. Or on voit que malgré cette différence la marche des 
trois hygromètres ne laiffapasde confervcr un paraHélifmc très marqué. Il s’en 
faut de beaucoup que ce parallélifme foit aulîi vifible dans les nombres de la 
première, troifieme & quatrième Table, qu’il l’eft dans la Figure. Car en 
ne comparant ces nombres qu’en gros on feroit porté à croire qu’il n’y a 
aucun rapport entre la marche des trois hygromètres. Dans la Figure ce 
rapport faute d’abord aux yeux. Voici maintenant les degrés moyens de 

ces 


b es Sciences et Belles~Lëttres. 73 

CCS trois hygromètres pour chaque mois, c’cft à dire les quotiens qui réful- 
tent de la divifion de la fomme des degrés obfervés par le nombre des ob- 
fervations ou des jours. 



Mois. 

Berlin 

Wntembcrg 

Sagan 

1771 

Novembre 

1 5 5 

iéy 

164 


Décembre 

>45 

141 

«75 

1771 

Janvier 

140 

1 1 a 

200 


Février 

119 

106 

*99 


Mars 

1)6 

178 

ni 


Avril 

*3 3 

131 

*38 


M->i 

141 

*43 

il 6 


Juin 

263 

16 J 

165 


Juillet 

25 * 

*53 

*34 


Août 

238 

148 

248 


Seprembre 

2-39 

24* 

*39 


Octobre 

411 

224 

121 


Novembre 

«95 

*«3 

120 


Somme 

1588 

l6l6 

1842 


Degré moyen 

•99 

201 

a 19 


II réfulte de cette Table que I’hyver à Sagan a été considérablement moins 
humide qu’à Berlin & à Wittemberg. Ce n’eft pas que je croie qu’il y ait 
eu moins de pluie; mais les inondations furent dans les deux derniers en- 
droits d’une plus longue durée qu’à Sagan, le fol de Sagan étant beaucoup 
plus élevé que celui de Berlin 6 c de Wittemberg. Ainli l’hyver de 1771 à 
1 77 x à Sagan approche plus de l’état moyen qui doit réfulter de la compa- 
railôn d’un grand nombre d’années , que le même hyver à Berlin 6 c à Wit- 
temberg. En récompenfc l’automne, qui étoit à peu près également fcche 
dans les trois endroits, l’étoit néanmoins beaucoup plus que dans une année 
ordinaire. C’étoit une des plus belles automnes que nous euflions eues de- 
puis longtems. Aulfi les nouvelles publiques font foi qu’il en a été de mê- 
me dans des pays fort éloignés, ce qui fait encore voir que les grandes va- 
riations qui arrivent dans l’humidité de l’air s’étendent dans un grand dillriéfc PL «1. 
de l’hémifphere que nous habitons. 


tfottv. Ment. 177t. 


K 


74 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


Comme les années précédentes je me fuis borné à marquer les 
degrés extremes du fcc & de l’humide, je fupplécrai au défaut d’obferva- 
tions non interrompues par celles qui fe trouvent rapportées dans le N°. 3 8 i 
des Tranfaélions de la Société Royale des Sciences de Londres. Elles font 
de Mr. Crucquius, qui obferva pendant les années 17x1, 1711, 172.3 
le poids d’une petite éponge imprégnée de fcl ammoniac. Voici pour ces 
trois années les termes moyens pour chaque mois. 


Janv. 

Févr. 

Mars 

Avril 

Mai 

Juin 


8 ^ 

8 2. 

76 

68 

63 

6 1 


Juillet 6r. 
Août 65. 


Sept. 

oa. 

Nov. 

Déc. 


6 y. 

74 - 

8 *. 

85 - 


Ces trois années different aflèz peu l’une de l'autre, de forte que ces termes 
moyens approchent fort de ceux qui réfulteroient d’une plus longue fuite 
d’obfervations. Ils expriment le poids de l’éponge. Cela fait que pour 
compter les degrés de l'humide vers le fec, il faut les fouftraire du terme 
moyen du mois de Janvier, qui eft le plus grand. Nous aurons donc 


Janv. 

0 

Juillet 


Févr. 

4 

Août 

X î 

Mars 

1 0 

Sept. 

H 

Avril 

18 

oa. 

! X 

Mai 

2-3 

Nov. 

4 

Juin 

2-5 

Déc. 

1 


Ces nombres croiffent & décroifTent à très peu près comme les degrés 
moyens de la chaleur, à cette exception près que les degrés extremes de la 
chaleur tombent 4 ou 5 femaincs après les fo'.flices, au lieu que les degrés 
extremes de l’hygrometrc coïncident, ou peu s’en faut, avec ces points 
cardinaux de l’écliptique. Les termes moyens du thermomètre de Mr. 
Crucyuius pour chaque mois font 


des Sciences et Belles-Lettkhs. 


75 


Janv. io8 3 
Févr. 1085 
Mars 1 ocjo 
Avril 1180 
Mai 1122 
Juin 1134 


Juillet 1137 
Août 1140 
S,pc. 1130 
OA. 1114 
Nov. 1099 
Déc. îo^o 


C’éroit un thermomètre \ air, dont la dilatation 1070 répondoit au terme 
de la glace, & la dilatation 1 5 1 o au terme de l’eau bouillante. 


Pour comparer d’autant plus facilement la marche de ce thermomètre 
avec celle de l’hygrometre, j’ai detfiné l’une & l’autre dans une Figure. 
De cette maniéré on voit d’un feul coup d’œil, que l’hygrometre devance le 
thermomètre, mais beaucoup plus au printems que vers l’automne. Les 
beaux jours qui ordinairement précédent i’équinoxe y contribuent efficace- 
ment. Et furtout en Hollande ce font ces beaux jours du printems qu’il 
faut choifir lorque du haut du clocher d’une ville on veut voir diftincte- 
nunr les villes & les villages des environs. Au contraire les beaux jours de 
l’automne amènent ordinairement la rofee de la nuit, les bruines & les 
brouillards des matinées. 


Les ordonnées pour la courbe, tant de l’hygromerre que du thermo- 
mètre font une fonction de la longitude du Soleil de la forme 

y “ A * 4 “ B lin A C cof A D fin x A -j- E cof iA -j- &c. 

On voit, par la Figure, que cette fuite doit être fort convergente, & que 
pour trouver ces ordonnées à très peu près, on peut fe contenter du terme 

y ~ B. fin A 

lorfqu’on prend le commencement des abfeiflcs là où la courbe en montant 
coupe l’axe; ce qui, à l’cgard de la courbe de/finée pour l’hygrometre, ar- 
rive fort près du jour de l’cquir.oxe du printems, le x} ou 14 Mars. 
Cette formule repréfentero aflez bien les variations annuelles moyennes de 
l’humidité. En fuppofant pour 1 hygromètre A les degrés 1 1 o, 270 

K x 


PI. IV. 

Vis- o 


7^ Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


comme termes moyens répondans au 13 de Décembre & de Juillet, 
trouve les termes moyens pour les mêmes jours de 


Janv. 

1 xo 

Juillet 

160 

Févr. 

1 5 0 

Août 

130 

Mars 

I <JO 

Sept. 

I CJO 

Avril 

230 

Oft. 

150 

Mai 

x6o 

Nov. 

1 X0 

Juin 

170 

Déc. 

I X 0. 




L’hygrometrc de Mr. Crucquius ayant été fait d’une éponge il convient de 
voir comment ces fortes d’hygrometres corrcfpondent avec ceux qui font 
faits de cordes de boyaux. Je rapporterai les obfervations que j’ai faites là- 
defïus en 1 7 5 1 à Coire dans le pays des Grifons. Au mois de Septembre 
de cette année je pris une éponge nette du poids de x 1 o grains. Après 
l’avoir imprégnée de fel de tartre le poids en fut augmenté jufqu’à 2. 5 5 . Je 
fufpendis cette éponge à une de ces balances que j’ai décrites dans le 3”* 
Volume des Acla hdvctica , & qui indiquent le poids d’elles- memes. Je 
plaçai à côté un hygromètre donc la corde avoir 43 lignes de longueur &c 
j ligne de diamètre. Voici les obfervations pour les heures du matin. 


1751 

Eponge. | Corde. 

1752 

Eponge. 

Corde. 

1752 

Eponge. 

Corde. 

Sept. 30 

255 

ai 0 

od. 17 

15 6 

1 1.0 

Nov. 3 

247 

208 

Of). 1 


— 

18 

25a 

* 5/5 

4 

242 

23 5 

2 


— 

>9 

249 

208 

5 

240 

242 

3 

i£o 

J 74 

10 

2 JO 

ICO 

0 

244 

213 

4 

10 1 

170 

a t 

25 5 

165 

7 

249 

>75 

5 

'*£5 

*J 7 

ai 

254 

183 

8 

242 

2-33 

6 


9 b 

23 

249 

200 

9 

236 

273 

7 

-78 

1 20 

24 

248 

208 

0 

242 

210 

8 

*77 

115 

25 

246 

213 

1 1 

242 

230 

9 

269 

1 6 2 

a 6 

243 

235 

12 

243 

223 

I G 

i/>i 

170 

27 

240 

235 

«3 

138 

0.40 

1 1 

152 

100 

28 

241 

235 

14 

234 

267 

11 

2 49 

aao 

2 9 

244 

225 

1 5 

236 

245 

>3 

259 

157 

3° 

140 

258 

1 6 

238 

245 

1 4 

160 

169 

31 

243 

430 

>7 

241 

207 

j ■5 

258 

175 

Nov. j 

141 

233 

n 

244 

200 

1 lC \ 

160 

16b | 

a 

24 5 

217 

1 9 

247 

1 90 


DES SCIBKCIS ET BeLIES-LeTTRES. 


77 

On verra mieux dans la fécondé Figure que par ces nombres jufqu’à quel Fi f- *• 
poinr la marche de ces deux hygromètres étoit correfpondante. La ligne 
pointée eft pour l’cponge. Ses ordonnées font prifes fur l’échelle de der- 
rière. L’autre courbe eft pour la corde, & fes ordonnées font prifes fur 
l’échelle de devant. On trouve fans peine que l’hygrometre à éponge feche 
& s’humeéte avec moins de vireffe. De là vient par ex. que le 6 & le 7 
Novembre il alla encore vers l’humide tandis que la corde tournoit déjà vers 
le fcc. De là vient encore que partout où la variation de l’humidité de 
l’air eft fubite, l’éponge n’indique qu’une partie de cette variation. On 
voit dans la Figure, que les inflexions de la courbe pointée font toujours 
moins grandes que celles de la courbe deflinée pour la corde. Voici en- 
core une autre preuve. 

En 1755 aù mois d’Octobre je lavai cette éponge pour en faire forrir 
le fel & la poufïierc dont elle étoit chargée. Je la fufpendis de nouveau à 
la même balance, & j’en trouvai le poids de 540 grains. C’étoit le 
Octobre 1755 à 1 1 heures & demie du matin. Le 15 à la même heure 
elle pefa encore 3 pg grains. Le 30 -à la même heure fon poids fut encore 
de 2.8 6 grains. Le 3 1 à 8 heures 20 minutes elle pefa 243 grains & à 
2 heures 40 minutes après midi fon poids fut de 23 2 grains. Cette épon- 
ge fcchoit donc avec beaucoup de lenteur, quoique depuis le 28 Oétobre 
qui étoit un jour couvert & en partie pluvieux, le tems fe remît au beau, 

& que l’hygrometre à corde tournât vers le fcc. Cela devoir accélérer le def- 
féchement de l’éponge, & néanmoins il fallut quatre jours de tems pour le 
produire. Du refte cette éponge étoit fort groflè , pelant y- jufqu’à 4^ 

dragmes. Si elle n’avoit pefé qu’une dragme, elle auroit eu plus de fur- 
face rélativement au volume, & cela auroit accéléré aiïcz fenfiblcmcnt 
les variations de fon poids. On peut voir les expériences que j’ai faites à 
ce fujet, dans l’Elfai d’hygrométrie qui fe trouve dans les Mémoires de 
l’Académie pour 1 année 17 6 y. Avec tout cela la petite éponge que j’ai 

employée alors & qui pefoit 39 grains, demande un jour entier, même 
dans le tems le plus fcc , pour perdre 5 3 grains d’humidité. C’eft ce que 
me fit voir une expérience faite le 23 Juin 1772. Cette éponge hu- 
it 3 


78 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

me&ée avec de l’eau pefoir 88 grains; elle fécha jufqu’au lendemain, où à 
une heure après midi Ton poids fut de 3 5 grains, de forte qu'elle perdit 
les 5 3 grains d’eau donc je l’avois imprégnée le jour précédent à 6 heures 
du matin. Voici l’expérience complette. 


Teins. 

Poids de 
l'éponge. 

Poids de 
l’eau. 

Hygrom. 

A 

T hcr ni 
de Ré uu-ur. 

0*. 0' 

88 

53 

33° 

17,0 

0,41 

8 S 

JO 



1, 4 <5 

81 

46 



1. *7 

7 «î 

43i 

3*8 

*7» 7 

l, 4 G 

77 ï 

4»i 

3i7 

17. 8 

3* *7 

7 6 

4i 

3*8 

1 8, 0 

4. Î7 

68 

33 

33i 

18, 6 

6, 14 

62} 

175 

334 

iR, 9 

7. 9 

J8f 

a 3ï 

338 

O» * 

10, 3 

48 

J3 

347 

19, i 

10, 3 6 

4Ô| 

ni 

347 

O. I 

1 1, 6 

44 

9 

347 

19. 1 

11,41 

44 

9 

347 

19,0 

n, 8 

43 

8 

347 

19, 0 

13. 1 6 

40 

5 

347 

19,0 

16, 16 

37 

2 

341 

19, 0 

23, ai 

35l 

1 ! 

340 

18, 0 

31, a 

3Î 

0 

347 

0 

o* 


Les cordes de boyaux demandent moins de tems pour acquérir ou perdre 
l’humidité. Cependant il faut toujours pour cela pluficurs heures, f atout 
lorfqu’ellcs ne lont pas très minces. Cela fait encore que l’humidiré de l’air 
change en effet plus forcement que les hygromètres à corde ne l’indiqucnr. 
J’entens Iorfque la variation eft fubice, ou lorfque l’air en peu d’heures de 
rems devient alternativement plus fec & plus humide. Car des qu’il s’agit 
de plufieurs jours, alors l’hygrometre ù boyau fuit les variations de l'humi- 
dité de l’air, comme dans la Figure la courbe pour l’hygrometre à épon- 
ge fuit celle que j’ai deflince pour l’hygrometre ù corde. 11 y ata oit 
bien moyen de calculer les variations de l’humidité de l’air, celles de 
l’hygiometrs étant données, mais il faudrait auparavant connoîcre la loi 
fuivant laquelle les cordes de boyaux acquièrent & perdent inumiüiié. Or 


des Sciences et Béllbs-Lettres. 


19 

cela n’eft pas facile. J’ai donné dans le premier Eflai des expériences qui 
pouvoient répandre quelque jour fur cette matière, mais fans les pouffer au 
point de pouvoir y appliquer quelque formule. Je vais donc expofer quel- 
ques-unes de celles que j’ai faites depuis. 

La difficulté de trouver deux points d’humidité qui foient fixes, me fit 
venir l’idée de chercher un de ces points dans l’eau même, c’eft h dire de 
fufpendre une corde à boyau dans l’eau & de voir jufqu’à quel point elle fe 
détortillcroit. Je vis d’avance qu’il n’étoit pas indiffèrent de donner à l’eau 
un degré de chaleur quelconque, niais qu’il falloir s’en tenir à un degré fixe, 
& qui approche fort du tempéré. Car fi l’eau avoir une chaleur allez gran- 
de pour fondre la graifie qui refie toujours encore dans les cordes, la corde 
pourroit le dccorniler au point de perdre entièrement la force qu’elle a de fe 
tordre en feclium. J’ai trouve à cet egard des phénomènes allez finguliers. 
Une corde de noyau de i S lignes de longueur, coupée du même bout 
que j’ai nommé la groffe corde dans mon premier Elî'ai , fe détortilloit de 
1310 degrés dans l’eau qui n’avoit que 10 degrés de Réaumur de cha- 
leur. Ce fut le 5 Mai 1772. à 5 heures du matin. En la fulpcndant cn- 
fuitc dans l’eau qui avoir 45 degrés de chaleur, elle tourna 40 degrés & 
plus vers le fcC. Je la retirai pourtant bientôt pour la Iaifièr fécher. Cela 
n’arriva pas le 8 Mai, où l’eau avoir plus de 60 degrés de chaleur. C’étoit 
alors une corde mince de 1 1 1 lignes de longueur. Elle fe détortilloit dans 
l’eau tempérée de 8 8 5 degrés, & apres l’avoir fufpenck’.e dans l’eau chaude, 
elle fit en moins de deux minutes encore 3 ou 4 tours en fc détortillant 
d’avanrage, après quoi elle s’arrêta, ou ne tourna que très lentement.’ Je 
la retirai de l’eau, & je trouvai fon diamètre, qui d’abord n’étoit que de 
o, 3 8 lignes, groffi de telle forte qu’il écoic de 0,7 lignes, c’efi à dire pres- 
que du double. En féchant elle ne fit qu’un tour de 540 degrés; A 
l’égard des cordes que je fu (pendis dans l’eau tempérée, il y en avoir qui en 
féchanc s’cntortilloicnt au delà dè ce dont clics ne s’étoient pas détortillées 
dans l’eau. D’autres revinrent au meme point, & d’autres enfin reficrent 
en arriéré. Il cft clair que c’efi dans les cordes elles -mêmes qu’il faut 


go Nouveaux Mémoires de l’Académib Rotai* 

chercher la caufe de ces différens effets. L’état des cordes eft naturelle- 
ment un état forcé, & les cordiers ne Ce donnent gueres la peine de les tor- 
dre également dans toute leur longueur. J’en inféré qu’une corde, 
après s’écre détortillée dans l’eau, fe remet en féchant dans un état d’équili- 
bre qui, à pluficurs égards, vaut mieux que celui que le cordier I’avoit for- 
cée de prendre. 

f Voici maintenant comment j’ai fait ces fortes d’expériences. ABC 
eft un fil de fer ou de cuivre jaune, auquel j’affermis en B avec de la cire 
d’Efpagne une corde de boyau BD , à laquelle étoit pareillement affermi 
en D une aiguille EF. Le fil de fer ABC étoit courbé en A , C, 
en forte qu’en le pofant fur le bord du verre toute la corde BD étoit au- 
deffous de la furface de l’eau GH que j’y avois verfée. De cette maniéré 
la circonférence du verre pouvoit en EF être divifée en degrés, foit avec 
de l’encre, foie en y collant un papier. Mais ordinairement je me bornai à 
la divifer en quatre parties, c’eft à dire de jo en degrés, & de marquer 
le tems où l’aiguille avoir fait chaque quart de tour. Pour compter 
d’autant plus facilement le nombre des tours j’attachai un fil de lin au fil de 
fer entre AB, & l’autre bout de ce fil fut attaché à l’aiguille entre ED. 
De cette manière l’aiguille, en tournant, tourna ce fil tout autant de fois 
autour de la corde qu’elle fit de tours entiers, & il fut facile de les compter. 
C’eft de la même maniéré que Mr. le Profefîeur Titius arrangea Ces hygro- 
mètres, dont les cordes étoient affez longues pour faire quatre tours du 
tems le plus humide au tems le plus fcc. 

Ces fortes d’expériences pouvoient (èrvir à trouver de quelle maniéré & 
combien de fois les cordes de différences groflèur & longueur fufpendues 
dans l’eau, chaude à un degré donné, tourneroient en fe détortillant, & 
comment elles tourneroient en arriéré, ou fe tordroient, Jorfqu’après les 
avoir retirées de l’eau, on les fufpendroit pour les lailîèr fécher. Mais je 
voulois encore voir quel étoit le rapport entre les tours que fait une corde en 
féchant & le poids de l’humidité qui s’y trouve. Pour cet effet je pris une 
corde de boyau de -j—- ligne de diamètre ôc de plus de 4 pouces de lon- 
gueur. 


dbs Sciences ht Belles-Lettres. 


Si 

gueur. Tattachai un fil de lin très mince par les deux bouts de la corde, 
en forte que ce fil fût a fiez long pour faire une dixaine de tours au- 
tour de la corde. Je fulpendis cette corde dans l’eau, dont la chaleur 
n etoit que de 9 degrés de Réaumur, & je marquai le tems qu’elle employa 
pour chaque cour que le bout d’en bas fit en Ce détortillant. Ce fut le 1 5 
Novembre 17 71 le matin à 8 heures 39 minuces que je commençai cette 
expérience. En voici le réfultat 


tenu 

Nombre 

h. m. 

de court. 

0. 0 

0 

0. 16 

1 

0. 2 y 

X 

0. }} 

i 

0. 41* 

4 

0. u 

f 

I- *3 

6 

i- 53 

H 

x. 16 

7 

4 . 11 

8 

J. n 

H 


La corde avant que d’étre fufpenduc dans l’eau ne pelbit que 3-^- grains, 
mais après l’avoir retirée de l’eau à z heures après midi elle pefoit 
7 TS g ra ‘ ns > & fon diamètre étoit ligne. Elle avoit fait dans l’eau 
8 f tours. Je la fulpendis à une balance, afin d’obferver en combien 
de tems elle perdroit chaque 7^ grain d’humidité, 6 c de combien elle re- 
tourneroit en arriéré. Voici le détail de ces obfervations. 


N»uv. Mim. 177». 


L 


8l Nouvnux Mémoires de l’Académie Royale 


Tenis. 

Tour». 

Poids. | 

Te ms. 

Tours. 

Poids. 

a : . 0' 

8 

U 

18 

2 3 

8. 1:0 

8. HO 

8. 8 5 

8. 75 

8- 70 

7-7 

7»4 

7 - 3 
7-2 

7 » 1 


3- 57 

4- 5 

1 a 

18 

24 

d. 170 
d. 1 10 
d. 40 
d. IO 

5, 5 
5,4 
5,3 
y, 2. 

y. 1 

a 7 

8. do 

7 .o 


5 1 

5 , HO 

4 . 8 

>1 

8. 50 

d, 9 


y. 4 

5 . -O 

4.7 

37 

8. 40 

d, 8 


18 

5 , 0 

4 . d 

41 

8. 30 

(>,7 


35 

4,090 

4. y 

47 

8. 0 

6,6 


53 

4, 110 

4. 4 

52 

7- 330 

< 5 , 5 


d. 20 

4. 140 

4. 3 

57 

7.190 

6 , 4 


53 

4. 90 

4-2 

3- 4 

7.130 

<ï- 3 


7. so 

4. 10 

4 , 1 

9 

7. 180 

d,a 


8.44 

4. 0 


M 

7. 150 

d, 1 


9 ■ 5 

3. 340 

4.0 

ai 

7 - 95 

d. 0 


19. 0 

3.300 

3- 95 

3 i 

6 . 340 

5.9 





38 

6 . 300 

5 , « 





44 

6 ■ ado 

5.7 





S3 

d* 1 90 

5 , d 






On comprend fans peine qu’il n’éroit gneres pofTible de déterminer 
précifément le tcms où la corde pcfoit jufte un certain nombre de dixièmes 
parties de grain. D’un autre côte il n etoic pas facile non plus de juger de 
combien de degrés le bout inférieur de la corde avoit tourné au delà d’un 
certain nombre de tours. H pouvoir y en avoir plus ou moins. Ainfi il 
faut fonger à compenfer l’un par l’autre. Pour cet effet j’aurai encore re- 
cours à la conftruéfion, & je le ferois, ne fût-ce meme que pour voir d’un 
coup d’œil ce qu’on ne déduiroit qu’avec moins de clarté des nombres que 
l’expérience a fournis. Ce que ces nombres font voir fans peine , c’eff que 
la corde à la fin perdit fon humidité en forte qu’elle parvint à n’avoir plus 
que le poids qu’elle avoit avant que d’être fufpendue dans l’eau. On 
voit aufli qu’au lieu que dans l’eau elle avoit fait 87 tours, en féchant 
elle ne parvint en fc tordant qu’an tour, de forte quelle refta plus dé- 
tortillcc quelle n’avoit été avant d’être fufpendue dans l’eau. Je trou- 
vai fon diamètre de -77 ligne, & fa longueur de 45^ lignes, de forte qu’en 


des Sciences et B elees-Lettb.es. • 83 

léchant elle s’étoit confidérablement raccourcie, puifqu’elle avoit 53 lignes 
de longueur lorfque je la retirai de l’eau. 

Soie maintenant la droite AB divifée en heures & en minutes de Fi S . 4 . 
tems, j’ai confinait les deux courbes CD , CM. Les ordonnées de la 
première repréfcnccnt le nombre de tours & de degrés qui en chaque mo- 
ment reftoient encore h faire. Les ordonnées de la féconde courbe dé- 
lignent le poids de l’eau qui reftoit encore dans la corde. Les nombres de 
la Table donnoient à la première courbe une inflexion allez régulière. 

Mais la féconde avoir une inflexion anomale que j’ai indiquée par des points 
près de E. Cette irrégularité vient probablement de la balance qui ne 
pouvoir pas avoir toujours la même pofition, parce qu’il falloir toujours y 
mettre & en ôter des dixièmes de grain. Quoi qu’il en foit, l'irrégularité 
qui en réfulte elt facile à reconnoître «5c à corriger. C’efl: ce que j’ai faic 
en tirant la courbe conformément à ce que tous les autres points deman- 
doient. 

Ces courbes font voir d’un coup d’œil que les tours que fit la corde en 
féchant ne font pas en railon Ample du poids de 1 humidité. L’humidité 
s’évapore toujours plus lentement, au lieu que la corde tourne d’abord avec 
une vi telle uniformément accélérée, qui enfuite devient égale ou confiante 
près du point d’inflexion de la courbe CD, & qui enfin fe rallentit en 
lortc que la courbe CD devient alymptotique. 

J’ai déjà remarqué dans mon premier ElTai, qu’une corde toute mouil- 
lée doit perdre une partie de fon humidité avant qu’elle puilïe avoir l’élafti- 
cité requife pour fe tordre avec quelque vi telle. Elle n’acquiert cette vi- 
tcfiè que peu à peu. Il fe peut même qu’après avoir été retirée de l’eau, 
elle ne commence à fe tordre qu’au bout d’un certain tems. Dans cette expé- 
rience j’ai raccourci ce tems, parce qu’après avoir retiré la corde de l’eau je 
la couchai fur un papier brouillard qui emporta d’abord l’humidité de la 
furface de la corde. De là vient que la courbe CD commence depuis 
le point C à s’abaiflèr vers l’axe A B, ce qui ne feroit pas arrivé fi j’avois 
lailTé l’humidité qui couvroit fa furface. 

L i 


84 -Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

La courbe CD étant en C parallèle à l’axe AB, & baillant d’abord 
en raifort du quarré du tems, 1 équation pour une ordonnée quelconque peut 
être repréfencée par 

a 

y I bx 1 + CT 4 -f- &f. ' 


Dans cette expreffion t dénote Te tems y y une ordonnée quelconque, 
a l’ordonnée initiale. Il s’agit: de déterminer les coëfficiens b, c, d &c. 
Pour cet effet j’ai mefiirc les ordonnées d’heure en heure, & je les trouve 


T 

0 

1 
a 


y 

1 J9CT 
1380 
880 


3 

4 
? 
6 


490 

115 

110 

60 


Ces nombres peuvent être allez exa&ement exprimés par la formule 


Car on trouve 


J 1 8 a . V 


J 

< 

T — 

— e 

— r 

1 

y c»lc. 

y erp. 

diffl 

0 

1 59° 

I 59 ° 

0 

I 

* 3*3 

1380 

— a 7 

■1 

878 

880 

— 1 

3 

476 

490 

— »4 

4 

2-33 

115 

+ « 

5 

107 

110 

— 3 

6 

47 

tfo 

— >3 


Ces différences entre le calcul & l’expérience font aflèz petites 6c allez irré- 
gulières pour pouvoir être attribuées aux difficultés d’obferver à quelques 
degrés près le nombre de tours que la corde fie en fe tordant. Elles peu- 
vent encore être diminuées en polànc généralement 



3180 nr 


n r 


C 


C 


nr 


6c en déterminant n par l’expérience. 


Car ici ce n’eff que par des cir- 


des Sciences et Belles - Lettres. 85 

confiances particulières que ce coefficient n ne diffère que très peu de l’u- 
nité» La formule générale 


a a 


ni 


fait voir que la courbe C D refie toujours la même pour des cordes 
plus ou moins groffès. Car le tems m croît en raifon du tems t, 
& les ordonnées y font proportionelles à l’ordonnée initiale a. Ainfi 
Li courba CD étant une fois conflruite, il n’y a qu’à changer d’échelle 
tant pour les abfciffès que pour les ordonnées, pour l’appliquer à toutes 
fortes de cordes. Car on aura en général 

y 


nr 

0 

1 
a 
5 

4 

5 

6 


a a 


I, OOOOO 
o, 85091 
O. 55M3 
o, 19946 
o, 1493 ^ 
o, 06738 
o, 0297? 


Voici maintenant encore quelques expériences. 

Le 9 Mai 1772., je coupai de la corde mince un bout de 1 i| lignes 
en long ôc je le fuljiendis dans l’eau tempérée, depuis i heures 1 3 minutes 
après midi jufqu’à 7 heures du foir, où je le retirai pour le lai/Ter lécher. 
J'obfervai le tems qu’il employa pour chaque quart de tour. 

Dans l’eau. 


tenu 

degré». 

Dan» l’air, tems 

degrés. 

fi- m. 


h. m. 


0. 0 

— 40 

<T. O 

912 

0. î| 

+ 0 

0. 9 

900 

0. 9 

+ 9 ° 

0. ai 

810 

©. 

+ 180 

0. 27 

720 

0. 13* 

+ 270 

0. 3 a£ 

630 

O. 15 $ 

+ 3 *° 

37 â 

540 

0. 1 8 

+ 450 

0. 44$ 

450 

0. ai 

+ 540 

0. 53 

360 

0. 34 

+ 630 

'• ii 

270 

0 

<5 

+ 7 î0 

r. a 3 J 

180 

0. 79 

4- 810 

10 Mai, matin 

90 

3 - 47 

+ 900 



î- 32 . 

+ 9 1 2- 

L 3 



8 /j Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

Cette corde dévoie dans l’air retourner jufqu’au — 40™ degré, ainfi elle 
refta en arriéré de 90 -f- 40 zz 13° degrés. Mais d’un autre côté 
elle écoic parvenue par là au degré d’élaflicité qui lui eft naturel, puifqu’elle 
fs l’étoit donné elle -meme. Il s’agiflbit néanmoins de voir fi l’expérience 
confirmeroit cette façon d’envifager la chofc. 


Pour cet effet je la fufpendis de nouveau dans l’eau le 1 1 Mai fuivant 
depuis les 6 heures 5 5 minutes du matin jufqu’à z heures 3 5 minutes après 
midi, où je la retirai par la laiffer fécher. Voici comment elle fit chaq-uc 
quart de tour 


Dans 

l'eau 


Dans 

l’air 

tems 

degrés 

tems 

degrfs 

b. m. 


h. 

m. 


0. 0 

+ 80 

0. 

0 

91a 

0. 5 

90 

0. 

5 

900 

0. 9' 

1 80 

0. 

>3 

810 

0. ia l 

a 7 o 

0. 

l 9 

7x0 

0. i6£ 

3^0 

0. 


630 

0. ai 

450 

0. 

29 

540 

c. x6| 

540 

0. 

3 + 

450 

33 j 

630 

0. 

4 zi 

3 60 

0. 44 

7 -o 

0. 

5 i 

170 

J. a 

810 

1. 

9 

180 

7. 40 

9 ix 

1. 

36 

90 



ï- 

X 5 

85 



&c. 



Ici donc la corde dans l’eau fe détortilla jufqu’au même degré où elle étoic 
parvenue le 9 Mai, & encore dans l’air elle fe remit au 85 degré, de 
forte qu’il ne lui refia à parcourir encore que 5 degrés pour retourner 
au point où elle avoit etc le matin. Ce jour -là le tems ctoit couvert 6 c 
fe préparoic à la pluie qui le i z Mai dura toute la journée. 


Je répétai avec la même corde la même expérience le 1 6 Mai ijjz 
en la mettant dans l’eau depuis z heures 1 6 minutes après midi jufqu’à 
7 heures 45 minutes du foir, où je la laifTai fécher. La corde tourna 
de la manière fuivante; 


des Sciences ut Bettes-Lettres. 


37 


Dans l'eau 


(tins 

degrés 

h. m. 


c. 0 

130 

0. 7 \ 

j Ho 

c. 1 1-l 

170 

C. 1 5 \ 

3Co 

c. 15,4 

4JO 

*• Mi 

54° 

0. 30} 

6 } 0 

0. 39 

710 

0. 53 

8 10 

1. 50 

900 

4 - 9 

9 il 

ï- 19 

910 


Dans l’air 


rems 

degrés 

h. n>. 


0. 0 

910 

0. 17 

880 . . 

0. 2<> 

8io 

0. 33 

710 

0. 47 

UO 

1. 2 

360 

1. 32 

J8o 

1. 21 

90 

2. ij 

70 


Djns cette expérience la corde étoit d’abord elle -même plus humide que 
les deux premières fois , néanmoins elle fe décortilla dans l’eau à 8 degrés 
près au point où elle étoit parvenue dans les deux premières expériences. 
Elle fécha de 20 degrés plus que la première fois < 5 c de 1 5 degrés plus 
que la féconde. Ces différences font petites en comparaifon du grand 
nombre de degrés que la corde avoir parcourus, dans chacune de ces expé- 
riences. Du relie l’air fut de 40 à 50 degrés des hygromètres A, B 
plus humide le 1 6 Mai, qu’il ne l’etoie le ^ & 1 o du meme mois. 


J’ai encore fait une expérience femblablc le 4 & le 5 Mai avec un 
autre bout de la même corde , long de 115 lignes. Je le fufpcn- 
dis dans l’eau le 4 Mai à 10 heures 13 minutes du matin, & le retirai 
le 5 Mai à 6 heures 34 minutes du matin pour le laiffer fécher. Voici 
comment il tourna. 


88 


Noov.haux Mémoires ue l’Académie Royale 


Dans l’eau 

Dans 

l’air 

CCU 1 S 

degrés 

rems 

degrés 

h. m. 


b. m. 


0. 0 

0 

0. 0 

960 + 

0. 4 l 

90 

0. 20 

900 

0. 7 

180 

0. 29 

810 

0. 9 

170 

0. 3 5 

720 

0. 1 o| 

360 

0. 414 

630 

0. 13 

450 

0. 47 

540 

0. IJ 

540 

0. 54 

450 

0. 18 

630 

J. 14 

35 o 

0. 2 1 

6 7 f 

1. 114 

270 

0. }i 

700 

1. 29 

1 80 

0. 4a 

760 

2. 19 

90 

0. 49 

800 

3. 24 

45 

i- 7 

8do 



1. 30 

910 



I. 54 

940 



2. 4a 

9 JO 



4 - 7 

960 



20. ai 

9 <>o + 




Cette corde parcourut donc dans l’eau 960 degrés. Celle du 9 Mai par- 
courut 40 -j- 911 rz 952- degrés. La différence eft de 8 degrés, 
& pouvoir être bien plus grande. Car on voit bien qu’une corde d’un 
pouce environ de longueur ne peut gueres être coupée en forte qu’elle ait à 
une partie près la même longueur qu’une autre déjà coupée. Et quoi- 
qu’elles l'oient coupées d’un même bout, il ne s’enfuit pas qu’elles foient 
également tordues. L’effet fait voir que cela n’étoit pas. Car en féchant, 
la corde du 9 Mai refta en arriéré de 1 -, o degrés, celle du 5 Mai ne refta 
en arrière que tout au plus de 45 degrés. Nous verrons enfuite ce qu’il y 
avoir d’anomal dans ces cordes lorfqu’ellcs le détortilloient dans l’eau , fur- 
tout la première fois. Il s’agit d’abord de revenir à notre formule pour en 
faire l’application au defféchement de ces cordes. 

Fig. s- J’ai conftruit dans la cinquième Figure les courbes dont leS ordonnées 
repréfentent le defféchement de la corde employée le 9, le 1 1 & le 16 
Mai 1 772-. Ces courbes ne coïncident pas, & c’eft de quoi on peut al- 
léguer une double raifon. En premier lieu elles font conftruites fur une 

même 


dis Sciences et Belles-Leteres. 


S* 

même échelle, & comme la corde n’a pas toujours parcouru un même 
nombre de degrés, cela fait que les ordonnées initiales ne font pas égales, & 
par conféquent les autres ordonnées ne fauroient l’erre non plus. En fé- 
cond lieu le moment où la corde, après avoir été retirée de l’eau & efluyée 
avec un papier gris, commençoit à tourner, ne pouvoit pas être obfervé 
exa&ement. Je ne puis pas dire non plus que la corde ait été chaque fois 
également e-Tuyce. De là il fuit que le point A n’eft pas le vrai commen- 
cement des abfcifTes, ou que s’il l’eft par ex. pour la courbe intermédiaire 
CM, il ne l’eft pas pour les deux autres. Mais je dois d’abord dire que 

CM ei Ha courbe pour l’expérience du 9 Mai^ 
c m celle pour le 1 1 Mai, 
dn celle pour le 1 6 Mai. 

La courbe CM ne paroit pas non plus avoir la droite A B pour fon axe, 
puifqu’elle s’en approche beaucoup plus lentement que les deux autres. 
J’avois lailfc la corde fufpendue pendant toute la nuit du 9 au 1 o de Mai, 
de forte que la derniere obfervation fut faite le 1 o le matin. Mais je ne 
faurois dire fi le degré d’humidité de l’air n’a pas varié pendant la nuit. Ce 
que je trouve dans mes régîtres météorologiques, c’eft que l’hygrometre H 
qui le 9 dans la matinée marqua le me degré, marqua le foir le i8o mc , 
de forte que l’air devint plus fcc. Quoi qu’il en foie c’eft aux deux autres 
courbes cm, dn que je m’en tiendrai principalement. 

Comme le commencement des abfcifTes eft incertain il nous faut une 
ordonnée de plus pour y appliquer la formule 

n T 

y : x a ~ — . 

< nr n r 

e — e 

Cela n’empêche pas cependant que l’ordonnée Ad ne puifTe être regardée 
comme à très peu près égale à l’ordonnée iniciale. Car pendant les premiè- 
res minutes ces ordonnées ne varient que très infenfiblement. Je regarde 
donc la longueur de l’ordonnée initiale comme donnée. Dans l’expérience 
du 1 6 Mai elle eft — 850 degrés ~ a. Pour avoir encore deux au- 
Nmv. Mcm. 1 JJ l. M 


go Nouveau* Mémoires de l’Académie Royale 

très ordonnées je fais n? ~ i, & nr ~ 4, & je trouve les ordon- 
nées répondantes 

1700 

7 - ~ 7*5 

6 800 

y — r< _ e -7 = 2 5 4* 

Or après avoir conftruit la courbe dn fur un plus grand papier, Je trouve 
que l’ordonnée 723 répond à zjj, minutes de cems pris (ur l’abfcifîc AB. 
Lordonnce 25 4 fe trouva pareillement répondre à 1 heure 27 munîtes ou 

87 minutes. La différence 87 — 2.7 J ZZ 59^ eft égale à 1 , ce 
qui donne n ~ ; de forte que le tems de i^| minutes doit être re- 

gardé comme l’unité. Souftrayons encore ces 1 minutes des 27^ mi- 
nutes, il relie 74 minutes de c’eft le tems qui s’écoula avant que la corde 
commençât à tourner. Nous aurons donc 

1 7 OG ( T ~ 7 s) : 

3 e (* — 7 JJ : «9* _ ( T — 7fj : « 9|" 

En prenant les tems r tels que l’expérience les donne, on trouvera par 
cette équation les valeurs de y, auxquelles il faut ajouter les 70 degrés qui 
ont été fbultraits, & on- aura 


Tems 

degrés 

degrés 

diC 

h. ni. 

calcules 

obfcrvés 


0. 0 

9 -° 

910 

0 

0. 17 

890 

8S0 

+ 10 

0. 

8 i 0 

810 

0 

G. 33 

7 - 6 

710 

+ 6 

O. 47 

543 

54 ° 

+ 3 

r. a 

37 - 

3 60 

+ 12. 

r. 32 

J7 3 

J 80 

— 7 

a. 12 1 

5i â 

90 

— 7 


Les différences font ici plus petites que dans l'expérience rapportée ci-deflus. 

De la même maniéré j’ai trouvé pour l’expérience du 1 1 Mai 

’ i< $U (t -f 1,7) : H , 7 

7 t ( T + *. 7 ) : «J , 7 t — C T + U7) ■■ IJ. 7 


des Sciences et Belles-Lettres. 


9 1 


5c en ajoutant les 8 5 degrés qui ont été fouftraits on a 


Tems 
h. ni. 

degrés 

calculés 

degrés 

oM'trvés 

diff. 

O. 

o 

911 

912 

— 1 

o. 

S 

8S7 

900 

— 13 

o. 

n 

801 

8 'o 

— 8 

O. 

1 9 

704 

710 

— U, 

o. 


657 

6 30 

+ *7 

o. 

19 

m 

j 40 

+ ii 

o. 

34 

47* 

4J0 

-f 3 Ï 

o. 

41-1 

3*5 

360 

+ * 

o. 

f 1 

3 79 

270 

+ 9 

I. 

9 

167 

180 

— 13 

a. 

3 ^ 

93 

90 

+ 3 


Ici les différences font un peu plus grandes que dans l’expérience précédente, 
mais toujours aflez petites pour laifler indécis fi c’eft à la formule ou aux ir- 
régularités de l’cxpcrience elle -meme qu’elles doivent être attribuées, d’au- 
tant plus que je n’ai marqué le tems qu’en minutes 5c demi -minutes. Ce 
que je puis remarquer à cet égard c’efi: que la formule 

Zanr 

y — 

^ n t — n t 

e — e 

renfermant des quantités exponentielles, il n’y a gucres moyen d’appliquer 
à ces expériences quelque autre équation. La corde perd fon humidité en 
forte qu’enfin la quantité qui s’évapore dans un inftant donné doit devenir 
proportionelle à l’humidité qui y refie. Par là les courbes- dn, CM, cm 
ont une courbe logarithmique pour afymptotc. Elles feroient entièrement lo- 
garithmiques fi l’humidité dans la corde étoit dès le commencement diftri- 
buée en forte que la quantité qui s’évapore dans chaque inftant pûc être 
proportionelle à la quantité qui refte, 5c que la corde pût tourner dans 
la même proportion. Mais comme d’abord la corde eft mouillée au point 
de n’avoir plus de force élaftique, cette force ne lui revient qu’à mcfurc 
qu’elle feche. D’abord l’élafticité s’accroît allez uniformément 5c cela fait 
que le mouvement qui en réfulte doit croître avec une vitefic accélérée. 
Cette vitefie cependant ne s’accroît que jufqu’à un certain point, puifque 
l’élafticité ne peut devenir plus grande qu’elle n’eft après que la corde eft 

Mi 


Kg 4- 


9Z Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

feche, & qu’à mefure quelle feche il faut plus de force pour qu’elle fe tor- 
de d’avantage. La corde ne peut non plus fe tordre qu’à mefure. qu’elle 
perd fon humidité, & cela empêche encore qu’elle ne fe torde, comme fi 
l’élallicité étoit la feule caufe agifïànte. 

La courbe CE dont les ordonnées repréfentent le poids de l’humidité 
qui refte, dans l’expérience du i 5 Nov. 1771, paroit également avoir une 
logarithmique pour afymçote. Mais le commencement paroit plutôt être 
parabolique. La corde toute mouillée fe defleche d’abord à la furface & 
peu à peu dans les parties intérieures, par ce que l’humidité fe retire vers la 
furface, d’où elle s’élève dans l’air. J’ai fait voir dans mon premier EfTaij 
que dans le deffechemcnt d’une éponge la racine cubique de l’humidité qui 
refte elt à très peu près en raifon du tems, en forte que les tems étant équi- 
dilFérens ces racines cubiques le font à très peu près auffi. Si donc la 
corde étoit auffi fpongieufe qu’une éponge, les racines quarrées de l’hu- 
midité qui refte feroient à très peu près proportioncllcs au tems, en 
forte que les tems étant équidifFérens, ce s racines quarrées le feroient 
à très peu près auffi. Or la corde n’approche en porolité d’une épon- 
ge que lorfqu’elle cft toute mouillée, en forte qu’en la tordant on peut faire 
fortir l’eau qu’elle contient dans fes interftices & furtout auffi dans les plis 
qu’on lui a donnés en la tordant. Il s’enfuit donc que c’eft tout au plus au 
commencement que la courbe CE peut être parabolique. - 

Confultons là- defTus l’expérience. Pour cet effet j’ai mefuré les or- 
données qui répondent à chaque heure enticre, & je trouve 


Tems, heures 

ordonnées 

0 

3. 8° 

1 

4 » 47 

a 

47 

3 

0. 79 

4 

0. 44 

5 

O, 1 1 


Comme ici les tems font cquidifférens , nous n’aurons qu’à prendre les dif- 
férences des ordonnées. 


93 


des Sciences et Be lles-Letîh es. 


T 

O 

t 

380 


A 2 ? 

.1 

147 

— 1 3 3 


1 

'47 

— 100 

+ 33 

3 

7 

— 68 

+ 3 a 

4 

44 

— 3 ï 

+ 33 

5 

ai 

— 13 

+ 


Comme donc les trois premières fécondés différences «Uj» different fi peu 
qu’on peut les regarder comme égales & par conféqucnt comme confiantes, 
il s’enfuit que pour les 4 premières heures la courbe CE ne différé que 
très infcnfiblcmenc d’une parabole dont l’équation fe trouve être 

l ZZ 3,8o 1,5 .r -f- o,i 6 .r s 

où r dénote des heures. Il faudra donc conclure que la courbe CE 
commence par être parabolique, mais que déclinant peu à peu de la parabole 
elle finit par être logarithmique. Cependant il ne s’enfuit pas que cette 
courbe foit compoféc d’une parabole & d’une logarithmique. La parabole 
ne permettrait pas qu’elle fût afymtotiquc. C’edde deux ou pluficurs courbes 
afymtotiqucs qu’elle doit être compoféc. Je trouve qu’en la regardant fim- 
plement comme la différence de deux logarithmiques, ou qu’en faifant 
f — 7,04.(0,505/ — 3,2.4(0,33/ 

certc équation fatisfait à une bagatelle près aux nombres que donne l’expé- 
rience. Voici la comparaifon. 


T 

j'eatc. 

l «P- 

diff. 

U 

3 . Ro 

3, 80 

0, 00 

I 

1.49 

i.47 

-f 0, 01 

2 

1 . 44 

r > 47 

— 0,0} 

3 

°.79 

o .79 

0, 00 

4 

0, 4a 

0 . 44 

+ 0, oa 

ï 

0 , 21 

0, ai 

— 0, 01 


La première de ces logarithmiques peut ctre confédérée comme la principale 
ou la vraie afymtote de la courbe Ç E. C’efl celle fuivant laquelle l’humidité 
de la corde décroîtrait uniformément fi elle étoit dès le commencement 
diflribuée de la façon que le defféchcment uniforme exige. Mais comme 
cela n a pas lieu dès le commencement, la fécondé logarithmique fait voir 

M 3 


Nouveaux Mémoires üb l’Académie Royale 


94 

de quelle maniéré l’humidité approche de cet érat de de/Téchemcnt unifor- 
me. Cela arrive d’abord près de la furface de la corde & peu à peu aufü 
dans les parties intérieures. 

Voyons encore comment dans les expériences rapportées ci-deflus les 
cordes fc dctortilloicnt dans l’eau. Cela arriva dans les quatre expériences 
du mois de Mai, fuivant les ordonnées des quatre courbes confiantes dans la 
Fig- «■ fixiemc Figure fur une même échelle. La courbe Abc eft pour l’expé- 
rience du 4 Mai. Je l’ai tirée entre les points bc de deux maniérés. 
L’une qui cil pointée répond aux nombres que donne l’expérience. L’au- 
tre bBc que j’ai tirée d’un trait continu, répond à ce qu’il doit y avoir 
d’uniforme dans la courbure de cette courbe. Il eft: vifible que la partie 
marquée par des points, quoique répondante à l’expérience, eft: anomale. 
Il faut donc que la corde, apres s’être décortillée allez uniformément jufqu’à 
un certain point, ait enfuite trouvé un obftacle. Cet obftacle fit que pen- 
dant près de i o minutes la corde refta prefque immobile. Mais comme 
pendant ces i o minutes elle ne lailfa pas de devenir plus humide & de gon- 
fler d’avantage, cct accroiflcment d’humiditc enfin l’emporta en forte que 
. à peu, par un mouvement plus accéléré, la corde fe trouva enfin tout 
autant détortillée que fi cet obftacle n’avoit pas troublé fa marche. Cct 
obftacle ne conliftc qu’en ce que la corde étoit ce qu’on peut appcller nouée. 
On n’a qu’à voir comment les cordes fc font. Elles fe raccourci lient à mc- 
fure qu’on les tord d’avantage. Ce raccourciftèmcnt cependant fe fait plu- 
tôt par faut, que d’une façon continue, puifque ce n’eft que de tems en 
rems que le cordier rapproche fa roue vers l’autre bout de la corde. C’cft 
alors que la corde tend à fc nouer & qu’au lieu de fe tordre uniformément 
elle fc tord par fuir. La Figure fait voir que la corde employée dans l’ex- 
périence avoit befoin de go minutes de tems pour revenir à la régularité 
qu’elle avoit avant & après qu’il falloir qu’elle fe dénouât. 

Dans l’expérience du 9 Mai fuivant, j’ai employé un bout de la 
même corde. La courbe AdeD fait voir comment elle fc détortilloit 
dans l’eau cette première fois. Cette courbe de J en « eft encore tirée 
de deux maniérés, d’abord par des points conformément aux nombres 


des Sciences êt Belles-Lettres. 


5 > 

que donne l’expérience, enfuice par une ligne continue conformément à 
ce que la régularité dans la courbure de la courbe exige. Ce bout de 
corde croit donc noué comme le premier. L’un & l’autre, après avoir 
été pendant io minutes dans l’eau, setoient détorcillés jufqu’au point où il 
s’agifî’oit du dénouement. Cependant ce fécond bout fe dénoua avec 
plus de facilité, 6c en moins de tems. On voie que les points en d 
s’éloignent beaucoup plus vice de l’axe A H qu’ils ne s’en éloignent en b, 
& en e ils coïncident de 10 minutes plutôt avec la courbe régulière 
qu’ils ne coïncident en c. Cela veut Amplement dire que les cordes ne fe 
nouent pas également dans toute leur longueur. Il eft meme poflible 
qu’on coupe d’aflez longs bouts, qui ne font point noués du tout. 
Cela dépend beaucoup des foins 6c de l’habileté du cordier. 

Le i i 6c le i 6 Mai j’employai la même corde que j’avois employée le 
Mai. La courbe A F eft confiance d’après l’expérience du i r Mai, 6c 
la courbe AG pour celle du i 6 . Ces deux courbes font entièrement 
régilieres. Elles coïncidcroient fi la corde avoit au commencement été 
cgalemenc feche. Mais le i 6 Mai elle fut de 5 o degrés plus humide. 
Cela fait que les ordonnées de la courbe A G font plus courtes que celles 
de la courbe A F. 

La régularité de ccs deux courbes fait voir que la corde s’etoic fi bien 
dénouée le y Mai où je h mis la première fois dans l’eau, qu’elle ne fe 
nou.i plus en fcchant, 6c que par conféquenc elle n’avoic plus befoin de fe 
dénouer de nouveau dans l'eau. Il efi: facile d’en tirer la conféquence, que 
pour avoir un ben hygromètre on fait bien de faire palfer p3r l'épreuve du 
dénouement la cordc qu’on veut employer. 

J’ai encore tracé dans la quatrième Figure la courbe AF dont les or- 
données expriment le dctortillcment de la corde employée dans l’expérien- 
ce du 15 Novembre 1771 rapportée ci-delfus. La courbure efi: allez ré- 
gulière, de forte que cotre corde paroi c avoir été fans noeud. Mais comme 
cette courbe en F s’éloigne encore allez confidérablcment de l’axe A JJ, 
cela marque que j’aurois pu IaifTer la corde encore plus longrems dans l’eau, 

6c quelle fc feroit détortillée encore d’avantage. Je ne le fis pas parce 



Nouveaux Mémoires db l’Académie Royale 


que je voulois employer le relie du jour pour obferver le defféchemen^ 
tant par rapport au poids que par rapport au nombre de tours. 

Toutes ces obfervacions font voir que les cordes tournent avec une 
lenteur très conlidérable , de forte qu’il faut des heures entières avant que 
ces hygromètres indiquent de combien l’humidité de l’air a changé. Et 
comme cette lenteur de la marche dépend furtout de la grolfeur des cordes, 
il arrive que deux hygromètres à corde de différons diamètres , n’ont pas 
une marche entièrement analogue, & fi les variations de l’humidité de l’air 
font fubites, les cordes de différente groffeur les indiquent très diffé- 
remment. 

J’ajouterai encore quelques remarques fur le rapport entre les variations 
de l’hygrometre & de l’humidité de l’air. Pour que l’air foit humide, il ne 
fuffit pas qu’il foit chargé de beaucoup de particules aqueufes, mais il faut 
que ces particules fe coagulent en petites goûtes, & que ces goûtes s’atta- 
chent aux corps quelles touchent. A cet égard les hygromètres indiquent 
moins la quantité des particules aqueufes qui nagent dans l’air, que la difpo- 
fition qu’elles ont à fe coaguler & k s’attacher aux corps. 

Nous avons vu ci-deffus que les hygromètres ont une variation an- 
nuelle en ce que pendant l’hyver les degrés d’humidité prédominent, tandis 
que pendant l’été ce font les degrés de féchcrefiè. On peut leur attribuer 
encore une variation journalière, parce que généralement parlant ils avan- 
cent vers le fcc depuis le matin jufques vers les z ou 3 heures après midi, 6c 
qu’ils retournent vers les degrés d’humidité depuis le foir julqu’au matin. 
C’cfè ce qu’on obferve fort régulièrement furtout quand l’état de l’atmofphc- 
re continue de refter le même. 

A l’égard de cette variation annuelle 6c journalière l’hygrometrc a 
beaucoup d’affinité avec le thermomètre, & la raifon en eft toute claire, 
c’eft que la chaleur feche en ce quelle accéléré F évaporation de F humidité , £’ 
le froid rapproche les particules aqueufes que la chaleur avoit difperjces. 

Cette variation annuelle 6c journalière de l’hygrometrc peut être regar- 
dée comme régulière, & à cet égard elle indique plutôt le tems qu’il fait 
que les changemens qu’il va fubir. Mais s’il arrive que l’hygrometrc 

marche 


B è 5 Sciences et BEttEs-LETTRPs. 


$■? 

nlarche en contrcfens, ou qu’en fuivant fa marche régulière il tourne & 
plus & plus vite que le changement du chaud & du froid ne l’exige, 
alors (es variations indiquent que l’etat de l’air va changer. 

Quand le tems tourne à la pluie, l’air commence quelque- part à de- 
venir humide. Je dis quelque- part ; car cela peut arriver près de la fur- 
face de la Terre, comme au-deflus des nuées, dans nos environs comme 
autre -part, & avec des degrés de vitclTe très différens. 

Si le teins elt calme l’hygrometre n’indique que les changemens do 
l’air dans nos environs, & furtout ceux qui fe font près de la furfice de 
la Terre. Si donc c’elt dans la bail ’e région que l’air commence à de- 
venir humide, l’hygrometre s’en refllnt au/Iitct. Au lieu d’avancer vers 
le fec depuis le matin jufqu’après midi, il reculera, ou du moins il n’avancera 
que très peu ou point du tout, & pendant la nuit il reculera au delà de fon 
ordinaire. Dans ces cas l’hygromctre pronolliquç la pluie avec beaucoup 
de certitude, furtout lorfqu’il recule beaucoup & très vite. Pendant l’cté 
fa marche régulière cil d’environ 20 degrés, dont il avance le marin & 
recule le foir. Je l’ai vu reculer de plus de 30 degrés du matin julqu’aprcs 
midi & encore de 20 degrés le lendemain. La pluie furvint le premier 
jour & dura fans beaucoup d’interruption cinq jours de fuite. Le cin- 
quième jour l’hygromerre avança de 1 1 degrés vers le fec pendant la nuit, 
c’ell à dire en contrcfens de fa marche ordinaire, & le fîxiemc jour il 
avança encore de 6 1 degrés. Le tems fe mit au beau & continua jufqu’à 
l’heure du midi du feptieme jour, où l’hygrometre du matin à l’sprès midi 
retourna en arrière, c’ell à dire en contrcfens de fa marche régulière. 

Si l’air commence à devenir humide dans fes régions fupéricures, alors 
il eft poffible que la pluie tombe avant que l’hygroinctre recule vers les 
degrés d’humidité. En ce cas il ne tourne que pendant qu’il pleut & 

même apres la pluie. C’ell que dans ce cas c’ell la pluie qui amené 
l'humidité dans l’air inférieur, au lieu que dans le cas précédent l’humiditc 
devance la pluie. 

Quand l’air n’efl point calme, le vent nous amene l’humidité ou 
la fcchcreUe des autres pays, foit dans la région inférieure de l’air, 

b'i m\ M.'rrt, 177s. N 




98 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

foit dans fes régions fupérieures. Si le venr inférieur vient du côté de 
la mer, c’eft ordinairement de l’humidité qu’il amené, 6c l’hygrometre ne 
tarde pas à l’indiquer. Le contraire arrive lorfque le vent inférieur vient du 
continent. 

Quant aux vents fupérieurs, qu’on reconnoit au mouvement des nuées, 
ils n’influent pas immédiatement fur l’hygrometre, cet infiniment n’indi- . 
quant que les variations de l’air contigu 6c par conféquent de l’air infé- 
rieur. De là vient que les vents fupérieurs peuvent amener de la pluie, 
fans que l’hygrometre l’annonce par un mouvement rétrogradé. Mais 
aufli dans ces cas l’hygrometre fuivra Amplement fa marche régulière, qui 
généralement parlant n’eft d’aucun ufage pour l’avenir. 




des Sciences et Beiies-Lettres 

I. TABLE. 


99 


Hygromètre J à Berlin. 

* 77 1 17 7 * 



Nov. 

Déc. 

Jjnv. 

F^vr. 

Mjk. 

Avril. 

Mai. 

Juin. 

I Juillet. 

Août. 

Sept. 

Oft. 

Nov. 

I 


16} 

«33 

«<*3 

-15 

213 

222 

249 

288 

2*3 

266 

* 5 o 

246 

2 


>53 

«35 

«35 

+ 10 

243 

219 

*62 

270 

230 

276 

*«3 

229 

3 


144 

«43 

I2fi 

1 22 

254 

258 

* 5<5 

170 

227 

272 

229 

*50 

4 


151 

114 

«47 

145 

2(58 

260 

247 

i «3 

*37 

160 

198 

209 

S 


\6l 

«38 

166 

■34 

157 . 

220 

249 

218 

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ioz Nouveaux Mémoirbs de l'Académie Rotais 

IV. TABLE. 

Hygromètre à Wiccemberg. 


1771 1771 



Nov. 

Déc. 

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deî Sciences et Belles-Lettres. 


103 


SUR 

LA DENSITÉ DE L’ A I R. 

Par M. Lambert. 


§. 1. 

L a denfité des matières s’exprime ordinairement par le poids d’un cer- 
tain volume, par ex. d’un pied cubique, ou par le rapporc de ce 
poids à celui d’un même volume d’une macicre très connue, p. ex. de l’eau de 
pluie. C’eft dans ce dernier fens qu’on dit que l’air eft environ 8 5 o fois 
moins denfe que l’eau, & que l’eau elt près de 1 4 fois moins denfe que le 
vif argent. D’où il fuir que l’air eft près de nooo fois moins denfe que 
le vif argent. Dans ces énoncés on entend que c’eft l’air tel qu’on l’a pefé, 

& tel qu’il fe trouve près de la furfâce de la Terre 6c dans des endroits peu 
élevés au- dtftus de la mer. C’eft un air comprimé par le poids de toute 
l’atmofphere, d’une température moyenne 6c rempli ou chargé de vapeurs 
ôc de routes forres de matières étrangères. C’eft un air tel qu’il eft natu- 
rellement, 6c que pour cet effet je nommerai air naturel ou air commun 
pour le diftingucr de ce qui doit être appellé air pur ou air proprement tel. 

§. x. 

Il y a différens phénomènes qui dépendent de la denfité de l’air, 6c où 
il n’cft pas indifférent que ce foit la denfité de l’air naturel ou de l’air pur. 
Quand on donne une théorie de ces fortes de phénomènes, il eft naturel qu’on 
l’affujettifTe à l’épreuve de l’expérience, laquelle fouvent ne répond pas à 
l’attente, uniquement parce que l’air pur Ce confondoit avec l’air naturel. 
Il n’y a que l’air naturel dont nous pui/fions déterminer la denfité par des 
expériences immédiates. Si donc ces théories préfuppofent un air pur, il 
eft clair que l’air naturel y feroit très mal appliqué. • Dans ces cas il vaut 


io4 Nouveaux Mémoires de l’Académie Totale 

mieux mettre la théorie pour bafe, l’examiner bien par elle -même , de 
l’employer enfuitc pour déterminer la denfité de l’air pur. 

§• 3 - 

C’eft ce que fai fait dans le Mémoire fur la vitçffh du fon , que j’ai lu 
à l’Académie en 1 7^8, & le réfultat en a été que l'air pur ef tout au 
moins un tiers moins denjè que 1 air naturel , de J or te qu'un tiers du poids 
d'un pied cube d’ air naturel confife en particules étrangères, dont l'air ef or- 
dinairement chargé. C’cft l’air tel qu’il eft allez près de la furface de la 
mer en Europe, & nommément dans les endroics où on a fait des expérien- 
ces, tant fur la viceffe du fon, que fur la denfité de l’air naturel. 

§. 4. 

Cependant la vitefie du fon n’elt pas le feul phénomène qui nous fa fie 
voir clair dans ce qui regarde la denfité de l’air pur. Les réfractions de la 
lumière dans l’atmolphere peuvent répandre là-deflus un plus grand jour, 
& c’elt dans ce deflein que je me fuis occupé à les examiner avec toute l’at- 
tention requilè. Je dirai d’abord que j’ai eu des précurfcurs dans cette car- 
rière, en particulier Mr, ùimpjon & Mr. Bougucr. L’un & l’autre trouvent 
que les réfractions ne fuivent pas les dccroifièmcns de la denfité de l’air 
qu’ils appellent air grollier, ou que je nomme fimplcment air naturel. Mr, 
Simpjon trouve qu’en fuppofant l’air naturel, la réfraétion horizontale iroit 
à plus de 5 o', tandis qu’elle r.’elt que de 3 z ou 3 3 minutes. Cela le porte à 
fuppofer une matière réfraétive, qui décroifie uniformément en montant. 
Cette hypotliefe emporterait la conlèquence, que la matière rcfractive ne 
s’étend qu’à une certaine hauteur, puifqu’au-deiïus de cette hauteur elle 
deviendrait négative. Mr. Bouguer paroi: admettre une fuppolition allez 
Icmblabîc, puifqu’il prétend qu’à une hauteur qui va au-dellùs de 5158 
toiles fur la mer, les réfractions font nulles. J’ai déjà remarqué autre -part, 
que de la façon donc Mr. Bouguer inféré cette confequence, on peut en in- 
férer telle autre qu’on voudra, & qu’ainfi il prouve beaucoup au-delà de ce 
qu’il falloir prouver. Je m’en tiendrai donc, non à ces fortes d’autoricés, 
mais à ce que je pourrai fair.e voir moi -même. 

§• 5 - 


des Sciences et Belles-Lettres. 105 

S-. 5- 

La première queftion eft de favoir fi les matières étrangères qui nagent 
continuellement plus ou moins dans l’air, influent fur les réfractions. A 
cet égard je dis qu'elles n'y influent qu'entant que les couches d'air ne font 
point planes , mais Jphériqucs , & fmplement entant que par leur poids elles 
augmentent la dcnfité de l'air pur en le comprimant. Voici comment j’ar- 
gumente pour démontrer cet énoncé. Les matières étrangères qui nagent 
dans l’air font des particules hétérogènes & difleminées , c’eft à dire qu'elles 
ne font point continuité avec l’air pur. Elles interceptent la lumière qui y 
tombe, elles l’abforbent en partie, & en partie elles la réfléchifllnr. Si ce 
font des bullules ou vcficules d’eau, ou des globules d’eau, ou des particu- 
les glaciales ou falines tranfparentes, la lumière s’y brife en forte qu’elle 
nous préfentc des couleurs d’iris, fous différente forme. En tout cela il n’y a 
rien qui influe dans les réfraéfions. Elles fuppofent l’uniformité & la conti- 
nuité de l’air pur, « 3 c la diminution de fa denfité d’une couche quelconque 
h celle qui lui eft contiguë. A cet égard les particules hétérogènes dans 
l’air font comme la poufTiere fur la furface d’un prifrne de verre. Le prifmc 
en paroit moins tranfparenr, mais la lumière non interceptée s’y brife fous 
les mêmes angles, comme fi la poufliere n’y étoit pas. Il en eft de même 
des petites bulles d’air qui fe trouvent au dedans du prifrne. Elles inter- 
ceptent la lumière & troublent la féparation des rayons colorés qui y tom- 
bent. Mais ceux qui paffent fans rencontrer ni poufliere ni bulles d’air ni 
particules fabloncufes, fuivent les memes loix qu’ils fuivroient dans un 
prifrne d’une même efpece de verre , mais parfaitement tranfparent 6 c bien 
nettoyé. 

§. 

J’infcre de là que les particules étrangères ri influent pas par elles- mê- 
mes dans la quantité de la réfraction. Mais nonobftant cela elles y influent 
en ce que par leur poids elles compriment C air pur tS’ le rendent plus denfe. 
Si donc à cet égard la denfité des particules étoit partout proporrionelle à 
l’air pur, l'effet en feroit le même que fi l’air pur étoit en foi -même plus 
denfe, ou fi les particules de l’air pur étoient en elles- mêmes plus pefânces. 

Nouv. item. 1771. O 


io 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

Ce cas avoir lieu, du moins à très peu près, dans f expérience par laquelle 
M. Hawksbee fit voir que la réfraétion de l’air diminuoit en même raifon que 
fa denfité. C’étoic de l’air naturel qu’il y employa & il eft clair qu’en le dila- 
tant par l’évacuation il dilatoit en même têms les particules étrangères. On fait 
qu’en pompant l’air il paroit d’abord un brouillard dans le verre qu’on vuide, & 
qu’à mefure qu’on continue d’exténuer l’air ces particules commencent à tom- 
ber peu à peu dans le fond du verre, l’air exténué n’ayant plus afïcz de force 
pour les foutenir toutes dans fes interfaces. Obfervons cependant qu’en pom- 
pant l’air s’exténue, parce qu’on aggrandit l’efpacc dans lequel il peut fe répan- 
dre. L’air fc retire de la cloche dans le canon de la machine pneumatique, &c 
il n’elt pas douteux qu’en s’y retirant il n’emporte une partie des matières étran- 
gères qu’il renfermoit dans fes interftices. Cette partie feroit proportionelle 
à la quantité de l’air qui fe retire, fi l’inertie de ces matières n’y metroit pas 
obftacle & fi l’air exténué étoit aufïi propre à les foutenir que l’air condenfé. 
Alors la denfité dès particules étrangères refleroir proportionelle à la denfité 
qui rtflcroit dans l’air. Mais comme avec tout cela le brouillard qu’on 
voit dans la cloche apres les premiers coups de pifton, tombe peu à peu au 
fond de la cloche, il femble que la denfité des particules étrangères diminue 
plus ferrement & p lus vite que la denfité de l’air. Ce qui cft fur c’eft que 
les particules plus pefantes font les premières à tomber. 

§• 7 * 

J’ai dit, en troifiemc lieu, que les particules étrangères influent dans 
les réfractions entant que les couches de l’atmo/phere font fphériques. Elles 
compriment l’air pur par leur poids. Cela fait que les couches fe rappro- 
chent de la furface ou bien du cern e de la Terre. Par là ces couches font 
des fpheres d’un moindre diamètre, & cela fai: que dans les couches fupé- 
rieurcs tous les angles d’inclinaifon & de réfraélion font plus grands, & par- 
là la réfra&ion devient elle -même plus grande. Jufques-là donc Mr. 
Sirr.pjdn a raifon de dire que dans l’air naturel, c’efl: à dire chargé de matiè- 
res étrangères, les réfractions que donne la théorie devraient être au delà de 
la moitié plus grandes que l’obfèrvation ne les donne. C’efl auÆ ce que je 
vais faire voir à ma façon, furtout pour les réfractions que la lumière fouftre 


des Sciences et Belles-Lettres. 107 

près de la furface de la Terre. . Il s’enfuivra que la denfité de l’air, telle 
que les réfra étions l’exigent, je dirai même telle qu’elle eft en cff'.c, décroît 
plus lentement que celle qu'on fuppofe être prepo; tiorielle aux hauteurs ba- 
rométriques. 

5 - 8 - 

Pour cet effet foit C le centre de la Terre, A F une partie de fà fur- 
face, LBA un rayon de lumière qui tombe horizontalement en A. La 
réfraction que ce rayon fouffre en paffant de B en A efl égale à la cour- 
bure de fa route depuis B jufqu’en A. Soit DB une droite qui tou- 
che le rayon en B, & foit abaiffée fur cette droite du centre de la Terre la 
perpendiculaire C D , j’ai fait voir dans les P.outes de la lumière qu’en ce 
cas CD cil h CA comme le finus d’inclinaifon cft au finus de réfraélion 
lorfque la lumière paffe immédiatement de l’air tel qu*il eft en B dans l’air 
tel qu’il cft en A. Et dans le même Ouvrage j’ai faic voir encore que 
lorlque l’angle A CB n’cft que très petit ou que la hauteur F B n’eft pas 
fort grande, on peut fublticuer à la courbe BC fon cercle ofculatcur, < 5 c 
que le centre E de ce cercle E cft 7 fois plus éloigné de A que ne l’eft: 
le centre de la Terre, de forte que AE ~ ~/.AC. Cette proportion 
eft la moyenne, car du refte elle eft variable, quoiqu’entre certaines 
limites. 

§• 9 * 

Tirons maintenant CP parallèle à DB ou perpendiculaire fur EB , 
6c faifons AC — 1, AE — R, & l’angle AEC ~ ACD ~ ç. 
Cet angle fera égal à la réfraétion que la lumière fouffre en paffant de B 
en A , & nous aurons 

CP ~ DB ~ (R — 1) fin ? 

CD — BP — BE — PE — R — (il — 1) coff. 

Donc 

GD ~CD — AC — (R — 1) . (1 — cofç)=z x(/t — 1) (fin i?) ! 

O i 


P!. V. 
r i" i 


ie>8 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

& 

CB—V (i CD'+D B 2 )— V [(R— i ) s fin ? a -f (R - (R— i ) cofç)’] 
— l/[i -f — 0 fin | r] 
c’cft à dire à très peu près 

CB — ! -f- zR(R — i) fin J** 
l’angle f n’étant que de quelques minutes. 


Nous aurons donc 


§. 1 o. 


DG ~ z(R — i). lin^ 1 
B F zz z (R — i) . fin if* 

& par conféquent 

BF — R. DG 

& en pofant 

R — 7 

il s’enfuit que la hauteur B F cft y fois plus grande que la différence entre 
les perpendiculaires CD — CA, ou que B F ~ 7 . DG. 


§. 11. 

CD 

Cette différence entre les perpendiculaires, ou le logarithme de — , 

eft proportionel à la denfité de l’air en A divifée par la denfité de l’air 
en B. Or fi le point B étoit à l’extrémité de l’atniofphere, on auroit 
CD — CA — YJ ô ô » plus ou moins, car cela dépend de la denfité 
abfolue de l’air en A. Mais le point B étant pris près de la fur fa ce de la 
Terre, la différence CD — CA doit être à — — dans I e ra PP° r t de 
la différence des denfirés en A &c B à la denfité en A. Voilà donc 
jufqu’où la théorie conduit. 

§. 1 2. 

Il s’agit maintenant d’évaluer la denfité de l'air en A & en B; &c 
pour cet effet je Ja fuppoferai proportionclle aux hauteurs barométriques, 


DES SCIBNCES ET B E 1 1 ES-L BT TR ES. 


I 


uniquement en forme d’hypothefe & pour en examiner enfuitc le rcfultar. 
Or on trouve qu’en montanc.de la furface de la mer de 73 toifes ou 43 g 
pieds, le baromètre de 18 pouces defeend à 17 pouces 6 lignes; de forte 
que la depfité de l’air diminueroic d’une partie, fi elle écoic proporrio- 
nelle aux hauteurs barométriques. Donc la différence CD — CA fe- 
roit la partie de , & par conféquent on auroit 


CD — CA 


I 

I 1/6000" 


§• O- 


Mais la théorie de la réfra&ion demande que CD — CA ~ DG 
foit la 7"' partie de la hauteur B F. (§. 1 o.) Cette hauteur étant de 
7 3 toifes, fera ; . A C, & ainfi on aura 


CD — CA — 


J 140 97’ 

On voit que cette valeur n’eft que la y^ me partie de celle que donnent les 
hauteurs barométriques, & que par conféquent 1/ s’en faut de beaucoup que 
la denjité de Pair telle que les réj raclions P exigent , [oit proportionellc aux 
hauteurs barométriques. Car fuivant ces hauteurs les denfités en A &c B 
feroient comme 5 5 à 5 6 , tandis que fuivant les réfra&ions ces denfités ne 
font que comme 95 à y 6 . 


§. 14. 


En tout cela il n’y a rien qui doive étonner. C’cfl une fuppofnion très 
gratuite que de faire les denfités de l’air proportionellcs aux hauteurs baro- 
métriques. Ces hauteurs font fans contredit proportionelles au poids de 
l’atmofphere, & par conféquent à 1 elafticité de l’air qui efl toujours égale hu 
poids comprimant. Mais tout cela n’a rien de commun avec la denfiré de 
l’air. Car quoique cette denfité augmente en raifon du poids comprimant, 
cela n’efl: vrai que lorfque le degré de chaleur relie le même. Or ce n’eli 
pas le cas qui exifte dans l’armofphere. On fait que la chaleur diminue à 
mefure qu’on s’cleve. On fait que la région des nuées eft la région ou fc 
forment la neige & la grele, tant fous la ligne équinoxiale que dans nos cli- 
mats tout au milieu des jours caniculaires. On voit donc que la fuppofï- 

0 3 


1 1 o Nouveaux Mémoires de l'Académie. Royale 

tion des denfités proportionelles aux hauteurs barométriques n’eft pas un ar- 
ticle qui puifTe renverfer la théorie des réfractions. Tout au contraire il 
faudra plutôt- mettre cette théorie pour bafe & en déduire ce qu’on peut vé- 
ritablement appeller denfité de f air. Pour la pouvoir bien évaluer il ne fuf- 
fit pas d’établir qu’elle décroît en raifon du poids comprimant. Car dans ce 
poids comprimant font comprifcs toutes les particules étrangères dont l’air 
de l’atmofphere elt chargé, & il s’agit de lavoir fuivant quelle loi la denfité 
de ces particules diminue en montant. Il s’agit encore de connoître la loi 
de la diminution de la chaleur dans les parties fupérieures de l’air. Ce ne 
fera qu’alors qu’on pourra trouver plus exactement l’accord qu’il y a entre 
les denfités de l’air 6c les réfractions. C’cft un but qu’on peut fe propofer 
d’atteindre, mais où tout chemin qu’on voudra choifir ne conduira pas. Il 
faut une combinaifon bien choifie 6c bien arrangée des phénomènes 6c des 
théories pour en inférer ce qui eft requis pour que les phénomènes puiffent 
être ce qu’ils font. Dans. le cas dont il s’agit nous n’avons que très peu d’ex- 
périences, 6c la plupart de celles qui réfoudroient le plus immédiatement 
toutes les difficultés ne font point encore faites. Voici maintenant com- 
ment je crois devoir enchaîner celles que nous avons, pour répandre quel- 
que jour fur ce qui regarde la denfité de l’air relativement aux trois caufes 
qui y influent. 

§. 15. 

D’abord je mets pour bafe ce qu’un grand nombre d’expcricnccs a fait 
voir, c’eft que les logarithmes des hauteurs . barométriques font à très peu 
près proportionels aux élévations des endroits. C’cft la loi trouvée par Mrs. 
Mariotte 6c Halley. Elle auroit lieu exactement fi la chaleur ctoir la même 
dans toute la hauteur de l’atmofphere, 6c fi l’air étoic pur, ou fi du moins 
les vapeurs 6c les autres particules étrangères étoient répandues proporcionel- 
lcment aux différens degrés des denfités de l’air. Tout cela n’eft pas. La 
chaleur diminue en montant, 6c les vapeurs tout de même. Par là l’effet 
de l’une 6c des autres fe compcnfe du moins en partie; il faut même 
dire à rrcs peu près, puifque non-obftant certe double caufe les loga- 


bes Sciences et Belles - Lettres. 


iii 


richmes des hauteurs barométriques ne laiflent pas d’étre du moins à très 
peu près proportionels aux élévations des endroits. 


§. 1 C. 

Je commencerai à fuppofer que cette proportionalité a lieu exactement 
ou en toute rigueur, afin de voir ce qui en réfülte rélativement à la chaleur 
& aux vapeurs. Soit donc A la furface de la mer, AM une hauteur *•*. î. 
quelconque. Que les ordonnées de la courbe B b repréfentent les hau- 
teurs barométriques, celles de la courbe P p les denfités de l’air pur , cel- 
les de V v les denfités des vapeurs & enfin celles de la courbe Ce les de- 
grés de la chaleur, de force qu’on aie 


à la furface 
de la mer ~ o 
la hauteur du baromètre AB ~ Y 

la denfité de l’air pur AP ~ P 

la denfité des vapeurs AV “ V 

le degré de chaleur AC ~ C 


à la hauteur 
AM — x 
Mb ~ y 
M p ~ p 
Mv — v 
Mc — c 


Lentens par denfité la haureur d’une colonne d’air pur ou de vapeurs qui 
fa/Te équilibre à une colonne de vif argent donc la hauceur foie IZI i . 

§• *7* 

Or la courbe des hauteurs barométriques B b étant fuppoféc logarith- 
mique, foit fa foutangente ~ é, de nous aurons d’abord l’équation 



où le logarithme hyperbolique de e eft cenfe erre ~ i. La fou tangen- 
te fe trouve être d'environ 14000 ou 15000 toifes. 


§• 1 8- 

Enfuite par la nature de la denfitc de l'air nous avons l’équation 
pdx -f- vdx — — d y 
qui en fubllituant la valeur de à y donne 

dp -f Cv — Y. 


iii Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


§.19. 

Enfin la denficé de l’air pur s’exprime encore par l’équation 

n — y c p — CF - — x : i 

P ~ Fc- P - T- e 

puifqu’elle eft en raifon direde du poids comprimant & en raifon réciproque 
de la chaleur. Subfticuant cette valeur dans les équations du §. précéJent 


on a 

& 

ou bien 


Ç c .Pdx vdx ~ — à y 
*- JP -4- Sv — e ~ x:> . Y 

Yc ' 

Sv + 6 Sl, e -*-> — Y . e~ x: 1 


§. LO. 

Cette derniere équation donne 



Or quelle que foit la loi fuivant laquelle la denfité des vapeurs décroît, il eft 
du moins fur qu'elle ne devient pas négative. Cela fait qu’il faut néceflaire- 
ment pofer 

Y CP 


6 


> 



De là réfulte 


c > 


ôpc 

T 


ce qui emporte la conféquence, que la chaleur ' en montant ne fe réduit pas 
à fro , mais quelle décroit ajynitoiiquement , puifquelle ne fauroit devenir 
plus petite que 6 P C : Y. 

§. xi. 

J’ai fait voir dans le Mémoire fur la vitejfe du fon , que vers la 
fiir face de la mer la denfité V eft environ la moitié de la denfité P, 


ou 


des Sciences ht Belles-Lettres. 


X13 

ou bien le tiers de la denfité de l’air naturel, qui fc trouve être en 
général 


d Y 

d x 


Yc 


— x:i 


Y 

&c par conféquent à la furface de la mer ~ j . Nous aurons donc 
z V — P 




ou bien 

Y ~ \SP — t, SV. 

Subftituant cette valeur de P & de Y dans l’exprçflîou 


. 6P r 
c > y • C 


elle donne 

c > f C 

de forte que même au haut de Z 5 atmofphere la chaleur ne laijfe pas (Titre en- 
core environ les deux tiers de celle qui a lieu à la furface de la mer. Mais 
comme cette évaluation pourroit être trop particulière, je poferai plus gé- 


néralement 
d’où réfui te 


SP — uY 

SV — (1 — ,u) Y. 


§. zz. 

Subftituant ces valeurs dans lcquation 


on a 


d’où l’on déduit 

c > pC. 

Nuuÿ. Ment. 1 77a. 




ii4 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

§• i 3* 

Voilà donc ce qui découle généralement parlant de la fuppofition, que 
la courbe des hauteurs barométriques eft logarithmique dans toute la rigueur 
poffiblc. Comme il ne s’en faut pas de beaucoup, ces conclufions ne laif- 
fent pas d’être fort approchantes de celles qu’on déduiroit de la véritable na- 
ture de cette courbe. Voyons maintenant de quelle maniéré on pourra 
envifager la loi fuivant laquelle la chaleur décroit en montaat. 

Avant toute chofe il s’agit de favoir d’où vient que la chaleur monte. 
Ici je ne fai d’autre raifon finon que le feu eft fpéciHquement plus léger 
que l’air. En conféqucnce les particules de feu doivent monter avec 
une vitefte accélérée , ia vitefte initiale étant celle avec laquelle elles s’élan- 
cent par leur propre élafticité. La force accélératrice eft cette même légè- 
reté Ipécifique. Il eft difficile de la bien déterminer. Cependant dans 
l’air je ne balance pas à la fuppofer proportionclle à la denfité de l’air. Il 
eft poffible que l’air, tandis qu’il fait monter les particules de feu par fa pref- 
fion, oppofe d’un autre côté quelque obftacle à leur vitefte. Car il eft fûr 
que la chaleur monte incomparablement moins vite dans l’eau que dans 
l’air, quoique dans l’eau la légèreté Ipécifique des particules du feu foit plu- 
fieurs centaines de fois plus grande, & qu’ainfi elles puffent y monter 
avec incomparablement plus cie vitefte. Il faut donc que la denfité de l’eau 
y mette obftacle à beaucoup plus forte raifon, puifque les particules de feu, 
quoique follicitées avec plus de force, y montent avec bien moins de vi- 
tefte qu’elles ne montent dans l’air, où la force accélératrice eft beaucoup 
moins grande. II faut, réciproquement, que l’air ne s’oppofe que très peu 
à leur vitefiè. La vitefte initiale avec laquelle elles s’élancent ne peut erre 
que très grande, & fi l’air y metroit fortement obftacle, cette vitefte, au 
lieu de s’accroître en montant, iroit en diminuant. Ces particules feroient 
donc plus déniés au haut de l’atmofphere qu’elles ne le font à la furfacc de la 
mer. Or la denfité de ces particules étant la mefure de la chaleur, les par- 
ties fupérieures de l’air feroient plus échauffées que les inférieures, ce qui eft 
tout à fait contraire à l’expérience. 


des Sciences et Pelles-Lettres. iï$ 

§. 15. 

Je fuppoferai donc fimplemenc, que la force accélératrice décroît en 
même raifon que la denfité p. Soit u la vitefle des particules de feu à la 
hauteur x, &c U celle qu’elles ont à la furface de la mer. Nous aurons 
l’équation 

z u du m p à x. 

Or u efl en raifon réciproque de la chaleur, donc 

eu 


u 


De plus nous avons 

n — CP ‘ 

P — T 

Subftituant ces valeurs, réquation différentielle fe change en 


_ i£!f± = p.c—'dx 


ce 


d’où l’on tire 


V*C 


— _ . ÔPc -f- Conft. 
QP 


~ x ‘) 


c’eft k dire 

C __ bp , 

; — 1 = ïu* (l — 

équation pour laquelle je poferai fimplemenc 

- — ! — n(i — c-* •), 

C 

Et il s’agit de déterminer le coefficient n. 

§. z6. 

ç 

Pour cet effet je fubftituc cette valeur de - dans Féquacioa 

c 


P - j ‘ 

& elle fe transforme en 


^ - (1 +■* — «e— s 0.«— 81 


P z 


1 1 6 Nouveaux Mémoires db l’Académie Royale 


ce qui donne 

_ ^ - <L+j!'-‘:’dX — l’c-'- 'iX. 
p Ù 6 

§• 2 - 7 ' 

Or j'ai fait voir ci-deflus (§. 13.) que le décroiflement de la denfité 
— y à la furface de la mer ne fait que les jy parties du décroiflement des 
hauteurs barométriques — dy : Y, de forte que 

d p 7 d y 

Y — 12 • y 

Mais à la furface de la mer, où x ~ o, nous avons 

d p I — n , 

~ T ~ ô x 

rfy 1 

y — 6’ 

Subftituant ces valeurs on trouve 
1 — n : 


n 


le par conféquent 


C 

c 


7 

I Z 
12 


I 7 
1 2 


JL e — x:> 
12 • e 


12 J 


P_ ( 1 7 

p '•12 

le en pofant u — | (§.21 .) 

- = (-« + î*— 0.— • 

de forte que voilà le décroiflement de la chaleur, de la denfité de l’air pur 
le de la denfité des vapeurs déterminé, du moins à très peu près. 

§• 2-8. 

Il nous refle encore nn autre moyen de parvenir au même but. Nous 
avons trouvé ci-deflus (§. 22.) l’équation 




dbs Sciences et Belles-Lettres. 


117 


En y fubftituant la valeur (§. 15.) 
- ~ X + n — 

c 1 


nous aurons 

v — -^Ci — (1 -f- n) h- -f f*nc— x ' k )c— z -\ 

Or fuivant ce que j’ai remarqué au §. 6 . la denfité des vapeurs approche 
beaucoup plus vice de zéro que la denficc de l’air pur, ou le poids de l’air. 
Cela exige qu’on f aile 

1 — (1 4 - n ) P — °- 

Car H on faifoic 1 — (1 -}- n) f* > o, la denfité des vapeurs, fur- 
touc au hauc de l'atmo/phere, décroîtroic en meme raifon que le poids de 
l’air. Et fi on faifoic 1 — (1 — n) n < o ou négative, la denfité 
de l’air au haut de l’utmolphere de viendrait négative, ce qui ferait abfurde. 
Nous aurons donc 

1 — ( 1 -f- n) f.o. 


De cette manière ces deux cocmciens n , m Ce déterminent mutuellement, 
en ce que 


f 6 =T 


n -4- l 


ou réciproquement 
il 


De là nous tirerons le moyen de voir fi ks valeurs 


^ - 5 


n 


t 

1; 


s’accordenr, du moins à très peu près.. Nous avons déduit la première de 
la vi refie du fon, & la fécondé des réfractions, & par conféqucnt chacune a 
été trauvée indépendamment de l’autre. Subftiruanc donc n ~ 
dans l’équation 


y 

IX 


F 3 


: p 


1 Hr 


x 1 8 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


nous aurons 



ce qui ne différé de p ZZ f que de ^7 — f — yj- Cette diffé- 
rence eft aflez petite pour pouvoir être réputée ~ o. Car les données, 
dont les valeurs de p y n ont été déduites, ne font gueres plus exactes. 

§• * 9 • 

Or en faifànt 

1 — (1 + ~ o 

la formule 

v ZZ (i — (1 -f* *0/* — npe~~* :l ) e~~ * " 

fc change en 

v ZZ 
ce qui revient à 



de forte que /fl denfité des vapeurs décroît comme le quarré du poids de tat- 
mofphere , 01/ £/«i comme le quarré de Télajlicité de Pair, l’élafticité étant 
toujours en raifon du poids comprimant. 


§• 3 °. 

Cette conféqucnce paroit être aflez vraie par elle -même. Elle eft d’ail- 
leurs aflez remarquable pour que je m’y arrête un peu d’avantage. L’é- 
lafticité dépend de la denfité & de la chaleur. Confidérons d’abord l’effet 
de chacune de ces caufes féparément. En fuppofant la chaleur confiante, 
l’élafticité eft proportionclle à la denfité. Concevons donc un volume d’air 
naturel. Que l’efpace s’élargiflé du double, la denfité & l’élafticité feront ré- 
duites à la moitié. Dans l’cfpacc ~ 1, il n’y aura plus que la moitié des 
vapeurs, comme il n’y a plus que la moitié de l’air pur. Cette moitié de 
l’air pur avant l’cxpanfion faite, fupportoit cette moitié de vapeurs. Mais 
après l’cxpanfion- fa force eft réduite à la moitié. Il eft naturel qu’il ne 


des Sciences et Belles-Lettres. 


11 9 

porte plus que la moitié de cette moitié, c’eft à dire le quart des va- 
peurs. L’autre quart tombera au fond, & la denfité des vapeurs fera 
réduite à fa quatrième partie. Si l’expanfion fe fait par un efpace 

ZI n, la denfité des vapeurs fera réduite h fa - partie, c’eft à dire 
que dans l'efpacc primitif il n’y aura plus que la n me pâme d’air pur. Cette 
n mt partie d’air pur portoit la partie des vapeurs. Mais après l’expan- 

Gon faite 1 ’élafticité eft pareillement réduite à fa - m ' partie. Donc l’air 

n 

qui refte dans l’efpace Z i ne porte plus que la partie des va- 
peurs; donc la denfité de l’air diminuant comme i à -, la deafité des va- 
peurs qu’il peut porter diminue comme i i 

nn 


§• 3 1 • 

Il n’en cft pas de même lorfque l’air fe dilate par la chaleur, le poids 
comprimant reftant le même. Car fi la dilatation fe fait par un efpace 
ZZ fl, il eft bien fur que la denfité de l’air pur auflï bien que celle des va- 
peurs fe réduit à fa -j- partie. Mais l’élafticité refte la même. Donc 

la - partie de l’air pur continuera de porter la - me partie des vapeurs 

fl Tl 

comme auparavant. Audi des expériences faciles à faire montrent que 
dans ce cas il ne fe voit point de vapeurs, comme on en voit dans le cas de 
l’évacuation de l’air. Qu’on falfe entrer dans un long tuyau de thermomè- 
tre une petite colonne de vif argent jufques bien près de la boule, ce qui 
peut fc faire avec un fil de fer deux fois plus mince que le canal du 
tuyau. Qu’on chauffe la boule au feu pour que l’air fe dilate, fi l’on 
veut, jufqu’au double. On ne verra point de vapeur, ni lorfque l’air fe di- 
late, ni lorfqu’enfuite on le laiffe refroidir. Si au contraire on avoit dilaté 
l’air au moyen de la machine pneumatique, les vapeurs auroient été très vi- 
fiblcs & feroient tombées au fond. 


I io 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Rotalh 

5 * 3 1 * 

Si en dilatant l’air par la chaleur on le retient dans le même état de 
comprcflion, comme cela fe fait dans la machine àcPapin, cet air peut 
devenir plus élaftique du quadruple & au-delà. Il portera donc quatre 
fois plus & même davantage de vapeurs qu’il ne portoit ou qu’il ne pouvoir 
porter avant réchauffement. Tout ce furplus de vapeurs retombe au fond 
lorfqu’on laifle refroidir le valc. 

§• 3 3 - 

Du relie il faut remarquer que dans ces raifonnerhens on fait la fuppofi- 
tion, que l’air cft chargé de vapeurs autant qu’il peut l’étre naturellement. 
Cela demande quelque éclaircifTement. D’abord i! eft certain que l’air n’cft 
pas toujours également chargé de particules aqueufes. Mais il eft certain 
aufli que dès qu’il en porte moins qu’il ne peut naturellement porrer ou qu’il 
ne porte dans fon état moyen, il ne tarde pas de s’en procurer. On fait 
que dans un air fec le deflechcment fe fait bien vite, tandis que dans un air 
humide le deftechement eft ou nul ou même négatif. C’eft ainfi que vers 
l’hyver l’humidité s'arrache à tout ce qu’on expofe au plein air. linfuite il 
faut obfcrver que l’air peut être extrêmement chargé de particules aqueufes, 
fans qu’il paroiffe être fort humide. Car pour qu’il ne paroifle pas humide il 
fuffitque les particules aqueufes ne s’attachent pas aux corps, & qu’au lieu 
d’étre dans l’air en forme de petites gouttes ou vcficulcs, elles y foient fim- 
plement en forme de particules aqueufes, ifolées, élaftiquès &c. C’eft 
ainfi que quelquefois l’air devient humide comme dans un inftant & dans un 
tems fort calme. L’humidité ne vient pas de fort loin. Il fuftit que les 
particules aqueufes qui jufques là étoient ifolées s’approchent les unes des au- 
tres, pour former de petites mafl'es, qui s’attachent facilement aux corps. 
Il fuit de là que la denfité des particules aqueufes qui nagent dans l’air ne 
doit pas être eftimée d’après l’humidité entant qu’elle cftfenfible, c’eft à dire 
entant qu’elle s’attache aux corps. 

§• 34 * 

Si donc* nous écabliflons que dans l’état moyen de l’atmofpherc la den- 
fité des vapeurs cft en raifon du quarré de fon élaf licite, nous pourrons 


maintenant 


des Sciences et BeeeeS-Lhttke*. 


i xi 


maintenant reprendre le calcul pour voir quelle fera la nature de la courbe 
des haureurs barométriques. Jufqu’ici nous l’avons regardée comme éranc 
logarithmique, & la denfité des vapeurs proportionelle au quarré de l’élafti- 
cité en a été une conféquence. En. retournant donc la queftion on peut pré- 
voir que la courbe des haureurs barométriques ne fera pas fort différente 
d’une logarithmique. 

§• 3 5 - 

Voici les équations qu’il s’agit de réfbudrc 


1°. 

V 

V 

II 

*5h 

G- 

i 9 .) 

ir. 

tudu 

pdx 

(§. 

15.) 

iii°. 

u 

eu 

— T 

(§. 

X 5 -) 

IV°. 

P 

CPy 

7 y 

(§• 

i 9 .) 

v°. 

pdx -}- v dx 

= — dy 

(§. 

1 8) 


La i, de 4 me de ces équations donnent 


%C 2 U 2 de , CPyd: 

-3 — pdx — 


cY 


d’où réfulte d’abord 


xCU 2 de P , 

Tr = v-y A * 


ou bien 


d x — 


Y 

1 CYV 2 de 
Pccy 


donc moyennant la première équation 
vd x 

Et puifque 

pdx — — 


Vy 2 , xCVV 2 ydt 

~ y~' dx — . T 777 " 

X C 2 U* de 


Nouv. Mon. 1771. 


Q 


m Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


nous aurons moyennant la cinquième équation 
pdx -{- vdx — — à y — — 
Pofons pour plus de brièveté 


a C* U*Àt 


iCVU* rdc 

777c 


a VV* 
P Y 


— A 


nous aurons 


%U'- — 


\pr 


& en fubftituant ces valeurs, nous obtiendrons 

, C 7 \PY de . C Avd« 

d y = —y— ■ ? H — — 


dont l’intégrale eft 

y A - — A C : c 


ou bien 


p = Ac 


y — Ae~ xC: ‘ 


CP , P 

”1 \ i/ 


cV 


-C- 

V \c 


A V 


x/ 


Dans cette équation A elt la confiante que l’intégration demande, & qui 
tout comme le coefficient A doit être déterminée par les conditions parti- 
culières du problème. 

§• 3 *- 

L’équation entre y & c étant trouvée, on n’a qu’à îLoflituer cette 
valeur de y dans les équations 


P ~ ~ y' 


V 


CPy 

^ t j 

y 2 V 


& les denfités />, v feront egalement déterminées par c , (avoir 
P C _A ■ PC SI I\ 

P c Vc\c A J 

i = [*— - f(£ - yj. 


1 2-3 


uts Sciences et Belles-Lettres. 

§• 37- 

Mais pour trouver le rapport de ces ordonnées c, p , v, y aux abfcif- 
fes, il faudra avoir recours à l’équation 

— ~ Y ix 

en y fubftituant la valeur de y, que nous venoas de trouver. Par là nous 
aurons 

- tJ Çr - [>-“:* - G - 03 ^ , 

ou puifquc 

U' - !Ç 

Dans cette équation les variables font fcparées, mais elle n’en cfi pas plus 
intégrable. On peut l’abréger encore en faifant 

C i 




Car par là elle devient 


a. = £<..— *■-£) 


d x 


ou bien 


— . d x — 
A Y 


i*i 

r dx 


A * r I X “ 

Ae — — te 
V 


Mais il faudra toujours avoir recours aux fuite-s infinies. 


§. 38. 

Je vais donc reprendre les deux équations 


y 

Y 


7 - ~ Ac 


a Cl ' 2 de 


— A C:c 


_ P 

“ Ÿ 

p sc 


. y dx 

X; - 0- 


Q i 


v-< 


1x4 Nouveaux Mémoihes de l’Académie Royale 
Subflituant dans la première la valeur 


elle fe change en 


d’où l’on a 




A V*C de , 

— Tr — * “ — l'dx 
V te J 


fy dx = iÇ.(£ - Conft.s). 


Or quand x — o, on a fy dx — 0, C ZZ c, donc il faut 
faire B ZZ 1, & par conféquent 


d’où l’on déduit 


*** = *-PG -0 


r - y» fy dx + A - 


Cette valeur étant fubftituée dans la fécondé équation 

y _ _ f c _ _ 

Y ~ V \t 0 


donrfb 


1 — A.c- r '’ iiry - A 


jhs? dx - K’ - 0- 


Or pour x — o 7 on a fy dx ZZ o, y ZZ F, ce qui donne 


& par conféquent 

D -V . TJ p p 

*rrfy ix — r+Jv- 

Cette équation nous fervira à faire voir que y décroît à très peu près en 
même raifon que J y dx. 


=0 +?-ïp>“ w ' ,rr - p 


§. 39. 

Pour cet effet nous pofêrons Y ~ P -f- P, & nous avons vu ci- 
deffus (§.u.) que P zz iK Prenant donc l’équation (§.35.) 


des Sciences et Belles-Lettres. ix 1 . 


? = A ‘~' c "‘- P v(j ~ 0 

& en y fubftituant la valeur (§. 37.) 

A - * + •*É0 - 0 

cHe fc transforme en 

î = 0 + É - - pG - 0 


ou bien 


* = 0 -s> 


G -4) 


aC , 1 

« ■ »’ 


Or fuivant ce que nous avons trouve ci-deflus, la chaleur au haut de 
l’atmofphere n’eft environ que les | de celle qui a lieu près de la furfàce de 
la rner. Faifanc donc pour ce cas 

y — 1 — l 


mous aurons 

* = * + ï 

ce qui donne 

A — 1 , o x. 

Par là l’équation trouvée au §- 38 * devient numérique & on a 

p ZZ 1, 1 17. t~ — 0,117 — o t 6zÿ.fydx. 
Je vais maintenant la conftruire. 


§. 40, 

Soit dans la troifieme Figure AE ZZ 0,117, ZZ I » II 7 » 

CD une logarithmique, dont l’afymtotc Toit AB, la fbutangente ZZ 3- 
Soit enfin tangGFiJ zz 0,6x8, & pour une abfcifle quelconque 

AP ~ EQ — fy dx 


Q 3 


cm aura l’ordonnée 


y zz MN. 


1 16 
Car 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


P N zz 1,117. 

PQ zz o, 1 1 7 
QM — o,6i$.fydx. 

Donc 

y = PiV — P Q — <2 AT = AfiV. 

On voie par là que y ZZ MN devient ZZ o dans le point G. Abaif- 
fant de ce point l’ordonnée GP, on trouve que AF ZZ EH ~ A 

ç 

— Ij0 61. Car pour y ZI o nous aurons - IZ f, & l’équa- 
tion (§. 38O 

r = f.-Syà* + * 


fe change en 
d’où il fuit que 


A — fy d* 

a — AF zz EH — 1, 061. 


Comme donc cette abfciffe AF eft à peine le tiers de la foutangente, la 
courbure CG cil fort petite. Or fi elle étoit nulle on auroic 


L zz NM — 

Y 


CF .T? 
AS 



d’où réfulteroit 


dv yd* 

y — a 



de forte qu’à la petite différence près qu’il y a entre la droite CG & la 
logarithmique CiVG, la courbe des hauteurs barométriques eft logarith- 
mique. Je continuerai de la prendre pour telle, en retournant aux formu- 
les trouvées ci-dcffus. 


des Sciences et Beues-Liitkks. 


Ces formules font 


§. 41. 


y 

Y 


. — * : I 


Z r = 7 ±-X'- t 7 ) 


v 

V 

c 

e 

T 

P 


P C \ g — T.I 


f* 

I -f /I 


ne 


— x : I 


- . e 

4 


n 


d’où réfulte 


— x : » 

; 1 

1* 


v 

c 

c 

r 

P 


. — IX : > 


K?- 

G- 


G-> 


ii? 


(1 -{- n — ne * :l ) . e s:t 




§• 4 1 - 

En faifànt (§. ig.) n ~ w — ’^ t & en pofmr la denfité 

de l’air naturel au niveau de la mer ZI 1, de forte que P ~ 7!, V — 
nous aurons 


C 

C 


d’où l’on déduit 


2J _ 

5 

. , O 

12 

12 e 

- h'-’ 


-2r:t 1 


- !7 * 

■dx — 





, — r : f. 


ôc puifque z f.F, on aura le poids de toute la mafîè des vapeurs 
— ce qu* revient ù n . z 8 — 4^ pouces de mercure. En fai- 


n 8 Nouveaux Mémoires de l’Académib Royale 


fane 6 ~ 410© toifes, ce qui répond à une température moyenne de l’air, 
ccs formules nous donnent la Table fuivante, d’après laquelle la Figure elt 
conftruitc. 


X 

y 

V 

p 

C 



X 

i 

r 

T 

P 

c 

P 

V 

toifes 

0, 0 

1, 0000 

1, 0000 

1, 0000 

1, 0000 

0 , 7059 

0, 1941 

0 

c, 1 

O, 9048 

0, h 187 

0, 9485 

0, 9618 

0, 6640 

0, 2.408 

410 

0, X 

0, 8187 

0, 6703 

0, 88oj 

0, 9*98 

0, 6 11 6 

0. 1971 

840 

0. 3 

0,7408 

0, 5488 

0, 8108 

0, 90 2 j 

0, 5794 

0, 1614 

1x60 

o ,4 

o, 6 703 

0.4493 

0, 7614 

0, 8791 

0, 5 38* 

0, 1321 

1680 

0, 5 

0, 606$ 

0. 3 6 79 

0, 7019 

0, 8591 

0,4983 

0, «o8x 

2100 

o, 0 

0 , 5488 

0, 3013 

0, 6510 

o, 8410 

0, 4601 

0, o& 8<5 

2520 

0, 8 

0, 4493 

0, 101 9 

0, 55 i 5 

0, 8134 

0, 3900 

0,0593 

33<5o 

1» 0 

0, 3^79 

0, 1353 

0, 4^48 

0.7915 

o, 3181 

0,0398 

4200 

x. 5 

0, 2.0.31 

0, 0498 

0, 1951 

0, 75 5 5 

0, 1084 

0,0147 

6300 

i, 0 

0, 1 3 53 

OC 

O 

O 

0, J 841 

o, 735 i 

0, 1199 

0, 0054 

8400 


§. 43. 

La colonne c : C marque le rapport qu’il y a entre les degrés de 
chaleur répondans à différentes hauteurs. J’ai trouvé par diverfes expé- 
riences qu’un degré du thermomètre de Réaumur équivaut à 0,0046 de 
ces parties. Comme donc à la hauteur de 15x0 toifes, cette Table don- 
ne - tz 0,8410, la chaleur yeftdc 1,0000 — 0,841b ~ 

°7 1 5 9 ° pa rt > cs moins grande qu’à la mer. Divifant ces o, 1 5 90 parties 
par 0,0046, on obtient 34 j degrés de Réaumur. Ce calcul répond 
affez aux obfervations faites au Pérou. Car la chaleur à la mer, & nom- 
mément la plus grande, y a été obfervce ds 19 degrés. Souff rayant de 
ces 19 degrés les 3 45 que nous Tenons de trouver, nous aurons 5^ de- 
grés au deffous du terme de la glace, pour le moindre froid qui ait lieu à la 
hauteur de 1510 toiles au-deffus de la mer. Cette hauteur cft de 100 toi- 
fes au-deffus du terme de la neige permanente, où la neige dans des chaleur* 
même extraordinaires ne fond plus , 6 c où par conféquent le thermomètre 
doit déjà être de quelques degrés au -deffous du terme de la congélation. 

A 


*dés Sciences ht Belces-Leï fils. 

A cent toifes au-deffus il eft naturel qu’il foie encore de quelques degrés 
plus bas. 

§• 44 * 

Comme à la furface de la mer les quantités C, P , Y, Y font allez 
variables, il s’enfuit que cette Table ne répond qu’à un certain ctac de l’at- 
mofphere. Un thermomètre à air, qui en marque les dilatations en milliè- 
mes parties du volume ou de la denfité de l’air tempéré, & dont j’ai oblèr- 
vé les variations pendant quelques années, m’a fait voir que fa variation an- 
nuelle pouvoir aller de 930 degrés jufqu’à 1070. La différence eft de 
140 degrés, & elle équivaut à 35 degrés du thermomètre de Rcaumur, 
que j’ai obfcrvé en même tems. Je dois remarquer à cet égard que l’air 
dans ce thermomètre foutenoit une colonne de mercure égale à fon clafti- 
cité, & que dans ces cas il fe dilate un peu moins que dans les cas où 
il peut fe dilater plus librement, puifqu’alors un degré de Réaumur répond 
à 0,0046 degrés de dilatation, ce qui au lieu des 140 degrés mentionnes 
donne 161 degrés. Quoi qu’il en foit de ces variations, les cocfficiens 
/7, A employés dans les calculs précédens paroiffent devoir être les mêmes 
dans tous les cas, à moins que l’élafticité des particules de feu ne foit va- 
riable. 

§• 4 ) • 

Quant à la denfité des vapeurs nous avons trouvé ci-deffus (§. 2.9.) 
qu’elle eft en raifon doublée de l’élafticité ou du poids de l’air. Mais cette 
loi ne regarde direfrement que la façon dont les vapeurs fe diftribuent fui- 
vant les différentes élévations. Cependant nous avons fait voir que l’élafti- 
cité de l’air eft toujours la mefure pour la quantité des vapeurs qu’il peut 
foutenir dans fes interftices, & qu’il en abforbe jufqü’à ce point de fnruriré, 
fi fon élafticité n’cft point diminuée par quelque caufe accidentelle. Faifant 
donc abftraftion de ces caufcs qui fouvent ne font que journalières, & con- 
fidérant les chofescommedans leur état de permanence naturel, il fcmblc que 
même au niveau de la mer il faut pofer V proportionelle au quatre de 
1 clafticitc de l’air, ou au quarré de fon poids. Voyons d’abord ce qui en 
réfulte. 

yiouv. Mcm. 1772. 


R 


i3° Nouveaux Mémoires de l’Académie Loyale 

/ 

§• 4^- 

Exprimons par l’unité le poids de l’atmofphcre au niveau de la-aier, de 
même que fa chaleur, dans un certain état moyen. Soit dans cet érac 
moyen la foutangentc S — i, la denfité de l’air pur — celle de* 

vapeurs ZZ i i“, celle de l’air naturel — i. Ce qui étant pofé, 

les lettres Y, C , 0 ne feront que les rapports du poids 5c de la chaleur de 
l’air à ces unités pour un autre état quelconque de l’atmofpherc. Par les 
memes raifons je poferai la denfité de l’air pur ZZ fV, celle des vapeurs 
— Y — I 14 )) & les lettres P, V feront de fimples rapports. Nous 
aurons donc 

+ (i — p)V) = Y 



(i — p) V — (i — (j.) K* 

donc 

-/ + «o — t>)y- = y 

ou bien 

sa _f. s(! _ rfcr — c 

ce qui donne 

Q _£ 

M + (« — p) CY ' 

Cette formule peut être examinée par des expériences, puifque 6 cft en 
raifon réciproque de la difFérence entre les hauteurs barométriques de deux 
endroits qui font à differentes élévations au-deffus du niveau de la mer. 
Si cette différence varie de façon qu’elle fuive toujours le rapport 

% + (i — rir 

la pofition V ~ Y 2 fera par là confirmée, & on déterminera encore la 
valeur de p. Mais ces expériences doivent être arrangées & faites avec 
beaucoup de foin , & la maniéré dont on en fait l’application n’eft pas 

indifférente, puifqu’il faut avoir égard à tout ce qui ne dérive que de quel- 
que caufè accidentelle. 


des Sciences et Belles-Lettres, 


i 3 i 


§• 47 * 

En fubftituant la valeur 

Ô — 

ni (1 — fj.) cy 

dans la première équation 

*(/v + Ci — ron - r 

on obtient 

Y _ P/i + (i — fj) V 

C — ~fx + / i — ^ CY 

d’où il fuit que fi Y, C relient les memes, P ne fauroit augmenter à 
moins que V ne diminue, & réciproquement, fi V augmente il faut que 
P diminue. Cela ne fauroit avoir lieu que par des caufes accidentelles & 
de peu de duree. Car fi la denfité de l’air pur augmente, il peut abforbcr 
plus de vapeurs < 5 c il les abforbera à moins qu’il ne fiirviénne quelque caufe 
externe. Il s’enfuit donc que pour un poids de l’atmofphere donné & pour un 
degré de chaleur donné, l’état de permanence ne fauroit avoir lieu, à moins 
que la denfité de l’air pur n'ait à la denfité des vapeurs un rapport détermi- 
né. Je ne vois rien dans cette conféquence qui puific renverfer la poli- 
tion Y ~ Y 4 , ne l’ayant admife que pour ces fortes d’états de perma- 
nence. Si le baromètre monte ou defeend beaucoup en peu de rems, 
ces variations fubites indiquent toujours un équilibre levé & un état plus ou 
moins.anomal de l’atmofphere. Ce font auffi les cas où la courbe des hau- 
teurs barométriques peut différer & même allez irrégulièrement d’une loga- 
rithmique. Il cft clair que dans ces cas les formules données ci-deffus ccf- 
fent d’étre applicables, puifqu’elles ne déterminent l’état de ratmofpherc 
que lorfqu’il eft tel que les loix générales de l’élafiicité, de la difiribution 
des vapeurs & de la chaleur l’exigent. 

§• 48 - 

La viteffe du fon dépend de la valeur 0 & de la denfité de l’air pur 
P P — Pour l’exprimer en pieds de Paris j’obfcrve que dans z fé- 

condés de tems les corps tombent par un elpace de 60,384 pieds. En- 

R z 


132- Nouveaux Mémoires »e l’Académie Royale 

fuite pour l’état moyen de l’air la fou tangente 6 eft environ de 15200 
pieds. Par là nous aurons en général pour le niveau de la mer 


~ fi + (i — r)cy’ 

ou en faifant p ~ % (§.2-8-) 

6 4184°° • c 

n + 5 cr" 

' uV 

Cette valeur étant divifée par z P ^ ~ 1 ^r- > donne 

303450 ■ cc 

11 y + 5 err 

pour la hauteur due à la vitefle du fon. Cette hauteur étant multipliée par 
6 o, 384, la racine quarrée du produit exprimera la vitefle du fon 

— t / fisvirio cc \ 

— K V.H y + 'iCYYf 

Pour la hauteur moyenne du baromètre ~ i 8 pouces, on a Y ~ i T 
& pour la température moyenne C ~ 1 . Ces valeurs étant fubftituécs, 
donnent s ~ 1038. Mais fi en faifànt Y ZZ 1, on fait C ~ i,oSo, 
ce qui eft pour les grandes chaleurs d’été, on trouve s ~ 1 1 08- Cette 
vitefle eft de 70 pieds plus grande que celle que nous avons trouvée pour 
l’air tempéré. On la trouvera de 70 pieds plus petite pour les "grands 
froids del’hyver, où elle ne fera que de 970 pieds. Pofant C ~ 1, 

Y ~ ” iy on trouve s ~ 1015, plus petite de z 3 pieds que lorfque 

Y — I. Mais lorfque Y m la vitefle du fon fera de 23 pieds 

plus grande que pour Y z 1. De tout cela il s’enfuit qu’à un degré de 
Réaumur il répond une accélération de 4 pieds, lorfque la chaleur va en 
augmentant, de qu’à une ligne du baromètre il répond une retardation de 
2 pieds par féconde: le tout au niveau de la mer, & l’atmofpherc étant 
dans un état de permanence (§. 49); car les formules données ci-deflùs 
ne font pas pour les anomalies journalières ou accidentelles. 


des Sciences et Beli.es - Lettjr.es. 133 

'§• 4 9 - 

Comparons ces réfultats aux expériences. Mrs. CaJJîni , Picard , 

Tluygens 6c Roemer en 1677 trouvèrent que le Ton dans une fécondé de 
rems parcourut 1 097 pieds. C’étoit le x3 Juin, ainfi au milieu de l’été, 
où le thermomètre cft à plufieurs degrés au - deflus du tempéré. J’ignore à 
quel degré il étoit alors 6c quelle étoit la hauteur du baromètre. Mais cela 
n cmpéche pas que je n’infere que la vitefle du fon devoir être beaucoup 
plus grande que la moyenne, qui eft d’environ 104.0 pieds par féconde. 
Nous avons vu que cette vitefle va à 1 100 & au-delà, lorfque C ZZ 
1,080 (ce qui revient environ au 28 e degré de Réaumur), & Y ZZ 1 . 
Si la chaleur avoir été moins grande, il faudroit rabattre de ces 1100 pieds, 
& fi le baromètre étoit au-deflbus de a 8 pouces (ce. qui eft très poflible, 
fa hauteur moyenne à Paris n’étant que d’environ 17^ pouces) la vitefle du 
fon en devoit être plus grande. A Paris le baromètre au mois de Juia 
monte rarement au - deflus de 18". 1'". Ces deux lignes au -deflus de xS 
pouces réduifent la vitefle moyenne du vent 1038 pieds, à 1034. Sous- 
trayant ces 1 034 de 1 097, qui eft la vitefle obfcrvée, 6c divilànt le refte 
6 3 par 4, le quotient, qui efl: 15I, étant ajouté à 10 degrés, donne 
degrés du thermomètre de Réaumur. Si donc le 13 Juin 1677 le 
baromètre avoir été à 18" 1'" Je thermomètre devoit être à 15^ au -défi* 
fus du terme de congélation. On trouve réciproquement que fi le baro- 
mètre n’avoit été qu’à 17". 1"', le thermomètre devoit n’être qu’à 19^ 
degrés au - dcflùs du terme de la glace. Enfin fi le baromètre étoit à fa 
hauteur moyenne de 17". 8 ", le thermomètre devoit être à xx| degrés. 
En tout cela il n’y a rien qui ne puiflè très bien avoir lieu, &c à cec égard la 

vitefle du vent obfervée de 1097 pieds au mois de Juin n’a rien qui ré- 

pugne à nos formules. 

§. 5 o. 

Il y a une autre obfcrvarion faite dans de grandes chaleurs & dans des 
circonftanccs moins douteufes, C’eft celle de Mr. de la Condamine en 

Cayenne au mois de Février 1740, c’eft à dire pendant que k Soleil pafle 

près du zénith, de cette île, 6c que la chaleur va bien au-delà de xo ou 

R 3 


134 Nouveaux Mémoires de l’Académie Rotale 

14 degrés du thermomètre de Réaumur. Le baromètre n’y varie que de 
quelques lignes. C’eft donc le cas pour lequel nous avons trouvé la vitefle 
du fon égale à 1 1 o 8 pieds. M. de la Condaminc la trouva de iioi pieds. 

§• 5 i- 

En 1738 Mrs. Maraldi , de la Caille 6 c CaJJîni de Tkury firent aux 
environs de Paris plufieurs obfervations fur la vite/I'e du fon, furtout relati- 
vement à la vitefle ,du vent. Les endroits étoitnt à très peu près fitués 
dans la direction de la méridienne de Pobfervatoire. Ces obfervations fu- 
rent arrangées en forte qu’on pouvoir en même tems mefurer la vitefle du 
fon allant du Midi au Nord, 6 c du Nord au Midi. C’eft le moyen de con- 
noître l’cfFet du vent favorable 6 c contraire. Après avoir repafle ces ob- 
fervations voici la Table que j’en ai déduite. 


1738 

Mars. 

Vitefle 

du fon. 

Thermo- 

Baromètre 

Baromètre 

État du Ciel. 

du. Nord J du Sud 
au Sud. jau Nord. 

métré. 

à 

Paris. 

à 

Nuremberg. 

13 

>4 

T A 

1070 

1040^ 

1040I 

— 

— 

2. 6 ". 8,V" 
9 t% 

Vent du Nord très fort. 

Pluie, caime. 

Serein, vent d’Ooefl-Nord-Outft. 


n *7 T f 

J 0 

T O 

1 

inüû 

u- f, 

17. 1 1 

ao. 1 

2.6. I0 7 «5 

* 6 - 5 tV 

* 7 

2.0 

1005 

^07 

1075 

T rtî/C 

T u 


Vent du Sud. 


n *7 4 \ 

2 I 


I 

t) 0 A 


a 7 - a ï 

v cm au jxu ra k»k>ic. 

Vent du Nord trts fort. 

Vent de Nord - Efl. 

22 

a* 

1058 

/ y 0 
101(3 

— -- . 


a 6 . 61 


Le thermomètre pendant ces obfervations, c’eft à dire entre y 6 c 10 heures 
du foir, n’avoit varié que de 4 à 6 degrés au-deflus du terme de la glace. 
Le baromètre n’étant marqué que le 1 6 6c le z 1 , j’ai fuppléé à ce défaut 
en marquant l’état du baromètre obfervé pendant les mêmes jours à Nurem- 
berg par Mr. Doppelmayer. La hauteur moyenne du baromètre à Nu- 
remberg eft de x 6 ". 11", 6 c les variations ne font que les trois quarts de 
celles du baromètre à Paris. 

§. 5 z. 

Ce qui réfulte le plus immédiatement de cette Table c’eft l’influence du 
vent dans la vitefle du fon. Le îo par ex. le vent contraire réduifit cette 


DES SCIBNCES ET B E^.LES-LeTT**S. 


135 

virclTc à 1005, & le vent favorable la porta jufqu’à 1075. Je dois ce- 
pendant remarquer que ces vitelTcs ne font pas déterminées avec un même 
degré de précifion. Celle de 1005 eft déduite de ce que le fon employa 
1 ?2 fondes pour palier de Montmartre jufqu’à l’obfervatoire de Paris. 
On voit bien que fur 1 7^ fécondés de fécondé de plus ou de moins pro- 
duit dans la viteffe du fon une différence de 1 5 pieds. Cette incerti- 
tude fait que je n’ai garde d’inférer des vitelïès 1005, 1075 la vitellc 
— ' ~ 1040, qui feroit pour le calme. Je fais également abftraétion 
des vitelïès obfervées le 13, 19, 11, zz, parce quelles ne font, pour 
ainfi dire, qu 'unilatérales. L’obfervation du z 5 Mars diffère de toutes les 
autres en ce que la viteffe 101 6 eft celle du fon allant de Montmartii» 
à Dammarrin , où on n’avoit point fait d’obfervations les jours précédens. 
La dirc&ion étoit donc vers Nord-Eft de le vent étoit directement contrai- 
re. L’autre viteffe 1058 eft celle du fon allant de Montmartre à Montlc- 
hery, c’eft du Nord au Sud, où le vent n’éroic favorable qu’en partie , c’eft 
à dire environ pour la moitié, ou même pas autant. Mais fuppofons la moi- 
tié, & nommons a la viteffe du fon pour le calme, x la viteffe du vent, 
nous aurons 

a — x — 1 oz 6 
a -I- %x — 1058. 

Ces équations donnent x — u|, a ~ 1047-^. Cette viteffe eft 
de 9 à 1 o pieds plus grande que la viteffe moyenne 1038, & peut très 
bien provenir de ce que le baromètre étoit de 9 à 1 o lignes au-deflous de 
18 pouces, le thermomètre étant pareillement de quelques degrés au-def- 
fous du tempéré. Cependant je n’infifterai pas fur cctce fuppofition , les 
données n étant pas allez déterminées. Il fuffïc qu’il en réfulte en général, 
que la viteffe du fpn ne pouvoir alors être fort differente de la viteffe 
moyenne. 

§• S 3- 

Il refte donc encore les obfervations du 1 4 & 16 Mars, où le tems 
étoit à peu près calme. La viteffe du fon fe trouva alors 1040 jufqu’à 


,36 Nouvëauï MÉMDinfes D8 l’Académie Royale 

1041 pieds. . Le baromètre fut le 1 4 environ 4"', le 1 6 une ligne au- 
dcfïbus de z8 pouces, 6 c le thermomètre de quelques degrés au-deflbus du 
tempéré, de forte que le fon ne pouvoir différer que de quelques pieds de 
fa viteffe moyenne. Ceft aufli ce qu’il fufHc de conclure généralement de 
ccs obfcrvations. 

§• 5 4 - 

Je ne me rappelle pas que la viteffe du fon. ait jamais été obfervéc dans 
les grands froids de l’hyver, où le thermomètre defeend à 1 5 ôc plus de de- 
grés au- deffous du terme de congélation , ou bien à 25 ôc plus de degrés 
au-deflbus du tempéré. C’eft pourtant le cas où la viteffe du fon peut être 
fuivant notre théorie de 100 pieds & au-delà plus petite que dans l’air 
tempéré. Mr . Bianconi en 1740 compara la viteffe du Ion obfervée au 
Mois d’ Août dans une chaleur de 10 degrés de Réaumur, & au mois de 
Février 1741* le thermomètre étant i-j degré au-deflous du terme de la 
glace. Il trouva que le 1 8 Août 1 740 le fon employa dans un tems cal- 
me 76" de tems pour parvenir d’un certain couvent jufqu’à Bologne, 6 c 
que le 6 Février 1741 il y employa 785", quoique fécondé d’un vent un 
peu fort. Le baromètre fut à une ligne près à une même hauteur. Divi- 
fant 78J P ar on crouve I >° 33 » de forte que fur 1000 pieds la viteffe 
du vent fut de 3 3 pieds plus grande le 1 8 Août 1740 que le 6 Fév. 1741. 
Elle devoit encore être plus grande, puifque le 6 Février le vent aida le fon. 
L c u Février, où le thermomètre étoit fur o, le baromètre de 1 0 lignes 
plus haut, ou de a 8''. 4 '"> Mr. Bianconi trouva que le fon n’employa que 
77" de tems, pendant que l’air étoit calme. C’eft une marque que l’air 
n’étoit pas dans fon état d’équilibre. 

§• 5 5 * 

Quant aux endroits fort élevés au-deflus de la mer il n’y a, que je fâ- 
che, que la plaine de Quito fur lesCordelieres où on aie fût des obfervations 
fur la viteffe du fon. Elle s’y trouve être de 1050 pieds ou 1 7 5 toifes. 
La hauteur moyenne du baromètre eft de zo pouces, £ ligne, 6 c le ther- 
momètre y varie du 8 jufqu’au 18 e degré de Réaumur. Il n’y a gucres 
moyen de rien conclure de ces données# La plaine de Quito 6 c les obfer- 


vations 


DES SciEIf CBS ET B B L L ES -L E TT R E S. 


*37 

varions qu'on y a faites fur l 'état de l’air, ne peuvent pas être immédiate- 
ment comparées à un air également élevé mais fort éloigné des montagnes. 
Cet air libre fera plus froid. Voyons d abord quelle y feroit la vitefle du 
fon dans fa conftitution moyenne. C’cft à quoi nous fervira la formule 

(§• 40 

P = ( 1 - 

qui pour une hauteur x quelconque donne la foutangente de la courbe des 
denfleés de l’air pur 




& — — — ô . - 


17 — 5 e 


— x\ » 


dp 


17 io« 


— x : I 


or dans le cas dont il s’agit nous avons 


Y — 


io 


Y — a8". o 

& en faifànt comme ci-deflus 

6 — 15x00 pieds 
ces valeurs étant fubllituées donnent 


= 0,7x5 


$ = 34345 , 

d’où fuit la vitefle du fon 

s — 1/(30,194 . &) — 1018 pieds. 

Cette vitefle eft bien plus petite que celle qu’on a obfervée à Quito & qui 
efl m 1050. Mais aufli l’air de cette ville efl: beaucoup moins froid 
que ce calcul ne le fuppofe. Car moyennant la formule (§. 41.) 

C 17 — 15 . e~ x: 1 

e 1 a 

on trouve 

Z — °> 8?3 

tandis qu’à Quito le thermomètre de Réaumur efl de 1 1 degrés plus bas 
qu’il n’eft à la furface de la mer du Sud, en forte qu’on a 
fJomv. Htm. 1771. S 


138 Nouvbaux Mémoires de l’Académis Rotaib 


C 

C 


10 &> 

ÏXJO 


= 0 , 954 * 


Divifant donc 0,954 par 0,893, 011 trouve 1,068, ce qui efl: le rapport 
dans lequel la foutangente & doit être augmentée. Par là la vitefle du 
Ton eft augmentée en raifon de la racine quarréc de 1, 068. Elle 
fera donc 

s ~ 1018 V 1,068 ~ 1 05 z pieds 
ce qui répond afîêz à rohfervation, qui donne 1050 pieds. 


$■ 5 6 . 

Il fera bon d’examiner par des expériences bien choifies & meme 
fouvent répétées tout ce que je viens de dire fur la vitefle du fon. 
Quelque incomplette que foit cette théorie , on voit qu’elle ne laifl'e pas 
de concilier les expériences qu’on a faites, du moins autant qu’on ea 
connoit bien les circonftances. 


$• 57 - 

Les réfraéHons tant agronomiques que terreftres font un autre point 
qui ne fera bien difcuté que lorfqu’on connoîtra bien les loix de la 
denfité de l’air pur & de fes variations. J’ai fait voir ci-deflu 5 (§. 1 3 ) 
qu’en montant elle ne décroît pas en même raifon que les hauteurs ba- 
rométriques. Les formules (§. 4Z.) 

p — C 1 — 

donnent 

ce qui fait voir 
de la Terre. 



y S y 3 

P — y 17 Y 2 

que p décroît moins vite que y, furtout près de la frrface 


des Sciences et Belles-Lettres. 


‘39 


§•5 8. 

Ea regardant l’équation (§. 41.) 

P *7 — , — x:t 

_ ■ « c 

P II 

comme très .approchante de la vérité dans l’état moyen de Fatmofphere, 
on en déduira fins peine l’équation différentielle pour les réfraâions. 
Soit y l’angle de la diftance au zénith. Que la lumière en paflant 
de la couche x -f- dx dans la couche x foie brifee en forte que le 
rapport des finus foie “ q -f- d q : q, & que 1 -j- m : 1 foie 
ce même rapport, lorfque la lumière pafl'c immédiatement du vuide dans 
l’air tel qu’il eft au niveau de la furface de la mer, on aura pour la ré- 
fraction 


& 



lin y . dç 

V[ 1 -f U + 11 — { 2 finy 2 J 


log.y 



- 5 -“«• 


1 1 


m 


ce qui, en omettant les puiiîànces fupéricures de m, donne 



m fin y. dx J - ij< 

TTô L yi 


— x -.1 


10e 


ix : I 


V (cofy 2 + U + XX ) 



lr: ‘ — zlU îz: ‘ + 50 * 4 * : 

1 1 (cofy 2 f li + ara:) 3 ' 2 



Dans cette équation le demi -diamètre de la Terre eft — 1, la valeur 
de m — 3^5 (§. 1 1.) & celle de ^ n 4100 toifes ~ ^ (§. 41.) 


§• Ï 9 * 

S’il ne s’agifloit que des réfraétions terreftres , cette formule fe fim- 
plifieroit extrêmement, puifqu’on pourrait omettre les puilTances fupc- 
ricures de r, & on aurait 

{ — ;x rang 7 + ;*ï£*cangy’. 

S a 


i^o Nouveaux Mémoires d* l’Académïb Royale 

Cette valeur eft la fomme des deux réfractions terreftres, dont chacune, 
pour être peu différente de l’autre, eft la moitié. En omettant le fé- 
cond membre à caufe de fa peticeffe, la formule 

{ — = y x tang y 

fait voir que la réfraâion terreftre Ç eft la £ partie de l’angle au centre 
de la Terre. Ce qui, comme je l’ai fait voir dans les Routes de la lu- 
mière , répond très bien aux obfcrvations. 





NoUV-Mém Jr VA cad . R . dej Sc . erR L. 1777 - Fl- V.p.i-fo . 



dis Sciences ht Belles-Lettres. 


14 1 


Z> E 

L’ACTION DE L’ÉLECTRICITÉ 
SUR LE CORPS HUMAIN 
& de fort ufage dans les paralyfies. - 

Par M. Gerhard. 


P armi les differens objets dont la Phyfique s’occupe il n’y en a fans doute 
aucun fur lequel on ait fait autant d’effais que fur l’ÉIe&ricité. 
Mais malgré le grand nombre & la variété confidérable des expériences 
qu’on a faites Ià-dcffus, on n’eft pas encore bien avancé dans la connoif- 
fance de cette propriété fi particulière. La vraie qualité de la matière 
éleétrique, & les loix quelle obferve dans fon a&ion font encore très obfcures, 
& l’ufage même qu’on en tire à préfent n’eft pas bien confidérable. Les 
Mcdécins ont été prefque les premiers à s’en Ce rvir comme d’un remede. 
Lorfqu’on connut, furtout par les expériences de feu Mr. de Mufchen- 
brack , la vitefle prodigieufe & la force extraordinaire avec lesquelles agit 
cette matière, qu’on fc fut convaincu, par les mêmes expériences, de fa gran- 
de fubtilité, & qu’on eut vu enfin les mouvemens & les fecouffes très fortes 
qu’elle excitoit dans le corps humain, on crut qu’elle y feroit des effets fa- 
lutaires, furtout dans les cas où des humeurs épaiffes ne pouvoient pénétrer 
ks canaux fubtils de cette machine merveillculc. Ces confidérations déter- 
minèrent donc les Médecins à s’en fervir dans des maladies chroniques,. & 
furtout dans la paralyfie. Les effets qui en ont réfulté ont été très differens. 
Il y a eu des paralytiques entièrement rétablis ; d’autres ont été guéris, mais 
font bientôt retombés; on en a vu enfin for lesquels ce remede n’a produit 
aucun effet, <Sc même il s’en eft trouvé dont l’état a empiré. Ces effets fi 
differens m’ont déterminé à faire aufli des expériences- là - deflùs , mais afin 

s 3 


141 Nouvhaux Mémoires de l’Académie Royale 

de me former auparavant une jtffte" idée de la maniéré dont agit PÉleâricité 
fur un corps animal vivant, je fis les expériences fuivantes. D’abord il étoit 
ncceflaire d’effayer l’effet de la matière éleCriquc fur les parties folides d’un 
çorps animal de furtout fur fes parties fenfibles de irritables. On fait 
qu’il y a trois efpeces, pour ainfi dire, de flamme éle&rique. La première 
produit ces rayons lumineux bleuâtres qui fbrtentcn forme de cône d’uo corps 
éleCrifé 5c pointu dont la baie eft dans l’air ôc la pointe dans le corps éleftri- 
fé. La fécondé fait jaillir de petites étincelles femblables à un charbon ardent, 
qui fortenc en ligne direCc avec peu de bruit de excitent une douleur vive de 
piquante fans aucune fecoufle ; on pourrait les nommer étincelles éleCriques. 
A la troifiemc appartiennent enfin les foudres éle&riques , qui fortant avec 
plus de bruit en ferpentanr, caulënr dans la peau une douleur moins piquante, 
mais excitent plus ou moins de fecoufies dans la partie qu’elles frappent. 
Il étoit donc néceflaire de favoir, fi l’effet de ces différentes flammes fur un 
corps animal ferait différent. 

J’ai choifi pour mes expériences des chats, des chiens de des grenouil- 
les, en approchant doucement les mufcles dépouillés auparavant de la peau 
& du tiffu cellulaire qui les couvre ordinairement, du conduCeur éleCrique. 
Les rayons éleCriqucs ne faifoient aucun effet, les animaux relèoient tran- 
quilles , & je ne pouvois obfcrver aucun mouvement dans les fibres mulcu- 
laires. Les étincelles excitoient des douleurs aiguës, témoin les cris des 
animaux , de dans les fibres mufculaires je remarquois de fortes ofcillations, 
qui pourtant ne s’étendoient pas loin, mais occupoient feulement les fibres les 
plus proches de celles fur lesquelles les étincelles étoient tombées. Les 
foudres enfin fembloient exciter moins de douleur, mais les ofcillations des 
mufcles étoient plus confidérables; elles occupoient prefque le mufcle entier 
de continuoicnt quelque tems. Au refte les contrarions des fibres char- 
nues dans les deux expériences n’étoient pas régulières, mais femblables à 
des mouvemens convulfifs. J’excitois enfuite les mêmes parties avec une 
lancette, avec des braifes auff bien qu’avec des madères âcres chymiques, de en 
comparant les effets qui en réfultoient avec ceux que l’éleâricité avoit cau- 
fës, j’ai vu que les contractons étoient, ou peu s’en faut, auffi fortes , mais 


DES SCIBHCES ET B ELI ES-Lb TT* E S. 1 Qj, 

beaucoup moins régulières; auffi ne fe communiquoient - elles pas bien loin, 
mais reftoient- elles prefque entièrement à l’endroit qui en écoit affeété. 
Et au lieu que les autres irritans produifent très (burent des contrarions 
toniques, la matière éle&rique, autant que je l’ai obfervé, n’en excite 
jamais. 

Je continuai ces mêmes effais fur les parties fènfibles en fâifant agir les 
flammes éledriques fur les nerfs des animaux, après en avoir ôté l’enveloppe 
de manière que la moelle étoit tout à découvert. Les rayons ne faifoient 
point d’effet non plus, mais les étincelles & les foudres produifoient des 
douleurs très fcnfiblcs de des coavulfions bien vives dans les mufcles aux- 
quels aboutilfoient les rameaux du nerf irrité, de les foudres rendoient fur- 
tout les convulfions plus véhémentes que les étincelles. 

Enfuite je fus curieux de connoîcre la durée de l’effet de féleâricité 
après la mort. Je choifis des cœurs de grenouilles de de poiffons, féparés du 
refte du corps, de je les laifTai affez lorîgtems pour être affuré que les autres 
irritans ne produifoient plus de mouvemens. Alors j’y fis tomber les étin- 
celles de les foudres électriques que je vis produire des mouvemens aflèi 
confidérables, ce qui va quelquefois fi loin que trois jours après que l’aétion 
de tout autre irritant a ceffé, celle de l’éleélricité continue encore. Il s’of- 
fre des phénomènes fèmblables lorfqu’on applique l’éleéèricitc aux nerfs 
d’un animal mort. Mr. LLeberkuhn r ce grand génie dont je ne pro- 
noncerai jamais le nom fans m’attendrir au fouvenir de .fes grands talens, 
oblerva déjà que fi l’on enleve le cerveau d’un animal récemment mort, de 
qu’on irrite les nerfs qui en fartent, tous les mufcles auxquels ils aboutifTent 
éprouvent des mouvemens convulfifs. Cet effai remarquable réuflit tou- 
jours pourvu que l’animal art encore quelque refte de chaleur naturelle, 
de l’èffet n’a pas Heu fi l’animal eft entièrement refroidi. En appliquant 
alors l’éleâxicité on remarquera encore quelque petit mouvement, mais 
il ne dure gueres une demi - heure après le refroidiffement entier. 

Tous ces effets de I’aétion de la matière éle&rique fur les parties fenfi- 
bles de irritables des animaux ou vivans ou morts deviennent plus forts lors- 
que l’animal cftifolé; on. en fait forcir alors-lcs étincelles de les foudres éleétri- 


14-4 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

ques, & on remarquera furcout que les contrarions excicées durent plus 
longtems. Les contrariions même ne fe manifeftent la plupart que quand 
les flammes fortenr; mais quand l’éleétriciré eft bien forte, de maniéré que 
l’éleétrometre pafle l’angle de 45°, alors dans des animaux fort vifs fe ma- 
nifeftent des oscillations foibles mais fort prêt tes & continuelles, fans qu’on 
fafle fortir les étincelles ou les foudres. Enfin il étoit néceffaire d’exa- 
miner quel effet proviendroic de l’aâion de la matière élcCtriquc fur le 
fang. Dans cette vue je pris une livre de fang humain que je divifai en 
deux parties égales. J’y mis des thermomettes correfpondans; je plaçai 
les parties l’une à côté de l’autre, & une en fut éleCtrifée. Les thermomè- 
tres n’indiquoient aucune différence, mais en continuant l’effai jufqu’à ce que 
le fang commençât à s’épaiflir, je vis que le fang éleCtrifé gardoit un peu plus 
longiems fa fluidité. La couleur du fang ne fut pas altérée, & je n’obfer- 
vai point de différence dans les globules. Mais le poids fut différent; car 
au lieu que le fang éleCtrifé avoir perdu 145 grains, l’autre partie n’avoit di- 
minué que de 1 00 grains. 

Au refte il me femble avoir remarqué que les contractions des parties 
irritables produites par l’élcClricité font moins fortes dans le vuide que 
dans l’air. 

De toutes ces expériences réfuirent les proportions fuivantes. 

1) La matière électrique eft l’irritant le plus fort pour les parties fenfi- 
bles & irritables du corps animal, en ce qu’elle produit des contractions 
plus fortes, plus univerl'elles , & plus durables que d’autres irritans, & 
qu’elle peut même produire ces contractions plus longtems après la mort. La 
raifon n’en eft pas difficile à déterminer. L’odeur 6 c le goût de la matière 
éleCtrique fcmblent indiquer qu’elle eft compofée de matière phlogiflique 
& d’un fel acide, mélange qui produit ordinairement des fubftances très 
âcres. La rapidité de cette matière eft prodigieufe, & j’ai toujours remar- 
qué qu’en moins d’une fécondé elle parcourt des chaînes de 3 6 pieds ; ainfi 
elle doit choquer d’une maniéré fcnfiblc les fibres irritées. Enfin fon ex- 
trême fubtilité lui permet de pénétrer les plus petites fibres des parties qu’el- 
le touche, & le nombre des fibres fimples qui forment une fibre compofée 

doit 


Dkl SCIÏNCES ET BhLIHJ-LetTRBS. 


145 


doit être plus grand qu’à tout autre irritant. De là réfulte donc néccffairement 
le grand effet de la matière élc&rique fur les parties donc je viens de parler. 

x) La matière élcélriquc a la force de procurer au fa ng la fluidité, le 
fang éleélrifé gardant plus longtems fa fluidité. Je m’imagine que cela dé- 
pend d’un mouvement que cette matière excite dans les globules du fang; 
ce qui cft d’autant plus vraifemblable que l’éJe&ricité contribue à hâter l’éva- 
poration de cette liqueur. 

Après ces effais il étoit néceffaire d’appliquer les expériences au corps 
humain , pour voir fi les effets que je viens d’attribuer à la matière éleétri- 
que s'y manifeftent effeéHvemenr. J’ai choifî pour cela des perfonnes d’âges 
ôc de tempéramens différons, mais qui jouiffoient tous d’une fanté parfai- 
te. J’ai toujours fait les expériences le matin dabord après qu’on s’étoit 
levé, & j’ai pris la précaution de me fervir conflamment de l’éleélrometre, 
pour avoir autant qu’il étoit pofliblc le même degré d’éle&ricité , & j’ai 
obfervé les phénomènes fuivans. 

1) Le pouls bat plus vite chez tous, de maniéré que chez des perfon- 
■es très irritables le nombre des battemens double. La force du pouls va- 
rie félon le tempérament. Dans les perfonnes d’un tempérament colérique 
elle augmente, dans les mélancoliques ôc les phlegmatiques elle n’eft prefque 
point altérée; pour les perfonnes d’un tempérament très vif j’ai Cou- 
vent remarqué que le pouls fe rallentit, mais qu’il efl auffi un peu tendu. 
Dans tous fa marche eft régulière. 

x) La chaleur de même augmente de maniéré que la différence étoit 
quelquefois de dix degrés, échelle de Fahrenheit, en comparant la chaleur 
que le thermomètre monrroit au commencement avec celle que cet infini- 
ment indiquoit à la fin de l’opération. 

3) La refpiration augmente auffi de maniéré qu’on obfcrve fouvent une 
fùeur aflèz forte. 

4) La peau à l’endroit où l’on fait fortir les étincelles rougit, ôc quand 
on continue longtems il s’y forme'une cfpece d’inflammation. 

5) Quand les étincelles forcent d’un endroie très mufculeux, on re- 
marque des mouvemens convulfifs, quelquefois très forts, de ces mufclcs. 

Nouv. Mc/n. 1771. X 


14 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

6) Quand réchauffement caufé par l’éleétricité eft paffé , il y fuccedc 
une foibleffe & un relâchement affez confidérable, & j’ai remarqué furtouc 
que quand des pcrfonucs fort fenfibles & irritables fe foumcttent à l’aétion 
de l’élcétricité, elles fe difpofent aux attaques fpafmodiques. 

Au refte il eft très aifé de comprendre que ces effets font plus ou moins 
confidérables à proportion que la fenfibiliré & l’irritabilité des fujets font 
plus ou moins grandes, de maniéré que la force électrique étant égale, 
les effets qui en réfultent font en raifon dircéte de la force vitale des fu- 
jets auxquels la première eft appliquée. Ces obfervations auroienr pu 
fuflire pour en déduire l’aétion de la matière électrique fur le corps hu- 
main, dans le cas où l’on omploie une feule forte d’éleétricité, la pofitive, 
ou Ia~àégative. Mais il étoit néceflaire de favoir, fi en réunifiant ces 
deux fortes d’éleétricité l’ufage de l’éleétricité oppofée changeroit ces ef- 
fets. Pour m’en inftruire j’éleétrifois mes fujets de maniéré que quelque- 
fois ils me fervoient de conduétcur pofitif, & quelquefois aufii de conducteur 
négatif. Dans les deux cas j’ai obfervé en général les mêmes effets que la 
fimple électricité produit, mais tous étoient plus forts, furtout quand on 
éleétriloit pofitivement, Ce la feule différence qu’il y avoit, étoit que la 
marche du pouls n’écoit pas fi régulière dans l’cleétricité contraire que dans 
la fimple, ce qui arrive furtout lorfque la perfonne qu’on cleétrife repréfente 
le conducteur négatif, ayant toujours remarqué qu’après chaque coup qu el- 
le avoit éprouvé le pouls barroir plus vite & étoit remittant. 

Tout cela pofé, il n’eft pas difficile d’expliquer la véritable maniéré 
dont la matière éleétrique agit iur le corps humain. Et d’abord, comme 
cette matière irrite toutes les fibres Ce tous les nerfs, il eft évident qu’elle doit 
fortement accélérer le mouvement du cœur Ce des artères, puifque la viteflè 
de ce mouvement eft proportionnée à la vitefiè avec laquelle fe font les con- 
tr aérions de ces parties. Or le mouvement accéléré du cœur <5c des arteres 
doit n.éccffairemenr produire dans le fqng une fluidité plus forte, laquelle 
deviendra encore plus confidérable par le mouvement immédiat que la ma- 
tière éleétrique fèmble communiquer aux globules mêmes du fang. En- 
fui te, comme l’éleétricité augmente la retiration infènfible , elle peut fer- 


1 47 


des Sciences et Belles-Lettres. 

▼ir à purifier le fang, furtoutde ces matières hétérogènes fubtiles, qui aiment à 
forcir par les vaifleaux de la peau. Enfin la matière électrique doit furtout 
très fortement exciter l’endroit par lequel elle fort, témoin l’inflammation 
qu’elle y caufe. Or comme il cft démontré par un grand nombre d’expé- 
riences Ôc d’obfervations que le fang tend toujours en plus grande quantité 
ôc avec plus de vitefle vers une partie irritée, il cft néceflàire que l’éleâriciié 
augmente aufli l’affluence du fang vers tel endroit; ainfi I’élc&ricité a une 
force rcvulfive. Mais tous les mouvemens fores ôc vifs qu’éprouve le 
corps font immédiatement fuivis d’une foibleiïe proportionnée à la force ôc 
à la vitefle de ces mouvemens précédcns; il eft donc néceflàire que bien 
loin que l’éleétricitc contribue à fortifier les fibres & les nerfs, elles les af- 
foiblifle plutôt ôc les relâche. 

En appliquant ces idées à l’ufage de l’éle&ricité pour la gucrifon des 
maladies paralytiques , & en les comparant avec les caufcs de ces maladies, 
il me femble avoir trouvé la vraie méthode d'employer ce remede. La 
paralyfie fuppofe prefque toujours inaéHon des nerfs fur les fibres motrices, 
&de là il eft aiféde comprendre quec’eft ou la compreflion, ou l’obftruction, 
ou la conftiiction, ou la roideur, ou la foibleflè des nerfs, qui contiennent 
la caufe matérielle de cette maladie. * Pour ce qui regarde la comprel- 
fion, au cas qu’elle provienne d’une matière fluide, je ne doute pas que 
l'électricité ne puifle faire quelque effet, puifque d’un côté clic peut diflou- 
dre un tel fluide, qui par la ftngnation s’épaiflir, & de l’autre parce que par 
l’irritation quelle excite dans les vaifleaux ruforbens, un fluide ainfi extrava- 
fé peut être ramené à la malle des humeurs circulantes. 

Dans le cas de l’obftruclion , on peut aufli attendre de bons effets de 
l’application de ce remede, furtout parce qu’il femble que ces obftruétions 
ne fe trouvent pas dans la fubftance propre des nerfs, mais dans les vaif- 
feaux du fang qui, félon les préparations de l’immortel Lieberkuhn , s’y éten- 
dent, Ôc qui dans l’état de l’obftruclion étant gonflés, doivent comprimer 
la moelle nerveufe. Car la contraction plus promte du cœur & des arteres, 

* Il faut remarquer qu’on confidere ici feu- & qu’il ne s’sgit pas des elpeces qui provisnnent 
lenient la paralyfie qui vient du défaut des nerfs, de la part des arteres. 

Ti 


143 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalh 

la commotion du fang même, le choc impétueux du fang qui frappe avec 
plus de force ces endroits fermés par l’obltruction , font fans contredit les 
moyens les plus efficaces pour difloudre des humeurs épaiflès, 6c tous ces effets 
peuvent provenir de l’aétion de la matière électrique. Pour ce qui eft de la 
conltriétion des nerfs, il n’y a point de doute non plus que l’éleétricité 
n’y fafle auffi un bon effet, vu que par un mouvement plus rapide qu’elle 
caufe dans les vaiflëaux & par la commotion quelle excite dans les hu- 
meurs, elle peut remédier à ces conftriétions 6c étendre les vaiffeaux qui 
ont perdu leur diamètre naturel. 

Quand les nerfs font roides, leurs peticcs parties compofàntes font 
trop proche l’une de l’autre, 6c on comprendra aifément que les fecouffes 
véhémentes qu’y excite l’éleétricité doit fervir à rendre à ces parties le degré 
de molleffc néceffaire. 

Mais dans la foibleffè ou plutôt dans le relâchement des nerfs on atten- 
droit en vain de bons effets de l’clcctricité, parce que toujours fuivie de la 
foiblcffe elle fert alors plutôt à augmenter qu’à détruira la caulc de la 
maladie. 

Si l’on confiderc attentivement rour ce que je viens de dire, il fera aifé 
de déterminer le véritable ufàge de l’électricité dans les cas de paralylie oià 
l’on peut l’employer. 

Et d’abord il eft évident, que la plupart du rems on en attendra envain 
une guérifon completre, à moins qu’on ne joigne à l’électricité l’ulage des 
remedes fortifians, furtout auffitôt qu’on remarque que l’éleétricité com- 
mence à faire quelque effet, parce qu’il elt à craindre que la foibleffe qu’elle 
caufe ne faffe renaître la maladie, quoique la première caufe en foit dé- 
truite. Par là on peut fans doute expliquer pourquoi fouvent l’électricité a 
produit des effets merveilleux , mais qui ont été fuivis d’une rechute fubite. 

Enfuite il faut toujours proportionner la force de l 'électricité au tempé- 
rament du malade. Une perfonne forte 6c vigoureufe dont les humeurs, par 
la denfité, par la petiteffe & par le poli complet de leurs petites parties, auffi 
bien que par la forte chaleur qui y régné, ont beaucoup de di/po/ition à 
s’émouvoir, demande fans doute une éleélricité douce, un mouvement ex- 


des Sciences et Belles-Lettres. 14^ 

ceflif ne pouvant que produire alors une foibleflè très confidérable, qui 
mettra les plus grands obllacles à une guérifon parfaite, & l’on pourra fe 
contenter, au commencement du moins, de fe fervir dans ce cas de 1 ’éleétri- 
cité fimple uniquement. Au lieu que fi l’on opéré fur un mélancolique ou 
un phlegmatique dont le fàng foit plus difficile à émouvoir, il fera néceflai- 
re d’appliquer l’éleélricité contraire, «Sc furtout on réuffira le mieux fi on 
l’électrife poficivement. 

Pour ce qui eftde l'endroit où le fqu éle&rique doit être appliqué, il 
efl néceffiairc de choifir le tronc des nerfs attaqués , excepté le cas de con- 
ftri&ion, où il vaut mieux prendre un endroit oppofé, afin que par l’irrita- 
tation qui y eft caufée, le feu cleétrique agilfe comme remede révulfif 

Voilà, Meilleurs, l’idée que je m’etois formée de la méthode qu’il faut 
obferver dans l'application de la matière éle&riquc aux paralyfies, & j’atten- 
dois avec impatience l’occafion d’en faire des eflàis. Les malades de la 
grande Maifon des pauvres confiée à mes foins me la fournirent bientôt. 
Le premier malade quife prélènra fut une femme âgée de 5 o ans d’un tempé- 
rament très phlegmatique, attaquée d’une paralyfie complette des deux bras, 
laquelle avoir pris fon origine d’une matière galeufe qu’on avoit empêché de 
fortir. Je pris donc la réfolution de l’éleélrifer d’abord pofitivcmenr, & re- 
marquant dès la première fois que la vitefiè de fon pouls après deux coups 
qu’elle avoit reçus, n’avoit augmenté que de 1 z battemens par minute, je ré- 
pétai les coups jufqu’à ce que le pouls battît 90 fois par minute, au lieu de 
6 o ou 65 battemens qu’elle avoit ordinairement pendant ce tems-là. Au 
bout de trois jours je vis naître des pullules inflammatoires au cervice, fem- 
blablcs à la petite vérole, dent h fuppuration étoit aflèz forte. En même 
tems la malade commença d’avoir une très foible fenfibilité aux doigts, «Scelle 
fentoit quand on la piquoit d’une épingle. Je continuai ainfi pendant quinze 
jours, la fenfibilité devenant de jour en jour plus grande, 6 c même le 
bras droit faifoit quelque petit mouvement. Mais comme je voyois que 
la malade s’affoiblilToir, je commençai alors à lui donner des fortifians, 
en continuant toujours l’éicccricité. Avant le terme de 8 jours la fenlÈ- 

T 3, 


iço Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

bilité fut entièrement rétablie, & le mouvement devint aufli confidéra- 
ble. Je changeai alors d’éledricité, & je me fervis de la /impie. Mais 
après 4 jours environ, la fenfibilité s’émouflant, le mouvement commença 
aufli à s’affoiblir. Je repris donc la première méthode, par laquelle dans 
un efpace d’environ 6 femaines ma malade fut entièrement rétablie, & elle 
jouit encore d’une fanté parfaire. 

L’autre malade qui fe prefenta étoit un homme très robufte, d’un 
tempérament tout à fait inflammable, qui avoit une paralyfie incompletre 
aux deux jambes, de maniéré que le mouvement ayant celle la Jcn/ibï- 
lité fubfiftoit encore. Cette maladie étoit provenue de la fuppreflion du 
flux hémorrhoïdal. Je n’ofai pas appliquer ici l’éleétricité contraire, 
mais je me fervis de la Ample, de maniéré que faifant ifoler le malade 
j’exprimois les étincelles tout du long des deux jambes depuis leurs arti- 
culations jufqu’aux genoux. L’élcciriciré fit d’abord un grand effet; le 
nombre des battemens du pouls doubla après environ un quart d’heure; 
il commença fortement à fuer & au bout de quelques jours il fut en état 
de fe tenir à l’aide d’un bâton fur fes pieds, fant pouvoir pourtant mar- 
cher. Ce fut alors que je lui donnai feulement trois coups de l’éleétri- 
cité contraire, mais le lendemain il ne pouvoit plus fe tenir fur les jam- 
bes. Reprenant donc la première méthode, le malade fe rétablit entiè- 
rement dans l’efpace de deux mois. Je ne lui avois donné aucun re- 
mede fortifiant, parce que je n’avois pas remarqué que l'électricité l’af- 
foiblît beaucoup. Mais j’eus lieu de m’en repentir bientôt; car environ 
trois femaines après, fes pieds devinrent foibles & chancelans, 6c enflè- 
rent un peu. Je ne tardai donc pas à lui donner le Quinquina, qui le 
délivra de tous ces lÿmptomcs ôc en produifant le flux hémorrhoïdal lui 
rendit parfaitement la fanté. 

Mais l’obfervation la plus importante que j’aye eu occafion de faire 
fut à l’égard d’un vieillard âgé de plus de 8 ° ans, qui avoit déjà depuis 
bien des années une paralyfie complettc à une jambe, &c à qui une nou- 
velle attaque d’apoplexie fanguinc en avoit caufé une à l’autre jambe. 



dès Sciences et Belees-Lettres. t5ï 

C’étoit un homme du tempérament le plus robufte que j’aye jamais vu, 
& malgré Ton âge avancé il avoir encore allez de vigueur. J’cfTayai 
donc dabord l’éleétricité fimple; mais il fut impoffible de faire fortir 
la moindre étincelle, & même le pouls n’alloit pas plus vite. Ainfi 
j’eus recours à l’éleélricité contraire, dont l’effet fut tel qu’il commençoit à 
mouvoir le pied, récemment attaqué de paralyfie, & je ne doute pas 
qu’il n’eût été entièrement rétabli s’il avoir voulu continuer le remede. 

Toutes ces obfervations , auxquelles je pourrois en ajouter plufieurs 
autres , pourront fervir à démontrer la vérité de ce que j’ai avancé fur la 
maniéré d’appliquer l’cleétricitc dans les paralyfics. 



tfi Nouveaux Mémoires de l’Acadhmib Royale 


RECHERCHES 

fur les moyens de découvrir par des expériences comment fe 
fait la propagation de la lumière. 

Par M. Beguelin. 


I l n’eft pas néccflaire de rappcllcr ici les argumens qu’on emploie pour & 
contre l’émiflion réelle de la lumière. Plus on les pefe, moins on eft 
en état de fe décider; la queftion paroit d’autant plus problématique, qu’on 
l’approfondit davantage ; & l'on eft toujours tenté d’embrafler le fentimeat 
qu’on examine le dernier. 

L’autorité n’eft jamais un bon moyen de terminer une difcuflîon philo- 
fophique; & quand on voudrait l’employer ici on n’en ferait gueres plus 
avancé; Mr. Newton d’un côté & divers hommes célébrés qui fe font ran- 
gés de fon parti; de l’autre côté Mrs. Huygcns & Euler, fuivis par tant de 
Phyficiens du premier ordre, tiendraient encore la balance égale entre le 
fyfteme de l’cmilïïon 6c. celui de l’ondulation; pour ne pas parler de Des- 
cartes, qui fcmble tenir le milieu entre les deux fentimens oppofés. 

La queftion néanmoins eft aflez importante pour qu’on cherche des 
moyens fûrs de la réfoudre ; elle tient eflèntiellement aux plus intéreflântes 
parties de la Phyfique, & c’eft de fa décifion que dépend la connoiiïance de 
l’arrangement de l’univers entier. C’eft alors feulement que nous faurons 
s’il y a du vuide dans la nature, ou fi tout eft plein; fi les corps célcftcs 
éprouvent quelque réfiftance dans leurs mouvemens, & fi par confcqucnr 
leurs révolutions périodiques s’accélèrent, ou fi elles s’achèvent conftam- 
ment dans un meme tems; fi les inégalités dans le mouvement moyen de la 
Lune font une fuite de la réfiftance de l’éther, ou s’il faut leur chercher une 
autre caufe; fi la pefanteur eft iohérentc à la nature des corps, ou fi clic câ 

produite 


des Sciences et Belles-Lettre*. 153 

produite par une impulfion étrangère; en un mot fi l’attra&ion eft une pre- 
mière loi de la Nature, ou fi elle n’cft que le réfultat de quelques premières 
loix méchaniques. 

Il feroit bien étrange en foi , & bien fâcheux pour le progrès des con- 
noiffances humaines, que deux caufes abfblument differentes dûfient pro- 
duite exactement & dans toutes les circonfiances le même effet. En ce cas 
là, il feroit impoffible fans doute de remonter des effets à la connoiftànce de 
la véritable caufc. Mais il eft probable que ce cas n’exifte jamais, & que 
toutes les fois qu’on fera le maître d’ajouter telles expériences qu’on voudra 
aux fimples obfervacions, on pourra parvenir à décider entre deux hypothe- 
fes qui paroilfoient d’abord également propres à expliquer, les phénomènes 
obfervés; ou du moins, fi après cela encore l’indécifion fubfiftoir, ce ne 
feroit plus parce que les réfultais feroient toujours les mêmes dans chaque 
hypochefe, mais uniquement parce que nos Cens feroient trop grofiiers 
pour appercevoir la diverlité réelle qu’ii y aurait enrnt^es réfultats. 

1. D’apres ce principe examinons s’il y a un or où le fyfteme de 
l’émiffion devrait donner un réfultat different de celui de l’ondulation. 

On fait que filon la théorie de Newton la refraétion eft un effet de l’at- 
traélion. Le milieu plus denfe attire perpendiculairement le globule de lu- 
mière par une force attractive qui eft la même pour toutes les inclinaifons, 
d’où ré fui te néccflài rement la loi connue ( 5 c obfervée, de la rai/on confian- 
te entre les finus d’incidcncc & de réfraction. 

Dans le fyfteme de l’ondulation Mrs. Huygens & Euler ont montré que 
la même loi pouvoic avoir lieu. Si elle n’eft pas une fuite néceffaire de leur 
théorie, elle en eft au moins une fuite polhble, & même affez plaufible; 
d’ailleurs Mr. Euler a démontré inconteftablement que la diverfè réfrangibi- 
lité des rayons s’accorde très bien avec cette théorie, qui a de plus l’avan- 
tage d’étre analogue à celle de la propagation du fon, & de ramener aux 
caufcs méchaniques, les feules auxquelles l’efprit & la raifon humaine fem- 
blcnt pouvoir donner un entier acquiefcemcnt. 

Puifque les deux fyftêmes s’accordent à l’égard de la loi des ré- 
fractions il n’y a point d’expérience à cet égard qui puifie décider lequel des 

Nouv. Mm. 177a. V 


4 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

deux eft le fyftême de la Nature. Il faut donc fe tourner de quelque 
autre côté. 

a. Il femble d’abord qu’il doit être facile de trouver un réfultat diffé- 
rent entre la maniéré dont un corps doué d’un mouvement excefîivcmcnt ra- 
pide agiroit fur d’autres corps , & l’effet qu’y pourroit produire une fimplc 
vibration de l’cther. Aufli plufieurs physiciens n’ont pas héfité à conclure 
de là que la lumière étoit un corps. Ils ont donné l’énumération des effets 
de la lumière concentrée dans un foyer, & ils ont crû pouvoir en inférer 
que la lumière avoit tous les cara&eres auxquels on doit reconnoître les 
corps. Mais quand on confiderc que l’ondulation fuppofê aufli une vio- 
lente agitation de la matière éthérée; que le fon produit des effets analo- 
gues à ceux d’un corps en mouvement; qu’il fecoue, ébranle, brife, & 
renverfe des maffes entières, il ne paroit pas que les effets de la lumière 
fuffifent pour décider notre queftion. 

3. La réflexioj^cîc la lumière fuit encore les mêmes Ioix dans les deux 
iyftêmes. Mais les échos font une confirmation de celui des ondulations, 
au lieu que la force repulfive que Newton emploie paroit moins fiir.ple ôc 
moins naturelle. Le meme milieu qui attire dgns la réfra&ion , repouffe 
dans la réflexion ; cela femble un peu précaire. Cependant cette force re- 
pulfive eft appuyée fur tant de phenomenes, qu’on ne fauroit la rejetter fans 
un examen ultérieur; & comme en l’admettant, un réfulrat ne différé pas 
de l’autre, la réflexion de la lumière ne paroit pas non plus pouvoir nous 
fournir le cas décifif que nous cherchons. D’ailleurs, fans s’attacher à la 
force repulfive de Newton, fi la lumière eft une émanation réelle du corps 
lumineux, elle doit fe réfléchir comme les autres corps, & la loi de fa ré- 
flexion ne dépend plus que de fa figure ôc de fon ciaftideé, & de la nature 
des furfaces réfléchiffantes. 

4. Les mouvemens ne peuvent différer qu’en direétion, & en vitefle. 
Nous venons de voir que les deux fyftémes donnent à la lumière une même 
dircéfion, foie Iorfqu’elJe fe réfléchir, ou lorf qu’elle fe réfraéte; examinons 
encore ce qui arrive à l’égard de la viteffe. 


DES SCIBNCBS ET B E L I BS - Le TTR ES. 


*11 

Selon le fyftême de Mr. Newton la lumière accéléré fa vitefle en en- 
trant dans le milieu qui l’attire; mais comme ce même milieu retarde d’au- 
tant cette vitefle à la fortie, la lumière aura la même vitelîè après l’émerflon 
qu’elle avoir avant l’incidence, fi le milieu dans lequel elle rentre après s’étre 
brifée eft de même denfité que celui où elle fe mouvoir avant la réfraélion. 

Il n’en eft pas ainfi dans le fyftême de l’ondulation. C'eft parce que les 
vibrations font retardées par le milieu plus denfe, que la lumière s’y ré- 
fracte; elle fc meut donc plus lentement dans un milieu denfe que dans un 
milieu plus rare. S’il eft prouvé que les vibrations reprennent leur première 
vitefle dès qu’elles fe font dans un milieu femblable au premier, la fécondé 
réfraélion remet les chofes dans leur premier état. Mais on pourrait peut- 
être former quelques doutes fur cette aflertion; <Sc à cet égard le fyftême de 
l’ondulation ne paraît pas auffi rigidement démontrable que celui de l’éinif» 
fion. Quoi qu’il en foie je ne vois pas que cette différence réelle entre les 
deux fyftêmes puifle fournir une expérience dccifive. La vitefle de la lu- 
mière eft fi prodigieufe, qu’un accroiflement ou un décroiflcment momen- 
tané ne fauroit jamais être fènfible pour nous. 

Dans la réflexion le plus ou le moins de vitefle du mobile ne change 
rien a l’égalité des angles d’incidence & de réflexion ; ainfi à cet égard en- 
core il n’y a rien qui puifle déceler fi la lumière réfléchie de la fécondé fur- 
face du milieu plus denfe a été accélérée ou retardée en fe plongeant dans 
ce milieu. 

5 . Après avoir confidéré tous les cas qui peuvent donner un réfultat 
différent, je n’en ai trouvé qu’un feul qui femble propre à décider la 
queftion, non pas encore fur la nature même de la lumière, mais au moins 
fur la maniéré dont elle fe réfracte. Nous avons vu que la réfraétion fuit la 
même loi dans les deux fyftêmes, quelle que foit l’incidence du rayon; cela 
eft vrai aufli longtcms qu’il y a une incidence aétuelle : mais fi le rayon de lu- 
mière rafe horizontalement la furface du milieu denfe, s’il fait ce qu’on 
nommeroit en dioptrique un angle d’incidence de 90 degrés, les réfultats 
ne doivent plus être les mêmes dans les deux fyftêmes, & leur différence 
doit être extrêmement fcnfible. En effet dans le fyftême de Mr. Newcon, 

V ! 


i ^6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

l’attraétion agifTant également à difiances égales, quelle que foit la direction 
de la lumière, cette force doit attirer le rayon rafant; le faire entrer dans le 
milieu denfe & lui donner une réfraétion dont le finus, fi le paflage fe fait de 
l’air dans le verre, fera les deux tiers du finus total; c. à d. que le rayon 
s’enfonçant dans le verre s’y brifera fous un angle d’environ 4i d . 48'; & 
s’il rencontre enfuite une autre furface perpendiculaire à celle - là , il rentrera 
dans l’air en fe brifant de nouveau fous un angle de c?o d ; de forte que la 
nouvelle direction du rayon formera un angle droit avec fa direction initiale. 

Rien de tout cela ne doit arriver dans le fyltême de l’ondulation. La 
direction des vibrations étant une fois parallèle à la furface du milieu denfe, 
&c hors de ce milieu, il n’y a point de raifon pourquoi elle devroit changer. 
Le rayon continuera par conféquent fon chemin en droite ligne, il rafera la 
furface du milieu denfe fans la pénétrer en aucun fens. 

6 . Il femblc donc qu’il y auroit une expérience très aifee à faire pour 
connoître lequel des deux cas oppofés arrive. Il fuffit d’un cube de cryftal de 
verre de quelques pouces, dont on couvriroit exactement le côté expofé aux 
rayons folaires, qu’on introduiroit dans une chambre obfcure par une petite 
fente horizontale. Après avoir placé ce cube fur une table de façon que fa 
bafe fafiè avec la table un angle égal à la hauteur aétuelle du limbe fupérieur 
du Soleil, on élcvera la table jufqu’à ce que la lame de rayons rafe la face 
fupérieure du cube, ce qu’on peut reconnoître dès que la ciiftance entre la 
partie éclairée de la table derrière le cube, & ce cube, fera à la hauteur de 
celui - ci, comme le finus total eft au finus de la hauteur du Soleil. 

Si dans cette pofition tout cet efpave refie obfcur, on en pourra con- 
clure que l’explication Newtonienne de la réfraétion n’efi pas d’accord avec 
le phénomène; que fi au contraire il arrive que le rayon tombe fur la table 
au pied de la face pofierieure du cube, ou en général au point où la double 
réfraétion doit le faire tomber, il fera évident qu’il y a eu réfraction. Ce 
dernier cas prouveroit deux cho'ès à la fois ; l’une que la lumière eft un corps, 
6 c l’autre que la réfraétion eft l’< ffet d’une force attraétive. Le premier cas 
prouveroit fimplemenc que 1 attraction n’eft pas la caufè de la réfraétion des 
rayons; mais il ne décideroit pas encore que la Iumicre foit plutôt propagée 


des Sciences et Belles-Lettres. 


J Î7 


par ondulation que par cmifïîon; car il eft très poflible qu’un globule lu- 
mineux rafant avec une rapidité excefïïvc une furface pénétrable pour lui, 
continue de fuivre fa direction en ligne droite fans fe détourner vers un mi- 
lieu qui ne lui fait aucun obftacle. 

La facilité de cette expérience ma engagé à la tenter aufïïtôt que j’en 
ai eu conçu l’idée. J’ai fait faire une petite caiffe de bois en forme de ca- 
nal parallélépipédique d’environ quinze pouces de longueur, fermée à fes 
deux extrémités, & ouverte par fon côté fupéricur. La hauteur & la largeur 
de ce canal font précilément celles du cube de verre qui en occupe l’un des 
bouts, où il cil arrêté par deux petits Iifteaux; le bout oppofé a un re- 
bord pour y marquer exactement par un trait horizontal la hauteur où le 
rayon folaire devoir aller frapper en ligne droite après avoir rafé la furface 
fupérieurc du cube, au cas qu’il n’y eût point de réfraction; le refte de la 
cailfe étoit noirci intérieurement pour écarter la lumière étrangère. Mais 
afin de mieux diltinguer l'effet de la réffaCHon & d’élever le cube plus 
exactement à la hauteur requife, j’avois préparé divers quarrés de papier 
blanc, pour les pofèr fous ce cube. 

Le récit des expériences que j’ai faites avec un infiniment fi (impie ne 
fera pas long. Pendant l’été de 1771 j’ai txpofe aux rayons du Soleil à 
diverfes reprifês dans une chambre obfcure le cube de verre enchafte à l’un 
des bouts du canal. Audi lo.ngtems que le faifeeau lumineux eft tombé 
avec quelque obliquité fur la face liipérieure de ce cube, il y a eu réfraction, 
& cette rt fraétion a été bien fenfiblc; l’éclat de la portion du papier blanc 
fous le cube, que les rayons bri les ilbmînoienr, fe diftinguoir par une ligne 
bien tranchante de la partie obfcure de ce quarré, laquelle félon les loix d 5 
la réfraction devoir effectivement fe trouver dans l’ombre. Mais auflirôt 
que l’obliquité d’incidence a été nulle, toute la lumière au fond du cube a 
dilparu, & j’ai conftammenr vû le rayon folaire frapper au trait horizontal 
que j’avois tracé à l’autre extrémité du canal; j’ai même obfcrvé dans toutes 
ces expériences que la réfraction a ceffé un peu avanc que l'obliquité air été 
exactement nulle, je veux dire avant que la direction du rayon folaire aie 
rafé la furface du verre; car quoique le trait horizontal fût tiré à la hauteur 

V 3 


158 Nouveaux Mémoires de i’Académie Royale 

précife du cube, j’ai toujours apperçu que le rayon a commencé de frapper 
le bout de la caiflè un peu au-defïous de ce trait horizontal; j’eftime cette 
différence à peu près une demi- ligne de Paris. II ne feroit pas diffi- 
cile à l’aide d’inftrumens plus parfaits de déterminer avec la plus grande 
précifion s’il y a effedivement un angle d’obliquité fi petit que la réfraction 
ccffe abfolument, avant que le rayon rafe la furface du milieu réfringent. 

Quoi qu’il en foit de cette derniere obfervation qui n’eft ici qu’acce (foire, 
il me femble qu’il réfulte clairement de l’expérience que je viens de rap- 
porter que la réfraétion n’eft pas produite par une force attradive, ôc 
qu’il faut chercher à cette propriété de la lumière quelque autre explica- 
tion qui s’accorde mieux avec tous fes phénomènes. On fait d’ailleurs 
affez que cette attraction ne tient point à la gravitation univerfelle dont 
nous devons l’heureufe découverte à Newton lui -même. La gravitation 
de la lumière vers le milieu tranfparent le moins denfe feroit au-delà de 
cent millions de fois plus forte que l’attradion qu’on obferve dans la ma- 
tière en général. En un mot l’attradion de la lumière, fa repulfion, fes 
divers accès dé facile transmiflion, & de rcbroulTement, font tout au 
plus des faits obfervés par Newton, mais dont la théorie «5c l’explication 
feroicnc encore à trouver. 

On pourroir, à toute force, objeder en faveur de l’attradion contre 
l’expérience rapportée, que le rayon en rafant la face fupérieurc du verre 
a pû être attiré dans le cube, s’y brifer félon la loi connue, reffortir 
par la face latérale de derrière, & rafer cette face en vertu de fa fécondé 
réfradion; ou que de là attiré une fécondé fois dans le cube, il a pû 
*après deux nouvelles réfradions gliffer fur la face inférieure du cryflal 
dans une diredion parallèle mais oppofée à fa diredion primitive: on 
pourroit concevoir ainfi une troifiemc, ôc même une quatrième rentrée 
du rayon dans le cube, ce qui acheveroit la circulation complettc, & 
cette circulation pourroit être cenfée fe répéter à l’infini. Mais à quel- 
que face que la circulation s’arrêtât, le rayon devroit frapper quclquc- 
part le canal, & fe faire remarquer à fon émerfion; ou fi la circulation 
ne finifloit point, la lame lumineufe feroit vifible dans le cube même; 


des Sciences et Belles-Lettres. içp 

car c’eft un fait certain que dans l’obfcurité les rayons de lumière font 
appcrçus non feulement quand l’œil eft placé dans la direction de la lu- 
mière, mais encore dans tous les autres points de vue; & d’ailleurs on 
ne fauroit Tuppofer que le rayon foit abforbé puifqu’on le voit frapper di- 
rectement au bout du canal. 

Je fens bien qu’on peut éluder cette réponfc en fuppofant que l’at- 
traCtion du verre ne fauroit agir que fur une lame de lumière infiniment 
mince, qui gliflè infiniment près de la furface attirante, tandis que le 
refte du faifeeau lumineux étant hors de la fpherc d’attraCtion ira directe- 
ment frapper au but. Je Conviens que le pouvoir attraCtif dont il eft 
ici queftion ne doit être cenfé agir fenfiblement que jufqu’à une certaine 
diftance très petite; mais je ne penfe pas qu’en phyfique on puiffe jamais 
prendre l’exprefiion d’infiniment petit dans l’exaCte lignification du terme. 
Il me femble donc qu’on doit opter ici entre affirmer que le verre n’at- 
tire aucun rayon du tout, ou accorder qu’il en attire un certain nombre 
dans toute l’étendue de fa furface; or quelque petit que foit ce nombre, 
il paroît que ces rayons devroient être perceptibles dans l’obfcurité qui 
règne autour d’eux, finon par l’éclat de leur lumière, au moins par les 
nuances colorées qui naicroient de la décompofition du faifeeau; puifquc 
fi l’atrraCtion n’agit pas fur toute la lame, elle doit au moins en détacher 
les rayons les plus réfrangibles. Il faut de plus fe rappeller que dans 
cette expérience la lame lumincufc va même frapper un peu au-defious 
de fa direction en ligne droite, ce qui femble indiquer qu’elle s’y porte 
toute entière; car on ne fauroit cire que ce foit un effet de l’inflexion 
decouverte par Grimaldi , puilqu’il ei't connu par les expériences de Mr. 
Ntwcon que cette inflexion agit preriiement en fèns contraire; qu’elle 
eft, comme Grimaldi la nommoic, une véritable diffraction qui écarte les 
rayons de l’clpace où naturellement l’ombre doit tomber, bien loin de les 
plier vers cette ombre. 

Au refte j’ai déjà dit que Ion ne fauroit rien conclure de cette ex- 
périence contre Je /ÿftême de i’émiffion; ainfi la principale queftion, celle 


1 60 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

qui roule fur la maniéré donc la lumière eft propagée, reftc encore in- 
décifc. 

7 . On a à la vérité fait valoir en faveur de I’émiffion deux obfer- 
vations qui au premier coup d’œil fembloient décrives, mais après un exa- 
men plus mûr il ne paroic pas qu’elles le foienc. 

La première eft celle de l’aberration de la lumière découverte par 
Bradley; elle fuppofe que le mouvement des rayons eft uniforme à tou- 
tes les diftances poiTibles; mais puifque le fon a également ce mouvement 
uniforme, on n’en fauroit conclure que la lumière foit plus corporelle que 
le fon ne l’eft. • 

8 . L’autre obfervation, donc Newton lui -même s’eft fervi pour 

prouver l’émiftion, c’eft que les ondulations agiffenr en tout fens, & dans 
toutes les dire&ions latérales, tandis que la lumière n’agit qu’en ligne 
droite. On fait la folution ingénieufe que Mr. Euler a donnée de cette 

difficulté; félon lui le fon fe propage toujours en ligne droite auffi bien 
que la lumière, 6c s’il femblc parvenir à nous obliquement c’eft que les 
corps folides transmettent le fon, comme les milieux tranfparens trans- 
mettent les rayons lumineux. Unecloifon, un mur, une colline ne font 
pas plus d’obftacle au Ion, qu’une fenêtre fermée ne fait aux rayons du 
jour. Il fc pourroit même que le fon fubît dans ce paffage une réfra&ion 
analogue à celle qu’on obferve dans la lumière. 

J’avoue que cette folution m’a toujours paru plus ingénieufe que 
folide. D’où vient, fi le fon ne fe propage qu’en lignes droites, comme 
la lumière, paroit-il fe renforcer dans un tuyau recourbé, en fuivre les 
inflexions, & fortir par l’autre extrémité? D’où vient entend -on les 
corps fonores qu’on ne voie pas? & comment le fon de ceux qu’on voit 
entre -t- il latéralement dans l’oreille? D’où vient que l’ouverture d’une 
porte ou d’une fenêtre qui n’eft point dans la ligne de dire&ion du fon 
au fens de l’ouïe, nous fait entendre diftinétemenc un bruit que nous ne 
diftinguons qu’à peine lorfque tout eft fermé? D’ailleurs les corps noirs 
qui abforbent la lumière s’échauffent très-fenfiblemenc aux rayons du Soleil; 

cela 


des Sciences et Belles - Lettres. 161 

cela femblc prouver que la lumière eft un corps; obferve-c-on rien d’ana- 
logue dans les corps qui abforbenc le Ton? Quand un corps amortie les 
vibrations d’un fluide ambiant, c’eft une marque que ce corps n’a que 
peu ou point d’élafticité; mais s’il s’échauffe en amortiffant les vibrations 
de l’éther, pourquoi ne s’échauffe- 1- il point en amortiffant celles de l’air 
groflicr? Il n’y auroic cependant qu’une expérience décifive, un expé- 
rimentent cruels , qui pût trancher la queftion; car à moins de cela on 
trouvera toujours quelque échappatoire; les réflexions multipliées du fon 
femblent furtout très commodes pour expliquer les ondulations latérales 
qu’on y remarque, & pour les ramener à une propagation rectiligne. 

9. C’eft moins pour propofer cette expérience décifive, que pour 
expliquer ma penfée que je vai rapporter ici ce que j’ai imaginé à cct 
égard. On fait que les corps mous affoibliffent le fon jufqu’à un cer- 
tain point; & qu’il n’eft pas impolîible de l’amortir tout à fait par leur 
moyen. Cela pofé, concevons une vafte chambre dont Ieplatfond, le 
plancher & les parois foient tellement tapilfés d’une matière propre h ab- 
forber le fon qu’il ne puilfe s’y former aucun écho tant foit peu percep- 
tible. Suppofons enfuite que cette chambre communique immédiatement 
à une autre, par une porte ouverte, revêtue de la meme tapifleric, & 
dont l'ouverture feroir par ce moyen rétrécie à volonté. Maintenant fi 
du milieu de cette fécondé chambre on excite un fon, foit de la voix, 
ou en frappant fur quelque corps fonore, le fon propagé uniquement en 
lignes droites ne pourra être entendu dans la pièce tapiflee que précifé- 
ment aux endroits par où ces droites prolongées paflèront, & par confé- 
quent on pourra a/ligner diverfes places où le fon ne doit point pénétrer. 
Si, au contraire, les ondulations répandent le fon latéralement en tout 
fens, il n’y aura pas un point aflignablc dans cet appartement d’où l’on 
ne puifle entendre le bruit de la chambre voifine. Dans ce dernier cas 
il femblc qu’on fera en droit de conclure que la propagation du fon dif- 
féré effenciellement de celle de la lumière, & le fyftéme de l’émiifion pa- 
roîtroit en quelque manière démontré. 


h ’ ouv . Aient . 1771. 


X 


i 6 % NouvtAUx Mémoires de l’Académie Royale 




II efl: vrai que même dans ce cas -ci la lumière offre encore quelque 
chofe d’analogue au fon. Car quoiqu’elle ne fuive que la ligne droite,, 
elle peut cependant être vifible latéralement dans toute fa traverfée. Mais 
il y a une différence fi. totale entre l’éclat d’un rayon de lumière direét, & la 
foible lueur que ce rayon laiffe échapper de tous côtés fur fon paffage, qu’on 
ne peut jamais y être trompé ; c’efl: ce qu’on ne fauroit dire d’un fon qui 
parvient obliquement h notre oreille; il cft de la même nature que le fon 
direct, de s’il en différé ce n’cfl: qu’en intenfité. D’ailleurs la lumière laté- 
rale eft évidemment l'effet de la réflexion de quelques rayons fur les particu- 
les de l’atmofphere; mais le fon qui efl; l’ofcillation de l’atmofphere elle- 
même ne fauroit être réfléchi que par des corps plus groffiers que l’air 
qui nous environne. 



des Sciences et Bettes-Lettres. 


163 


EXTRAIT 

des Objervations météorologiques fuites a Berlin 

en Tannée Z772 

Par M. B e g u e l i n. 

< -J- -J a~tj 1 — : rr-'». 


L ’cchellc du baromètre efLdivifée en pouces & en lignes de Paris; la 
graduation des thermomètres eft celle de Mr. de Rcaumur, où l’cfpa- 
ce entre le point du dégel o, & la chaleur de l’eau bouillante contient 
80 degrés. Les éclaircifiemens fur la méthode d’obferver font contenus 
dans les Mémoires des années 1 769 & 1770, p. 1Z8&75. 

TABLEAU 

des hauteurs barométriques extrêmes 6’ moyennes de chaque mois 

pour r année tyyu. 


Mois. 

Jour». 

La plui gran 
de élévation. 

Jours. 

La moindre 
élévation. 

Variation 

totale. 

Le 

milieu. 

Hauteur 

moyenne. 

Janvier. 

le 1. 

'-8" 

III 

y • 

le 8. 

17". 0'" 


1". 3”' 

■ 

a/ 1 '. 

/ 

, 5 - 

17 ". 

*>’"« 7 - 

Février. 

le 9. 

a8. 

a. 

le 13. 

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O.l 1. 


* 7 - 

8, 

5 - 

1 7 • 

8. 7 ' 

Mars. 

le i. 

18- 

3 - 

le 14. 

17 . 4. 


O.I 1. 


* 7 - 

9 * 

V 

17. 

9 . 9 - 

Avril. 

le 1 1. 

a8. 

5 . U- 

le 17. 

17- 6 < 

lï- 

0. 9. 


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11, 4. 

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le 4. 

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4. 5 - 

le I. 

i 7 - «• 


0. 8, 

5 . 

a8. 

0, 

15. 

18. 

0, 4. 

Juin. 

le 9. 14 . 

18. 

4 , U- 

le a. 

17 - 8 < 

J. 

0. 7. 

75 - 

18. 

0, 

4- 

18. 

1. y 

Juillet. 

le 14. 

18. 

4 - 

le a 8. 

-7- 7 - 

5- 

0. 8, 

J. 

5 - 7 - 

1 1, 

7 î- 

aS. 

0 , 3. 

Aoûr. 

le 6 . 

18. 

5 - 

le ai. 

17- y» 

15. 

7 . 

75 - 

18. 

1. 

1 a. 

18. 

0, 3 6 . 

Septeinb. 

le ia. 

18. 

4 - 

le 17. 

z 7- 6. 

3 - 

y» 

7 - 

17 - 

1 1. 


1 7 - 

11. 8t. 

Oftobre. 

le 19. 

a8. 

6 . 

le a 6 . 

^7. 7 - 


O.I I. 


18. 

0, 

J- 

18. 

1 , 4- 

Nov. 

le ij. 

18- 

5 . 

le 11. 

i 7 - 7 . 

3 - 

0. 9, 

7 - 

a 8. 

0. 


l 7 * 

11, (S. 

Décerab. 

le aj. 

18. 

7 , î- 

le 1 1. 

'-7- y 


I. a, 

5 . 

a 8- 

0, 

U. 

18. 

1. î- 

Année 

I 77 il 

le 1 j. Déc. 

a 8" 

7 '". J- 

Ie8-Janv. 

17". 0'" 


1 "• 7 '" 

5 . j 17". 

1 1"' 

13 

17". 

1 1'",78 


X 1 


Pl. TL 


164 Nouveaux Mémoires &e l. t Académih Royale 

Remarque. 

La hauteur moyenne du baromètre ctoit en 17 £9 zz 28". o"', 1. 

en 1770 zz 27. 10, 95. 
en 1771 — 2 8 • o, 008. 
Elle efi: en 1772 zz 27. 11, 78. 


Tomme z ni. 10, 83 8» 
Ainfi la hauteur moyenne du baromètre à Berlin, 

plus approchée eft zz 27". 1 1'", 709. 

La Planche qui fait cet Extrait repréfënte le mouvement journaEer du 
baromètre pendant Tannée entière. 


TABLEAU 


des hauteurs extrêmes & moyennes du thermomètre de Rjaumur à x heures 
de F après -midi pour chaque mois de F année ly 7 z. 


Mois. 

Jours. 

Le plus haut 
de£ré. 

Jours. 

Le plus bas 
degré. 

La 

différence. 

Le milieu. 

Chaleur 

moyenne. 

Janvier. 

ie 

> 3 - 

+ 3 J >* 5 . 

le 16. 

- î d . 

8 d ,2j. 

— o d , 873 . 

— o d , 25. 

Février. 

le 

* 9 - 

ia. 7 J* 

le eo. 

— 3 - 

iy» 75 - 

+ 4 » 873. 

+ 3 » 2. 

Mars. 

le 

ij. 

13. 5 - 

le 14. 

— 3 - 

ié, 5. 

y, 2 ï. 

y, 4 - 

AvriL 

le 

14. 

J 5 - 

le 10. 

+ 3 » 25. 

11» 7 J- 

9. 125. 

8, 6. 

Mai. 

le 

31. 

21» S- 

le 10.. 

5 , 5 - 

16. 

13. y- 

11, y. 

Juin. 

le 

27 - 

2 y- 

le 11. 

I 2. 

13 - 

18, J. 

•t 

OC 

r-s 

Juillet. 

le 

19. 

24. 

le 3.9. 

IO, J. 

13. y- 

17. 2y. 

ié, 9. 

.Août. 

le 

8. 

21, y. 

le 12. 

I 1. 

10, y. 

16, 2y. 

17. y- 

Septembre. 

le 

6. 

a 3 - 

le 2 8- 

IO. 

13- 

16, % 

iy, 4 - 

Oélobrc. 

le 

1 1. 

16. 

le 23. 

y, y. 

IO, J. 

i°, 7 J- 

12, 3 . 

Novembre. 

le 

7 - 

>3» y- 

le 2.6. 

2 , y- 

11. 

8. 

6 , 6. 

Décembre. 

le 

> 9 - 

7. y- 

le 29. 

— 3 . 5 - 

1 1. 

2. 

2, 8- 

Année 

»7- 

Juin. 

2S d - 

1 6. Janv. 

— 5 d . 

3 ° d . 

io d ,o3ï. 

9 d » 78 - 

1771. 








DES SCIENXES ET BeLIHS-LeTTRHS. gf I 6 $ 
Le même Tableau pour les heures du matin & du jttifL 


Mois. 

Jours. 

te plu» 
haut (kg. 

Jours. 

Le plus Us 

degré. 

La 

différence. 

Le milieu. 

~ Chaleur 
moyenne. 

Janvier. 

le 

ia. 

+ 3"- 


le 

16 . 

— fi* 


9 d - 


— i' 1 . 

5. 

— I, 

a6. 

Février. 

le 

-9- 

8. 


le 

6 . 

— 4, 

U- 

ia. 

aj. 

+ ! > 

875- 

-f- o. 

6 . 

Mars. 

le 

13- 19 . 

7. 

5 

le 

1 ?■ 

— 3, 

5- 

II. 


+ 1 . 


— > 

1 • 

Avril. 

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37- 

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Septembre. 

le 

6 . 

1 5- 


le 

ia. 

6 , 

15- 

s. 

7ï* 

10 , 

6aj. 

IO, 

S- 

Oflobre. 

le 

4- 

IO. 


le 

*3 • 

— 0 , 

5- 

IO, 

5- 

4. 

75- 

é, 

6 . 

Novembre. 

le 

8. 

‘ 9. 

S- 

le 

a 6 . 

— 

5- 

IO. 


4. 

5- 

4. 

6 . 

D^ren bre. 

le 

19 - 

6 . 


le 

1 7- 

— 3. 

5- 

9. 

s. 

1 . 

15- 

1 » 

la. 

Ami île 

» 77-- 

le 

zj. Juin. 

■9 d - 

le 1 6 . 

Janvier. 

— 6 \ 

U d - 

6 \ J8. 

<5 a . 

14 . 


Remarque. 

La chaleur moyenne du midi à Berlin a été en 17 6 y 

en x 770 
en 1771 


9 % 16. 
9, 3- 
8, 3. 6 . 


en 177a — 9, 78. 
Aïnfî la chaleur moyenne plus approchée cfl: ~ r) H , 15. 
La chaleur moyenne de la nuit qui réfulte de la 

comparaifon de ces quatre années ell — 5 d , (Sg. 

TABLEAU 


de la direction du vent , pendant P année t’j’jz. 


Plage. 

J.anv. 

Févr. 

Mars. 

Avril. 

Mai. 

Juin. 

juin. 

Aoûr. 

Sept. 

oa. 

Nov. 

i>e'c. 

Total. 

N. 

N. E. 
E. 

S. E. 

S. 

S. \V. 
W. 

N. W. 

0 

1 

5 

5 

4 

8 

4 

3 

O 

O 

a 

5 

4 

x 3 

3 

a 

0 

1 

IO 

7 

a 

5 

5 

1 

1 

6 

3 

3 

1 

5 

6 

5 

3 

9 

0 

a 

1 

4 

4 

8 

a 

1 

1 

3 

a 

a 

7 

ia 

a 

3 

0 

1 

2 

4 
ia 

7 

O 

a 

a 

a 

0 

10 

7 

8 

O 

3 

4 

3 

3 

7 

7 

3 

0 

3 

5 

5 

4 

6 

5 

0 

0 

1 

O 

8 

4 

12 

3 

a 

O 

O 

4 

6 

3 

10 

* 

a 

K j. 

3 1 

3 <> 

53 

3° 

S 6 

A 9 

53 1 


166 ^duveaux Mémoires de l’Académie Royale 

40 } TABLEAU 

de Tc'tat de V Atmofphere pendant Vannée 



Jjnv. 

Fév. 

Mars. 

Avr. 

Mai. 

Juin. 

JuilL! Août. 

Sept. 

OA 

Nov. 

Déc 

Total. 

'«ercin. 

I 

I 

5 

8 

6 

9 

s 

7 

l 

I X 

î 

l 

67 j. 

A moitié couv. 

1 I 

10 

ia 

1 1 

14 

14 

10 

19 

IJ 

‘3 

9 

IO 

ns 

Couvert. 

1 9 

18 

14 

1 1 

1 1 

7 

6 

î 

8 

6 

1 6 ' 

10 

141 

Petite pluie. 

3 

I 

10 

5 

1 1 

8 

6 

8 

8 

6 

3 

î 

74 Tt 34 

Pluie copieuFe. 

0 

8 

x 

S 

4 

5 

8, 

J 

7 

1 

9 

3 

60J 13 * 

l'etite neige. 

1 1 

ï 

4 

5 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

a 

*71 .u 

Neige copieufe. 

5 

4 

1 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

• 0 


Bruine. 

3 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

5 

4 

'3 

Brouillards. 

7 

4 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

6 

9 

■3 

4 1 

Gelée continue 

15 

4 


0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

6 

3 1 

Orages. 

O 

0 

0 

X 

I 

3 

3 

a 

X 

0 

0 

0 

13 

Grêle. 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

0 

0 

0 

i 

Vent. 

3 

s 

5 

î 

6 

1 a 

.7 

6 

6 

S 

3 

3 


Grand vent. 

4 

2 

0 

0 

3 

X 

3 

3 

6 

4 

3 

0 


Lumières Bor. 

x 

1 

4 

3 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

a 

1 

» 5 


OBSERVATIONS PLUS DÉTAILLÉES 

fur chaque Mois. 


JANVIER 1771. 
Le Baromètre a été: 


1 Jour entre 17". o'" 
3 jours 1 


i - - - - 4 



10 - - - - 10 

O - - - 18- o 

z - - “ - 1 


à z". le 8* Jour de l’annce où le mercure 
a été au plus bas degré, 
à 4. le 7. 9. 1 7. 
à 6. le 1 (j. 1 8. 

à 8- le 1 x. 1 3. 1 8- 2-7. 2.9. 

à 1 c. le 4. G. 10. 14. zz. z 6 . 30. 31. 
à IL. le 3. 5.11.1$. 19-11.^,3-15, 
à i. 

il 3. le 1. z. 


DES SCIENCES ET B ELL ES - Le TT R E S, 



Le Thermomètre a été à x heures apres midi: 


1 jour entre les degrés — 5 

& 

— 4 - 

le 1 6. Jour le plus froid 
de l’année . 

1 jours - — 4 

& 

X. 

le 1 5 . 19. 

11 - - - - - — x 

& 

0. 

le x-5. 7- 14. 18. x 0. 
26. 30. 31. 

15 - - - - - - 0 

& c 

1- 

le r. g - 1 1. 1 7. x i - 15.. 

27-X9. 

X ~ x. 

&c 

3i- 

le 1 x.. 1 3. 


La direcliort du. vent , 


x jours N.E.- 
5 - E - 

5 - £. 

4 - & 

8 - 

4 - IV. 

3 - .V. 

Vent un peu fort, 
Vent fort , le 4. 


le r. 4. 

le 1 6 . xi. 1.(3- 18'- 
le 11. 17. 19. 14. xç,, 
le 1 1. xx. X3. 3 1, 
le 3. 5 - 8- 2.0. x 7* 3 o. 
le x. 9. 1 o. 1 8- 
Ic 1 3 - 1 5. 

le 3. S- 1 5- 
7. 1 o. 1 4. 


III jours. 

IV 


U état de l Atmofp hcr e, 

1 jour fercin, le 31. 

1 1 jours à moitié couverts, le r. x. 4. 5 . 7 - 1 o. 1 3, 1 6 . 17, 


19 - couverts, le 3. 6 . 1 1. 1 x. x 4. 1 5. r 8-30. 

Pluie paÆàgere, le 3. 1 x. 18- - III jours- 

Neige palTagere, le 3-7. 10. 14-17. 31.. - - - XI - 

Neige continue, le 8- 1 1 • 1 8 - î-8 - 2.9. - - _ V 

Brouillards, le 11. 11. 19. 11.-14. 17.. - - VII 

Bruine, le xi. 11. 2.6. - - - — _ III 

Gelée continue, le 1 . 1. 4- 9. 1 4- 1 6. r 8- 19, 3 o. 3 r.. - XV 
Lumicre boréale Cms Iris, le x. 3.. - - _ II- 


i6b 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

février 1771 . 

Le Baromètre a ctê: 


1 jour entre 

n 

27 . 

3 " 

à 

4 • 

5 jours - 

— 

4 

à 

6 . 

5 - “ " 

- 

6 

à 

8- 

11 - 

- 

8 

à 

1 0. 

4 " " ” 

- 

1 0 

à 

1 2. 

0 _ _ 

3 

28". 

0 

à 

2. 


le 13. 

le 1 . 2. 24. z 6 . 18. 

le 3. 14. 22. 27. 2Q. 

le 4 . 6 . 10. 11. 13. 15. 1 8 - 2 r. 25. 

le 5 . t 2. 16. 17. 

le 7 - 5? • 


Le Thermomètre a été à z heures apres midi : 


1 

jour entre 

les 

degrés 

— 3 

& 

— 2. 

le 20. 

1 

- 

- 

- 

— 2 

& 

0. 

le 7. 

1 0 

jours - 

- 

- 

- 0 

& 

2. 

le 1. 5. 6 . 17-17. 21. 








24. 25. 27. 

10 





& 

4 - 

le 2-4. 8- •). 1 1 . 1 2. 1 5. 








22. 23. 

3 


- 

— — 

- 4 

& 

6 . 

le 10. 13. 16. 

2 





& 

8. 

le 14. z 6 . 

1 





& 

1 0. 

le 28. 

1 

- 

- 

- - 

- 1 0 

& 

1 3 * 

le 27. 


La direction du vent. 

2 jours E. le 1 . 1 7. 

5 - S.E. le 1 8 ” 2 * 1 * 2 - 3 * 

4 _ A. le 2. 1 2. 13. 22. 

13 - S. IL’', le 3. 5. 7-1 1. 14-16”. 2 (j. 28. 27. 

3 - W. le 4. 25. 27. 

2 - NJV. le 6. 24. 

Vent fort, le 4. 8- 1 7- 10. 24. - V jours. 

Vent très fort t le 3. 27. 


L’état 


D-BS SdENCHS ET B E L L ES -L E T T R ES. 
L’ét at de ïAtmofpherc. 


i 69 


i jour ferein, le 1 6. 

i o jours à moitié couverts, le i. 3. 4. 7. 1 o. 1 3. 1 4. 1 7. 17. 29. 

18 - couverts, le 2. 5. 6 . 8. 9. 1 1. 1 z. 1 5. 1 8-2-6- 28. 

Brouillards, le $.9.11.19. - - - - IV jours. 


Petite pluie, le 3. 

Pluie copieufe, le 8- 9- n. 1 $- 13 - 16. 28- 2.9. 
Petite neige, le r. 3. 17. 10. u. 

Forte neige, le 6 . 2 1 . 2 3 . z 4. 


I 

VIII 

V 

IV 


Gelée continue. 

. Ic 7 

. zo, 

. 24. 2$ 

• 

IV - 

Gelée de 

nuir, 

le r. 

5. 6 . 

17. 19. 

XI. 

- VI - 

Lumière boréale blanche, 

le 6 . 


- I - 




M 

A R 

S 

1 7 7 z. 





Le Baromètre a été: 

1 jour 

entre 


. 4 "' 

a 6 . 

le 

Z4. 

7 jours 

- 

- 

6 

à 8- 

le 

17. 1 8- 2.3. z$. 2.8 ~3°- 

9 - 

- 

■ 

8 

à 10. 

le 

10. 16. 19. zo - zz. zd>. 27. 3 r. 

7 - 

- 

- 

1 0 

à 1 z. 

le 

1. 4 - 5 - 8- 9. 1 1. 1 5. 

6 - 

- 

2.8". 

0 

à z. 

le 

3. 6”. 7. 1 2- 1 4. 

1 

- 

- 

z 

à 3. 

le 

z. 


Le 

Thermomètre a été à 

2 heures après midi: 

z jours 

entre 

les degrés 

— 3 

&- 

— 2. le 1 4. 1 5 . 

3 - 

- 

- 

- 

— z 

& 

0. le 1 z. 1 3. 16. 

4 " 





& 

z. le 1 1. 1 7 - 1 9. 

3 - 





& 

4. le 2-4. 

5 - 

- 

- 

- 

- 4 

& 

6. le 6 . 8- 1 0. zo. 2$. 

5 - 

- 

- 

- 

- 6 

& 

8- le 1.5. 7. zi. 3 1. 

4 “ 

- 

- 

- 

- 8 

& 

1 0. le 9. z 6 . 27. 3 0. 

3 - 

- 

- 

- 

- 1 0 

«Sc 

1 z. le zz. 24. 29. 

•z 





6 c 

13-. le 23. 25. 


Ncuv. 1771. 


; 7° Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

. La direclion du vent. 

i jour N.E. le z. 

1 o jours E . le 3. i i - i 8- 2. i • 

7 - S. E. le 4-8- ix. z 3. 

x * S. le 9. 10. 

% - S.l V. lez^i^-z^. 

% - IV. le 1 o. 1 y. 2 5 . 3 o. 3 1 . 

1 - N.fV.ki. 

Vint un peu fort y le 1 3. 1 4. x8. 30. 3 1. - - V jours. 

L'état de î Atmofphtrc. 

5 jours fcreîns, fe 1. 3. xi. xx. 13. 
ix - à moitié couverts, le 1 . 4. 5 . 10. 14. z6~ 31. 


14 - couverts, le 6- g. 1 o - 1 9. 15 . 

Petite pluie, le 7. 10. 1 1. 1 7. 1 9. 15. 17. 18. 3o. 3 1. X jours. 

Pluie plus copieufe, le8- 18- - - - - II - 

Brouillard, le 7. . - - - - I - 

Petite neige, le 11. 13. 15. 19. - - - IV 

Neige copieufe, le 1 1. - - - - - I- 

Gelée continue, le 11-17. - - - - VI- 

Gdéc de nuit, le 3. 4. 11. - - - - III - 

Pecices lumières boréales blanches, le 5. xi. 18. 30. - IV' 


AVRIL 177 x. 

Le Baromètre a été: 

1 jour entre 17". 6'" à 8'"- le 17. 

9 jours - - - 8 1 10, le 1. z. 9. 1 x-i 4. 16. 19. 30. 

7 - - - - 10 k 11. le 8. i 5. xo-ix. xg. xc^. 

10 - - 18". o à x. le 3. 4. 6 . 7. 1 o. 1 8. 13. 15 - 17. 

3 - - - - x à 35. Je 5. 1 1. 14. 


bss Sciences et Beues-Lhttrij, 

Le Thermomètre a été à deux heures après midi: 


171 


1 jour entre les degrés 3 de 4. 


5 jours - 

il - - - 

4 - " “ 

x 

4 - - “ 

a - - - 


4 & 6. 

- - 6 & 8 - 
8 de 10. 

- 10 de ix. 

- 1 x de 1 4. 

- - 14 de 1 5. 


le xo. 

le 3. 17. 19. 25. 27. 

le 1. 2. 4.5. 1 1 .1 8.2 r-i 4. 2 £.3 o. 

le 10. 15. 2 8. 29. 

le 6. 1 2. 

le 7 -9. 16 

le 1 3. ij 


Za direction du vent. 


1 jour 
6 jours 

3 - 

3 - 

1 

5 - 

6 - 

5 

Ff/tf fort , 


2 V. le 23. 

iV.Z. le 2. 1 5. 19. 20. 27. 30. 

E. le 3. 1 1. 1 2. 

»?.£. le 6. 13. 16. 

S. le 7. 

6'. /F! le 8- 9. 1 4. 1 8- 2.8- 
W. le 1.4. 5.21. 2 6. 27. 
aV. /F. le 1 o. 17. 22. 24. 25. 
le 2. 4. 1 o. 23. 30. 


V jours. 


L'état de P Atmofphere. 

8 jours fereins, le 2. 3. 6. 1 1 - 1 3. 21. 29. 

11 - à moitié couverts, le 1 . 4. 5 . 7. 9. 1 o. 1 4. 1 6. 1 8- 22. 23. 

il - couverts, le 8* 1 5- 17- 19- 20. 24. 25. 26-28. 3°. 


Pluie paflàgere, le 8* 22.24-26. - V jours. 

Pluie forte, le 4. 9. 1 o. 1 4. 1 6. 1 7. 1 9. 3 o - VIII 

Neige pailagere, le 23. - - - - I 

Neige abondante, du 19 au 20. - - - - I - 

Orages, le 1 3 au loin, le 1 6 au N. /F", de la ville - II- 
Lumieres boréales, le 3. 20. 25. - III - 


Y 2 


CO 


17 x Nouveaux Mémoires dis l'Académii Royaii 

MAI 1771. 

Le Baromètre a été: 

4 jours entre 17". 8"' à 10"'. le 1. 15-17. 
ji - - - - 10 à 11. le 8- <?• 1 1 - i 4. il. 2-4. x8» 3o. 3 1. 

11 - - - 18". o à 1. le 1. 7. 1 0. 1 5 - 1 1. 13. 19. 

1 - - - - 1 à 3. le’£. 

3 - - - - 3 * 45- ie 3-5* 


Le Thermomètre a été à z heures après midi : 


5 jours entre les degres 5 & 7 


o---- 

8 - - - - 

7 - “ - - 

4 - - - - 

5 - - - - 

o - - - - 


- 7 & 8- 

8 & 1 o. 

- 10 & 11. 

- 1 1 & 1.4. 

- 1 4 & 1 6. 

- 16 & i g. 

- 1 8 & 10. 

- 10 & u 4 


le 1. 1 1. 1 8. icj. 11. 


le 1. 8 - 1 o. 13. 14. 1 £. 10. 
le 3 * 4 - ii« 15» 17. xi. 13. 
le 5-7. 14. 
le 15-19. 



La direction du vent. 


3 jours N. je 8- x8* 3 1. 

9 - N. E. le 1 - 3. 5 - 1 o. 

1 - S. E. le 1 1 . 14. 

1 - i< 5 '. le 7. 

S. IV. le 1 3 . 1 5 . 1 6. 3 o. 
W. le 4. 6 . 10. 17. 

N. TV. Iej?. 14- ic). 19. 


Vent un peu fort , le x. £.• 1 1 . 17. 18.30. 
^e/zr fort, le 8- xi. 14. 


VI jours. 
III - 


des Sciences et Belles-Lettres. 

L'état de P Atmofpherc. 


J 73 


6 jours fereins, le 2. 3. 5. 6. 8- 30. 

14 - à moitié couverts, le 7. 9-1 1. 1 7. 20. 2 1. 23-2 5 . 27-29. 3 1. 


11 - couverts, le 1. 4. 1 2- 1 6. 1 8. 1 9. 22. %6. 

Petite pluie, le 1.4.9. 14-17. 23-2^ “ - XI jours. 

Pluie copieufe, le 1 2. 1 8- 1 9. 21. - IV 

Brouillard, le 28. - - - - - I 

Grefil, le 19. - - - - - I 

Orage au loin à l’Eft de la ville, le 2 6 . - - - I - 


JUIN 1772. 

Le Baromètre a été': 

1 jour entre 27". S’" à 10"'. le 2. 

5 jours - - - 1 o à 1 2. le 1 . 5 - 7. 1 8 . 

13 - - - 28". o à 2. 163.4.8.10.1 1.1 5-18. 21.27.29.30. 

11 - - - - 2 à 4. le 9. 12-14. 19. 20. 22-- 6. 


Le Thermomètre a été à 2 heures après midi : 


4 jours entre les degrés 

9 

3 

7 - - - - - 

3 


12 «Se 14. 
1 4 & 1 6. 
1 6 & 18. 
18 & 20. 
20 ÔC 22 . 

22 & 23. 

23 «Sc 25. 


le 3. 1 o - î 2. 

le 5-9. 13. 14. 19. 30. 

le 4. 1 5. 1 8- 

le 20. 23. 

le 2. 1 6. 17. 21. 22. 24. 29. 
le 1. 25. 2 6. 

le 27. 28. Jours les plus chauds 
de l’année. 


174 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

La direction du vent . 


2 jours N. 
i - N.E. 


le li.ij. 
le i 3. 

E. le 14. 

S.E. le 1.1.14. 

S. le 9. 1 6 . 

S. W. le 4. 28- 

W . 163.6.7.10.25.17.30. 

N.W. le 5. 8- 1 1. 17-23. 26. 19. 

Vent un peu fort, le 2-7. 11. 13. 1 9. 20. 18. 19. 
Vent fort , le 8* 1 o. 


3 

2 

2 

7 
1 2 


XII jours. 
II - 


L'état de l' Atmofphcre. 

9 jours fereins, le 1 . 1 3 - 1 6 . 1 8. 1 9. 23. 14. 

14 - à moitié couverts, le 4. 8- 9. 10. 12. 17. 20-11. 15-19. 

7 - couverts, le 1. 3. 5 -7. 1 1. 30. 

Pluie, le 4. 6. 8- 10. 21. 27. 29. 30. - - VIII jours. 

Pluie abondante, le 2. 5. 7. 1 1. 1 7. - - - V 

Orages, le 2. 17. 30. tous médiocres, & un au loin le 18. IV - 


JUILLET 1771. 

Le Baromètre a été: 

1 jour entre 17". 7"' à 8"'. le 28- 

4 - - - - 8^10. le 9. 20. 11. 27. 

10 - - - - 10 à 12. le 8« 10-14. 16. 17. 19. 16. 

11 - - i8'* o à 1. le 1 -3. 6. 7. 1 5. 1 8. 22. 19-3 1. 

5 - - - - 2 à 4. le 4. 5.23-25. 


des Sciences et Belies-Lettrhs. 

Le Thermomètre a été à z heurts après midi: 


*11 


z jours 

entre 

les degrés 1 0 

& 

1 z. 

le 3. 9. 

3 - 

- 

1 Z 

& 

14. 

le 4. 8- 2.1. 

7 - 

- 

~ - 14 

& 

1 6. 

le x. 10. 13.14. xi. x8. 19. 

9 " 

- 

- - 1 6 

< 5 c 

18. 

le 1. 5 -7. 1 1. 1 x. 1 5. 1 6 . x3» 

6 - 

- - 

- - 18 

& 

10. 

le 1 7. 1®. 14. 15. 30. 3 1. 

3 - 

- 

- - 2,0 

«Se 

XX. 

le 1 8. x 6 . 17. 

h. - 

“ “ 

- - IX 

« 5 c 

14. 

le 1 9. 



La dircclion 

du vent. 

i jours 

N. 

le 14. 15. 




3 ' 

N.E. 

le 4. 5. »3, 

1 



1 

S.E. 

le z 6 . 





z 

- £. 

le 1 9. 17. 




4 

- £ IV. 

le 1 g. 10. 30. 3 

1. 


1 1 

- IV. 

le 6-9. 11- 

l l • 

xg. 


7 

- N. IV. 

le i-3* 10. 

XI. 

XX. 

19. 

Fir/ir /orr, le 8* 

10. 13.14. 

1 6. 

11. 

z 6 . 


Vent très fort) le 9. 2 . 8 * 2.9. - - - III 


L’état de Ï Atmofphcre. 

5 jours fereins, !c 6 . 17. 19. u. xj. 

10 - à moitié couverts, le 5. 7 - 1 6 . x g. il. 14- 17. 25- 3 r. 

6 - couverts, le 1-4. 10. 18. 

Pluie paffagere, le 1. 7. 9. 1 6 . 15. 15. - - VI jours. 

Pluie copieufe, le x. 3. 13. 1 4- 10. il. xg. 31* - VIII 

Petite grêle, le 13. - - - - - - I 

Orages, le 16 . zo. 17. - - - - III - 


i7<> Nouveaux Mémoires di i’Académie Royale 





A 

O 

U 

T 

1 7 7 2. 


$ 





Le 

Baromètre a été : 



4 Jours 

entre 

27 • 9 * 

1 0" 

le 21. 24. 25. 3 r. 



8 

- 

- - 

- 1 0 

à 

1 2. 

le 3 

1.9. 15. i 6”. 20. 22. 

23. 

z 6 . 

14 

- 

- 

28. 0 

à 

2. 

le 1 

. 2. 8. 1 0-1 4. 1 7-19 

. 27 

. 29. 30-. 

3 

- 

- 

2 

à 

4. 

le 4. 7. 28. 



2 

- 


- 4 

à 

5 - 

le 5 

.f>. 





Le 

Thermomètre 

a 

été à 

x heures après midi . 



1 

jour entre les degrés 

1 1 

& 

I 2. 

le r 2. 



2 

jours 

- 

- - 

1 2 

& 

14. 

le 13. 15. 



1 0 

- 

- 

- 

14 

& 

1 6. 

le 3. 4. 14. 16- 1 9. 

26”- 

i8- 

4 

- 

- 

- - 

1 6 

& 

18. 

le 1 0. x 1 . 24. 25. 



1 1 

- 

- - 

- 

1 8 

& 

20. 

le 2. 5 -7. 9. 20. 22. 

24. 

29-32. 

3 

- 

- 

- 

20 

& 

I 

le 1. 8- 2 1. 




La direction du vent. 

2 jours N.E. le 5. 7. 

2 - E. le 6 . 8 - 

2 - S.E. le 1. z o. 

10 - S. TV. le 2. 3. 4. 1 1. zi -24. zy. 31. 

7 - IV. le 9. 1 o. 25 - 28. 3 °- 

8 - N. IV. le 1 2- 19. 

Vent médiocre , le 7. 1 o. 1 2. 14. 1 £. 21. - - VI jours. 

Vent fort , le 13. 23. - - - - - II- 

Vent très fort, le 27. - - - - - I- 

L'ctat de ïAtmofphere. 

7 jours fereins, le £-8- 20. 28- 3 °- 3 1 • 

19 - à moitié couverts, le 1.2. 4.5 .9-11. 14. 15 .17-19. 21-2 5 . 27. 29. 

5 - couverts, le 3. 1 2. 1 3. 1 6. 26. 

Pluie, le 4. 1 1. 1 2. 17-19. 21. 2 <j. - - VIII jours. 

Beaucoup de pluie, le 1-3.9.24. - V 

Orages, le 3. 9. - - - - II - 

Lumière boréale blanche, le 3 1 • ” ~ - I ' - 

SEPTEMBRE 


dbs Sciences et Belles-Lettres. 
SEPTEMBRE 177a. 
Le Baromètre a été: 


1 77 


i jour entre 17", 6"' 

à 

8". 

le 17. 

5 jours 8 

à 

1 0. 

le 1. x. 1 8. X4. xj. 

11 - - - -10 

à 

1 x. 

le 3.7 - 1 0. 1 5 . 1 6._ 1 y. x3* 3° 

8 - - 2*8". 0 

à 

X. 

le 4. 6. 1 1. 14. 10. xx. 17. 19. 

4 - - - - 1 

à 

3. 

le 5. 13. xi. 18. 

1 - - - - 3 

à 

4. 

le 1 x. 


Le Thermomètre a été à 


z heures après midi: 


4 jours entre les degrés 
jo - - - - - 


10 & il. 
ix & 14. 


5 

5 

4 

1 

1 


r 4 & 1 6. 
16 & 1 8* 

18 & 2.0. 
xo & xx. 
xi & 13. 


le ix. 19. x8- 3o. 
le 3.4. 1 1. 1 3. 1 8- 2.0. xx. 14. 
x 7 . z 9 . 

le x. 1 o. 1 4. 1 7. xi. 
le 9. 1 5. 1 6. 13. z6. 
le 1. 5. 8* 2.5. 
le 7. 
le 6. 


La direction du vent. 

3 jours N.E. le 1 1. 1 x. 17. 

4 - £. le^.x 8 - 3 °* 

3 - le 13. 14. 17. 

3 - £. le 15. xi. 15. 

7 - S.U^. le 1. 16. 1 y. n-14. 16. 

7 - ÆP". le x. 3. £. 7. 10. 1 8.10. 

3 - JV. le 4. 5. 8- 

Fcnr médiocre , le 1 1. i£. 10. 13. 15 . 30. 
Vent bien fort, le x. 6. 1 o. 14. 1 8> 2.(7 


VI jours. 
VI - 


Uour. Mem. 1771 . 


Z 


178 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

L'état de f Atmofphere. 

7 jours fereins, le Ç. 1 2 - 1 5. 10. 3 o. 

15 - à moitié couverts, le 1. 3. 4-8- 10. 1 1. 18- 2.1. 23. x6. 

8 - couverts, le 2. y. 16. 17. 22. 24. 27. 28. 


Pluie paflagere, le 6. 8- y. 1 8- il. 2-4. 25. 28- - VIII jours. 

Pluie abondante, le 1. 2.7. 1 o, 1 7. 15. 27. - - VII 

Brouillards, le 1. . - - - - 1 - 

Oragcs, le 10. 17. - - - - - II 

Lumière boréale, le 20. - - - - I 


OCTOBRE 1772. 
Le Baromètre a été: 


1 jour entre 27". 7” à y". 
z jours - - - y à 1 o. 

I - - - - 1 a à 1 2. 

8 2.8". o à ' 2. 

10---- 2 à 4. 

4 à f>. 


le 2 6. 
le 25. 27. 
le 28. 

le 1. 4. 5 . 13. 1 4. 27- 3 r. 
le 2. 3. 8- y- 1 2. 1 4- 1 7. 23. 
le 6. 7. 1 o. 1 1 . 1 8 - u. 


Le Thermomètre a été à deux heures après midi : 


2 jours entre les degrés Ç & 6. 

2 - 8- 

1 - -- -- 8 & 10. 

8 - - - - ‘ - 10 & 12. 

11 - - - - - 1 x & 1 4. 

7 - - - - - 1 4 < 5 c 1 6. 


le 21.23. 
le 22. 24. 
le 20. 

le 1 4- r 6. 18. 1 y. 25. 27. 28. 
le 3.6.7. y.i 2.1 3. 17. 26. 27-3 1. 
le 1. 2. 4. 5. 8. 1 o. 1 1. 


des Sciences et B eues-Lettres. 

La direction du vent. 

3 jours N.E. le 6 . 19. 11. 

5 - E. le 1 o. 1 1. 10. 11. 13. 

8 - S.E> le 3. 4. 7-9. il. 13. 3 1. 

4 - 6'. le 14. 25. 28- 3°* 

6 - iS’. W. le 1 . 2. 1 4. 15. 26. 29. 

5 - le 5 . 1 6. 1 7. 1 8. 27. 

Kir/tf médiocrement fort , le 3. 13. 15.23.29. 

I-'e/jr yàrr, le 8- 26. 27. 29. 

Létat de l’Atmnfphere. 

1 2 jours fereins, le 2. 5 - 8- 1 o. 1 1. 1 3. 1 7. xi. 24. 3 1. 

13 - à moitié couverts, le 1. 4. 9. 1 2. 14. 1 5 . 1 8 - 2 1 • 26. 29. 3 o. 


6 - couverts, le 3. 1 G. 23. 25. 27. 28. 

Pluie médiocre, le 3. 4. 1 4. 25 . 27. 28. - - VI jours. 

Pluie continue, le 16. - - - - - I 

Bruine, le 6 . - - - - - I 

Brouillards, le 6 . 19-21.2$. 29. - VI 

Gelée de nuit, le 23. 24. - - - II - 


V jours. 
IV - 


NOVEMBRE 1772. 

Le Baromètre a été: 


1 jour entre 

// /// 

27. 7 

à 

8'". 

le 2 1. 

8 jours - 

- 8 

à 

1 0. 

le 8- 1 1 - 1 3 - 22. 27 - 29. 

9 - - - 

- 1 0 

à 

1 2. 

le 1. 4. 9. 10. 14. 19. 20. 24. 30. 

9 ~ - 

28". 0 

à 

2. 

le 2. 3. 6. 7. 17. 18. 13. 2$. 2<T. 

2 

2 

à 

4. 

le 5. 16. 

i - - - 

- 4 

à 

5 - 

le 15. 


Z 2 


i8o Nouveaux Mémoires de jl’Académie Royale 


Le Thermomètre a été à z heures après midi: 
3 jours entre les degrés x & 4. 

6 &c 8 . 


7 

4 

1 

i 


8 & 10. 
- - - - 10 & n. 


le 3. z6. ap» 

le 4.1 4-1 8. xi. 13-15. -a. 7. 2.8.30. 
le 5. 9- 1 1. 13. 10.12. 
le x. 6. 1 x. 1 9. 
le 1. 


- ~ - - ix <5c 13^. le 7. 8- 


JL a direclion du vent. 

1 jour N.E. le x 1 . 

8 jours S.E. le 3. 1 6-1 8- X6-19. 

4 - S. le 1 . 1 9. 14. 15. 

ix - S. fV. le x. 4. 6- 8* 1 o- 1 1. 10. 11. 13. 30. 

3 - #'7 le 5. 9. 1 5. 

1 - N. W. le 1 3. 1 4. 

Vent médiocrement fort y le 11, 11. 13. 

Vent fort , le 9. 10. 14. 


III jours. 
III - 


Létat de l Atmofphere. 

5 jours lcreins, le 1. 8- 13. 16L i8« 

9 - à moitié couverts, le 1. 5. 7. 1 6. 1 7. 1 9. 10. xx. 15. 

16 - couverts, le 3. 4. 6. 9- 1 5. 1 8- x 1. 14. 17. 19. 3 o. 


Brouillards, le 3. 6. 10. 1 5. 18- 10. 11. 19. 30 - IX jours. 

Bruine, le 1. 1 5. 11. 19. 30. - - - - V - 

Petite pluie, le x. 9. 1 x. - - - - III - 

Pluie continue, le 4. 6. 10. 1 1. 14. il. 14. X7. X9. - IX - 

Gelée blanche & de nuit, le zf.x6.z8. - - III 

Petites lumières boréales, le 14 de 17. - - II - 


NemrMrm rf/.W R JsjSc et h J. 1773 PT VT. p** 



o hs Sciences et Beli,bs-Lettkhs. 


1 8 i 

DÉCEMBRE 1771. 

Le Baromètre a été: 


• H W \ 

1 jour entre 17.5 a 6 . 
1 - - - - 6 k 8. 

3 jours - - - 8 à 1 o. 

1 - - - -10 à 1 2. 

jo - - 2 8”. o à x. 

y----x\i\. 

1 - - - - 4 à 5. 

1----5 à 6 . 

3 - - - - 6 à 7 j. 


le 1 1. 
le 13. 

le 1 o. 1 2. 3 1. 
le 9. 1 6 . 

le 3-7. 14. 15. 17. 21. 22. 
le i. 2. 8. 1 8 -10. 2.8-30. 
le 27. 
le 23. 

le 24-26. le plus haut degré d’élé- 
vation du baromètre dans l’année. 


Le Thermomètre a été à 2 heures après midi: 


3 jours entre les degrés 

-.JL 
^ 2. 

&c 

— 2. 

le 27-19. 

3 - - - - - 

1 

&c 

0. 

le 1 G . 30. 31. 

7 .... - 

O 

< 3 c 

2. 

le 5 -7. 14. 23-25. 

8 

2 

& 

4. 

le 4. 8-1 0. 1 2. 1 3. 1 5 

G - - - - - 

- 4 

& 

6 . 

le 1 - 3 . 11. 1 6”. 21. 

4 

- 6 

& 

7 - 

le 17-20. 


La direction du vent. 

4 jours E. le 3. 6 . 8- 1 5. 

6 - S. E. 101.1.4.5.7.13. 

3 - S. le 9. 24. 15. 

10 - S. IV. le 1 o. 1 8. 19. 11. i£- 3 !• 

6 - fV. le 1 1. 1 1. i 6 . 1 7. 20. 11. 

2 - N. W. le 13. 14. 

Vent médiocrement fort, le 5. 1 1 . 1 9. 

Z 3 


III jours. 


iSi Nouveaux Mémoires de l’Académif. Roy a le &c. 

L'état de ? Atmofphere. 

1 jour ferein, le 13» 

1 o jours à moitié couverts, le 5. 1 1. 1 2. 1 4- 1 6. 1 8- zç. 3 o. 3 1 . 

10 - couverts, le 1-4. 6- \ o. 13. 17. 15-u. 14 


Nébuleux, 102.6-9.13.15.19.20.23.25-27. - XIII jours. 

Bruine, le I. Z. 6. 7. - - - - IV - 

Pluie médiocre, le 3. 13. 14. 17. 20. - - - V - 

Pluie forte, le 10. 15. 16. - - - III - 

Neige, le 1 3 • - 4 - “ " • - II - 

Givre, le 27-29. - - - - III 

Gelée de nuir, le 15.23.25. - - - - III 

Gelée continue, le 26-31. - " - - VI 

Petite aurore boréale, le 1 8 • - - - I- 


Réfumé général. 

Le vent de S.iy. a encore dominé cette année comme la précédente; 
il a régné 8^ jours, celui d’Ouefl 6 y, & celui de N. 5 3, en forte que 
la plage de l’Ouelt occupe feule plus de la moitié de l’année. 

11 y a eu dans l’année 172 jours de pluie ou de neige, dont 60 de 
pluie abondante, & 1 1 de neige copieufc; l’humidité a été plus également 
repartie fur les diverfes faifons, que l’année précédente, où elle tomba prin- 
cipalement fur les trois mois d’été; le mois le plus fec a été celui d’Oétobrc. 

Il n’y a rien eu à obferver à l’égard des météores. Les aurores boréa- 
les, toutes peu confidérables de fans couleur d’iris, ont eu encore cette 
année -ci la déclinailon déjà obfervée d’environ 1 6 degrés du Nord vers 
l’Ouelt. 




NOUVEAUX 

MÉMOIRES 

D E 

L’ACADÉMIE ROYALE 

DES 

S C I EN CES 

E T 

BELLES-LETTRES. 


CLASSE 

DE MATHÉMATIQUE, 


/ 




SUR 

UNE NOUVELLE ESPECE DE CALCUL 

relatif à la différentiation & a P intégration des quantités 

variables. 

Par M. de la Grange. 


L eibnitz a donné dans le premier Volume des Mifcellanea Beroiinen- 
Jîa un Mémoire intitulé Symbolifmus memorabilis calculi algebraici , 
0 infinitefi malis in cornparatione potentiarum & differentiarum Oc. 
dans lequel il fait voir l’analogie qui régné entre les différentielles de tous les 
ordres, du produit de deux, ou de plufieurs variables, & les puifTances des 
mêmes ordres du binôme, ou du polynôme compofé de la fomme de ces 
mêmes variables. Ce grand Géomètre a auffi remarqué ailleurs que la 
meme analogie fubfiftoit entre les puifTances négatives & les intégrales 
(voyez le Commercium epijlolicum , Epiff. XVIII); mais ni lui ni aucun au- 
tre que je facile n’a pouffé plus loin ces fortes de recherches, fi on en ex- 
cepte feulement Mr. Jean Bernoulli, qui dans la Lettre XIV du Commercium 
cité a montré comment on pouvoit dans certains cas trouver l’intégrale d’une 
différentielle donnée en cherchant la troifiemc proportionelle à la différence 
de la quantité donnée & à cette même quantité, & changeant enfuite les puif- 
fances pofitives en différences, & les négatives en fommes ou intégrales. Quoi- 
Nouv. Mcm. 1771. -A a 


ig£ Nouveau* Mémoires de l’Académie Royalb 

que le principe de cette analogie entre les puiflànces pofirives & les différen- 
tielles, & les puiffances négatives & les intégrales, ne foit pas évident par 
lui -même, cepcndanr comme les concluions qu’on en tire n’en font pas 
moins exaéles, ainfi qu’on peut s’en convaincre a pojleriori , je vais en faire 
ufage dans ce Mémoire pour découvrir différais théorèmes généraux, 
concernant les différentiations ôc les intégrations des fonctions de plu- 
fieurs variables; théorèmes dont la plupart font nouveaux, oc auxquels il fe- 
roic d’ailleurs très difficile de parvenir par d’autres voies. 

C’eft une efpcce particulière de calcul qui me paroît mériter d'être cul- 
tivée & qui peut donner fieu à beaucoup de découvertes utiles c: importan- 
tes dans l’analyfe; l’objet principal de ce Mémoire cfl: de donner, pluficurs 
ouvertures pour cela, en montrant les règles qu’on doit fuivre dans ce cal- 
cul & la maniéré de l’appliquer à differentes recherches; mais je crois de- 
voir commencer par établir quelques notions générales oc préliminaires fur 
la nature des fonctions d’une ou de plufieurs variables, lesquelles pourroient 
fèrvir d’introduélion ù une théorie générale des fonctions* 

1. Si u eft une fonction quelconque finie d’une variable x, qu’on y 
mette x -f- à la place de x, & que par la théorie connue des fériés on dé- 
gage la nouvelle variable £ de la fonction, on fait que u deviendra de 
cette forme 

» f pt + p'i 4- p"? 4 p'P 4 &c. 

où p, p y p" <5 ce. feront de nouvelles fonctions de x, dérivées d’une cer- 
taine maniéré de la fonction u. 

2 . Si u eft une fonction de deux variables x, y, qu’on y mette 
x — f- £ à la place de x, y -f- 4 à la place de y, quenfuite on dé- 
gage les quantités 4 par le moyen desfcries, la fonction u deviendra 
de la forme 

4 pt + ?4 

4 p'e 4 <iZ4 -f r'4 s 

4 ?? + qï4 4 nv 4 s" P 

-f &c. 


u 


des Sciences et Beiies-Lettris. 


187 

où p , <}■> Pt Çi r 'i P i *]" & c - ^ cronc de nouvelles fonctions de r, y 
dérivées d’une certaine manière de la fonction u. 

De meme fi u étoit fonction de trois variables x, y, ^ en mettant 
x —J— £, y -f- 'P, { + £ ù la place de at, y, ç, & développant 

par les fériés, cette fonction deviendroit de la forme 

« + pi + çt + 

+ />T + jW + r'V + •'«■+ W -f- y'<? 
+ /f -f 4V* + rW + S"V + «K* + &c. 
-f- &c. 

& ainfi de fuite, fi la fonétion & renfermoit quatre variables ou cinq &c. 

3. Le calcul différentiel confidéré dans toute fa généralité confifte à 
trouver, directement <Sc par des procédés fimplcs <5c faciles, les fonétions 
p\ p" «Scc. q, q, q «Scc. r, r «Scc. dérivées de la fonction u; 6c 
le calcul intégral confifte à retrouver la fonétion u par le moyen de ces 
dernières fondions. 

Cette notion des calculs différentiel 6c intégral me paraît la plus claire 
& la plus fimpîe qu’on ait encore donnée; elle eft, comme l’on voir, indé- 
pendante de toute métaphyfique, & de toute théorie des quantités infini- 
ment petites ou évanouiffantes. 

4. Confidérons plus particulièrement le cas de l’Art. 1 . où u eft fup- 
pofé une fonétion de a- feul, 6c voyons comment les fondions //, p , /?', 
p" 6c c. dépendent les unes des autres. 

Puifquc la fondion u, en y mettant x -f- £ à la place de x, eft 
devenue 

« + p* + pT + p"? + «Scc. 

fi dans cette derniere fondion on met de nouveau x -j- a à la place de x, 
il eft clair qu’elle deviendra de la forme 


Aa 2 


188 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


u ,p<* - 4 - /"* 4" /" 5 4" P " 4 4~ &c. 

. (T^ î -J- âcc.)ç 

-f- ( p ' 7T 1 ü) { U* -j- G ù? &cc.)ç z 

-f- ( p " „" u -f- ç 'V -f- <r'V -f dc.)|’ 

-f- &C. 

où TT, f, <r &C. feront des fondions de x dérivées de la fondion p de 
la même maniéré que p , p\ p &c. le font de la fondion u, Ôc 7r', ^ 
</ &c. feront des fondions dérivées de même de la fondion p\ & ■*", t'\ 
g" &c. des fondions dérivées de p & ainfi des autres. 

D’un autre côté il cft facile de voir que l’expreflîon précédente ne fera 
autre chofe que ce que devient la fondion // en y mettant à la fois 
x -j- £ " à la place de x, ou bien ce que devient l’expreflion 

* + Pk 4- pT + p"f 4- p"'< 4 4- &c. 

en y mettant | -f- « à la place de c’ed à dire 

« + K* 4- -) 4- p'ü 4- ")’ 4- /(•£ -f «)» 4- &c. 

Or en développant les puiffances de £ -f“ "» & ordonnant les termes 

on aura 


u 

4- 

P" 4- 

p' ùü z 

4- /" J 

4- 

U A. 

p Car 

+ 

de. 


-f 

(p 4- 

%p'u 

4- 3/"* 

4- 

11/ 7 

4P " 3 

+ 

de.) £' 


4- 

(p' 4- 

3/" 

-j- ôp"V 

4- 

1 O 

i 

&c.)r- 


4- 

(/ 4- 

4P"'" 

-1- lo/iV 

4- 

zop' to 1 

4- 

de.) £’ 


4- 

&c. 







comme cette formule doit 

être identique 

avec 

la précédente 

, on aura 

7t 

— 

*p'» 

f = 

= 3 p", 

g ~ 

= 4P" 

de. 


7 r' 

— 

3/, 

?' = 

I ô 

g — 

z i o p 1 ” 

de. 

' 

tt" 

— 

4P"'» 

?" - 

: 1 ° p ,r , 

g" ~ 

Z io p v 

&c. 


de. 



• 






des Sciences et Belles-Lettres. 


8 9 


Donc p' Z T - , 


n" — 

p — 7’ 


= £ &c. 

4 


Or de la meme maniéré que p eft dérivé de //, w left de p, 
7 r l’eft de p, tt" l’ett de p 6c ainfi de fuite; donc, fi on fait p ~ u\ 
& qu’on défigne de même par a une fondion dérivée de u de la même 


maniéré 

que u l’eft 

de 


6c par 

III 

u une 

fondion 

dérivée 

de u\ 

6c ainfi de fuite, 

on aura 




P 

/ 

— u > 

TT 

— 

n 

donc 

P' — 

u" 

2 ’ 


donc 

1 

7T 

— 

i/"' 

7 

donc 

p" 1= 

U 

J 





2 



a- 3 


donc 

n 

% 


« ,v 

donc 

ni 

n 

i/ ,v 



a- 3 ’ 

r — 

a. 3. 4 


ôcc. 








Ainfi la fonction u deviendra, en mettant x -j- à la place de x, 

« + «'£ + ££ + ££ + JZÎL. + &c. 

1 1 a 1 a. 3 1 a. 3. 4 1 

où les fondions u, u', u ", u ", u' T 6cc. dérivent l’une de l’autre par une meme 

loi, de forte qu’on pourra les trouver aifément par une même opération 

répétée. 

5 . Si maintenant on fuppofe que u foit une fondion de deux varia- 
bles x &c y, 6c qu’on cherche ce qu’elle devient en y mettant ù la fois 
x -f- £ à la place de x, 6c y -f- 'P à la place de y, on fera d’abord 
la première de ces deux fubfiitutions, ce qui réduira la fondion u à celle-ci 
(Art. préc.) 

u _j_ ai + u -\- -t- u -*j -f- &c. 

enfuite on fera la fubftitution de y -f- 4 1 à la place de y dans les 
fonctions //, u\ u ", u" ôcc. 6c elles fe changeront, lavoir 


u en u -f - u 'l -f- 
u en u -f -f- 


L 

1 

u 


, u "'p 3 , g 

-f~ -f- 6c c. 

a. 3 1 


+ 


u 1 ’ tp 3 


l- 3 

Aa 3 


-f- ôcc. 


2 


iyo .Nouveaux Mémoires de l’Académie Rqyaxb 


u en 
&c. 


U "."-X2 


* + + --- + 


u"'" 

-■T~ 


-j- &c. 


Ainfi la fonéfion u deviendra après les deux fubftitutions donc il s’agit: 
u -J- ii £ -j- u' , 'P 

' u"Ç 2 u‘"£<p 

' i ‘ i. i *•" a 


. i_e _i_ - il&Sl _i_ 

* 2 ., 3 * 2 . 1 * 1 , 2 * 2 . 3 


u'"|3 


-j- &C. 

Les accens qui font avant la virgule Ce rapportent au changement de x en 
x -6c ceux qui font après la virgule Ce rapportent au changement 

de y en y -f- 


En général fi u eft une fonction de x t y, t &c. & qu’on y 

mette à la place de ces variables, x -f- y 4-, f -f- 
t -J- 6 &c. la fonction dont il s’agit deviendra u -j- un nombre in- 
défini de rermes tels que 

«/■ ’■ «■ f &c. 

1.2.3 - - - fj. X 1.2.3 - - - V X J. a. 3 ... TT X X.2.3 - - - ç X &C. 

ff, y, ç étant fuppofés fucceflivement o, 1 , x, 3 &c- 


6. Puifqu’en mettant x -f- £ à la place de x dans u , cette fonc- 
tion devient u -\- u £ - f- — -f- — ^ -f- &c. fi on regarde £ 


comme infiniment petit & qu’on néglige les puiffances £ 3 , 4 3 &c. on aura 
fimplement u £ pour l’accroiflèmcnt de u ; de forte que défignant cet ac- 
croiffement par d u, & l’accroilTement £ de x par d*, on aura du — 

u d Xj & u — ^ y a ’ n ^ P our av0 * r k fonétion u, il n’y aura qu’à 


chercher la différentielle du par les réglés du calcul des infiniment petits, 
& la divilèr enfui te par la différentielle d*. 


des Sciences et Belles-Lettres, 


+ u « c- . d 2 u . d ' u f . - 

— £ -f- — x -f- — x -j- &C, 

H v 1 ri r 2 n. * H r3 ^*3 


T 


d. — 2 

Ayant «' ZZ ^ on aura de même u" zz ZZ ~ , 

d -— ad 3 u 

a" — — — — — ^ &c.; de force que x devenant x -f- P la 

d x d x 3 1 

fonction u deviendra 

du 

dx ^ dx 2 i dx 3 

où du, d 2 u, d ’u &c. défignent les différences première , féconde, troi- 
fïemc ikc. de a prife en faifanc varier x de la différence infiniment pe- 
tite d .y. 

Ce théorème eft connu depuis longtems, & Mr.Tailor en eft, fi je ne 
me trompe, le premier auteur; on peut le démontrer de différences maniè- 
res; la précédente me paroît une des plus fimples. 


y. Si au lieu de faire varier A', on fait varier y dans la fiippofition 
que u foit une fonction de x & y, on aura de même du zz u'dy 7 

&c. 


p , ■« / du , à 2 u „ d 3 u 

& de là u ZZ — • , donc u ZZ — - , u ~ — - 

ay dy 2 ‘ d_y 3 


A — 

r, . < • >,i du 1 ' dr d 2 u 

rar le meme principe on aura u ZZ — ZZ ZZ , 

r r Ay dy Axdy 1 


OU 


d *u indique la différentielle fcconde de u, en faifant varier d’abord x, enfuitey; 
or comme les variations de x & de y font indépendantes l’une de l’autre, il eft 

a du 

d il'* ^ * d “ i/ 

facile de comprendre que l’on aura également u" ZZ — ZZ , 

où d 2 u exprime maintenant la différentielle féconde de u prife en faifanc 
varier d’abord y de enfui ce x, de force qu’on aura — — ZZ — — , ce 

J 1 dxAy djdr 

qui montre qu’il eft indifférent dans quel ordre foient écrites les différen- 


ces dx, dy.. En général donc on aura //“’ ” ZZ - 


+ 


ou 


ù d^ + ’u 


d a d y 


indiquera la différentielle (/* -f- c) n!C de u prife en faifant varier u fois x, 


i 2. Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

& c « fois J', quelque ordre qu’on fuive d’ailleurs dans ces variations; de 
forte qu’il y aura autant de maniérés différentes de trouver la valeur de 

j*'- -f- " u 

qu’il y aura de permutations entre deux chofcs différentes répétées 

d z* A y’ 

l’une p fois, l’autre v fois; or le nombre de ces permutations eft, com- 
me on fait, égal à 

»• 3 C V- + v) 

i. i. 3 - -- /xx i. i. 3 v" 

Et fi u eft une fonéüon de plufieurs variables x , y, f, t &c. on 
j k + * H* * + ? u 

aura u ’’ f &c ZZ — & cette fonélion pourra fe pro- 

, (i . ï , x , P 1 * 

d x d_y d { d r &c. 

duire d’autant de manières différentes qu’il y aura de permutations entre dif- 
férentes cliofcs dont l’une feroit répétée ^ fois, l’autre v fois, la rroifie- 
me TT fois, la quatrième ç fois &c. ; en forte que par les réglés connues 
le nombre dont il s’agit fera 

1- *- ?• 4- ? (p+v+ir+ç + &-c.) 

I. 2. 3 LL X I. 2. 3 - - - 1/ X J. 2. 3 - - - K X I. 2. 3 - - - ç X &c. 

lequel eft aufTi le coefficient du terme y’ ^ r f . . . . dans la puiffance 

(a- -f- y - h { -h e ~h & C 0 M + ’ + ' + f + &c '. 

8. De là & de ce qu’on a dit dans l’Arr. 5 . il s’enfuit que fi dans une 
fonélion u d’un nombre quelconque de variables x , y, t <S cc. on met 
x -j- £, y -f- { -f- <?, £ -f- 0 à la place de ces variables, 

la fonction propofee fera augmentée d’un nombre indéfini de termes repré- 
lèntcs chacun par 

• • • 

1.2.3 i“ x 1 • 2 ■ 3 ** i ■ ~ 3 - - - -T x i.2. 3 * x are. 

d*-}-» + » + {+• a 

x 


dx“dy’d d: C iSfc. 


ou 


dis Sciences et Belles-Lettrbs. 


* 5>3 


ou ce qui revient au même par 

■ . . . x d." + ’ + * + » + * c «, 

i. a. 3 - - - ( p + r +* + g Sec.) dx'd/dfdt* Sec. 

M étant le coefficient du terme x" y’ £ t f &c. dans le polynôme 

&c. élevé à la puiffance p -}- " + x + ? + &c. 


Ainfi, pour avoir aifément les difFérens termes qui doivent compofer 
l’accroiflcment de la valeur de la fonélion u lorfquc x, y, ç, t &c. de- 
viennent x -j- y 'r y {-{-£> £ 4“ * &c. il n’y aura 

qu’à confidérer la férié 


1 + Y + ? -f- * + Sec. 

i 



(* + J- + ? + t + &Q» 
i. a 


(,+,+;+. + fa.;; &c _ 

1 i. a. 3 1 

& après avoir développé les puiffances de x -f- y -f- { + f + &c. 


on changera, dans chaque terme, x en 


d x 


6 


4 

y cn t,' 


i 


t en - 2 - , 
t d { » 


t en — &c. & on multipliera le même terme par d*//, l’expofant de la 


de 


différentiation A étant égal à la fomme des expofans de x, y, f, t &c. 
dans le même terme. 


Or on fait que 

* + y -f { + t + Sec. . (j + y + \ + t + &c-) a 

i ‘ i. z 

(x + y + ? + t + &'c -) 3 , &c _ _ e r + r + ' + ,+tc , t 

' i. a. 3 ' 

— C z x t y X c l X c’ X &c. I 


X 

X 


X 

4- 12 4- 

ï3 

1 

' i. a ' 

i. a. 3 

r 

+ ri + 

y3 

i 

i. a. 3 

i 

+ 4 + 

t 3 

i 

I. 2. 3 


Kour. Mcm, IJJt. 


+ &C-) 

4 - &c -) 
+ 

Bb 


i 94 


Noüvbaux Mémoires de l’Académie Rotale 

- (‘+T + £ + rfi + & 0 

X &C. I. 


Par conféquent il n’y aura qu’à faire le produit de ces différentes fériés, 6 c 
changer enfuite chaque terme comme nous l’avons dit ci - deflus. 


9. De là il efi facile de conclure que fi l’on confidere l’expreffioa 

du, du„ 

-i + + -( + 

,<1* <1/ d r * ! 


& qu’après l’avoir développée fuivant les puifTances de du, on applique les 
expofans de ces puifTances à la caraclériftique d pour indiquer des différen- 
ces du même ordre que les puifTances, c’eft à dire qu’on change d// en 
d^u, on aura l’accroiflèmcnt cherché de la fonction u lorfque x, y, ç &c. 
y deviennent x -J- £, y -f- tf, { -J- £ &c* 

Ainfi dénotant cet accroiffemcnt par a u, on aura la formule générale 


AU 


iu ^ du, du, 

— £ + - 'J' + - + &c - 

,Ax 4 ^ d, Y ^ d { => 


I. 


i o. Maintenant, comme au exprime la différence première finie de //, 
fi on dénote de meme par a 2 u, a '.u & ce. les différences finies de u des 
ordres ultérieurs, on pourra trouver la valeur de chacune de ces différences 
en ne faifant qu’élever l’équation précédente au carré, ou cube &c. & y 
changeant enfuite les expofans des puifTances en expofans des différences. 


De cette maniéré on aura donc en général 

-V + -4 + -V + &c. 

A \u — {e“ d < s — iy 

&: il ne s’agira plus que de développer le fécond membre de cette équation 

de la maniéré que nous l’avons dit à l’égard de celle de l’Art, préc. 

Mais il y a plus; on peut fuppofer que l’expofant A devienne négatif, 

auquel cas l’équation fubfiftera également fi ce n’efl que les différences qui 

auront un expofant négatif devront être cenfées changées en fommes du 


des Sciences ht Belles - Lettres. 



même ordre. Ainfi défignanr, comme à l’ordinaire, par f les fommes ou 
les intégrales ordinaires, qui répondent aux différences infiniment petites 
marquées par la caraétériftiquc d , & par s les lommes finies qui répon- 
dent aux différences finies marquées par la caractériffique a, on aura 
d 1 — f, d 1 ZZ /* &c. & de même r ' Z ï, a~ * 

— x* &c., & l’équation précédente deviendra en faifiint A négatif, ou 
bien mettant — A à la place de A, & par confisquent s A à I3 place de a 4 , 


z\u 



1 

+ r* + r ç +&c - 

iy i { 



On traitera le fécond membre de cette équation d’une maniéré femblable a 
celle que nous avons preferite ci-deffus. 


Quoique l’opération par laquelle nous avons paffé de la différence a //, 
à la différence a & à la fomme x A t/, ne foit pas fondée fur des princi- 
pes clairs & rigoureux, elle n’en eft cependant pas moins exacte, comme 
on peut s’en affurer a pojleriori; mais il feroit peut-être très difficile d’en 
donner une démonftration direéte & analytique; cela tient en général à 
l’analogie qu’il y a entre les puiffances pofitives & les différentiations, auffi 
bien qu’entre les puiffances négatives & les intégrations; analogie dont nous 
verrons encore d’autres exemples dans la fuite de ce Mémoire. 


1 1 . Suppofons que u foit une fonction de * feul , on aura dans ce 


cas — ZZ o, — ZZ o &c.; par conféqucnt a \u zz (e * 3 ' — i)\ 

dy d { 


d u 


— ? 


Confidérons donc l’expreflion (e — 1 )\ & voyons comment elle 
peut le développer en une Cène réglée fur les puiffances de u. Il cfl: d’abord 
clair que fi on fait a très petit on aura e“ — 1 — d’où il s’enfuit 
que le premier terme de la férié fera néceffairement Suppofons donc 

(e- — i) A — « A (i -f- 4 * -f B » 1 -f CV -f- DS -f &c. 
de prenant les logarithmes de part & d’autre on aura 

Al(e* — 1) — Al* zz l(t -f- Au -f- Bu 1 -f- (V -[-£>«♦ + &c.) 

B b z 


i y 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royàlb 
6c différentiane 

A A -f- iBu -f- 3 C'a) 1 -h $Du* + &c. 


r~ ■■ — 0 = - 

V" — i èiy i 


or 


f- 


Au + Du 1 + Ctk i 5 -f- Du' + &c. * 

i 


e — « 


« + 

» i. 3 


i 3- 4 


-f- Sic. 


donc fubftituant cette valeur 6c multipliant en croix, on aura 

xÇi _ -ÎL + JÙ- 

= (> — f + £ — ” + &c.)(^ + 1 ^ + 3 <V+&c.) 
c’eft à dire 

+ <Z-ê-> + è-.-Ttù-' + ** 

- a + (»a - ±y + ( 3 c - % + 

+ ( t o - J r c + £ - ^>’ + 

d’où, en comparant les termes, on aura 


A ~ - 

3. 


xB 


_ (A. + 


_ (A + 4) fl 
— JL 

4 Z) - £-± 3)5 

a 

&c. 


à 

*■ J 
(A + 

a- 3 

(A -f O A 
a- 3 


+ 

+ 


a. 3. 4 
(A + i)A 
a. 3. 4 


a. 3. 4. j 


du 


Ayant ainfi déterminé les coëfficiens 7 i, C 6cc. on mettra — £ à 

d 1 

la place de m, & changeant les puiffances de d// en des différentielles 
de u, on aura en général 


des Sciences et Belles-Lettres, 


97 


ï.u = -f* + + B „ 

J,* ’ J * + 1 * J *+* 


.»+ I ,» + 1 

d « ->-L. ■ r, d ^ * £A-f * 


+ cg^f*+> + &c. 

Cette formule fervira donc à trouver immédiatement la différence d’un or- 
dre quelconque d’une fonction quelconque de x Iorfquc a - augmente fuc- 
ccfTivement de £, z 3 £ &c. & ce * a au moyen des différentielles ordi- 
naires; ce qui peut être d’une grande utilité dans la théorie des fériés. 

Faifons maintenant A négatif c’eft à dire mettons — A à la place 
de A, pour changer les différences en fommes, & l’on aura dans ce cas, 


-A , X 
= f — - 
V 


a. 


/-A I , A I 

/ u a x 


Z 


A L 


+ P 


r A 1 . , A 1 

J udz 


V 


r A — 1 , A — j 

/ ’ U dx 5 . „ 

y _i_ &c. 

vA— 3 1 


ou 


a. 


A 

2 


z9 

_ (A — 

1 

1 ^ ce 

1 

-r 

A 

-• 3 


37 

_ (A - 

2 . 

-)3 

4- 

(A - 

a. 

0 « 

3 

4 * 

(A — 

« 

3)y 

+ 

(A_~ 

a. 

_a)S 

3 

ôcc. 







+ 


a. 3. 4 

(A — l)g 

a. 3. 4 


+ 


2. 3. 4. j 


d 2 « 


d 3 u 


Si A — 1 , on aura donc 

fudz , r, d u y a u y, . , a- u y , , 

ZZ — ^ 7,— | -f d — &C. 

£ 1 dr dx z d x J 

parce que J~'uàx~ l ~ ^ , f~'udx~* ZZ &c. 

C tll la formule connue pour trouver la fomme d’une férié dont on 

cor.r.oit l. terme général. 


Bb 3 


jpS Nouveaux Mémoires de i’Académie Royale 

En effet foit u — <$x, on aura par la nature des fomraations 
Xi/ = <P(x — i) -f- <p(x — if) + &cc.} 

donc, fi fui vant la notation reçue on fait f$xdx — Qx, — Q'x t 

— <p"x icc.j on aura 

<K* — I) + <P(* — " x£) + <P(x — 3t) -f- ôcc. . 

— JT — ct Q x 4“ PQ'x . Z — y <p”x . £ -f- &c. 

Si maintenant dans cette formule oh écrit x — à la place de a:, o« 
aura de même 

+ <P(x — (n + 00 + — 0 * 4 “ 01 ) + &c * 

= J * a — «<K* — «f) + W* — *f)-f 

— y <?>"(* — «£)■£* + &c * 

Donc retranchant cette équation de la précédente il viendra 

<P(* — O + <P(x—%&+<P(x—3i)+&c. + <Kx—nl) 

— C?X ~ — a (<px — $(* — ni)) 

4 - ($' x — $(* — ”0) — y £ a <4>"* — (x — « O) -f «Scc. 
Nous ne nous étendrons pas en détails fur cette matière parce qu’elle a déjà 
été traitée dans differens Ouvrages, & furtout dans le Traité des Fluxions 
de M. Maclaurin, & dans les Institutions du calcul différentiel de M. Eule»-- 
on trouve dans ce dernier Ouvrage des Remarques curieufcs & importantes 
fur la nature «St les propriétés de nombres- «, £, y &c. dans le cas de 
À — i ; mais perfonne que je fâche n’avoit encore donné l’exprefTion gé- 
nérale de ces nombres pour les différences & les fommes d’un ordre quel- 
conque. 


des Sciences et Beues-Lettses! 
i x. Reprenons lequation de l’Art, i o. favoir 

d u „ du. du. 

rJ + r,* + r,£ + «“• _ t 


99 


Au ~ e 
•lie donnera celle-ci 

rJ + + &c - = K» + «> 

où il- faudra, après avoir développé le logarithme l(i -f- au) fuivant les 
puilTances de Au, appliquer les expofàns de ces puilfances à la caraélérifti- 
que a. De cette manière on aura donc 

d -ï«ï 4. if 4 4. L‘( + &ç. 


AU 


+ îi _ îï 4. fa . 

1 î 4 


ce qui donne un moyen de trouver les valeurs de ^ ^ &c. à l’aide 
des différences finies de la fonétion u. 


Mais ce n’eft pas tout; on peut également élever les deux membres de 
l’équation à une puiflànce quelconque A, poficive ou négative, en forte 
que l’on ait 

ÇfJ + r,* + ï-f + = Wl + Au)) *> 

& cette équation fera toujours vraie pourvu qu’après le développement des 
deux membres fuivant les puifîances de du & de au, on change les puif- 
fances pofxtives en différences & les négatives en fommes. 

Pour cet effet confidcrons la quantité (I(i -f- «))* & voyons com- 
ment elle peut fe développer en une férié qui procédé fuivant les puifianccs 
de Il efi d’abord clair que fi u écoit très petit on auroit 1 ( 1 -{- u) 

— co, d’où il s’enfuit que le premier terme de la férié dont il s’agit fera « A , 
& qu’ainfi elle aura cette forme- 

« A (i -f- M* -j- AV -f PS -f QS -j- &c.) 


lOO 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 
Suppofons donc 

(l(l + »))* = «'(l + Mm + iVa* + Pa* + &C.) 
& prenant les logarithmes de parc & d’autre on aura 

A(ll(i -(-a) la) — 1 ( i 4 . Af« 4- 2Va a 4 - P a* 4 - &C.) 

d’où l’on tirera par la différentiation 


G 


-0 


^(1 + a)l(i -f- a) 

M -f- iA’a 4- ;Pa 2 + 4 @a s -f 3 fc. 


1 + + Ne * 1 + P« 3 + Ça 4 + &c. 

.2 .j 3 


Or l(i 4- a) — a ^_4_| r- + < 5 cc. 

donc multipliant cette férié par 1 4~ “ on aura 

0 +.)K. +.)=• + - z- } + £ - £ +&c. 

donc fubftituant cette valeur, & multipliant en croix, il viendra 

*(—2+ rj — 3^7 4- &C.ÿ(l + Mv-j-N» 2 +P»1-f-&C.) 

= G + ï - £7 + n - &c -> w + liV " + 3P ""+ &c -> 


c’eft à dire 
A 
a 


-*(-?+r-> + <--:+5 -ïr> 

+ Â ( — ï + îG — ï ! i + rT)" , + &c ' 

-m + <\n+ £). + ( 3 p + ^ - £>• 

+ ( 4 Q + 3 v - £ + i ~y + 

De forte qu’en comparant les termes on aura 


M — 


des Sciences et Belles-Lettres. 


xo i 


M ~ — 


a 

a 


x N 


(A -f- \) M 

i 


A 

2 - 3 


*■> 


7 J 


(a + -).v 

a 



(A -f 3- p 

t 


+ 

-f 


&c. 


(A -f QM A 

i -3 3.4 

(A -f- î)Aî (A -f- i)Af . A 
*• 3 '3- 4 ' 4“ 


Connoiffant de cette maniéré les coëfficiens numériques M, N, P &c. 
on aura donc 

(l(i 4 . Au)y — A x U + M±'+'u 4 Na'+'u 4 &c. 
ce qu’il faudra fubftitucr dans l’équation ci-delfus. 


13. Soir, comme dans l’Arr. ii, u une fonction de x feul, alors 
l’équation dont il s'agit deviendra ZZ (l(t 4 A L ))\ favoir 

— t { e = 4 M* x+I .u 4 Na , + \u 4 PS+Ku+bc. 

d x 

ce qui donne le moyen de trouver la valeur de la différentielle d'un ordre 
quelconque de la fonction u à l’aide des différences finies de la même 
fonction. 


Or fi dans la même formule on fait A négatif, c’efl: à dire fi l’on y 
met — A à la place de À, on aura, en changeant les différences en 
fommes, 

r —^L — z'u 4- itV- 1 // 4- vï x — l u 4 - 4- & c . 

où les coëiiicicns /W, v, w &c. feront détermines par les formules Vi- 
vantes 


Koiiv . Mcm . 1771. 


Ce 


îoi Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


A 


%v 


% 


(A — »> 


_ (A — 2)1 


A 


4 ^ = ( -~i^ 

&c . 


(A - I> 

a. 3 

(A — i' v 


4 - 

4 - 


A 

3^4 

( A ~ Om 
• 3 - 4 


A 
4 - 5 


Si on fait A — i f on aura donc 

~ ÏU -f- pu -j- VAU TVA t U -|- -j- & C " 

formule qui peut fervir à calculer les aires des courbes par les fommes & les. 
différences des coordonnées équidiftantes. Cotes, Stirling & d’autres 
ont déjà donné des formules pour calculer faire d’une courbe dont on 
connaît un certain nombre de coordonnées équidiftantes ; mais la formule 
précédente eft différente de celles de ces Auteurs, & me paroit préfé- 
rable en ce qu’on y emploie les différences fucccflives des coordonnées les- 
quelles vont ordinairement en diminuant, & furrour en ce qu’on y voit ai- 
femenr la loi des termes, de manière qu’on peut continuer la férié auffi loin, 
que l’on veut. 

Pour donner un exemple de l’ufàge de cette formule, fbit propofe de 
trouver l’intégrale de qu’on fait d’ailleurs être ~ lx;. on aura donc 

dans ce cas u zz -, & faifant pour plus de fimplicité £ ZZ x, on aura 
l-v ZZ — » — —f— — —f— VA.— —j— *A 3 . I -f XAU -f- & C . 

Or puifque £ ~ i , on aura 

L.i ZZ — f- _i 1 f- &C. 

X X — I 1 X Z 1 x J 1 


# X X -4- x X 


*(* + 0 * 


XO' 


des Sciences et Belles-Lettres. 

r. - — : - f- — I — zz 

* (-*■' + O (* + -) *[* + i) *(* + «)(* + -) 


a*. - — 

* (* + *)(* + -) ( r + 3; 

*• 3 


*(* + »)(* + 1 ) 


1 (* + O c* + ») (* H- 3) 
1 . 2 - 3 - - - 


fie co général 

a\ - ZZ _+L 

* *(* + 1 ) (* + »)----(* + A) 

le figne fupérieur crâne pour le cas ou A pair, «Se l’inférieur pour k cas où 

A impair. 

Donc fubfiituant ces valeurs on aura 
\X ZZ — 1 H — 4. fiée. 

X I 1 X 2 1 X 2 1 


+ ?“ 


*(* + 0 
=. 3 % 


+ 


ITT 


(* + 0 C* + a ) (* + 3 ) 


*(* + 0(* + -) 
-f- «Sec. 


De même fi on met x — /z à la place de r, n étant un nombre 
entier quelconque, on aura 

l(jf — n ) — 4" — — -j- 4 & c * 

x — n — I 1 x — a — 2 ‘ x — n — 3 ■ 

+ 


4 - 

1 x — n 


(x — n) (x — zi -f 1; 
ITT 


4- ficc. 


(x — n) (r — n -f l) (x — n + 2) 

par conféquent en retranchant cette équation de la précédente on 


aura 


Ce i 


Nouveaux Mémoires de l’ Academie Roïaib 


xc>4 

1— Z= — - + — - H -h ôcc. -f- — - 

^ Çx x — n) 0 V 1 +0 (* — n ) [x — n -jr 1)3 

1 C*(x + O (x + l) (x — n) (x — n + i) (x — n + l)^ 

a ' ^ % C(ï + J)(* + iX r + 3) (r —/.)>— n -f i ){ x 3 

-j- &c. 

Si l’on fait /z m i , on aura 

4 . *_» 

->• — 0* ' (* — >)'(■* + 0 

0 — 0 r ( r + 0 (* + a) <5cc ’ 

ou bien en mettanc x à la place de x — i, & par conféquent x -f- i 
à la place de x 


^ x — x r — 1 ( x 

a. ; % 


(■ + 0 - ; ~ * 


(* + I) 


+ 77 


1 V 


(* T '/ \ x + -) 


2. 3 77 


~h 77 


i- 3- 4 %, 


r (* + *)(•*' + 0 v r + 3) 1 J- ( r T l )' x + 1 )l 1 +3/( j: +4) 

c’eft ù dire 

>0 + 0 - K 


— ôcc. 


_t t _ I * 

' +I (■+-)(> + 7 ) 

17 


(1 +.)(.+ ~X‘ + 7 ) 


+ 


c + *) 0 + i) 0 + 7 ) 0 + 7 ) 


— ôccÿ 


14. Nous avons vu que toute fon&ion u de plufieurs variables x, 
y, ç ôcc. devient u su torique et s variables deviennent a- -j- <f, 
y -f- h { “h &c. où l’accroiilèmcnc zu ctt déterminé par la 
formule 


dls Sciences et Belles-Lettres. 


io$ 


A U — 


d n v H u g d n 9 m 

- £ + r $ + 7" Z + &c - 

,dr dy d{ 


I. 


De même fi l’on fuppofe que les variables x, y, ^ &c. deviennent 
AT — {— <? , J -f- 4 / , { -f- {' &c. 4-', &c. étant des quan- 

tités différentes de £, 4s £ &c. & qu’on defigne par a'm l’accroilTemcnt 
corrcfpondant de u , on aura 


A £/ 



H* + K? + * 


1 . 


Or la première équation donne, comme on l’a déjà vu plus haut, 


id + 4*) = J £i + £* + + *c. 

& comme les quantités é, 4s Z dre. font indépendantes Ils unes des au- 
tres, il eft clair qu’en fuppofant d’abord y — o, { ~ o &c. on 

aura — £ ~ l(i -f- a//) où au dé/igne l’accroi fie ment de u qui a 

C x 

lieu tandis que x feul croît de de forte qu’en défignant cet accroifle- 


menc partiel de u par on aura 

î 

Au l(i + A.'.) 

dx — £ 


* 

De même fi on défigne par A . u, 


ticls de u 

qui ont lieu 

lotfque y, 

y + 4. 

{ + 

Z «Sec. 

on aura 

ÀU 

_ K* 

* 

+ A 

•0 

ày 


* 

> 

d u 

__ K' 

? 

+ A 

. u ) 

d 5 : 

" 

f 



&c. 


f - 

A . u &c. les accroifilmens par- 
p &c. deviennent chacun à part 


Ce 3 


io<j Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 
Ainfi l’on aura 

du y, . du . du n, 

rJ + d" v + t { < + &c * 

=: |l(i + Au) + | Kl + Au) -f- l(i -f Au) -f- &c. 

t ✓ 


. * 
* 


t £ 


— K 1 + Au) ( x (i -f- Au)* x ( i — |— Az/) f x &c. 


Donc 


du*. d « . . du-, 

- P + - il' + -?'+ &C. 

li r iy ' 1 il , » 1 


. d f 


d{ 


{' 

f — 


* — 


c £ 


— (i -f À//)* X (i -f- Ai/)* X (i -f- Aü)' X ÔCC. 

Et par conféquent 


» £ 


: £ 


A'u — (i + Au) ( x (i -j- Au )* x (i -f- Au)' x ôcc. I 

équation par laquelle on pourra déterminer la valeur complctte de la diffé- 
rence a'z/ de la fonélion u lorfque les variables -y, y, £ &c. y croiffenc 
en meme tems de <f, y, <?' ôcc., au moyen des différences partielles 

f * 

Au y Au ôcc. de la meme fonction , lesquelles réfultent lorfque les va- 
riables x, y y £ &c. croiffenc féparément des quantités £* t, { «Sec. 


Pour pouvoir faire ufage de cette équation il faudra développer les 

t * 

puilfanccs dei -j- Az/, i -{- Az/ ôcc. & le produit de ces puif- 
fances, fuivant les puiffances de a u, enfuite on appliquera à la caraélérifti- 
que a l’expofant de la puifiance à laquelle la quantité a u fc trouvera éle- 
vée, & on multipliera cnfcmble les quantités qui fe trouveront au-dcfTusde la 

t « 

lettre a; ainfi par exemple (A z/) 1 donnera' A 2 u, ce qui indiquera la 
différence fécondé de u prife en faifant varier x feul fuccefTivemcnt de x ; 

• { * t* 

mais Au x Au donnera A 1 //, ce qui indiquera de même la différence 
fécondé de u, mais prife en faifant varier d’abord x de de enfuite y 


des Sciences et Belces-Lettres. 


107 

de & ainfî des autres. La raifon de cette opération eft facile à apper- 
cevoir par la nature de notre calcul. 

On pourra au!Ti tirer de là la valeur de la différence d’un degré quelcon- 
que, & pour cela il n’y aura qu’à élever les deux membres de l’équation à 
une puiffaiice dont l’expofanc foit le même que celui du degré de la différen- 
ce; de cette manière on aura en général 

e <T f 

A'\ u — CC 1 -f- A //)’ x (i — j— A//)* x (1 -j- Au)’ x&c. — i) A 
& changeant A en — A on aura aufïi 



f 7 * - < - 

((i + A«) r « 0 + A'-) V * (* + A")* x &'c. — i) A 


où il faudra développer le fécond membre de la manière que nous l’avons dit 
ci - deffus. 


1 5. Les formules précédentes renferment fa théorie des interpolations 
prife dans toute la généralité poffiblc; par exemple fuppofons d’abord que 
l’on air une fonction u de x feul, dont on connoifîc les différentes va- 
leurs lorfque x devient fucceUivement x -f- £ , x -f- z x -j- &c. 

6 c qu’on demande la valeur de la même fonction Iorfque x devient x -f- 
£' étant une quantité quelconque. On aura donc dans ce cas y — o, 
( Z o &c. & par conféqucnc 

£ 

A'u ~ (r -f- A u)* — 1 . 

ï 

t - 

Or la pimTance (1 A u)- étant développée fuivant la méthode ordi- 
naire donne 




t ff ( <’ 

Donc changeant (Au ) 2 en A'u t (A u)’ en A \u 

on aura 


^(Au ) 1 -f &c. 
& aie fi de fuite. 


ie>8 Nouveau* Mémoires de l’Académie Royale 

a'* = 4' + + m sJœ_=ièÈli + &t , 

c’cft l’accroiflcment que doit prendre la for&ion u lorfque x devient 
— x -f- <f ; de forte que la valeur de la fonélion u répondante à x 
fera exprimée par la férié 


«+ + &=**'.* + 


2 .)^ 


-A*u -f- &c. 

Ainfi fi l’on a une férié donc les termes fucceflifs foient exprimés par un 


llJli 1 A 1 Vz 1 1 CA M il V ^ • — - - - ■ — - ^ a a » • * *» »•* w « < V 

même fonélion de x, x -f- a: -f- i £, * -{- 3 £ &c. la for- 

mule précédente donnera la valeur d’un terme quelconque intermédiaire ré- 
pondant à x <f, en prenant pour u le terme répondant à x, pour 

A.u la différence entre les deux termes répondans à x -f- £ & x, pour 

i J . 

la différence fécondé entre les trois termes répondans à x -j- 3. 

• x I, xj & ainfi de fuite. 

1 6 . Suppofons maintenant que « foit une fonélion de deux variables 
x & y, on aura dans ce cas en faifant (' ~ o &c. 

t' , *' 

t - + 

A'tf ZZ (i + A //)* x ( 1 — }— A u)* I. 

t' 

1 

La quantité (1 -f- A//) 5 donne comme ci -deflus la férié 

: + |L«+ £^êS-..+ is=M=^Li Ka + tK . 

* 

& de même la quantité (1 -f- Au)* donnera la férié 

1 + r 3 > a*-u ~j~ &c. 

Donc multipliant une férié par l’autre & ayant égard aux remarques faites 
vers la fin de l’Art. 13, on aura 


1 4- 


des Sciences et Belles-Lettres. 


iop 


P ' t!/ * 

i 4 - £ A . u 4 - ^ -A. u 

1 £ V 


+ 


-b 


■ J J !J- 


çt - A i 2 , u -|- i-Y- A 2 , u -f- — ^ r 

^ -t 2 




A . 


^K|^ 3 . a + EL?=ê x 
T »-}S 3 a c 2 </ 

+ x |a? «+ 

i y 2 ï a-3y 3 


-J- &c. 


Donc 


t< 5 J,' * 

A!u ZZ %A.u 4 - -f A.ü 

$ V 


.. _l_ 


A 2 . // 


+ x 

1 i-3^ J 1 i^ 2 ^ 

+ *w -=i> x Sÿ. M+ ±&=*m=&£, .« 

1 a y 2 C 1 a.3t/»* 

-f- &c. 


c’eft l’accroiflcment que doit prendre la fon&ion u lorfque x & y y de- 
viennent à la fois *-{-£', J + 't'' & c * 

Cette formule fervira comme l’on voit pour l’interpolation des tables à 
double entrée ; <5 c elle s’accorde avec celle que Mr. Lambert a donnée pour 
le même objet dans la troificme Partie de fes Bcytrcege Oc. 

On pourra déduire avec la même facilité, de notre équation générale, 
les formules pour l’interpolation des tables à triple, quadruple &c. entrée; 
c’eft fur quoi il ne nous paroit pas néceflaire de nous étendre davantage. 


i 7. Nous allons donner maintenant une méthode facile & générale de 

trouver immédiatement les différences d’un ordre quelconque d’une foaéUon 


Hour. Mcm. 177 *- 


Dd 


no Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale 


quelconque de plufieurs variables, fans paffer par les différences des ordres 
inférieurs» Pour cela on confidérera que puifque a u défignc en général 
la différence première de il, a*u la différence première de Au, ou la dif- 
férence fécondé de u de ainû de fuite, les valeurs fucceffives. de u feront 
u 


u -f~ A a 
u -j- Z Au -f- A z a 
U -j- 3 A U -j- 3 A 2 U -j- A Tu 
&C . 


& en général 


u 


-j- mAu -}- 


m (.7i — i ) 


-f- 


m(m — r)(m — \) 


U -f &c. 


De meme, en defignant par Ar, a 3 x ôcc , a y, a z y &cc- a a 1 ^ &c. 
les différences premières, fécondés &c. des variables x t y r ^ Ôcc. on 
aura pour les valeurs fucceffives de x 


x 

X -f- AX 

x + ZAX A*X 

X ^ JA* -j- $A S X -f- A** 

icc. 

X + J71AX + ^=Sl^x + it ^ x . &Cr 

1 3 

& ainfî de fuite pour les valeurs fucceffives- de y, | ôcc. 


Donc en général fi u eft une fonftion quelconque de r, y, j &e. 
3 eft clair que candis que a devient 

» , .. ,• m(m — i) . m(m — l)(m — z) „ 

a -f TTlAU -j — là? U -f- — — U* a -jr- &c. 

x , j, f icc* deviendronc 


b es Sciences et Beltes-Letthes. zii 

m (m — i ) , . m(m — I ) (m — l) , . 

x -j- raix -f — J -^x -f- - — -Sx -f- &c. 

, m (m — l) - , m!m — J)(m — l) , 

y + + ■■ — u 'y 4 - ^ 

î + mA i + - L r-- i { + — ri — ^ 4 { + &c - 

flcc. 


D’où il s’enfuit qu’en défignant par <p(x, y , ^ &c.) la valeur de u r 
forte que 




U ~ 

: <P(x, 

y> i 

&c.) 


aura auffi 







u 

-f 

màu -j- 

m (ni — 

a 

0 A *u 

+ 

&c. 

= <p(x 

+ 

mit -f- 

m(m — 

2 


-f 

&C 

y 

-1- 

ms y 

m(m — 

a 

21 S y 

+ 

&c., 

ï 



m (m — 

a 


+ 

«Sec., 



en 


équation qui devra avoir lieu, quel que foit le nombre m\ de forte qu'âpres 
le développement des termes il n’y aura qu’à comparer ceux qui feront 
affectés d’une même puiffance de m, & l’on aura autant d’équations 
qu’il en faudra pour déterminer les valeurs de chacune des différences A//, 
Su &c. 


i 8- Suppofbns que les différences deviennent infiniment petites & 
qu’en meme tems le nombre m devienne infiniment grand, on aura dans 
cette hypothefe m (m — i) — m z y m(m — i) (m — i) — nv &c.; 
donc changeant la cara&ériftique a en d, on aura 1 équation 


Dd z 


z Nou 

Vk A 

ux Mémoires 

DE 

l’Aca 

DEM 

IE R 

OÏAIH 

u 

4- 

mdu -f- 

n. 2 d 2 u 

Z 


m 3 d 3 u 

3 

"f 

&c. 


— ç(x 

+ 

mdx -f- 

m 2 d 3 r 

z 

+ 

m 3 u 3 r 

3 

+ 

&c. , 


y 

-f 

mdy -j- 

m* d 2 y 

z 

+ 

m 3 d 3 y 

1- 3 

+ 

&c., 


î 

+ 

a/dç -f* 

m 2 d 2 1 

Z 

+ 

m 3 d 3 f 

*• 3 

+ 

&c., 

&C.^) 


Ainfi fi on développe la fonction <+>(- - - -) fuivanc les puiflances de au 
en forte qu’il en réfulte une férié de cette forme 

P -f- m Q -f- ni 2 R -j- aSS -|- &c. 

on aura 

u ~ P, du — Q, — — R, — — S &c. 

Par où l’on voit comment on peut trouver fur le champ tous les différentiels 
de u ; c’eft ce que nous allons éclaircir par quelques exemples. 


ly. Suppofons que u foit une fonction de a- feul, de que dx foit 
fuppo/ë confiant, on aura donc dans ce cas l’cquation u ZZ Ox & 

u -f- mdu -f- ~~~ — ~ -f" — -f- &c. ZZ <P(x mdx). 


3 


de forte qu’il ne s’agira que de développer la quantité <P(x -f- mdx) fui- 
vant les puiffances de au 


Soit par exemple $x zz (a -|- bx ) r , on aura 
<P(. v -j- mdx) ZZ (a -j- bx -f- mbd^)' ~ (a -f- b x) r 
-f- m x rb (a — f- b x) r ~ 1 d x -f- ai 2 x (a -f- b x) r ~ 1 d x 2 

_j_ m î ( a _i_ bx y- 3 dx i _i_ 

donc comparant les termes affeétés des mêmes puiffances de m 


des Sciences et Belles-Lettres. 


113 


u m (a -f- l> x'y 
du— rb(a -f bx) r ~‘ dx 
d t u — r(r — i )b'~{a -|- bx) r ~*dx' 

&c. 

& en général 

d x u~r(r — i) (r — z) (r — A-f- i )b'(a-{- bx) r -’dx\ 

On remarquera ici, & la même remarque aura toujours lieu dans les cas 
Lmblables, q.iepuifque l’on a l’exprc/îion générale de la différentielle de l’or- 
dre A, on pourra en faifant A négatif avoir celle de l’intégrale du meme 
ordre A; ainfi l’on aura 

ru-r{r— l)(r— i) (r + A + : ) ; 

bdx 

or comme les fadeurs r, r — i, r — z &c. vont en dimi- 
nuant, de que le dernier doit être r — f- A i qui eft au contraire 

plus grand que r, cela indique qu’il faut continuer la férié de ces fadeurs 
du côté oppofé, en employant les divifions au lieu des multiplications de 
cette maniéré 

i 

( r + 0 ( r + z ) ( r + 3) * * - ' ( r + A) ’ 
on aura donc en multipliant par d.v A 

(« + ^y +x . 

(r + 0 ( r + -) ( r + 3) " * * - ( r + A)i A 

ce qui s’accorde avec ce que l’on fait d’ailleurs. 

io. Dans le cas de l’exemple précédent il auroit été facile de trouver 
la valeur générale de d^u par la méthode ordinaire des différentiations, 
mari i! n’en feroit pas de même fi la fondion $>x étoit tant foit peu plus 
compliquée. 

S'.'ppofons en effet Çx — (a -{- bx -f- ex 1 )' — */, on verra 
aifément que les différentiels de <px feront exprimes par des fériés dont il 

Dd 3 


f'udx' — 


2.14 Nouvbaux Mémoires de l’Académie Royale 

ne fera pas aifé de trouver la loi, pour avoir Pexpreflion de d\$x; fuivaiu 
notre méthode il n’y aura qu’à mettre x -j- mdx à la place de x , ce 
qui rendra a -{- bx -f- ex 1 égal à a -f- bx -f- cx z -4- 
m(b -f- ic*)dx -f- m ' c & x' i de forte que la difficulté ne confîftcra 
qu’à réduire l’expreffion 

(a bx - f- ex 1 -f- m(b -f- icx) dx -j- m : cd* s ) r 
en une férié qui procédé fuivant les puiffianccs de m. 

Faifons pour plus de fimplicité 

a -j- bx -j- ex 1 — p 
b xcx — ç 

en forte que la quantité propofée devienne 
(p -|- mqdx -f- mrcdx'y. 

Je la développe d’abord ainfi 

(p -f- mqdx) r -f- r(p -j- mqdx) r ~ , cm i dx* 

- f - r —~ — — C P -j- mqdx) r ~ 2 c i m 4 dx* 

-|- — - r - ~ \ J -~ — (p -f- mqdx) r ~‘-c' , m (i dx 6 

-j- &c. 

& il ne s’agira plus que de développer de même les différentes puiffiances de 
p -f- q m d x. 

Suppofons qu’on veuille avoir en général le terme qui fera alïcélé de la 
puiffiance m\ il eft clair que fi on dénote par Am x dx A le terme affic&c 
de m* dans la puiffiance (p -j- mqdx ) r , par Bm*"~~ 1 àx *~ 1 le terme 
affeâé de m* -1 dans la puiffiance (p -f- rnq dx) r ~', par Cm* - 4 d*’‘~ 4 
le terme affeilé de m’ -4 djns la puiffiance (p -j- m^d .v) r— 1 & ainfi 
de fuite, il effi clair, dis -je, que le terme affieété de m* dans la férié pré- 
cédente fera repréfente par 


des Sciences et Beetes-Lettres. 




(A + rBc + ±=^ Ce* + 


r (r— 0( r — i) 

i. 3 


De * -f dcc.^dx*; 


or le terme afleclé de m K dans la férié n -{-* mdn -f- 


l 2 d 2 U 


-f- &C. 


eft évidemment 


j.» 

m a u 


X. 1 . } - - - - A 

atnfi comparant ces deux termes on aura 

d A ü — 1.1.3 kÇA-{-rBc-\- 

où u ~ p\ 


r(r— l) 


Ce* 4- fcc.^dx* 


Mais il eft facile de voir que Ton aura 

(r I) (r 1 ) - - - (r A -f- T ) 


A ~ 


i. î. 


3 


- A 


t 


g (r — l) (r — a) (r — 3 ) - - - (r — À + l) _ A + , , _ , 

i. a. 3 - - ; - A — x ^ l 

r (r —!)(/■ — 3 ) (r — 4 ) - - - - (r — A + 3) 


I. 


a. 


3 ' - - - A — 4 


? 


2) ( r — 3)(r — 4)(' — 0 (r— A + 4) r— A-f -a »— g 

x. a, i ... - A — 6 ‘ 


&C. 


Donc fubftituant ces valeurs, & faifant attention que 

(r i)(r q) (r — A.-f x) r(r l)(f a) - - - (r — A + Q 

X. î. 3 - - - - A 


I. 


x - - - A — x 

„ A (A— i) 


r(r— k + l) 

fr — t)(r — 3 ) ( r — A + 3) r(r — i)(r— a) - - - (r— A4- Q 

- - - A. 


x. 


X - - - - A — 4 i. a. 3 

x A (A — i ) (A — i) (A — 3) 

r (r — i) (r — A- + O (' — A + x) 
& ainfî de fuite, on aura 


il 6 Nouveaux Mémoires de l’ A cadémie Royale 

N 

d \p r ~ r(r — i)(r i) <J A _|_ i)/“*Y d * x 

r , A (A — i) c P , 

* (^ + ; — rrr • r* + 


A (A — i) <p , A (A — i) (A — a) (A — • 3 ) r 2 P 2 


2 - ( r — A + I) (r — A +1) ' ç 4 

4. - v Ün Jl . liîi + kc?) 

a- l{r— A + 1 ) 0 - — A + a)(r — A + 3) •’* ^ ' 


A+ 1 f 
A (A — 1 ) 




OU 


P ci — f— bx —J— c x 

g b ZCX . 

De là on peut, en changeant A en — A, tirer la valeur de f x p r dx x y de 
l’on trouvera, d’après ce qui a cté remarqué dans l’Art, prcc. 

F +X 

Pfâx> — ; 

(r + 1) ( r + a) - - - - (r + A)ï 

A_(A_+_i) cp A (A -f 1) (A + a) (A + 3 ) 

+ A + 1 * ”> a (r + A + l) (r -|- A -f- -j * *« 

A (A -f- 1) - - - (A + 5) 


x ( I + ; 


+ 


3 r ,3 


c J P 


A 


ôcc.ÿ. 


a. 3 0 + A + 1) (r + A +*a) ( r + A + 3) * ÿ 
Ainfi faifant A zz 1 on aura 

r r , P' + 1 f , ^ C P I 3-4<V 

J P X (r + ,;}V *" ('• + î)î 2 (r +l)( r + 3)î 4 

' (r + a) (r + 3) (r + 4 )‘i 6 ' J 

ce qu’on peut aifément vérifier par la différentiation. 

Si dans l’expreflion précédente on fait zc ~ k y on aura plus fim- 
plemcnt 

r r . _ PpJ_ , ^' +2 , *-3*V+ 3 

<P X (r + l)j ‘ (r + l)(r+a)î 3 ”* (r + I) (r + l) (r + })j* 

1 »- 3 ->*y +4 1 &c 

"T" (r + l)(r + i)(r + 3>(' + 4)î 7 “ 

de on reconnoîtra facilement la vérité de eette formule en remarquant que 
dp ZZ qàx y de d q ZZ kdx. 


11 . On 


des Sciences et Belles-Lettres. 


ii7 

xi. On peut encore trouver une autre expreflion de d'r/, laquelle re- 
viendra au même pour le fond, mais qui pourra être regardée comme plus 
fimple pour la forme. 


Pour cela je reprends la quantité 
(p -f- mqdx -f- m'edx 1 )' 

dont il s’agit de trouver le terme affeélé de m\ 6 c je fais pour ua moment 
àx — zpdt } elle deviendra 

p r x (i -f- zmqdt -f- 4/72 pcdt*) r - } 

je confidcre maintenant que 4 pc — q' zz 4<:(a -f- bx -j- ex 1 ) 
— ( b 4- a ex ) 1 zz 4 ca — b'~\ d’où il s’enfuit que fi on fait pour 
abréger 

4 ca P — h 

or. aura 4pc ZI A -f ce qui réduira I’expreflion précédente à 
celle-ci: 

p r (( 1 -f* mqdt Y -j- m* h d t') r . 

Or la quantité (( 1 -f- mqdt)' -f- m'hdt 3 ) r fe développe d’abord en 
cette férié 


(1 -f- mqdt) lr -f- r(i -f" mqdt) lr 1 hm*dt* 
_j_ r ' r . — ( x -j- mqdt) lr ~~ ' 4 h 2 m*dt* 

4. r(r — ZLiî(i -f- m^df) lr ~ *h} m 6 dt* 
+ &c. 


enfuite développant encore chaque puifTance de 1 -j- mqdt } on trou- 
vera que le terme affeété de m' fera repréfenté par la férié 
Ifouv. Mau. 1771. Ee 


2 1 8 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalh 

ir(ir — i) (ar — a) - - - ■ (u — A + r) 


i.. 




hàt* 


r _ (*' “ 2 ) ( ir — 3) - ' - (îr — A + 0 

+ r - .. j — : — : — : — T- — m i 

1 a. l. a.. J - r - A — 4 z 

-f- &C. 

Ainfi cette férié multipliée par p r fera égale au terme 


A , A 

m d u 


i. a. 3 - - - - A 

d X 


de forte qu’on aura, en remettant — - à la place de dr, & p r à la pla- 
ce de u y 

à\p r zz zr(zr — i) (xr — 2) - - - (xr — A -f 1) 

x J_r *(*— 0 . A I r ( r — O . A(A— I?(X— a) (A— >) _ f 
' 1r(ar — l) * s 2 ' X ’ X r(xr — i)(ar. — 2 )\ zr — i) * S* 

1 r (r — l)( r — 2) A (À — l) - - - (A — 5 ) h 3 , „ \ 

a. 3 * ar(ir— 1) -- - lar— J)* "T “ C V 

Si dans cette formule on fait r zz — j, ôc p ~ 1 — x 1 , par 
conféquenc a zz 1 , b z o, t z — 1, ^ — — 


2 x. 


A ZZ 


4 , on aura 


„ A . A 

1. a. 3 - - - Ax di 


JA 1 

V(l — * 2 ) (1 _ ,*)* + * 

x f x , T A (A — Q , k 3 __ A (A — Q (A — a) (A — 3} 

V. ' 2 ‘ 1. a j 1 ' a. 4 1. a. >. 4 x* 

+ ^ 


C’eft la formule que Mr. Euler a trouvée par induétion dans fes Inflitutions 
du calcul différentiel. 

On peut aulîï, dans la formule générale ci-delTus, faire A négatif, 
de l’on aura alors, comme dans l’Art, précédent. 


dss Sciences et Belles - Lettres. 


x i 


/ya^ n 

(ir + I) (îr + 1) - - - (ir + X) Qj 

fri _„*(A + 0 h i r 0— -O X(A 4- i)(A+x)(A-f 3) &* 

* L + *'<> — .) * î 2 ~1" 


+ 


1 ’ ir(lr— l)(xr — 1 X sr — 3 ) ’ ï 4 

,(r_i)(r— x) A'A-f-l)(A + x) (À + J) * 3 


1. 3 ar(ar — j)(ir — a) (xr 

Ainfi faifant A — i , on aura 


±i; . k 4 + &0. 

—5) ~ J 


r , , _ x p ,+ x ( , * , 3^ 

J? X (sr+i)fV ' (ir— i)j 2 ' (ar — I) (ir — 3),-» 

+ 


3- î / ‘ 3 


+ &C.). 


(ir — I) (u — 3) (xr — 5)^ 

Au rcfte ccs formules pour les intégrations font en quelque forte plus cu- 
rieufes qu’utiles, parce qu’elles ont toujours l’inconvénient d’aller à l’infini, 
même quand l’intcgrale peut être exprimée d’une maniéré finie; mais elles 
n’en font pas moins remarquables, puifqu’elles fervent à montrer de plus en 
plus l'analogie qu’il y a entre les différentiations & les intégrations. 

xx. Soit à prêtent u une fonction de x & y, & fuppofons par 
exemple u ~ xy, on aura donc (Art. i 8-) 

m 3 d 3 tt . 

-f- &c. 


I J I ™~à z u . 

u 4- ma u 4- + 

1 1 x 1 x. 3 


fi J i m* à* x . m 3 d 3 * . . N 

= (* + mi * H 1- — — + &C -J 

* {y ■+■ wd 7 + -7— + 


3 1 / 

m 3 d 3 y 

»■ 3 


+ 


~ A-y -f- m(xdy + ydar) 

4- + d * d 7 -f '-£) 

4. 4- d -i£r 4. fLÜf 4- 

1 \i.x.3 1 i.i.x 1 i.i.x 1 1 . 1.37 

4- &C. 


Ee x 


iio Nouveaux Mémoires di l’Académie Royale 

Donc comparant les termes affe&és des mêmes puiffanccs de m, on aura 
u ~ xy 

du ~ xdy ydx 

à 1 u — xà*y -f- idjrd y -f- yd'x 

d 'u — xd'y -f- 3d xd*y 3 dyd 2 x -f- yd'x 

&C. 


de en "encrai 


d* u — y d x x -f- Adyd 




+ — l) d]yi'-!x + &C. 


a - 3 


c’eft la férié que Leibnitz a donnée dans le Tome cité des Mifccllanea Bero- 
linenfia. 


Si dans cette férié on fait A négatif, c’eû à dire qu’on y mette A 

à la place de A, & qu’on change en conféquence les différences dont l’ex- 
pofant fera négatif en intégrales du même ordre, on aura 

Pu — yp X — Ad yp+'x -f- ^L±j2 d > y p + * x 

d'yp+'x 4. & c . 


A (A + i)(A + a) j,.. r>.+ i 


*• 3 


or fi on fuppofe, ce qui cft permis, que la différentielle d* foit confiante, 


îdï 


r* - 




a. 3 d . 


& en général 


on aura fx ~ 

P* - 

a. 3. 4 - - - + J)dy* 

donc fubfiituant ces valeurs dans l’équation précédente, & la multipliant 
toute par d x A , elle deviendra 

Ax* + a - 


Pudx" ~ 

+ 


a4- i 

* y 


2. 3 - . . (A + 1) 

A (A + i)* A + *d*_y 


d r 

a - 3 - - - (A + a)d* 


1. 2. 3 


(A + 


&C. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


m 


Si dans la formule ci-defliis on mer dx à la place de x, en forte que 
u = yd*, il faudra mettre f x dx ~ J K ~ l x à la place de /'*, & 

ainli des autres, & l’on aura 

Pydx — yf K ~'x — Ad yf y x -f- — ~^d*y/ A + 'x — &c. 


ou bien, en fubftituant les valeurs de/ A 1 x , f x x &c. & c multipliant 
toute l’équation par dx A— ‘ 

A , *+l, 

A xy Ar d y 

J ^ X a. 3 - - - À a. 3 - - - (A + i) d* 

A (X t.0 . tllfl &C. 

1 i 2. 3 - - - (A + a) dx 2 


Si A 


~ i, on aura donc 
fyd.r = xy — + 


xu y 

2. 3 d x 2 


&C. 


c’eft la férié que Mr. Jean Bernoulli a donnée dans les A&es de Leipfic 
de i 



Ee 3 


xzx 


Nouveaux Mémoires db l’Acadhmie Royale 


SUR 

LA FORME DES RACINES IMAGINAIRES 

DES ÉQUATIONS. 

Par M. de la Grangi. 


I l femble que les Analyses ayent toujours regarde comme vraie cette pro- 
pofition, que toutes les racines imaginaires des équations peuvent fe 
réduire à la forme A B V — i , A 6 c B étant des quantités 
réelles; mais ce n’eft que dans ccs derniers tems qu’on cft parvenu à la dé- 
montrer d’une maniéré rigoureufe & générale. 

La première démonftration qu’on ait donnée de ce beau théorème cft 
celle qui fe trouve dans les Mémoires de cetre Académie pour l’année 
1746, de qui eft duc à Mr. d’Alcmbert; cette démonftration cft très ingé- 
nieufe, de ne Iaiflc, ce me femble, rien à defircr du côté de l'exactitude; 
mais elle efl: indirede, étant tirée de la considération des courbes de des fui- 
tes infinies; de elle porte naturellement à croire qu’on peut arriver au 
meme but par une analyfc plus ftmplc, fondée uniquemenc fur la théorie 
des équations. En effet, comme le radical imaginaire ]/ — 1 peut 

avoir indifféremment le (igné -(- ou , il efl: clair que s’il y a dans une 

équation quelconque une racine qui foit repréfentée par A -f- B ]A — 1 , 
il devra y en avoir en meme tems une autre qui le foit par A — B 1 / — 1 ; 
ainfi chaque fadeur imaginaire tel que * — A — B [/ — 1 , fera 

toujours accompagné du fadeur correfpondant a: A -J- BV' 1 ; 

en forte que le produit de ccs fadeurs fera x 2 — zAx -f- A' -j- B% 
qui efl un fadeur du fécond degré tout réel. 

D’où il fuit que toute équation pourra fe décompofer en des fadeurs 
réels du premier ou du fécond degré. Or cette proposition paroic de na- 


dbs Sciences et Belles-Lettres. 




turc à pouvoir être démontrée par les fculs principes de la théorie des équa- 
tions; & il eft clair qu’il fuffit pour cela de prouver que toute équation 
d’un degré plus haut que le fécond peut toujours fe partager en deux autres 
équations dont les coëfficiens foient des quantités réelles. C’cft l’objet 
que Mr. Euler s’eft propofé dans les favantes recherches qu’il a données dans 
les Mémoires de 1749, fur les racines imaginaires des équations. Il y 
confidere féparément le cas où l’expofanr de l’équation eft une puiiiance de 
deux, & celui où cet expofant eft une puiflance de deux multipliée par un 
nombre quelconque impair; & dans ce dernier cas il trouve que toute équa- 
tion du degré z". m (m étant un nombre impair) peut être divifée par 
une équation du degré z" dont le coefficient du fécond terme foie déter- 
miné par une équation d’un degré impair, laquelle aura par conféquent tou- 
jours une racine réelle; de là Mr. Euler conclut d’abord que les coëfficiens 
des autres termes auront auffi des valeurs réelles, parce qu’il fuppofe qu’en 
éliminant fucceffivement les puiffànces de ces coëfficiens plus hautes que la 
première, à l’aide des différentes équations de condition qu’on aura entre 
tous les coëfficiens, on puiffe toujours parvenir à déterminer les coëfficiens 
dont il s’agit par des fondions rationelles de celui du fécond terme; cette 
réduélion paroit en effet toujours poffible en général; il fe trouve néan- 
moins des cas particuliers où elle ne /kuroit avoir lieu, & dans lesquels par 
conféquent la dcmonftration de Mr. Euler fera infuffifante; mais cette dé- 
monftration eft furtout infuffifante à l’égard du premier cas où le degré de 
l’équation propofee eft fuppofé être une puiffance de x. 

La réfolution de ce cas paroit d’abord beaucoup plus difficile; car lors- 
qu’on cherche à divifer une équation ou degré x n par une autre équation 
d’un degré inférieur quelconque, on parvient toujours à des équations de 
degrés pairs pour la détermination de fes coëfficiens; de forte que pour 
pouvoir s’affurer que l’un de ces coëfficiens fera réel il faut que l’équation 
dont il dépend ait fon dernier terme négatif. Quand on décompofc une 
équation du quatrième degré dont le fécond terme eft évanoui, en deux au- 
tres du fécond degré fuivant la méthode de Dcfcartes, on trouve que les 
coëfficiens des féconds termes de ces divifeurs font donnés par une équa- 


2.Z4 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

tion du fixieme degré, dont le dernier terme eft effientiellement négatif, 
étant égal à un carré afFeété du ligne — ; cette obfervation a porté Mr. 
Euler à penfer que la même chofe pourroit avoir lieu dans toute équation 
dont le degré fera une puiflance de z , «5c où le fécond terme fera pa- 

reillement évanoui , lorfqu’on cherchera à la décompofer en deux autres 
d’un degré moindre de la moitié. Mr. Euler tâche de démontrer par la na- 
ture même des racines de l'équation qui doit fervir à déterminer les cocffi- 
ciens des féconds termes de ces divifeurs, que cette équation aura toujours 
pour dernier terme un carré avec le /igné négatif; mais il faut avouer que 
fon raifonnement eft peu concluant; ainli que Mr. le Chevalier de Foncenex 
l’a déjà remarqué dans le premier Volume des Mélanges de Turin, & comme 
nous le montrerons encore avec plus de détail dans ce Mémoire. 

Cette raifon a même engagé l’habile Géomètre dont nous venons de 
parler à prendre un autre chemin pour parvenir à une démonftration exafte 
du même théorème, & on ne fauroit difeonvenir que celle qu’il a donnée 
dans le Volume cité n’ait l’avantage de l’élégance & de la (implicite; mais d’un 
autre côté elle eft auffi fujette à quelques-unes des difficultés qui ont lieu 
dans celle de Mr. Euler & qui viennent de ce qu’on y fuppofe faufficment 
que dès que l’un des coëfficiens d’un divilêur d’une équation quelconque eft 
réel, tous les autres doivent l’être auffi. 

Il paroit donc par tout ce que nous venons de dire que le théorème dont 
il s’agit n’a pas encore été démontré d’une manière auffi direéte & auffi rigou- 
reufe qu’on pourroit le defirer. Comme je me fuis depuis quelque tems par- 
ticulièrement appliqué à perfeftionner la théorie des équations, j’ai cru de- 
voir auffi m’attacher à la difcuffion d’un point /i important de cette théorie; 
c’eft l’objet que je me fuis propofé dans ce Mémoire. En fuppléant à ce 
qui manque à la démonftration de Mr. Euler je tâcherai de faire en forte 
qu’il ne refte plus de difficulté ni d’incertitude fur cette matière. 

i . On fait que toute équation d’un degré impair a néceffiairement une 
racine réelle politive, fi fon dernier terme eft négatif, ou une racine réelle 
négative, fi fon dernier terme eft pofitif; <Sc de plus que toute équation 

d’un 


des Sciences et Belles-Lettres. 


d’un degré pair a néceflaircment deux racines réelles, l’une pofitive& Paurre 
négative, lorfque Ton dernier terme eu négatif. 

Ces théorèmes font fi connus que nous ne croyons pas devoir nous ar- 
rêter à les démontrer: il eft vrai que la démonftration qu’on en donne or- 
dinairement eft peu naturelle, étant tirée de la confidé-ration des lignes 
courbes; mais nous en avons donné ailleurs une plus dircéfe, déduite des 
Peuls principes de la compofition des équations (voyez les Mémoires pour 
l’année 1767). 

Hors les cas précédents on n’a point encore de caraélere général par le- 
quel on puifiê rcconnoître a priori fi une équation a des racines réelles ou 
non; nous nous propofons de donner dans une autre occafion nos recher- 
ches Pur ce point, qu’on peut regarder comme un des plus importans de la 
théorie des équations. 

x. Cela pofé il efi d’abord clair que toute équation d’un degré impair 
telle que 

*1* + , — -f ■ B x ln + ' — Cx 1 ”- 1 -f &c. — K ~ o 

pourra s’abaifter à un degré moindre d’une unité, c’eft à dire au degré pair 
immédiatement inférieur. 

Car comme on eft alluré que cette équation doit avoir une racine réel- 
le, fi on dénote cette racine par a , on aura 

a* m +‘ — A*'- m — Ca lm 1 -f &c. — K ~ o 

donc 

K — a lm 1 — Aa lm -f- Ba lm ~ l — Ca lm ~ 1 4- &c.; 
ce qui étant fubftitué dans l’équation précédente on aura celle-ci 



x' n + t 

a lm ~ 

- 1 

— • 

A(x lm — 

a lm ) 


4- 

B (x lm ~ 1 — 

a 1 " 1 — 

*) 

— 

C(x' n ~* — 

a lm ~ 

2 ) 


&C. ~ 0 



if en . 

* 77 * 




Ff 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


xi6 

laquelle le décompofe naturellement en ccs deux - ci 
x — a z o 

* 2m — (il + A)x 2m -' -f (a* + Aa -t- B) x- m 

— (a* -f A a* 4- Sa 4- C) x lm +' 4. «Sec. = o. 
Air.fi il fuffira de confidérer les équations de degrés pairs. 

3. Soit donc propoféc l’équation générale 

— A x m 1 4- Bx m ~ 2 — Cx m ~3 -j- «Sec. -f- K — o, 

il s’agit de prouver que cette équation, lorfque m eft un nombre pair plus 
grand que a, peut toujours fc décor.ipofer en deux autres équations donc 
les coéfficiens foicr.r des quantités réelles. 

Suppofons que 

— Mx n ~' 4- Nx ”- 2 — Px n —> 4- &c. 4- V — o 

fuit un des fadeurs de l’équation dont il s’agit; l’autre fadeur fera de la 
forme 

x m —” — 4 - N'x m ~ n ~'- — P'x m “"-3 4 &c. z= o 

«Se pour déterminer les coë.'Tkiecs Aï, A 7 , P «S te., A 4 ', P' « 5 c c. 
qui font au nombre de /??, il n’y aura qu’a multiplier ces deux fadeurs cn- 
fcmble, & égaler enfui te chaque terme du produit, au terme de l’équation 
propoîëe dans lequel x aura le même expofant; on aura par là m équa- 
tion-. qui fervironr à déterminer tous les ccëfnciens inconnus des fadeurs 
luppofcS. 

Ün peut au/fi con/îdérer Amplement le fadeur 

x" — Mx n ~' 4- Nx n ~ x — P. v"“ï 4- «Sec. 

& remarquer que, comme il doit divifer exadement l’équation propofée, fi 
on fait la divilion à la maniéré ordinaire ^ qu’on la pouffe jufqu a ce qu’on 
parvienne à un relie où l’inconnue a- monte à des puilTances moindres que 
.r’’, & qui par conlcqucnt ne pui/Tc plus donner des puilfances entières de x 


ots Sciekcks tï Uellhs-Lkttres. ' xij 

dans le quotient, ce refte devra être nul de lui -meme, de indépendamment 
de la valeur de .y; de force que délignant ce relie par 

{ix n ~ 1 -{- vx n ~ 1 -{- 7 rx n ~ i -j- &c. -j- u 

il faudra que l’on aie à la fois les équations f* — o, v — o, t — o dcc. 
» ~ o, lesquelles étant au nombre de « ferviront à déterminer les n 
cocfliçiens indéterminés M t iV, P &c. K du fadeur propofé. 

4. Telles font les méthodes qui fe préfentent naturellement pour dé- 
compodr une équation quelconque en deux autres de degrés inférieurs; 
mais pour notre objet il n’efl pas néceflàire d’exécuter cette décompofuion, 
il fuffit de faire voir qu’elle eff poflible fans tomber dans des quantités ima- 
ginaires. 

Or fi on fuppofe que dans les équations qui renferment les indétermi- 
nées M, N, P &C. on élimine toutes ces indéterminées hors une quel- 
conque, par exemple M> on aura une équation finale en M qui monte- 
ra h un degré d’autant plus élevé que le nombre de ces équations fera plus 
gran !, de la queltion fe réduira à lavoir i°. li cette équation aura au moins 
une racine réelle, a°. fi les valeurs des autres indéterminées N, P &c. 
corrcfpondantcs à cette racine feront réelles aufii. 

5 . Quant à la première condition on ne peut erre alluré de Ibn exigen- 
ce que lorfquc l’équation finale fera d’un degré impair, ou d’un degré pair, 
mais avec le dernier terme négatif (Art. 1). A l’égard de la fcconde, elle 
paroic d’abord une fuite néccffairc de la première; car comme on a entre les 
indéterminées M y iV, P, Q &c. autant d’équations qu’il y a de ces in- 
déterminées, il fcmble qu’on puiffe toujours par les méthodes ordinaires de 
l'élimination parvenir à exprimer, par des fondions rarionelles d’une quel- 
conque de ces indéterminées, les valeurs de toutes Jes autres; auquel cas il 
efl: clair que les valeurs de celles-ci feront néceffairemcnc réelles dès que la 
valeur de celle-là fera réelle. 

C’eften effet ce que la plupart des Analyfies ont toujours fuppofé, & 
fur quoi Mr. Euler & Mr. le Chevalier de Foncenex ont" fonde printipale- 

F f z 


xi8 Nouveaux Mémoires de l’Académie Roïalb 

ment leurs dcmonftrations du théorème dont il s’agit. Mais quoique cetti| 
propofition Toit vraie en général, il fe trouve cependant des cas 'OÙ elle de- 
vient abfolument fauffe, comme nous l’avons déjà fait voir dans l’Art, i o z. 
de nos Réflexions fur la réfolution algébrique des équations. Suppofons en 
effet qu’on foit parvenu par des éliminations réitérées à une équation entre 
les indéterminées M & N de la forme P N — Q z o, P & Q 
érant des fondions rationelles de M ; on aura donc par là N — en 

forte que N fera toujours réelle dès que M le fera; mais s’il arrive que 
la valeur réelle de M foit telle que les quantités P ôc Q évanouiffent à 
la fois, on aura N ~ §, ce qui ne fera rien connoîtrc: dans ce cas il 
fera donc douteux fi à la valeur réelle de M répond une valeur réelle de N 
ou non; en effet l’expreflion indéterminée qu’on trouve pour N eft une 
marque que cette quantité ne peut pas être donnée finalement par une 
équation du premier degré , mais qu’elle doit dépendre d’une équation d’un 
degré fupérieur, en forte qu’à la même valeur de M puifTent répondre 
différentes valeurs de N. 

6 . Pour éclaircir ceci par un exemple, je fuppofe que l’qn ait l’équa- 
tion du quatrième degré 

Ax J + Bx i — Cx -f- D ZZ o 

& qu’on veuille la décompofer en deux du fécond degré, repréfentées par 
x* — Mx -f- N — o, 
x s _ M'x + N' — o; 

on trouvera, en comparant le produit de ces deux -ci terme à terme avec 
celle-là, ces quatre équations 

M -f M' = A, 

MM' 4- AT -f N' — B y 
MN' + NM' — C, 

N N' — D. 


des Sciences et Belibs-Letthks. 


La première & la dernière donnent d’abord 

M‘ — A — M, 



& ces valeurs étant fubflituées dans les deux autres, on aura 

M(A — M) + N+ | z -B, 

~ + N{A — M) ~ C, 

lesquelles lerviront à déterminer M 6c N. 




Suppofons qu’on veuille exprimer N par Af, on multipliera la pre- 
mière par AI, 6c on en retranchera la fécondé, ce qui donnera 

M*(A — M ) -f- iMN — AN — BM — C 
d’où l’on tire 

C — BM + AM * — M* 

N — 

— A — iM 

ëc cette valeur de N étant fubftituée dans l’une quelconque des deux équa- 
tions précédentes donnera une équation finale en AI qui montera, au fixie- 
me degré. 

Maintenant je remarque que fi l’une des racines de cette équation fc 

A a _ AB A3 

trouve zi — , 6c qu on ait en meme tems C z — — — , cette 

2 . 1 8 

valeur de AI donnera N ~ f ; & pour trouver la véritable valeur de N 

dans ce cas il faudra reprendre les équations où N montoit au fécond de- 

A 4 B 4 3 

grc, lesquelles, en y faiiànt AI ZZ — 6c C ~ — —, fe ré- 

duiront à cette équation unique 

N 1 -4- (41 __ b^N -f- D ZZ o 

Ff 3 


lavoir 


Nouveaux Mémoires de l’Académib Royale 

laquelle cft, comme l’on voir, du fécond degré & donnera par conféqucnt 
deux valeurs différentes de N répondantes à la meme valeur de Mu:-. 

D’où l’on voit qu’il ne fuffit pas d’étre alluré que l’équation en M a 
néccffaircment une racine réelle, pour pouvoir l’erre auffi que le fadeur 
** _ — Mx -f- N ZZ o fera réel, puifqu’il peut arriver que le coeffi- 
cient N foit imaginaire, ce qui aura lieu dans le cas que nous venons 

d’examiner fi — 4-D ZZ o. 

7. Au rofte il cft bon de remarquer que la valeur de Al fera né- 

ccftaircmcnt une racine double de l’équation en M\ c’eft de quoi on peut fc 
convaincre a priori par cette confidération, que comme les deux fadeurs 
x ! — - Mx -f iV ZZ o, x* — M‘x -f- N' — o font fem- 
blables, les coëfficiens corrcfpondans M 6c Al' doivent être les racines 
d’une même équation, ainfi que les coëfficiens N 6c N'; ce qui eft d’ail- 
leurs évident par les équations mêmes qui fervent à déterminer ces quatre 
quantités, 6c qui font telles qu’elles demeurent les mêmes en y changeant 
Al en Al' 6c N en N'. Ainli, comme on a trouvé M' zz A — M, 
il s’enfuit que l’équation en AI devra être telle que fi M cft une de fes 

racines, A — ■ M en foit une auffi ; donc lorfque M ZZ ^ , les deux 

racines M 6c A — M deviendront égales. 

On peut encore prouver la même chofe par la nature même de l’équation 
en M; car pour avoir cette équation il n’y aura, comme nous l’avons dit, 
qu’à fubfticuer l’exprcffion générale de N trouvée ci-deft'us, & que nous 

défignerons pour plus de fimplicité par |, dans l’équation M(A — AI) 
_j_ Af -f- jj — B, ce qui donnera en ôtant les fraéfions 

Q' — (B — AM + M : )QP -f DP* zz o 
où P zz A — iM 6c 

Q — C — BM -f- AAI * — AP 


des Sciences et Belles-Lettres. 


131 

maintenant il efl clair que fi l’on a en même tems P ~ o & Q ZZ o, 
non feulement lequation précédente aura lieu elle-même, mais aufli la diflê- 
rentielle, qui fera 

iQAQ_-\-(A-xM)Q_PàM-(B- AM+ M'-) (QdP-f-PdQ) 

+ i DPdP — o; 

A 

d’où il s’enfuit que la racine M ~ — fera néceffaircment une racine 
double. 

8. Comme la voie de l’élimination efl très longue, & que d’ailleurs 
elle ne pourroit jamais conduire qu’à des réfultats particuliers, il faudra tâ- 
cher de découvrir a priori le degré, & la nature de l’équation par laquelle 
la quantité AI devra être déterminée, ainfi que la nature des fonctions qui 
exprimeront les valeurs des autres quantités 2 V, P, Q &c. en M. 

Pour cela on confidércra que puifque l’équation 

* n — Mx n ~ l -f- N x n 1 -f &c. = o 
efl fuppofé-c être un facteur de l’équation propofee 

jf™ — Ax " 1 - 1 4- Bx m ~ 1 — • Cx m ~* -f- &c. n o,' 
il faudra qu’elle foie formée du produit de n facteurs fimples pris parmi les 
m fbéleurs fimples de celle-ci; de forte que comme le nombre des maniè- 
res differentes de prendre n chofcs parmi un nombre de choies égal à m 
efl exprimé, fui vaut la théorie des combinai fons, par la formule 

m (m — 1 ) (m — a) - - - - (m — n -f- 1 ) 

1 . a. J . ... n 

il s’enfuit que l’équation propofée admettra un pareil nombre de divifeurs de 
la forme 

— ■Mx n ~‘ -f Nx*- X -f &c. z o 

& qu’ainfï chaque coefficient /If, N &c. fera fufceptible d’autant de va- 
leurs differentes, & par conféquent devra être déterminé par une équation 
d'"un degré marqué par la même formule. 


iji Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

9. Cette propofition eft connue depuis Iongtems des Géomètres, & 
on a coutume de la prouver par un raifonnement fcmblable à celui que nous 
venons de faire; mais il eft facile de voir que cette preuve eft fujette à quel- 
ques difficultés. Car quoiqu’il foit démontre qu’une équation du degré m 
peut avoir autant de diffiérens divifeurs du degré n qu’il y a de maniérés de 
combiner ni chofes n à. n, & qu’en même tems il paroiiïè hors de doute 
que les cocfficiens analogues de ces diffiérens divifeurs doivent être donnés 
par une même équation dont ils feront les racines ; cependant il n’cft pas 
évident que cette équation ne pourra pas avoir encore d’autres racines, puis- 
qu’il arrive le plus fouvent que les équations qu’on trouve pour la folution 
des problèmes tant algébriques que géométriques renferment bien des raci- 
nes inutiles, outre celles qui fervent à la réfolution cherchée. 

C’cft pourquoi il fcmble qu on ne fauroit,. à proprement parler, con- 
clure autre chofe du raifonnement ci- deffius, linon que l’équation qui doit 
donner la valeur de chaque coefficient du divifeur cherché ne peut être d’un 
degré moindre que celui qu’on a affigne , fans qu’on foit en droit de pro- 
noncer qu’elle ne peut pas être non plus d’un degré plus haut. 

Si on joint cette objc&ion à celles que Mr. d’Alcmbcrt a déjà propofées 
dans le premier Volume de fes Opufcules (page 1.17), on conviendra aifé- 
ment que la propofition dont il s’agit fur le degré de l’équation par laquelle 
chaque coefficient M f N &c. doit être déterminé, ne peut être admife 
fans une dcmonftration rigoureufe; mais nous nous contenterons ici de ren- 
voyer pour cet objet à la quatrième Seftion de no s Réflexions fur la réfolution 
des équations citées ci -deffius, où nous avons démontré cette propoficion 
d’une maniéré qui ne laiffie rien à defirer du coté de l’exaétitudc &r de la gé- 
néralité. 

10. La queftion fc réduit donc maintenant à voir fi, en fuppofact que 
m foit un nombre quelconque pair donné, on peut toujours prendre le nom- 
bre n moindre que m, & tel que le nombre 

m (m — I) ( m — 1) * - " " (« — n + i) 

II. 3 . ... n 7 

qu’on fait devoir être toujours entier, foit en même tems un nombre impair. 

Il 


»es Sciïïces et Belles-Lettres. 


133 

Il eft d’abord vifible que fi m eft un nombre pairement impair en 
forte que m zz x /, i un nombre impair autre que l’unité, il n’y aura 
qu’à prendre n ~ i, ce qui donnera la formule 

77" î ' = l(l£ - 0 

laquelle, à caufe de /, & de x i — i impairs, rcpréfentera nécefiairc- 

inenc un nombre impair. Si ni ~ 4 i, en fuppofant toujours i impair, 

on fera n zz 4, ce qui donnera la formule 

4,(4/ — 1) ( 4 i — g) (4 « — 3) «( 4 ' ~ >) (*« — O (4 ' — 3 ) 

I. a. 3. 4 — 1. 3 

laquelle rcpréfentera nécefiairement un nombre impair, à caufe que /, 
4 i — 1, xi — 1 & 4 i — 3 font tous impairs. 

On prouvera de même que fi m zz 8 i & qu’on prenne n ZZ 8 

on aura une formule qui ne donnera que des nombres impairs, & ainfi de 
fuite ; d’où l’on conclura en général que fi ni ~ x 7 , i étant un nom- 
bre impair, autre que l’unité, 6 c qu’on prenne n ~ x r , la formule 

m (m — l) (m — a) (m — 3) - - - - (m — n 4 - J ) 

J. 2. 3. 4 „ 

rcpréfentera nécefiairement des nombres impairs. 


En effet il eft clair qu’elle deviendra dans ce cas, en écrivant le déno- 
minateur à rebours, 

— l) (2 , t — 2 ) ( ïi — 3) C* 1 » — 4) - - - (l'< ~ -f ■) 
a' (a' — 1 ) (V — 2 ) (i' — 3) (*' — 4) 


c’efi à dire en divifant les fa&eurs correfpondans. du numérateur & du dé- 
nominateur autant de fois par x qu’il eft pofiiblc 

i(i r i — 1 ) — Q (1 ’i — 3) ( l’~ 2 ‘ — O - - - (l'i — 2 r -f I) 

(z r — l) (z' _I — O (*’ “ 3) (*'“ a — 0 1 


où l’on voit que le numérateur -S: le dénominateur ne renferment plus que 
des fadeurs impairs; de forte que la divifion faite on aura nécefiairement 
un quotient qui fera un nombre impair. 


Nom 1 . Hem. 177Z. 



i34 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

ii. Il eft donc démontré que toute équation d’un degré pair z'i 
(i étant un nombre quelconque impair autre que l’unité) peut être divifée 
par une équation du degré inférieur x r , dont chaque coefficient fera déter- 
miné par une équation d’un degré impair; de forte qu’on fera d’abord affiiré 
qu’un quelconque de ces cocfficiens aura une valeur réelle, & qu’il ne relie- 
ra plus qu’à prouver que les autres devront auffï avoir des valeurs réelles; 
car quoique chaque coefficient en particulier puiffe avoir une valeur réelle, 
étant donné par une équation de degré impair, cependant on n’en fauroit 
conclure que tous les cocfficiens auront à la fois des valeurs réelles; puis- 
qu’il n’cft pas démontre que les valeurs réelles que ces cocfficiens doivent 
avoir, foient précifément celles qui fe correfpondent de qui peuvent avoir lieu 
en meme tems. 

Or nous avons déjà fait voir plus haut que dés que l’un des cocfficiens 
eft fuppofé connu , on peut toujours exprimer tous les autres par des fonc- 
tions rationelles de celui-là, à l’exception de quelques cas particuliers où il 
arrive que la détermination de ces cocfficiens demande encore la réfolution 
d’une équation de deux ou de plufîcurs dimensions; ainff tout fc réduit à 
déterminer a priori quels font ces cas, de quel eft le degré de l’équation 
qu’on a alors à réfoudre. 

1 1. Cette queftion dépend de celle dont nous avons donné la folution 
ailleurs (Réflexions fur la réfolution des équations , Secl.IV. Art. ioo.) 
de qui cordifte à trouver la valeur d’une fonction quelconque des racines 
d’une équation donnée , lorfqu’on connoit déjà celle d’une autre fonction 
quelconque des mêmes racines. Car il eft viftble que les cocfficiens 
M, N ôcc. du divilcur . 

x” — Mx n ~ l -f Nx"- 1 — Px n -i -f- dcc. — o 
font des fonélions des racines de l’équation propofee 

x m — Ax m ~ l -f Bx m ~ 1 — Cx m ~3 — j— &cc. — o 
de il eft facile de conclure de ce que nous avons dit dans l’Art. 7, que le 
coefficient M en particulier fera égal à la fomme de n quelconques des 


des Sciences et B eiies-Letthes. 


*35 

m racines de la propoféc, que le coefficient N fera égal à la fonime des 
produits deux à deux de ces n racines, que le coefficient P fera égal à la 
fomme de leurs produits trois à trois «Se ainfi de fuite. 

13. En appliquant donc à ce cas notre folution générale on verra 
qu’on peut toujours exprimer par des fondions rarionellcs d’un quelconque 
des coëfficiens A 4 , iV, P &c. la valeur de chacun des autres, excepré les 
feuls cas, où l’équation par laquelle ce coefficient -là doit être déterminé 
ayant des racines égales, on voudra prendre précifément une de ces racines 
pour fa valeur. 

Alors chacun des autres coëfficiens devra néceïïairemcnt être détermi- 
né par une équation dont le degré fera égal au nombre de ces racines égales, 
&c dont les coëfficiens feront des fondions racionelles du même coefficient, 
qu’on fuppofe connu. 

De là il s’enfuit 

i°. Que fi la valeur réelle que doit avoir néceflairement un quelconque 
des coëfficiens A f, iV, P &c. dans le cas de l’Art. 1 o, une racine in- 
égale de l’équation par laquelle ce coefficient doit être déterminé, on fera 
alluré que tous les autres coëfficiens auront auffi nécefiairement des valeurs 
réelles. 

a°. Que fi cette valeur efi: une racine égale de la meme équation, alors 
pourvu que l’expofant de l’égalité foit impair, c’eft à dire que ce foit une ra- 
cine triple ou quintuple ou «S:c. , on fera auffi alluré que les autres coëffi- 
ciens auront des valeurs réelles, puifqu’iis dépendront d’équations de degrés 
impairs; mais il n’en feroit pas de même fi le degré de la multiplicité 
c*oit pair. 

1 4. Confidcrons en général une équation quelconque du degré p la- 
quelle ait v racines inégales, * racines inégales entr’elles, mais dont cha- 
cune en ait p — 1 autres égales, f racines inégales entr’elles, & dont 
chacune en ait r — 1 autres égales & ainfi de fuite, en forte que l’on 
ait p- ~ v -f- vp çr -f- &c.; on fait par la théorie des racines 

Gg 2. 


x3 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

égales, que l’équation propoféc pourra toujours fe décompofèr, fans aucu- 
ne extraction de racines, en differentes équations dont chacune renferme 
toutes les racines inégales du meme ordre; c’eft à dire en une équation du 
degré v qui ne renferme que les racines fimples «St inégales; en une équa- 
tion du degré qui ne renferme que les racines inégales dont chacune fe 
trouve p fois dans la propoféc; en une équation du degré ç qui ne ren- 
ferme que les racines inégales dont chacune fe trouve r fois dans la propo- 
fée, & ainfi de fuite. 

Maintenant fi on fuppofe que 1 ’expofànt foit un nombre quelconque 
impair, il faudra que la fomme des nombres v, xp, çr &c. foit un nom- 
bre impair, < 5 c par conféquent il faudra qu’un quelconque de ces nombres 
foit impair; fi v eft impair l’équation du degré v àura néceffairement une 
racine réelle laquelle fera une racine inégale de 1 équation propofée; fi ^p 
eft impair il faudra que v & p foienc l’un ôc l’autre impairs ; donc l’équa- 
tion du degré tt aura néceffairement une racine réelle qui fera une racine 
égale de la propoféc, dont l’expofanc d’égalité fera p, & par conféquent 
aufli impair; il en fera de même fi çr eft impair, & ainfi de fuite. 

15. De là & de ce qu’on a démontré plus haur, il s’enfuit donc que 
toute équation du degré 2 ' i (i étant un nombre impair) pourra toujours 
avoir pour drvifeur une équation du degré 2 r dont les cocfficicns feront né- 
ceffairement des quantités réelles (Art. 11 & 13); de forte qu’en divifanc 
l’équation propofée par cette dcrnicre on aura pour quotient une autre 
équation du degré 2 r (i — 1) laquelle aura auffi tous fes coëfficiens réels. 

Or comme i eft fuppofé un nombre impair, i — 1 fera un nombre 
pair, qu’on pourra repréfenter en général par 2 ’k (k étant un nombre im- 
pair), donc l’expofant 2 (/ — 1) deviendra 2 r+ 'Æ, & on pourra prou- 
ver de même que l’équation de ce degré pourra fe décompofèr de nouveau 
en deux autres équations réelles, l’une du degré 2 r +% <Sc l’autre du degré 
2 r +'(£ — 1); de fai fan t k — 1 — 2 '/ (/ étant un nombre impair) 
cette derniere équation aura pour cxpofànt le nombre 2 ' + ' + & pourra 

par conféquent fe partager de nouveau en deux équations, l’une du degré 
2 r + ' + f > l’autre du degré x r + * + f ( / — 1); & ainfi de fuite. 


des Sciences ex Beubs-Lettrbs. 2,37 

De forte que par cette méthode on pourra toujours décompofer toute 
équation d’un degré pair quelconque en autant d’équations réelles dont les 
degrés foicnt marqués par des puiflànccs de z t qu’il y aura de pareilles puif- 
fan ces dans le degré de l’équation propofée. Ainfi une équation du 6 "" 
degré pourra fe décompofer en deux, l'une du z d degré, l’autre du 4 mt ; une 
équation du 1 z mt degré pourra fe décompofer en deux, l’une du 4 m * degré, 
l’autre du g n,e ; $t ainfi du refte. 

1 6 . Il ne refte donc plus qu’à confidérer les équations des degrés 
marqués par des puiiïànccs de z ; il eft facile de voir que dans ce cas la 
formule de l’Art. 1 o. donnera toujours des nombres pairs, quelque nombre 
que l’on prenne pour n, au moins tant que n fera moindre que m , comme 
il le faut; de forte que la détermination des coc/ficiens M, JV, P &c, 
des divifeurs de ces fortes d’équatious dépendra toujours néceflàiremenc 
d’une équation de degré pair, dans laquelle on ne pourra par conféquenc 
i’alïurer de l’cxillence d’une racine réelle à moins que le dernier terme n& 
ibit négatif (Art. 1). 

Défignons en général I’expofont m de Péquation propofee par z\ Sc 
fuppofons que l’expofant n du divifeur foie la moitié de celui-là, c’eft à 
dire égal à z T ~~' ; en ce cas la formule de l’Arc, cité deviendra, en difpo>- 
fant le dénominateur à rebours, 

a' (a/ — t) (i' — i) (,i r — 3) (V~ r + 1) 

1' ~ 1 ~ 1 — i)(i' ~ l — i) (1' _ 1 — 3) - - - - 1 r 

c’eft à dire en divifant les faéieurs correlpondans du numérateur de du dé- 
nominateur autant de fois par z qu’il eft pofiible, 

- -(i r — i'~* + r) 

X.(a' — OCi'-* — I) (i'- 1 — 3)(|1' -3 — 1 ) - ... 1 . 
où l’on voit que tous les faéteurs du numérateur font impairs à l’exception du 
premier qui eft z r & que tous ceux du dénominateur font auffi impairs ; 
d’où il s’enfuit que cette formule repréfentera toujours des nombres impai- 
rement pairs. 


Cg $ 


2.33 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

i 7. Cela pofé, confidérons l’équation par laquelle doit fedécerminer le 
coefficient M\ elle fera, comme on vient de le voir, d’un degré impairement 
pair, fie aura pour racines toutes les différentes fortunes poflibles qu’on peut 
faire des racines de l’équation propofée en ne prenant à la fois qu’un nombre 
de ces racines qui foit la moitié du nombre total (Art. 1 i). 

^ a 

Qu’on faiïe maintenant dans cette équation M — - — - — , A étant 

le coefficient du fécond terme de l’équation propofée, fie u une nouvelle 
inconnue, on aura une transformée en u du même degré, dont les racines 
feront exprimées p3r A — z AI , c’eft à dire qu’elles feront égales aux 
différens réfidus que l’on aura en retranchant fucceffivement de la fomme 
totale des racines de la propofée, fomme qui eft — A, le double des dif- 
férentes fortunes particulières que l’on peut faire de ces racines en ne les 
prenant qu’au nombre de la moitié; de forte que les racines dont il s’agit 
ne feront autre cliofe que les différences entre la fomme de la moitié du 
nombre des racines de la propofée fie la fomme de l’autre moitié, en pre- 
nant ces fommes de toutes les différentes maniérés poflibles. 

Par exemple, fi l’équation propofée eft du quatrième degré fie a par 
conféquenc quatre racines a t b , c, </, on aura A — a -j- b -f- c 

d, fie les valeurs de AI ièront a -f- É, a c, a -j- </, 
b -j- c, b -f- d, c -f- d ; donc les valeurs de u — A — zM 

feront c -f- d a — b t b -f- d a c, b -j- c a </, 

a + d — b — c, a + c — b — d, a -f- b — c — d-, 
fie ainfi des autres équations des degrés fupérieurs. 

1 8 • De là il eft d’abord facile de conclure que l’équation en u manquera 
de toutes les puiffances impaires, puifqu’il eft évident que chaque racine po- 
fitivc doit avoir néccffaircment une racine négative égale; ce qu’on voit clai- 
rement dans l’exemple précédent, où les quantités c -f- d — a — b , 

b -j- d — a c, b -f- c a — d , font les négatives des 

quantités a. -J- b — c — d t a -j- c — b — d } a -j- d — b — - c. 


des Sciences et Belles-Lettres. 

Donc fi on fait u z ~ t, l’équation en u s’abaiffera à un degré 
moindre de la moitié, & comme on a prouvé que le degré de l’équation 
en u cft pairement impair, il s’enfuir que le degré de l’équation en / fera 
néceftairemenc impair; de forte que cette équation aura néceffuiremcnr une 
racine réelle, laquelle fera pofitive fi fon dernier terme eft négatif, & néga- 
tive, s’il efi pofitif (Art. i); or pour que u , & par conféqucnt AI, ait 
une valeur réelle, il faut que celle de t foit réelle & pofitive; par con- 
féqucnt la quefiion efi: réduire à voir fi le dernier terme de l’équation 
en t fera négatif; & comme le dernier terme de toute équation d’un de- 
gré impair pris avec un figne contraire efi égal au produit de toutes les ra- 
cines, tout confiftcra à voir fi le produit de toutes les différentes valeurs 
de t efi une quantité pofitive ou non. 

itj. Pour parvenir à ce but avec plus de facilité confidérons d’abord 

le cas où l’équation propofée efi du quatrième degré, (5c dans lequel nous 

avons déjà vu que les différences valeurs de u font 

a+b — c — d y a -j- c b ■ d t a -f- d — b — c, 

c -f- d — a b y b -\- d a c, b -f- c a — d ; 

il cft clair que comme les crois dernières quanricés font égales aux trois pre- 
mières prifes négativement, les différentes valeurs de ur ou t feront feu- 
lement ces trois 

(a -\- b c d)' y (a -j- c b d)' y (a -j- d b c)' ; 

de forte que le produit de ces trois valeurs fera égal au carré de la quantité 
(a b — c — d) {a -f- c — b — d) (a -j- d — Z> — c), 

& il ne s’agira plus que de voir fi ce carré efi toujours une quantité pofitive, 
quelles que foient les racines a , b , c, d ; il dt d’abord clair que fi ces ra- 
cines font toutes réelles, la quantité précédente fera aufli toute réelle, en forte 
que fon carré fera néceffaircmcnt une quantité réelle poficive; mais il peut 
n’en être pas de même s’il y a des racines imaginaires, d’autant que la forme 
des racines imaginaires efi encore regardée comme inconnue. 


iqo Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale 

2 . 0 . Mr. Euler ayant fuppofé pour plus de facilité le coefficient A du 
fécond terme de la propofée, nul, a trouvé à la place de la quantité précé- 
dente, celle-ci 

(a -f - b) (a c) (a J) 

qui, à caufe de a b c d ZZ. o t eft égale à celle-là diviféc 
par 8 > & il fe contente enfuite de dire que ce produit eft déterminable, 
comme l’on fait, par les quantités B , C, Z), & qu’il fera par conféquenc 
réel ; mais pour que cette conféquence foit légitime il faut prouver que l’on 
peut déterminer ce produit par une expreffion rationelle des memes quanti- 
tés j c’cft ce que Mr. Euler n’a point fait, du moins d’une maniéré di- 
çeéle <5 c a priori. 

Il eft vrai que le carré 

(a + b)' 0 * 4- c) 1 (a -f- dy 

fera toujours une fonélion rationelle des cocfficicns B, C, Z), mais la dif- 
ficulté confiftc précifément à démontrer que fa racine en fera une auffi. 

Pour fentir davantage la force de cette obje&ion il n’y a qu’à con- 
sidérer par exemple la quantité 

(a — b) (a — c) (a ■ — d) (b — c ) (b — d) (c — d), 

il eft certain que le carré de cette quantité peut s’exprimer par une fonélion 
rationelle des coëfficiens B, C , Z), mais il n’en eft pas ainfi de la quantité 
elle - même ; en effet on trouve pour la valeur du carré dont il s’agit l’cx- 

tyiy—r'.ïB'D+ï.yC'-BD- f- 4*P 4 Z) — 4C*5 j — 3*C + , 

laquelle n’eft: pas un carré en général ; de forte qu’on ne fauroit en conclure 
que fa racine fera toujours une quantité réelle. 

il. Le caraélere auquel on peut reconnotrre a priori fi une fonélion 
propofée des racines d’une équation quelconque peut fe déterminer par une 
expreffion rationelle des coëfficiens de cette équation, confifte, comme nous 
l’avoas démontré dans notre Mémoire fur les équations, en ce que cette 

foaélion 



DES SciE?JC.ES ET B fc E t E S- L ET T H E S, Z^i 

fonction doit être telle qu’elle ne change point de valeur, quelque permuta- 
tion qu’on y fade entre les racines dont elle elt compofée ; ainli il n’y a 
qu’à voir fi cette condition a lieu ou non dans la fonction 

(a - f- b — c — d)(a -f- c — b — d) (a d — b — c); 
comme les trois racines b, c, d y entrent également, il cft d’abord vifible 
que les permutations qu’on pourrait faire entre ces racines ne produiraient 
aucun changement dans la fonétion; mais on ne peut pas dire tout à fait la 
meme chol'c par rapport à la racine a , puifqu’elle n’cfl: pas difpofce à 
l’égard des autres comme celles-ci le font enrr’cllcs; voyons donc ce que 
donneront les échanges de a en Z>, en c, en d. 

En changeant a en b les trois, facteurs 


Il -f- b c dy 

a -f- c — b — dy 

a -j- d — - b 

fc changent en ces trois -ci: 



b -j- a — c — dy 

b -J- c — a — dy 

b -j- d — a 


par où l'on voit que le premier demeure le même, que le fécond devient le 
troilieme avec un ligne contraire, & que le. troifieme devient le fécond avec 
un ligne contraire. On trouvera pareillement qu’en changeant a en c 
ou en d , il y aura toujours un des trois facteurs qui demeurera le même, tan- 
dis que les deux autres fc changeront l’un dans l’autre en changeant en mê- 
me tems de lignes; d’où il elt facile de conclure que le produit des trois 
facteurs demeurera toujours le même. 

La circonltancc qui fait que ce produit ne varie point, c’clt que les 
faéteursqui fc changent l’un dans l’autre, en changeant en même tems de lignes, 
font en nombre pair; car fi les facteurs qui changent de fignes étoient en 
nombre impair, alors il elt facile de voir que le produit dont il s’agit con- 
lerveroic à la vérité la même valeur abfolue, mais en changeant de ligne; 
c’eft là la raifon pourquoi la fonéiion dont on a parlé ci-defiùs (Art. 10.) 

0 * — b) (a — c) \a — d) ( b — c ) (b — d) (c — d) 

H h 


Noav. Man. I 771 . 


^4^ Nouvbaux Mémoires de l’Académie Royalb 

ne fauroit être exprimée par les coëfficiens v/, B , C, D d’une maniéré 
rationclle; car en changeant, par exemple, a en É, le fuéteur a — b 
devient finalement négatif, les fadeurs a — r, a — d fe changent 
dans les fadeurs b c, b — J, & le dernier fadeur c d de- 

meure le même; de forte que puisqu’il y en a un qui change fimplement de 
figne, un qui demeure tout à fait le même, & quatre donc deux fe changenc 
dans les deux autres, il s’enfuit que le produic total devra devenir négatif. 

zz. II eft facile maintenant d’appliquer le meme raifonnement au cas où 
il y aura plus de quatre racines, & de s’aflurer a priori que le dernier terme 
de la rédhite en t fera Toujours un carré avec le figne — . Suppofons, 
par exemple, que les racines de l’équation propofée foient au nombre de 
fix, favoir a , b, c, t/, e, / (quoiqu’à proprement parler nous n’ayons be- 
foin de confidcrer ici que les équations dont les degrés font des puiüTances 
de z, cependant nous prendrons le cas d’une équation du fixicme degré, 
parce qu’il eft plus fimplc que celui d’une équation du huitième, & qu’il 
peut fervir à faire voir que la proportion eft générale pour toutes les équa- 
tions des degrés pairs), on verra ailément par ce qui a été démontré plus 
haut que le dernier terme de la réduite en t fera égal au carré du produit 
de ces dix quantités 

a + b c — d — e — f, 

a + b -j- d — c — e — f, 

a "h b + * — d ~ f 

« + * + / c — d — 

a-f c -h d — h — * — f 

a ~h c + e — b — d — f 

« -f- c + / — b — d — 

a + à -f e b c /, 

a + d + / b c 

+ e f — b — c — d. 


a 


des Sciences ex Beiies-Lettres. 


a 4 3 

pris avec un ligne contraire; de forre qu’il ne s’agira que de voir fi ce pro- 
duit demeure le même en failànt couces les permutations poffibles entre les 
fix racines a , b , c &c.; auquel cas on fera affiiré qu’il pourra être expri- 
mé par une fonction racionelle des coêfficiens A, B , C &c. de l’équation 
propofée. 

Pour cela je remarque d’abord que les i o quantités précédentes font 
telles qu’elles renferment toutes les permutations poffibles entre les cinq ra- 
cines b , c , d, e , / puifqu’elles ne font autre chofe que les différentes va- 
leurs de la quantité a -f- b -f- c — d — e — f, qui réfultent de 
toutes les échanges polïibles entre les cinq lettres é, c, d , e, f, la lettre a 
étant regardée comme fixe; d’où il s’enfuit qu’en faifant le produit de ces 
i o quantités on aura une fonélion des racines a , b , c &c. qui fera telle 
qu’elle ne recevra aucun changement par les permutations des cinq racines 
b , c, d , <?, f entr’elles ; de forte qu’il fuffira de confidérer les réfultats des 
échanges de la racine a dans les cinq autres; <5c comme les échanges de 
celles-ci entr’clles ne produifent aucun changement dans la fonction dont il 
s’agit, il eft clair qu’on aura le même réfultat foie qu’on change a en b 
ou a en c ou a en d ou &c.; par conféquent, il fuffira de confidérer 
une feule échange comme celle de a en b , & fi elle ne fait point varier le 
produit des dix quantités ci-dcffus on fera affuré que ce produit fer a déter- 
minable par une fonélion rationclle des coêfficiens A, B , C &c. de 
l’équation propofée. 

Or, en changeant a en />, il eft vifible que les quatre premières quan- 
tités, où les lettres a 6c b fe trouvent jointes avec le figne -j-, demeure- 
ront les mêmes, puifque a -j- b eft la même chofe que b -f- a\ 6c 
que les 6 dernieres, où les lettres a 6c b ont des lignes différens, fe change- 
ront l’une dans l’autre en changeant en même tems de lignes; d’où l’on 
conclura que le produit de toutes cc$ quantités demeurera néceffairement le 
même, puilque les fadeurs qui changent de lignes font en nombre pair. 

On confidérera maintenant que pour avoir les dix quantités qui 
font les fadeurs du produit en queftion il n’y a qu’à ajouter fucceffivemcnt à 

Hh z 


3.44 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

la racine <r, les fommes des autres cinq racines prifes deux à deux , & en 
retrancher en même rems les racines reliantes; d’où il dl d’abord facile de 
conclure que li le nombre de toute» les racines étoit x //, il faudrait, pour 
avoir les fadeurs dont il s’agit, ajouter fuccdlivement à la racine a les fom- 
mes des autres xn — i racines prilés n — i à n i, & en retrancher 

en même rems les racines reliantes; moyennant quoi le nombre de ces 
facteurs fera exprimé, comme il réfulte de la théorie des combinaifons, par 
( 2 * — 0 (i" — a) — ■'•') - - - (r. -f i) 

»• »• 3 ... (a — l)* 

En fuite on confidérera qu’en changeant a en b , quelques-uns de ces 
fadeurs demeurent les mêmes, tandis que les autres fe changent cnrr’eux en 
changeant en meme tems de lignes; de forte que pour favoir le nombre de 
ces derniers il fuffîra de retrancher du nombre total, celui des fadeurs qui 
demeurent les mêmes en changeant a en b. Or il elt viable que ces 
fadeurs-ci fe trouveront en ajoutant fuccclîivement à la fomme a -f- b 
les differentes fommes des autres x n — x racines prifes n — x h 
n — i, & retranchant en même tems les racines reliantes; de forte que 
le nombre de cts fadeurs invariables fera exprimé par 

— -) (» — 3) - - - - (" -—0 

I. X - - (n — x) * 

donc, retranchant cette quantité de la précédente, on aura 


(zn 

- 0 (2 

n — 2) (î 

,n — 

3Ï - - ' - 

(n 

+ 

') 


i. 

« 

■» 

3 

- 

(* 

— 

0 


(7 R 

•0 (2« — 

î) ' 


0* 

+ 

>) 


I. 

X 

- 

. 

( n 

— 

») 

en 

rédiiifmr 

r.u même 

dénominateur, 




(in 

— (z . 

* — v 0 

n — 

4) - - - 

- («) 



» 

x • 

». 

3 

- ' 

0 

— 

<) 


pour I‘c yprelfion du nombre des fadeurs qui s’échangcnt entr eux en chan- 
geant en même tems de lignes. 


des Sciences et .Belles - Lettres. 


2-45 

Ainfi la qucftion cfl de voir fi ce nombre fera toujours pair; or c’eft ce 
qui elt évident; car fi on divife le haut & le bas de la fraction par 
n i, elle deviendra 

„ — 3) — 4) (a« — 5) « 

i. a. 3 - - - n — a’ 

mais la quantité 

(in — 3) (m — 4) (vn — ;) n 

J. 2 . 3 0 — "0 

eft toujours un nombre entier, puifquc c’cft le coefficient du (n — i) me 

terme d’un binôme élevé à la puiflancc z n 3 ; donc le double de ce 

nombre fera toujours néccffiûremcnt un nombre pair. 

z 4. Nous venons donc de démontrer rigoureufement qu’en confidé- 
rant une équation du degré z r comme exactement divifible par une autre 
équation du degré z r— le coefficient M. du fécond terme de celle-ci 
fera néceflàirement déterminé par une équation telle qu’en y faifant 

M ~ — (A étant le coefficient du fécond terme de la propofée) 

& enfiiite u 3 ~ t, il viendra une transformée en t d’un degré impair, 
& qui aura fon dernier terme négatif en forte que l’inconnue t aura tou- 
jours une valeur réelle poficive; moyennant quoi la valeur de u fera aulfi 
réelle. 

Donc, puifque M a nécefiairement une valeur réelle, il s’enfuit 
(Art. 1 3.) que tous les autres coëfficiens N , P, &c. du divifeur en 
queltion auront aulli chacun une valeur réelle, à moins que la valeur réelle de 
M ne (oit une ravine multiple de l’équation en M\ auquel cas il peut arri- 
ver que les valeurs des autres coëfficiens foient imaginaires, comme nous 
l’avons ücj\ iemarvue plus haut. 

Il efl donc nécdlàire d’examiner ce cas, & de voir comment il faudroit 
s’y prendre pour trouver alors un divifeur tout ratio nel de l’équation pro- 
pofée. 


Hh 3 


iq .6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


Je commence d’abord par remarquer que comme u ~ V' f, on aura 
M — A — Yj j d’où l’on voit que chaque valeur de t donnera deux 


valeurs de A/, qui ne feront jamais égales, à moins que l’on n’aic t Z o; 
de plus il eft clair que fi toutes ces valeurs de t font inégales, celles de M 
le feront auffi ; de forte que l’équation en M n’aura proprement de racines 
égales que dans deux cas, l’un où lcquation en r en aura elle -même d’éga- 
lcs, l’autre, où l’équation en t aura une ou plufieurs racines — o. 

Suppofons d’abord que l’équation en t n’ait aucune racine . ~ o, 
mais quelle en ait plufieurs égales entr’elles; comme cette équation eft 
d’un degré impair, on prouvera par un raifonnement femblable à celui de 
l’Art. 14. qu’elle aura nécefiairement une racine réelle inégale, ou égale 
d’un ordre d’égalité marqué par un nombre impair; d’où il eft facile de 
conclure que l’équation en M aura auffi nécefiairement une pareille racine, 
& même deux, en forte que chacun des autres cocfficiens JV 9 P , Q &c. 
aura nécefiairement une valeur réelle (Art. 1 3.) 

Ainfi, quelles que foient les racines de l’équation en r, pourvu qu’aucu- 
ne d’elles ne foit nulle, on fera afiùré que les cocfficiens du divifeur auront 
tous des valeurs réelles. 


15. Il n’en eft pas de même lorfque l’équation en r a une racine nulle, 
ce qui arrive quand fon dernier terme fe trouve ~ o. Dans ce cas il eft 
clair que la racine t ~ o donnera dans l’équation en M deux racines 

égales à — ; de forte que chacun des autres coëfficiens 2 V, P &c. dé- 
pendra nécefiairement d’une équation du fécond degré qui pourra n’avoir 
aucune racine réelle; il eft vrai que l’équation en t pourra avoir encore 
d’autres racines réelles; mais la difficulté confifte à prouver qu’elle en aura 
toujours de telles. En effet cette équation étant divifée par t , ne montera 
plus qu’à un degré pair; de forte qu’il faudroit démontrer en général que le 
dernier terme fera toujours négatif; ce qui d’ailleurs n’eft pas vrai. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


247 

• Pour donner un exemple de l’infuffifance de la méthode précédente 
dans le cas donc il s’agit nous reprendrons celui de l’Art. 6. où l’on propo- 
fe de trouver un divifeur du fécond degré x 2 — Mx -j- N — n de. 
l’équation générale du quarrieme degré x 4 — Ax 1 -f- B x 2 — Cx 
-}- D — O. En fubfti tuant l’expreffion de N en M, & faifanc en- 

« . . r A -f- U A -f- V t . 

fuite M ~ — on trouve cette réduite en t 


t ’—( 3 A-'-8B)r + (3^ 4 — * + 16B 1 + 16 AC — 6±D)t 

— (A* — 4 AB + 8C) 3 ~ o 


laquelle a, comme l’on voir, fon dernier terme toujours négatif; 


Maintenant, fi l’on a 

A' — 4^5 -f ~ o, 

il eft clair que l’équation précédente aura d’abord la racine t — o, la- 
quelle donnant M ZZ ^ on tombera dans le cas que l’on a déjà examiné 

dans l’Art, cité, & où l’autre coefficient N du divifeur x 1 -f- Mx 
-j- N - ~ o dépendra d’une équation du fécond degré qui n’aura de ra- 
cines réelles que tant que 4 D ne furpaflera pas Ç— — B^j *; de forte 
que dans le cas où D > le coëfficient N fera imagi- 

naire, & l’équation propofée du quarrieme degré Ce trouvera par ce moyen 
décompoféc en deux équations imaginaires du fécond degré, lesquelles 
feront 

x* — — -j- N 1 — o, x* — - 4- N" 

1 1 Z 1 

N' & N" étant les racines de l’équation 

jV* 4- (lî — B^N + D = o. 


= o. 


148 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

Pour avoir donc des faveurs tout rccls il faudra dans ce cas chercher 
une autre valeur de r; or l’équation en t étant toute divifée par c devient 
r — ( 3 ^ 3 — $ Jj) t + 3 ^ 4 * *— 1 6A'-B -f 1 6 B 1 

-j- 16AC — 64D ~ o 

ou bien, en fubfiituant à la place de C fa valeur — - 4 A -- , 

* 8 

t 2 — ( 3 > — 8 B)t -f (A z — 4 By — 64D — o, 

dans laquelle on voitque le dernier terme fera pofitif fi {A 1 — 4#) : > 64D; 
de forte qu’on ne peut pas être alluré en général que cette équation aura des 
racines réelles, à moins que l’on ne conlidere la condition qui elt particu- 
lière aux équations du fécond degré. 

2.6. Cependant fi l’on obfcrve que la condition (A 2 — 4 B) 3 > 64D 
eft celle qui rend réelles les racines de l’équation en N ci-deflus, & que 
la condition oppofée ( A 1 — 4 B) 2 64D cil celle qui rend le der- 

nier terme de l’équation précédente en t, négatif, on en pourra conclure 
d'abord qu’il ert toujours polîiblc d’avoir pour les coëfiiciens M & N 
des valeurs réelles. 


En effet, foit i°. 

( A 2 — 4 B) 3 — 64D ~ P . , 

(p défignatit une quantité pofitive) on prendra dans ce cas la racine t ~ o, 

laquelle donnera M ~ — &c N ~ — — 4 - - + — . 

^ a 8 ' 1 — 8 


Soit 2° 64 D — ( A 3 — 4 B) 3 — p, on prendra dans ce 

cas pour t la racine pofitive de l’équation 

r — (3 A 2 — 8 B)t — P =z o, • 

& 1 on aura M — 6 c N (Art. 6 .) 

- A — %M 


27. Mais 


DBS SCIHWCES ET BbLLES-Le.TTRES. 


*4 9 

17. Mais pour pouvoir réfoudre la difficulté donc il s’agic d’une manié- 
ré générale Se applicable aux équations de tous les degrés il faut employer 
d’autres principes. 


Reprenons pour cet effet l’équation propofée 


x m — 

- Ax m ~ l 

-f 

Bx m —‘ 

ou ru zz 2/> 

Sc confidérons les deux 

x" 

Mx n -~ l 

+ 

Nx H ~ 

X" 

M'x n ~ 1 

+ 

N'x n ~- 

dont on fuppofe 

quelle foit 

formée , n 

faffe, ce qui eft 

permis, 



M ZZ 

« + ^ 

a » 


M ' zz 

iV zz 

0 + v 
a 5 


JV' zz 

P zz 

y + w 

a ' 


P' zz 

Scc. 





o 

O 


qu 


7T 

1 


c’eft à dire qu’on introduife à la place des coëfficiens indéterminés M , M\ 
JV, N\ P, P' Scc. leurs femmes M -f- M' = *, N -f N' zz 2 , 
P -{- P' — y Scc. & leurs différences Af — M' zz 

jV — N 1 ~ v, P — P' ZZ &c. , & l’on trouvera (Art. 3.) 

/ 72 , ou in équations entre les m indéterminées a, P, y « 3 cc. v y w Scc. 
par lesquelles on pourra déterminer chacune de ces inconnues. 


Qu’on fuppofe maintenant 

u ZZ ap - -f- b* -f- cw -j- Scc. 

a , b , c Scc. étant des coëfficiens quelconques arbitraires, Sc qu’on in- 
troduire partout l’indétermincc u à la place d’une quelconque des indé- 
terminées w Scc., par exemple, à la place de /^, en fubftituanc 

Wbuv. J/ffin. Ii. 


x 50 Nouvbavx Mémoires de l’Académie Royale 

— — — au lieu de on aura xn équations entre les xn 

inconnues «, 0, y ôcc. u , v, w &c. , d’où éliminant les xn 1 

inconnues 0, y ôcc. », ?r &c. il viendra une équation en //, qui 
fera du même degré & aflujertie aux mêmes conditions que celle de 
l’Art. 1 7, comme je vais le démontrer. 

2.8- Dénotons les xn racines de l’équation propofée par x\ .y", 
x" &c. x (ln \ & comme on fuppofe que cette équation foie le produit de 
ces. deux -ci 

x" — Mx n - 1 -f Nx n - X — Px n ~i 4- ôcc. — o 

x" — M'x n ~ ‘ -f iV'x ”- 1 — P'x’~3 -f &c. z= o 

il eft vifiblc par la théorie des équations que l’une de ces équations aura 

pour racines n quelconques des xn racines x\ x", x " ôcc. x ( ‘ n \ ôc 

que l’autre aura pour racines les n racines reliantes ; ainfi prenant x\ x‘\ 
x"‘ ôcc. x (n) pour les racines de 

x" — Mx n ~ l -f N x n ~ * — P/"’ 4 - ôcc. — o 
& x (n +'\ x (n + 2 \ x n + V ôcc. x (ln) pour les racines de 

x" — M'x '- 1 -f- N'x n ~ * — P'x n -î -f ôcc. ~ o 
on aura, comme l’on fait, 


M 


* + 

x " 4. xr 4- ôcc. 4- 



N 

— 

x / x" 4- 

/ lll , r, 

x x 4” x 

V" . 

4 - &c. 

4 _ ^-044 

P 


1 II III I / III IV 1 

xxx 4- x x x 4- 

Il 1 

X X 

"x ,v 4- 

ôcc. 4- x <m ~ 

■2) x (n~O x (^ 

ôcc. 








M' 



x (»+>) 

4 _ x (" + » 

-f 

X ( " + 35 

4- &c. 4- 

y-O») 

■* J 

N' 

— 

X-"+ 

:'" + ° 4 . x <> 

*+o 

X (n + 33 

4 _ x (" + x n 

+ *> 4. &c. 


+ 

x (ln — t) 

x (în >, 





P' 

— - 

*<"+0* 

("-h r f" + 0 

+ 

x-' n + 0 x -( n -f 33 +4) 



-f- 

JP + ^X 

'"+ V x (n + 0 

-f 

&c. 4- 4 în - 2 >x (: ' 

> — 1 )^ 4 »"), 

ôcc. 









des Sciences et Belles-Lettres. 


151 


Donc 


« 

— 

X 1 -1- X* + x'" -f &c. -f X W 

4- X ^+ 0 

+ *' 

r-4-0 


+ 

x (° + i) _j_ &c. -j- x< la) — A, 




ü 

■ 

x'x" -f- xxf" -f- x"x" — j— 6cc. — j— > 

.(«—«) X W 

x (n 4* 

x <n 4- »> 


+ 

x (.n + 0 + 3) _|_ + 1) x (« + )) _j_ 

&c. 4- x Ci "-°x 

(lu) 

» 

/ 

7 

__ _ 

x'x"x'" 4- x'x"'x” 4- x"x'"x” 4. 

&c. 4 - X e - 

~°x (n ~ 

“°x ( "* 


4* 

*(«4- OjfC" + + 3 ) x (* -h ' ) x < n + 

3) x ( « 4-4) 




+ 

x (n+l) x (n + 3 ) x (* + i> SCC. -j- x' 

(»• — 1 ) x (*« — 

0 x ein) , 


6c ainfi de fuite 




H- 

— 

x 1 4 _ x” 4- X'” 4 - &C. 4- X<"> 

x (« 4- ') 

— x 

(«4-2» 


— 

x (* + 3 ) & C . X (ln) , 




p 

= 

x'x” 4- x'x'" 4- xV" 4- &c. 4- x 1 

>— 0 *(«) 

x ('i4-o 

x (« 4- 2 ) 


— 

^•( n 4 -«> x ('»+ 3 ) j r ('» + ^j C C n + 3) , 

&c. X e 


.(in> 

» 

TT 


x'xV" 4- x'x"'x ,T 4 - x"x"x ,r 4- 

&c. 4~ x( ” 

~2) x (n- 

“0x w 


— 

x ( a + O x (n+l) x (n+ 3 ) x (*-hO x ( n 

4- 3) x ("+*) 




— 

x (»+l) x (n+3) x (n+ 4 ) &Ct x ( 

x' lH ~ ‘ 

) x (l*) 

*■ » 



6c ainfi de fuite. 


Donc, puifque u — afi -{- bv -f* C7r 4" on connoitra 
quelle fon&ion des racines x', x", x" &cc. x (ln) doit être la quantité u; 
&c de là on pourra déterminer a priori le degré de la forme de l’équation 
en u par la confidération de fes racines, lesquelles ne feront autre chofe que 
les différentes valeurs que la fonéHon dont il s’agit pourra recevoir, en % fai- 
fant entre les racines x', x", x"' &cc. x (ln) toutes les permutations pofli- 
bles , comme nous l’avons expliqué fuffifamment ailleurs. 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


a 5 a 


19. Donc, i° comme le nombre des quantités x\ x", x'" &c. x fini 
eft in, en fait que le nombre de toutes les permutations poflibles fera re- 
préfenté par 


i. x. 3. 4 - - - - - 

mais il eft vifible que les fondions fi, », w &c. ne changent point de 
forme en faifant toutes les permutations poflibles entre les n quantités x', 

x " , x" &c. x (a) , permutations dont le nombre eft exprime par 1. x. 3 n ; 

& qu’il en eft de même à l’égard des permutations entre les autres n quan- 
tités x (n+r9 , x fH + l \ x("+ 2) &c. x( 2 *); donc, puifque chacune de ces 
permutations fc combine avec toutes les autres dans le nombre total des 
combinaifons 1. x. 3 ~ - - ■ (x/î)» il s’enfuit que pour avoir 

le nombre des combinaifons utiles, c’eft à dire qui donnent des expreflions 
différentes de u, il faudra divifer deux fois le nombre 1.1.3 - - - zn 
par le nombre 1. x. 3 - - - •- n, ce qui donnera celui-ci 


*• 3 

(1. 1. 3 


ou bien 

- "r ' 


an (an — 1) (an — a ) " ' “ " (« + 1) 

n . [n t— 1) (n — a) -I * 

nombre qui, en fuppolànt m — x r & par conféquent n 
fera impairement pair, comme nous l’avons vu dans l’Art. 1 6 . 



x°. Il eft clair que fi l’on échange à la fois les quantités x\ x", x'" &c. 
x (n) en x (n+1) , x (n+2) , x ( “+ 3) &c. x (ln) , dans les expreflions de p, », 

x &c., ccs expreflions changeront Amplement de lignes fans changer de 
valeur j. donc toutes les valeurs particulières de la fon&ion u feront deux 
à deux égales & de fignes contraires; de forte que l’équation en 1/, dont le 
degré, doit être impairement pair, manquera de toutes les puiflànces impai- 
res, • & pourra fc transformer par la fuppoficion de u* — t en une équa- 
tion en t d’un degré impair. 

3°. On peut démontrer par un raifonnement analogue à celui des Â’rr. 

xi & 13, que le dernier terme de la transformée en r dont nous parlons 


des Sciences et Belles-Lettres. 153 

fera toujours négatif, étant néceflàiremenc égal au carré d’une fonâion ra- 
tionelle des coefficiens A y B , C ôcc. de l’équation propofée , affeété du 
figne — . Car il eft d’abord clair que fi on fuppofoit fimplement u ~ p y 
on auroit le cas des Articles cités, puifque les lettres a , b y c y d ôte. dans 
les formules de ces Articles défignent les mêmes quantités que nous avons 
repréfentées ci-deflus par x' f x", x" ôcc. x^ ln \ c’eft à dire les racines de 
l’équation propofée. 

' De plus, en examinant les raifonnemens des mêmes Articles, il n’eft pas 
difficile de voir qu’ils ne tiennent pas à la forme particulière de la fon&ion p y 
mais feulement à la propriété qu’a cette fonétion de demeurer la même, can- 
dis qu’on échange cntr’elles les racines x' y x" y x'" &c. x (n) y ou les racines 
x( n + a ), x (n + 3) <Scc. x (ln) , & de devenir négative quand on échan- 
ge les premières racines dans les dernières; or cette propriété a lieu égale- 
ment dans les autres fondions », % &c. , & dans la fondion générale 
ap -j- bv -{- cît &c. comme nous l’avons déjà obfervé plus haut; 
de forte qu’on peut hardiment appliquer à l’équation ci-deffiis en u ou 
en t les mêmes couclufions qu’on a trouvées dans les Articles cités. 

30. Ondl donc alluré que l’équation en t aura toujours une racine 
réelle pofitive, & que par conféquent la quantité u ~ ]/ 1 aura toujours 
au moins une valeur réelle. Or dès qu’on connortra la valeur de la quanti- 
té u on pourra dércrmincr par fon moyen les valeurs des autres quantités 
«, / 3 , y ôcc. p y », w ôcc. lesquelles font, ainfi que la quantité //, repré- 
fentées par des fondions des mêmes racines x, x", x'" ôcc. ; & de ce que 
nous avons démontré ailleurs {Mém.dt 1772. p. 207. & il s’enfuit que 
chacune de ces quantités & y y &c. p, », x ôcc. fera donnée par une équa- 
tion du premier degré feulement, fi la valeur de u eft une racine inégale de 
l’équation en u; mais fi cette valeur eft une racine égale, alors chacune 
des quantités * y 0 , y ôcc. p , », » &C. fera donnée par une équation 
dont le degré aura un expofànc égal à celui de l’égalité de la racine or 
comme u ~ _+ 1 / t y on voit d’abord que l’équation en u n’aura de 
racines égales qu’autanc que la transformée en t en aura de telles, ou 

li 3 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

qu’elle aura des racines nulles; car il eft vifiblc que c — o donne deux 
valeurs égales à u. 

Dans le premier cas, puifque l’équation en t eft d’un degré impair 
(Art. 29. N°. 2.), on pourra démontrer, comme on la fait plus haut 
(Art. 14), que cette équation ne pourra avoir que des racines égales d’un 
degré d’égalité marqué par des nombres impairs; d’où l’on conclura furie 
champ que, quelles que foient les racines de l’équation en r, pourvu qu’au- 
cune ne foit nulle, on aura toujours non feulement pour u mais auffi pour 
P, 7 &c. 1“, v &c. des valeurs réelles; de forte que les coëffi- 

ciens M , iV, P &c. M\ N\ P' &c. des deux fadeurs de l’équation 
propofée auront furemenc des valeurs réelles (Art. 27). 

Le fécond cas, c’eft à dire celui où l’équation en t aurait quelque ra- 
cine nulle, préfente d’abord les memes difficultés que l’on a déjà confi- 
dérées dans l’Art. 25 ; mais je remarque qu’à caufe de u — a p -j- b v 
_j_ C n Sec. y où les coëfficiens a, c &c. font à volonté, on peut 
toujours prendre ces coefficiens tels que le cas dont il s’agit n’ait pas lieu , à 
moins que parmi les valeurs correfpondantes de v, •*- &c. il ne s’en 
trouve qui foient nulles à la fois. Car fuppofons que les valeurs de /u, v, 
?r &c. ne foient jamais nulles en même tems, en ce cas il eft vifible que fi 
la quantité t ~ a des valeurs nulles, ce ne pourra être qu’en vertu 
de la relation qui fe trouvera entre les coëfficiens *, c &c.; par confé- 
quent ces valeurs cefleront d’être nulles dès qu’on donnera d’autres valeurs 
aux mêmes coëfficiens ; ainfi on fera toujours le maître de faire en forte que 
l’équation en t n’ait aucune racine nulle. 

Il ne refte donc plus de difficulté que pour le cas où l’on aurait à la 
fois ft Z o, v — o, — o ficc.; mais il eft vifible (Art. 27.) 

qu’on aura alors M 1 ~ M, N' ~ N t P' — P &c. de forte 
que dans ce cas l’équation propofée ne fera autre chofc que celle-ci 

x" __ Mx"-" 4 - Nx *~ 1 — Px n - 3 + &c. = O • 
élevée au carré ; par conféquent la propofée s’abaiftera d’elle - même à ui 
degré moindre de la moitié; fie il eft vifible que les valeurs des coëfficient 


des Sciences et Belles-Lettres. 


M * 

M, N, P ôcc. devront être toutes rationelles, ôc par conftquent réelles, 
autrement il feroit impoffible que lequation 

— Mx n ~‘ -f- Nx "- 1 — Px n -> -f- ôcc. — o 
étant élévée au carré devînt rationelIc.& comparable à la propofée 

x 1 " Ax in ~' -f fit 1 "- 1 — -f- ôcc. ~ o. 

D’ailleurs il eft facile de prouver que les conditions z o, v ~ ©, 
tt — o &c. emportent néceflàircment l’égalité entre les racines x ' y x", 
x" ôcc. x"\ 6 c les racines x (n+0 , x< n + 2 \ x (n + ’> ôcc. x (in > en forte 
que la propofée du degré m ~ zrt aura toutes fes racines égales deux à 
deux, & pourra par conféquent s’abaifler à une équation du degré n qui 
aura les mêmes racines mais fimples ôc inégales. 

Ainfi toutes les difficultés font réfolues, ôc il ne relie plus rien à defirer 
pour la démonftration complette du théorème qui fait l’objet de ce Mémoi- 
re; nous allons le terminer par donner un exemple de l’application de la 
méthode qu’on vient d’expliquer. 


31. Soir, comme dans l’Art, (f, l’équation générale du quatrième 
degré 

*4 — Ax J -f- Bx z — Cx -f- D — q 
qu’on fe propofe de décompofer en ces deux -ci: 

x* — Mx -(- N — o, x 1 — M' x -f- N' ~ o; 
en comparant terme à terme le produit de ces dernières avec celle-là on 
aura d’abord 

M + M' — A , , MM' -f N -f- N' — B, 

MN' -f- M‘N ~ C, NN' — D; 


ôc faifant 

M 


a + f* 



a — fi. 



z 


x 


» 


zj 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


on aura 

» z 4 a * — -f- 4 $ — 4^> 

*3 — ~ iC, /3* — ** — 4 Z) 


d’où l’on tire d’abord 

* Z= A, & 


4 b — A% + . 


fûbflituant enfuite «es valeurs dans les deux dernières équations on aura 
Ap* — 4“*’ — A* -f- 4 AB — 8C z o 
fS -j- 2(4 B — A 2 ) p 1 — i 6 v~ (4 B — A 2 ÿ — 6 $D zz o, 


On fera maintenant 

u — a? b* 

& fubftituant par exemple b 
équations- ci 


U — dfl 


à la place de v on aura ces deux 


(A — t) '*■ — TT — A ' + * AB — 8C = 

. I /'r. n ’ AS 16 t . yiauu \6u* 

<s + (S B — xA- + >—£_ -- 

_j_ (4# — Ay — 6\D — o; 
d’où l’on chaflera p pour avoir une réduite en u. 


Suppofons pour abréger 

— ^AB + SC) — F 

(4 B — Ay — 6 ^D ~ G 

1 >A — 4 a — f 
S b 1 B — %b*A — 16 a* ZZ g 


on aura 


f" fS — 4 a u — — b F o 

b 2 ^ g fi* iza\iu — 16 u * -f b 2 G — 


o; 


do»c 


des Sciences ex Beubs-Lettres. 


157 


donc 


A fl “ + bF 


/ 


? 


& 


donc 



1 6 bFu* 

~l r ~ 


+ 


ibFftu b 1 F 1 

j * T 7 " 


64 J Vu* + 16 b* Fit -f-' S F b 1 F /i u -f 

4 ~ 4 •f*gP u 4“ f*g bF 4“ 31 /'afin - — i 6 f*u* 

4- f' VG — o 


d’où l’on tire 
f* — 


,g(&3f —p)u* -f- fb*F* + /*g*F 4- />»»G 
6 A b 2 u 3 + 4/“ (1 b 3 F + gf -f 8 */ a ) * 


ainfi il n’y aura plus qu’à fubftituer cette valeur dans la première équation 
f ft — 4n4u — b F zz o, & l’on aura cette équation finale 

f(i6{b'F — /*)u» 4- */W 4- 4- /^G))* 

4- i6(x6(b'F —F)u' + bf(VF* -j- fgF f*bG)) 

K 4- /(**** 4- gf 4- 8 a f ‘)) u * 

— i6bF(i6b'u 1 -f- f{%b'F+ gf+ %af')Yu' — o, 


laquelle étant ordonnée par rapport à « montera au fixieme degré & ne 
contiendra que des puiflances paires de a; de forte qu’en faifant u 1 ~ r, 
on aura celle - éi du troifieme degré 


+ t 


/'* , F 2 + /VF + /HCM 


16 


) ! = 


où l’on voit que le dernier terme eft un carré avec le figne — , de forte 
que la quantité t aura toujours une valeur réelle pofitivc; on voit de 
plus qu’à moins que l’on n’ait à la fois F ~ o 6c G ZZ o, on 
pourra toujours faire en forte que t n’ait aucune valeur nulle; car il n’y 
aura qu’à prendre a 6c b de maniéré que l’on ait 


VF* -j- fgF -j- f*bG > ou o ; 


No* v. Mcm. 1771 . 


Kfc 


15 8 Nouveaux Mémoires bï l’Académie Royale 

je dis à moins que F & G ne foient nuis à la fois,, car il eft vifible 
qu’alors la quantité dont il s’agit fera toujours nulle, quelque valeur que l’ooi 
donne à a & b - y mais' alors on aura 




*=a 


f7 


& L’équation propofée deviendra 


x* — Ax* -j- Bx z — 




laquelle eft évidemment le carré de celle-ci 




A 2 

4 . 


OU 



n es Sciences et Belles-Lettres. 




SUR 

LES RÉFRACTIONS ASTRONOMIQUES . 

Par M. de la Grange. 


i. 

O n laie que les rayons qui traverfent obliquement notre atmofphcre fe 
détournent de la ligne droite & décrivent des courbes concaves vers 
la furface de la Terre, en forte qu’ils nous parviennent toujours dans une 
direction moins inclinée à l’horizon que celle fuivant laquelle ils font entrés 
dans l’atmofphere. 

Le changement qui en réfulte dans la hauteur apparente des aftrcs efl 
ce qu’on nomme en Agronomie rtfraclion cèlef.e, parce qu’en effet il n’cffc 
dû qu’à la réfraélion continuelle que fouffrent les rayons en pénétrant dans 
les couches fucccflives de l’atmofphere, lesquelles augmentent toujours de 
denfité à mefure qu’elles s’approchent de la Terre. Ce phenomene n’a pas 
été tout à fait inconnu aux anciens Agronomes , mais les modernes fonc les 
feuls qui l’aient examiné avec affez d’cxaâirude pour pouvoir eu tenir comp- 
te dans leurs obfervations. 

Nous ne ferons point ici l’hiftoire des travaux des différens Agronomes 
qui depuis Tycho Brahé jufqu a préfent fe font appliqués à la détermination 
de ect élément; notre objet eft uniquement d’examiner cette matière par la 
théorie & d’après les données que les nouvelles expériences de M. de Luc (*) 
peuvent fournir relativement à la loi de la dilation de l’air dans les différen- 
tes couches de l’atmofphere. 

z. Si la furface de la Terre étoit plane «5c que par conféquent les diffé- 
rentes couches de l’atmofphere dont la denfité eft uniforme le fuflènt auffi, 

(*) Recherches fur les modifications de V Ainufp'ieic 6 ‘c, à Ceneve 177 s. 

Kk i 


x£o Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


il n’y auroit aucune difficulté à déterminer l’effet de la réfraction d’un rayon 
qui traverferoit l’armofphere fous un angle quelconque; car il eft démontré 
que la réfraétion feroit la même dans ce cas que fi le rayon entroit immé- 
diatement dans la couche la plus baffe 6c par conféquent la plus denfe de 
l’armofphcre, fans paffer par toutes les autres couches intermédiaires; de 
forte que, comme on connoit par expérience la puiffance réfraétive de l’air 
pour une denfité quelconque, 6c qu’on peut avoir à chaque inftant par I’ob- 
fervation du baromètre 6c du thermomètre la denfitc aétuelle de l’air dans le 
lieu de l’obfervation, on feroit affuré de pouvoir toujours déterminer exacte- 
ment la quantité de la réfra&ion agronomique pour telle hauteur des aîtres 
que l’on voudroir. Mais il n’en fera pas de même fi on a égard, comme 
l’on doit, à la rondeur de la furface de la Terre, 6c par conféquent auffi à 
celle des différentes couches de l’atmofphere. Dans ce cas l’effet total de la 
réfraCtion dépend de la réfraction particulière de chaque couche, & on ne 
peut le déterminer fans connoîtrc la nature de la courbe même que décri- 
vent les rayons de la lumière en traverfant toute l’atmofpherc; mais pour 
cela il faut connoître auparavant la proportion félon laquelle l’air eft diffé- 
remment comprimé à différentes hauteurs, parce que la vertu réfraétive de 
l’air varie toujours avec fa denfité. 

3 . Voyons donc d’abord ce que l’expérience ôc la théorie peuvent nous 
donner de lumières fur ce fujer. 

Mr. Mariotte, 6c après lui Mrs. Amontons 6c Hawksbée ont trouvé, par 
des expériences réitérées 6c auffi exaétes qu’il eft poffible , que l’air fe com- 
prime à proportion des poids dont il eft chargé, en forte que l’élafticité de 
l'air qui eft néceflùi rement proportioncllc au poids comprimant l’eft auffi à fa 
denfité: mais cette proportion ne fubfifte que tant que la chaleur de l’air eft 
la meme; caries deux derniers Phyficiens ont trouvé enfuite que quand la 
chaleur de l’air augmente, la denfité reftanc la même, fon élafticiré augmen- 
te auffi dans la même proportion; d’où il s’enfuit qu’en général 1 elaflicité de 
l’air eft en raifon compofée de fa denfité 6c de la chaleur qui y regne. 

Or comme le refibrt de l’air dans un lieu quelconque eft toujours né- 
ceflàirement proportionel à la hauteur du baromètre dans ce même lieu , on 


des Sciences et Belles-Lettres. 


t 61 

pourra prendre cette hauteur, que nous dtfigncrons par y, pour la mefure de 
l’élafticité de l’air; par conféquent fi on défignc de plus par d la denfhé de 
ce même air, & par <p fa chaleur, on aura y ~ m étant un coef- 

ficient confiant qui doit être déterminé par l’expérience. 


Maintenant fi on nomme x la hauteur du lieu au deffus du niveau de 
la mer, où la hauceur du baromètre efi y, il efi clair qu’en confidérant 
une colonne verticale d’air dont la hauteur foir infiniment petite dr, on 
aura — dy pour la hauceur de la petite colonne de mercure qui y fera 
équilibre (je donne le Cgne — • à la différentielle dy parce que y di- 
minue pendant que x augmente); par conféquent — ^ fera le rapport 


de deux volumes également pefants de mercure ôc d’air, c’eft à dire le rap- 
port des gravités fpécifiques ou des dcnfitcs de l’air & du mercure; en force 
que prenant la denficé du mercure pour l’unité, on aura celle de l’air 



di 

on aura celle-ci 


Donc fubfti tuant cette valeur dans l’équation y ZZ mâfy 
— y ~ ^ ; par laquelle on pourra connoîcre la 


relation entre les hauteurs y du baromètre, pourvu qu’on connoi/Te quelle 
fonction la quantité <P efi de x ou de y; mais cette derniere connoif- 
fance nous manque encore, & Mr. de Luc qui a fait beaucoup de recherches 
favantes 6c utiles fur cet objet avoue qu’il n’a rien trouvé là- deffus qui ait 
pu le fatisfaire. 


Cependant cet habile phyficien a découvert a pofleriori une réglé affez 
fimple pour corriger les hauteurs des lieux déduites des obfervations du ba- 
romètre, fuivant les variations de la chaleur de l’air; & cette réglé même 
pourroit fervir à découvrir la loi de ccs variations à différentes hauteurs; 
c’efi ce qu’il efi bon de développer. 


4. Mr. de Luc trouve d’abord que lorfque la chaleur de l’air efi telle 
que le thermomètre vulgairement dit delléaumur efi à 1 6 la différence 

Kk 3 


% 6 z Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

des logarithmes tabulaires des hauteurs du baromètre exprimées en lignes 
(ces logarithmes étant regardés comme des nombres entiers) donne aflez 
exactement en millièmes de toifes la différence de hauteur des lieux où le 
baromètre a été obfcrvé; de forte qu’à proprement parler la différence des 
logarithmes multipliée par iooooooo, c’eft à dire par dix millions, eft 
égale à la différence des hauteurs des ftations exprimées en millièmes de 
toifes, ou, ce qui revient au même, la différence des logarithmes des hauteurs 
du baromètre exprimées en lignes, donne la différence meme des hauteurs 
des lieux exprimés en dixaines de mille toifes. 

Enfuitc Mr. de Luc trouve que lorfque le thermomètre eft «u- défais, 
ou au-deffous de i 6 ° la correction à faire à la différence de hauteur 
trouvée par le calcul précédent pour chaque degré du thermomètre, eft à 
cette différence même dans la raifoa confiante de i à z i 5 . (Voyez 
Tom. z. Art. 588 & 6 07.) 

Ces données vont nous fervir pour déterminer la confiante m dans 
l’équation — y m ^ trouvée ci-deffùs, ainfi que l’exprcffion de la 

chaleur <P en degrés du thermomètre. 

Car en fuppofant la quantité $ confiante l’intégration donnera 

1 b — ly ~ - — -r— , en dénotant par b la hauteur du baromètre qui 
J m G 

répond à la hauteur x — d’où l’on voit que la différence des logarith- 
mes des hauteurs b *k y du baromètre cil proportionclle à la différence 
x — - a de hauteur des deux flations. 

Or fi on fuppofe que la chaleur foit celle qui répond à 1 G* ^ du 
thermomètre &: qu’on prenne cette chaleur pour l’unité; qu’on exprime de 
plus les hauteurs b & y du baromètre en lignes, de les hauteurs a & x 
des lieux en dixaines de mille toifes; qu’enfin on réduife . les logarithmes 
hyperboliques 1 b & ly en tabulaires, en les divifant par le logarithme 
hyperbolique de 10, & defignant ceux-ci par la caractcriflique L, on 


des Sciences et Belles-Lettres. 163 

aura Fcquation Lb — L y ~ , laquelle devra Ce réduire, fui- 

vaut Mr. de Luc, à celle -ci Lb — Ly zz x — a -, en forte qu’on 
aura mlio ZZ 1, c’eft à dire m zz zz 0,4341945.. 


Dénorons maintenant par t le nombre des degrés du thermomè- 
tre au-deffus de 1 é>° auxquels répondra une chaleur quelconque <P, 
&c il ell facile de voir qu’on aura, fuivant Mr. de Luc, l’équation 


ÇLb — Ly) Q. + ^ zz x — — d , 




L + 


et 


t 




& par conféquent ZZ 1 -f- 


favoir 

t 



Ainfi l’équation différentielle entre x ôc y deviendra 


d y d .r I 1 o 



11 5 


où il ne s’agira plus que d’avoir Ta valeur de f en x ou - en y; mais c’eft 
ce qui r.’eff pas aife ; car quoiqu’il fôit conllant que la chaleur va en dimi- 
nuant dans l’atmofpherc h mefure qu’on s’élève au-deflus de la furface de la 
Terre, on n’a pu découvrir encore ni par la théorie ni par l’expérience la loi: 
de cette diminution.- 


5. Ne pouvant donc nous flatter de connoître la vraie valeur de «* en x r 
aous fommes réduits à employer des hypothefes & des approximations. 

Et premièrement il eft clair que le terme ne làurcit varier beau- 
coup dans toute l’érenduc de l’armofphcre ; car comme t exprime des de- 
grés du thermomètre de Réaumur, au-delffis on au-dclîbus du terme de 
i6°~, quand on donneroit a 1 une variation de 5 5 °, depuis le bas jus- 
qu’au haut de lannofphere, ce qui /croit forement excelîif, parce qu’en 
fuppofant la chaleur au bas de l’atmo/phere de 15°, on auroit pour le haut 


i 6 \ Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

de l’atmofphere un froid de 40° au-dcflous du terme de la congélation, 
on n’auroic pourtant qu’environ — pour la plus grande valeur pofitive de 

— , &; environ — r pour la plus grande valeur négative de la meme 
ai 5* 

A plus forte raifo» la variation du terme — fera fort petite 

dans l’étendue de l’atmofphere qui répond à la hauteur de nos plus hautes 
montagnes; en forte que quand il ne feraqueftion que de mefurer 1 élévation 
des montagnes par le moyen du baromètre, on pourra fans erreur fcnfible re- 
garder la quantité t comme confiante, & pour plus d’exaétitude on pourra 
prendre pour t le degré moyen entre ceux qu’on aura obfervés aux deux 
extrémités de la hauteur qu’il s’agit de mefurer. 


quantité. 


Ainfi nommant c ôc t les degrés obfervés aux deux dations, où les 
hauteurs du baromètre font b & y, on aura pour la diftance perpendiculaire 

x — a d’une dation à l’autre la quantité (L .1 — Lj) ^1 4 " > 


en prenant — pour la valeur moyenne de t. 


Cette réglé eft la même que celle que M. de Luc a trouvée a poJleriori y 
& qui s’accorde très bien avec les obfcrvations, comme on peut le voir par le 
tableau qu’il en a donné dans le Chap. V. de la quatrième Partie de fo« 
Ouvrage. 


6 . Si on pouvoit regarder cette réglé comme tout à fait exacte il 
ne feroit pas difficile d’en déduire la véritable loi de la diminution de la 
chaleur de bas en haut. Mr. de Luc paroit croire que cette rcglc fup- 
pofe que la chaleur diminue en progreflion arithmétique (Art. 65 3. de 
fon Ouvrage) ; mais on va voir que cette conclufion n’eft pas exafte. 

L’équation donnée par la règle précédente eft celle-ci 

(L.i — L.y) Q 1 + = * — a 


ou 


des Sciences et Be llbs-Lhttres. 


r6 5 


ou bien, en réduifant les logarithmes tabulaires L.é, L.y aux logarith- 
mes hyperboliques l/>, lj-, en multipliant ceux-là par 1 i o, 

(i* — b) (* + tirj) — 

d’où l’on tire 

\b — \y — tLm'LZ 

r H- ‘-±1 

i. f 

& différentiant — — ZZ d. - — mais on a par l’équation fon- 

x x + L+S 

1 . Il s 

damcntale — — ZZ — — * ; donc il viendra l’équation 

y i + — 

lis 


d. 


d r 


i + 


L+J 

a. :«5 


1 + rrr 


par laquelle on pourra déterminer t en .Y, en obfervant que t zz c 
Üorfquc x ZZ u; cette équation donne 

_ii_ — (‘ + jj i _i_ „ d: 

^ a * lIÏ 

dont l’intégrale cfl 

K* — <0 = Kf — 0 + i(i + + >*, 

h étant une confiante arbitraire; d’où l’on tire 
x a ZZ k (t — 


x + *~±y 

2. Il f 


* 0 + ^ 1 


) 


& comme en faifant t ZZ c on a déjà .v a, il ell clair que la con- 

ièante c demeure à volonté. 


Si on néglige le terme vis à vis de l’unité, on a f — c ZZ 

— , c’cft à. dire que les différences de chaleur font proportionelles aux 


Nvitv. Mcm. 1 771 


L 1 


%66 Nouveaux Mémoirbs de l’Académie Rurale 


différences de hauteur; en forte que les hauteurs étant prifes en progreflion 
arithmétique, les degrés de chaleur le feront aufïi; mais on voit par notre 
formule que cette loi, qui eft celle de Mr. de Luc, n’eft vraie que par ap- 
proximation. 


7 . Si on vouloir trouver une rélation entre r & y, il n’y auroit qu’à 
faire pour plus de fimplicité I y “ &c \b — f t pour avoir d’un 

» , r (x — a) 1 1 o b.,, . d x 1 1 o . 

cote j — { c~ + ~i ’ ^ “ c ^ autrc — d j zz — ; <5 c 


1 + 


a.HJ 


I + 


ait 


l’on trouve’roit 

dxl,0=d .(/— { )(, + i-±J)-_df(, +-^) ; 


d’où l’on tireroit l’équation — e ^ ( , laquelle donne par l’inté- 
gration c — r ~ k(f — — k(\b — I y); de forte que les 

différences de chaleur feroient proportionelles aux différences des loga- 
rithmes des hauteurs barométriques. 


de 


Il c ft remarquable que cette loi eft celle que Mr. de Luc a trouvée pour 
la chaleur de l’eau bouillante à différentes hauteurs (Chap. VI. du Supplé- 
ment ); mais comme cet Auteur a obfervé qu’il n’y a aucune rélation fixe 
entre la chaleur de l’eau bouillante & êelle de l’air, on eft en droit d’en 
conclure que la formule précédente n’eft nullement exa&e; & qu’ainfi la 
règle que donne Mr. de Luc pour la corrctftion des hauteurs déterminées par 
les obfcrvations du baromètre en conféquence de la variation de la chaleur, 
n’eft pas tout à fait rigoureufe, mais feulement approchée. 


8 . Comme la chaleur de l’air diminue toujours à mefure qu’on s’élève 
au-deflùs de la furface de la Terre, il eft vifible que l’hypothefe la plus 
fi mple qu’on puifïe faire rélativement à cette diminution eft celle, où l’on 
fuppofe que la chaleur décroiffe en progrcïïion arithmétique; ainfi il eft bon 
de voir aufïi les réfultats que cette hypothefê doit donner. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


7.67 

Suppofons donc en général t zz p — q x, ôc fi on nomme c & y 
les degrés de chaleur qui ont lieu aux hauceurs a & «, on aura les deux 
équations c ZZ p — q ci, 6 c y ZZ p — qa, lesquelles fcrvironc 
à déterminer les deux confiantes p ôc q. 


Subflituant donc cettcf valeur de t dans l 'équation différentielle 

dy _ 

y 


— • — — — de l’Art. 4 , elle deviendra celle-ci 

V t 1 

1 I + — 


II J 


1 + 


— , donc l’intégrale eft 1 - ZZ 1 , h étant 

p — 1 * y 1 . p — i r 


a» 5 


1 + 


ai J 


une confiante qu’il faut déterminer en forte que lorfque y ~ b on ait 

; & de là 


. , , b 115 I 10 , m 

x Z a, ce qui donnera 1 - 1 . 

7 * y q . p — î* 


1 + 


il! 


ai s 1 10 


fl 


P — 9 r ) i 


21 5 I 10 


d’où l’on tire 


i- + ’-^rl (‘ *■’ * ■ + ê ; 


- • = 0 + nO 


-(t) 


y 1 1 } 1 «o 


1 

»IJ 


Si la quantité 


aij I10 


étoit infiniment petite, ou auroit 


, — = I i - donc x — x 

Vv lljllO b HJ y 

~ C 1 -4- — ^ L -. C’efl le cas où la chaleur t feroic confiante ôc 
V 1 y 

ZZ c; ce qui s’accorde avec ce qu’on a trouvé plus haut. 

L 1 i 


t<Ts Nouveaux Mémoires de i’Académie Royale 


Ainfî cette formule approchera d’autant plus d’être exaéle que la quan- 


tité — q — fera plus petite. Or on a q zz - - , où c — y elfc 

aijlio r 1 et — u 

la différence de chaleur qui répond à la différence de hauteur a a, 

donc fi on prend pour l’un des ternies de la chaleur la température des ca- 
ves de i’obfcrvatoire qui eft d’environ i o°, & pour l’autre le froid de la 
glace qui cfl à zéro du thermomètre, on aura c — y — i o°; & fi on 
fuppofe que la hauteur à laquelle régné naturellement ce froid foit de zooo 
toiles, ce qui eft peut-être trop fort, on aura a — a — ZZ 7;, 

donc q zz 5 o, & —7^ = ù peu près. 


Si l’on veut juger combien la quantité 1 — 


y N us 


s'éloigne 


de — - — 1 - pour une valeur donnée de — — , il n’y aura qu'à 

ai 5 1 10 * 1 ai 5 1 10 J 1 

l î_ 

C C /'•y'NUSllo y-yNllîllO 

ruppofer 1 — ( - J — {> oc Ion aura Z 1 — 

& prenant les logarithmes — ~ — 1 - zz l(i 7); en forts 

que la différence cherchée fera — 1 (1 — {) — { — ~ — -f- — 

7 2 

-f-iScc. < — ; — - lorfque ? efè < 1. Cette différence fera donc d’autant 

1 + iv 

plus petite que { fera plus petite, de par confcquent que 7 fera plus grande. 


Donc le rapport de cette différence à la quantité — - — 1 - fera <■ — - — 

rlî 21 J 1 10 b ^ 2 q- £ 

à caufè de — 1 ( 1 — q) > — — . 

2 

D’où il s'enfuir qu'erv employant la formule qui réfulte de notre hypo- 
thefe pour calculer la hauteur des montagnes, 1 écart fera d’autan: plus 

grand que la quantité - fera plus petite, mais fà plus grande valeur fera 


des Sciences ex üeiies-Lettres. 


2 6$ 

r 5 1 lü 

toujours moindre que ^ ou du total. Or comme la 

plus grande hauteur oii l’on ait monté cft, fuivant Mr. de la Condamine, 
celle du Coraçon, montagne de la Cordeliere qui eft élevée au-deflùs du ni- 
veau de la mer de 2,4.70 toifes, & qu’à cette hauteur le mercure fe tenoit 

à 1 5 pouces 1 o lignes, il s’enfuit que la plus petite valeur de que l’on 
puilTe jamais avoir à calculer fera toujours < Or prenant ^ H j, 

& faifant comme ci-deflus g ZI S o, & — q — Té> on trouve 

^ zi 0,067 ; donc — ? de forte q Ut fur une hau- 
teur de 1470 toifes on aura une erreur moindre que 8 5 toifes. 


Si on fait zz ce qui eft à peu près le cas des plus hautes mon- 
tagnes de l’Europe, on trouve £ zz 0,03, 6c — Zô ~ JS» 

ainfî fur une hauteur de 1000 toifes, telle que celle du Mont-d’or en Au- 
vergne, où le mercure s’eft foutenu à environ 22 pouces, l’erreur fera moin- 
dre que 1 5 toifes. 


D’où l’on voit que la formule réfultante. de notre hypathefe de la dimi- 
nution de la chaleur en progrcllïon arithmétique donnera pour la hauteur 
des montagnes des réfultats peu differens de ceux qui viennent de la for-*- 
mule reçue des phyficiens, où la chaleur eft regardée comme conltame. 


c). Mr. Euler dans fes Rcchercfies fur la réfraction imprimées dans le 
Volume de cette Académie pour l’année 175 4. fuppofe que la chaleur dé- 
croilfe de bas en haut -fuivant une progrelnon harmoniq^ Suivant cetts 

hypothefè fa valeur de t fèroit de la forme — , & l’on aurait trois 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


*70 


coëfficiens p, q, m à déterminer, en forte qu’on pourroit faire quadrer 
cette formule avec trois obfervations données. On pourroit même fuppo- 


fèr plus généralement t 


a 4- br -f- ex 2 -f- &C. 

; — en y admettant au 

p + 1* + r * 2 + *c. 7 


tant de termes qu’on voudroit; mais il feroit inutile de s’étendre dans ces 
détails parce qu’il n’en pourroit jamais réfultcr que des conclufions hypo- 
thétiques. 


1 o. Je viens maintenant à l’objet principal de ce Mémoite, à la recherche 
de la loi de la réfradion de la lumière dans l’atmofphere; & je remarque 
d’abord que par des expériences très exades faites par la Société Royale de 
Londres en 1699, & répétées plufieurs années après par Mr. Hawksbéc qui 
en donne le detail dans le Chap. IV de fes Expériences phyfico - rnéchani- 
ques , on a trouvé que l’angle dont la lumière fe détourne par la réfradio* 
en partant du vuide dans l’air, ou d’un air d’une denfité donnée dans un autre 
air d’une autre denfité, eft toujours proportionel à la différence de la denfité 
des deux milieux à travers lesquels la lumière parte; en forte que fi { eft 
l’angle d’incidence < 5 c f — <? l’angle de réfradion , on aura toujours £ 
proportionel à l’excès de la denfité du fécond milieu fur celle du premier; 
par conféquent nommant cette différence de denfitc D on aura £ ZZ mD y 
m étant un coefficient confiant à l’égard de D, toutes les autres circon- 
ftanccs demeurant les mêmes. 


Or par la loi générale de la réfradion on a, Iorfquc l’angle d’inci- 
dence q varie, les milieux reftant les mêmes, f — ^ — ■ — ZZ à une quan- 
tité confiante qu’on appelle la raifon de réfradion , & qui dans l’air eft très 
peu différente de l’unité ; en forte que fuppofant cette raifon zz 1 — • n 
(n étant une très petite quantité, on aura fin(^ — çf) — (1 — n) fin^; 
d’où l’on voit que l’angle ( eft néceftairement très petit de l’ordre de n % 
te qu’ainfi on pourra mettre fans erreur fenfible fin \ — ( cof ^ à la 
place de fin ({ — {)» ce qui donnera l’équation £ cof { ZZ n fin 
fevoir £ ZZ n rang [. 


—n es Sciences et Belces-Lette!*. 


171 

Donc, puifquc l’angle très périt £ eft proportioncl à D tant que { 

eft confiant, & que le même angle eft proporcionel à tang f lorfque 

D efl confiant, il s’enfuit qu’on aura en général Ç dans la raifon compo- 

fee de D & de tang^; c’eft à dire £ — AD tang A étant ua coef- 

ficient confiant & indépendant de D & de 


Or dans une des expériences deM.Hawksbée dans laquelle le baromètre 
étoit à 29 pouces 7^ lignes & le thermomètre à do°, on a trouvé que l’angle 
d’incidence ^ étant 32 0 , l’angle de réfraélion £ — cf, en paffant du 
vuide dans l’air naturel, étoit de 31 0 59' 24", ce qui donne par confé- 
quenc <? ZZ 3 6". Donc, puifquc dans ce cas D doit être égale à la 


denfué naturelle de l’air qui eft proportionelle à — — — (Art. 3.), ou à 

d X 

— (Art. 5), on aura dans l’expérience de Mr. Hawksbée l’équation 


y lio 


1 + *■» 

3 6" — _ALLL^_ tang 3 2°; où y dénote la hauteur du baromètre en 


1 + 


iif 


lignes, & t les degrés du thermomètre de Réaumur au- deflus de 1 6° j 
(Art. 4). 


Comme Hawksbée fe fervoit d’un thermomètre particulier différent de 
celui de Réaumur, il faut, pour avoir la valeur de t qui convient à cette 
expérience, réduire les 6 o° de fon thermomètre à des degrés de Réaumur, 
ce qu’on peut faire aifément d’après les éclairciftèmens donnés par le tra- 
du&eur de l’Ouvrage de Hawksbcc; & l’on voit d’abord par la Table de la 
page 172 de l’édition françoife, que 6 o° de Hawksbée répondent à 47 0 
du thermomètre de la Société royale, dans lequel le point de la congélation 
eft à 77 0 , & dont 5 0 font équivalens à 2 0 de Réaumur (page ij6) y en 
forte que les 60 degrés dont il s’agit doivent répondre à 1 2 0 de Réaumur; 
or 12 zz 1 — 4^ ; donc on aura dans le cas prêtent t zz 



PI. V. 
Fij. 4. 


272 Nouveaux Mémoires de l’A cadhhiü Ro yale 

A l’égard de la valeur de y qui indique la hauteur du baromètre, il 
fembleroit qu’il n’y aurait qu’à prendre 29 pouces 7 lignes £ réduits en 
lignes ; mais comme le pied anglois différé un peu du pied de Roi , la pro- 
portion du premier au fécond étant de 1 3 5 1 à 1 440, il f'aura faire y zz 
(19 x n + 7 2)77*5 = *& 7 . 

* • n — Su A X ^87 X 1 JO 

, Ainlz on aura 36 


841 x 36" 


■9 

4. 115 


tang. 3 2. 0 , & de là 


ou plutôt 


A 


860 x 187 x 1 10 x tang. 3a 0 

.1 . 

841 fin 3 6 " 


6c 


860 x 287 x 1 1 o x tang. 32 e 

L.A ZZ 3,6162353. 


ZZ_ O, 000004: 332 


11. Maintenant foit C le centre de la Terre, A B fa furface, CAl^ 
la verticale au point A, Apqr la courbe décrite par un rayon de lumiè- 
re qui traverfe l’atmofpherc , plqm 6 c qmrn deux couches infiniment 
minces & concentriques à la Terre, dans chacune desquelles la denfité de 
l’air eft uniforme; nommons AC ZZ CP zz r, P p ZZ x, en 
forte que Cp ZZ r -{- ACp ZZ <p, & l’amplitude de la cour- 
be Ap ZZ ?; & il eft clair que l’angle pqT {Tq étant tangente en q) 

fera ZZ d?, qu’en même tems cet angle lèra celui qu’on a nommé ci- 
deffus £} de forte qu’on aura £ zz d?; de plus il eft clair que l’angle 
qrt fera l’angle d’incidence du rayon rq fur la couche qt, lequel a été 

nommé plus haut q, en forte qu’on aura ici tang z ~ -* zz — + - )d — 

1 Y*' tix 

& de là 

d $ z= tang q. 

Enfin, comme la réfraétion n’eft duc qu’à la différence de denfité des 
deux couches contiguës pt ôc qr il faudra prendre pour J), non la quantité 
— ^ qui eft proportionelle à la denfité même en p y, mais fa différen- 
tielle, 


des Sciences et Belles-Lettres. 


% iy 

tidle, 2k laquelle il faudra donner le ligne — , à caufc que la denfité eft 
fuppoféc diminuer à mefure que la hauteur x augmente; ainfi on aura 

D zz d . — ~ — d . — ; de forte qu’en faifant ces fubftitu- 

d * . + — 

rions dans l’équation £ ~ A.Dtangf, on aura celle - ci 
dj> ~ — A d . — x rang^; 


or il eft vifible que d £ ~ ang. Crq — Cqp ~ an &Cqt — qCr 
— Cqp — ang. pqt — qCr ~ d? — d$; donc fubftituant 
pour d ° & d$ les valeurs trouvées ci-deftus, & divifant l'équation par 
tang£, on aura 


d r 

,an S l 


à d . — L!_L£ — 

t 

i + — 


ii j 


d x 

r + * 


équation intégrable, laquelle étant intégrée en forte que Z foit la valeur 
de <S c b, c celles de y, t lorfque x ~ o, on aura 


j W 


lin Z 

d’où l’on tire 


— A f-L'Jl iÜ 2 _\ 4. |__ 

V- + — . + - ) r + I 

' US lis/ 


fin ^ iz 


>Mn 

X 


I + - 


! lo 


I + 

. 11 S 


ou bien à caufe de e 11 ® ~ i o, 


Nom. 1 7-]% 


Mm 


*74 Nouveaux Mémoires de l’Académie Rotali 


xfr 


fin { ZZ 


fin 2 io 

X — 


1 H ■. 

ai J 


x 

I + ~ 




10 


1 + —, 


t 


■>. ‘H*’- 


V 



Or il eft vifiblc que Z clt égal h l’angle VA T que fait avec la 
verticale VA la tangente A T Je la courbe décrite par le rayon en tra- 
verfant l’atmofpliere; par conféquent Z fera la diftance apparente de 
l’aftre au zénith. De plus fi on fuppofe que XY foit la tangente à la 
même courbe dans le point où le rayon entre dans l’atmofphere, il eft clair 
que l’angle. Z XY fera l’effet total de la réfraélion, en forte que la véri- 
table hauteur de l’aftre fera 9 o° — Z — angl. ZXY ; & il eft clair co meme 
tems que cet angle ZXY , formé par les deux tangentes AX & YX t fera 
l’amplitude totale de la courbe Apcjr\ c’eft 1 dire la valeur de ç qui ré- 
pond à toute l’étendue de la même courbe depuis le point A jufqu’au haut 
de l’armo/phere. D’où l’on voit que le problème de .la réfra&ion confifte 
à déterminer la valeur totale de f en Z. 


Ainfi Z étant la diftance apparente au zénith, ç fera la réfraéüon, de 
la difficulté confiftera à déterminer f en Z. 


j z. Pour cela je fais u ~ 


~ u fin Z 

fin l — ; 

1 + - 
r 


ce qui donnera, 


AM IO 
C 

1 + — 

r ^ 

x> I 10 


. Ï+ 7T S 


en forte que l’on ait 



ungf — 


AES ScIBWCBS ET BEI.tES-LETT&BS. 


du 


de plus on a par la différentiation -r ~ 


u- Ad . - y - ; donc fubfti- 
1 


tuant ces valeurs dans l’expreffion de d? trouvée ci-deffus il viendra 

, fin Z du i / /" u 2 fin Z 2 

d f = : V( i — 

i +~ \ 


u 2 fin Z 2 N 

0+1)7 


d’où l’on tirera par l’intégration la valeur de ? en obfervant que ? doit 
être — o lorfquc x o, auquel cas on a u ~ i. 


Je remarque d’abord que le terme ^ eft néceftairemenc. fort petit 
vis à vis de i; car r étant le rayon de la Terre , 3c la plus grande valeur 
de x devant être la hauteur de l’atmofphere, la plus grande valeur de - 

fera le rapport de la hauteur de l’atmofphere au rayon de la Terre, rap- 
port qui par l’obfervation des crépufçules eft ~ fec. y° — i — 
o,oi 146 x 5 < ~ . Quand on voudroic même fuppofer que ce rap- 
port eft trop foible de moitié, & qu’il doit être porté à il refteroit 
toujours allez petit pour pouvoir être négligé vis à vis de 1 , fans qu’il y aie 
d’erreur fenfible à craindre. 

Mais comme dans l’intégration la valeur de - doit augmenter depuis 

o jufqu’à la valeur du rapport dont il s’agit, il eft clair qu’on s’écartera 
encore moins de la vérité fi, au lieu de négliger tout à fait cette quantité, on 
lui donne une valeiir confiante & moyenne entre la plus grande 3c la plus 
petite; 3c on aura d’autant moins d’erreur à craindre de cette hypotnelê 
que l’on n’a befoin que d’avoir la valeur totale de l’intégrale. Soit donc « 

cette valeur moyenne de y que nous traiterons comme confiante; 3c 

l’on aura 

, * fin Z du -1 y r finZ 2 . u-\ : 

df = : - (T+rtO 


dont l’intégrale eft 


Mm z 


,xy6 Nouveaux IVLé moires de x’A-c ad é m i e Roy ali 
ç -f- - k ~ arc. fin » 
k étant une confiance arbitraire; c’eft à dire 


A b t 10 


fin(ç + k) ~ “J-"* = 

' i + a i +a 


fin Z e 
x - 


l + — 
AI î 


A y 1 I O 
t 

I + — 
11} 


or comme en faifant ? z= o on doit avoir u ~ i, on aura fin£ ~ 
— — de plus il eft clair que pour avoir la valeur totale de la réfrac- 
tion f il faut faire y — o, puifqu’au haut de l’atmofpherc la hauteur du 
baromètre doit être nulle ; ainfi on aura 

A 4 1 1-0 AS 


fin( f -f *) = ~-c + ‘- 


fin Z 
1 + « 


I O 


1 + Ü7 


& de là 


A b 


{ = arc. fin .o >") — arc. fin ; 

où f exprime donc la réfraétion qui a lieu pour un afire dont la difiance 
apparente au zénith eft Z, b étant la hauteur du baromètre en lignes & 
c le degré du thermomètre de Réaumur au -défias de i 6° ^ dans le lieu 
de l’obfeTvation ; à l’égard de la fraélion très petite « on pourra la déter- 
miner a pojleriori , d’après les obfer varions. 


A b 


1 "f* 

Pour faire ufage de cette formule on remarquera que io 1,5 eft 


le nombre qui répond au logarithme tabulaire 


AA 


1 + — 

- 1 5 


en 


forte 


qu on 


pourra la repréfenter plus commodément de cette manière 


des Sciences et Belles - Lettres. 


*77 


— arc. fin ( — N. L _ii_\ 

\ , + ‘ ■ + - 
' ai s ' 


arc. fin 


G^.> 


i 3 » Suppofons le baromètre à 2. 8^ <Sc le thermomètre à 1 o°, on aura 
dans ce cas b z 11 x 18 Z 33^ & cm 10 — 1 6 

m — ôr; & Ion trouvera m m 0,00014338; 

4 1 + — 8 ^ 3 ^ 

j 

5 c le nombre qui répondra à celui-ci comme logarithme fera 
1, 000330101 ; c’cfi: la valeur de N .L — —y & f° n l°g- f era 

0,0001434. 


1 q 

*1 j 


Maintenant foit, pour cette conftitution de l’air, la réfraâion horizon- 
tale m on aura, en faifant dans la formule précédente Z m 90 0 5c 
/ — a, l’équation 

r 1,000330a _ 1 

» m arc. lin -- — — arc. fin : 

1 + et 1 + a 

d’où l’on tirera la valeur de «. Pour cela on mettra cette équation fous 
la forme 

1,000330a 


J + « 


m fin Çu -j- arc. fin — 


=Z fin * V(i + -îïiL; 

0 + a ) 2 y 1 + u 

d’où en multipliant par 1 -f- «, 5 c divifant par fin u, on tire 

-[/((t _1_ *y j) — I ' 000 33° a — cof *^ 

fin u 

Faifbns pour abréger 

“ = (- 
5 c l’on aura 


000330a — cof»^a 


fin u 


n 

x 


r + &c - 


Mm 3 


4 iw 


278 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

Si on fait avec Mr. Bradlei — 33 ', on trouve n — 0,0015363, 
a* — 0,0000024; donc ce — 0,0007681; & de là 1 -f- * 
zz 1,0007681; de L . 1 -j- a — °> O0o 3335- 

Mr. Mayer dans fa Table des réfra étions fuppofe la réfraétion horizon- 
tale de 30' 5 o", 8 feulement pour la même conftitution de l’air que ci- 
defTus; fuivant cette hypothefe on trouvera a zz 0,0017037, & 

n 1 m 0,0000019; & de là « zz 0,0008514, 1 -f- « — 

1, 0008) 14* 

La valeur de « étant connue, on pourra conftruire par notre formule 
une Table des réfraétions pour toutes les hauteurs apparentes 90° — Z 
&c pour telle hauteur du baromètre & tel degré du thermomètre qu’on vou- 
dra; & cette Table aura l’avantage d’être fondée fur des données plus 
exaétes, & fur une théorie moins précaire qu’on ne l’a fait jufqu’à préfent. 


Ai 


1 4. Comme le nombre — eft toujours extrêmement petit, il 


1 + rr 7 


eft clair qu’on aura à très peu près 

A* t 10 


N. L 


Ai 


. 1+ ,-77 


= * + 


1 + nr 

ainfi la valeur de ç fera 
Ç 


Ai I 10 


1 


„ / fin Z / . Ailio » 

— arc. fin [ — ( 1 -f- \\ 

c’eft à dire à très peu près 

_ » ■ L°. x ±.L : V(, 

ou bien 


arc. fin 


fin Z 

* + « 


1 + ITT 


Ailio 


tang Z 


e . f *« + « 3 V 
1 + V v + ~ z tV 


X 


des Sciences bt Belees-Lettres. 


*7 9 


cc qui fait voir que la réfra&ion e/l généralement proporcionelle à la hau- 
teur du baromètre , 6 c à la tangente de la diftance apparente de l’aftre au 


zénith, lorfquc ccttc diftance cft afTez différente de o° pour que foit 

une quantité très petite vis à vis de i . 


15. Si on vouloit intégrer rigoureufement l’équation 

fin Z <lu -, / /• u 2 fin Z 2 N 

" = rr? v (' ~ ô,-j) 


de l’Art. 1 z, il faudroit connoîtrc la valeur de x en z/, ou de u en r, 
6c par conféquent celle de y 6c t en x\ laquelle dépend de la loi de la 
diminution de la chaleur, qui cft encore inconnue. 


La fuppofition la plus /impie feroit de faire 1 -j- ^ ~ ku m , & 
comme u ~ 1 lorfque x ZZ o, on auroit d’abord k ~ 1 ; en forte que 
t -j- - — u m , m étant un nombre qu’on pourroit déterminer par les 

obfervations. Cette valeur de 1 -j- x étant fub/lituée dans l’équation 
précédente il en réfulteroit celle-ci 

j d , u* — "fin Z 

? — (! — m) V (1 _ u 2 ~ fin Z 2 ) 


dont l’intégrale e/l 

t + il ~ 


arc. fin (u 1 ~ - fin Z) 
1 m 


Or ç doit être nul lorfque u z i; donc H ~ — —— — jj 6 c par 
conféquent 


arc. fin (u 1 01 fin Z) — Z 

ç * 


6 c faifant maintenant y ~ o pour avoir la valeur totale de cc qui 


Igo Nouviaux Mémoires de l’Académie Royali 

xb lia (t — m) a» 1 ic 


I + — 


1 + — 


donne u = e ' 1,J & u l ~ m ~ e 


i 4- — 
**> 


on aura 


arc. fin ^fin Z . N L — - — \ 

1 115 


— Z 


I — m 


équation qu’on peut, fi l’on veut, changer en celle-ci 

fin (Z + (1 — m)g) jy L O — rn) X b 

CZ — • J_ • 

xi f 

i 6. Cette formule s’accorde avec celle que Mr. Simpfon a trouvée 
d’après l’hypothefe que la denfitc de l’air diminue à très peu près en pro- 
greffon arithmétique j en effet la fuppofuion que nous avons faite de 

m A b ! I o 


1 + 


i -f- - “ u'* ~ ———f — » donne, en prenant les logarithmes, 


m AS 1 io 


.* + IT7 


mAjl IO 


I + — 


i H 

»i j 


r = '0 +;>• 


or la quantité 


y I io 
x + — 

n 5 


eft (Art. 3 , 4 ) proportioncllc à la denfitc de l’air 


à la hauteur x ; d’où l’on voit que la différence des denfités de l’air h la 
furfacc de la Terre & à une hauteur quelconque .v fera proportionelle ù 

l(^i + Q ou, à très peu près, à mais cette hypothefe me paroit 

trop contraire aux obfervations pour pouvoir être admife. 

Mr. 


©es Sciences et Bheees-Lettres. 


i8t 


Mr. Sim; fon détermine les cocfficiens de fa formule en forte que 
Z ~ y o° donne ç “ 33 » Z — 6 o° donne ? zz i' 30"; 

& il trouve m — 1 zz N . L zz fin S 6 ° 5 8'1 zz 


°, 5 > 5 ) 8 ^ &c. On auroit donc — 


1 1 AA 


■0 + âO 

— 9 ’) 99 > 9 M — — 5 ? 5 > 5 , 35 > 44 ; donc 


zz I. fin 86 ° 58' 30" 

1 1 AA 


0+è0 


— 0,9993944 — o, 000603 6 & de là on trouvera 

— b — ZZ 2.66, 40. 

1 -J- — 

»> j 


Ainfi fuppofiint le thermomètre à i6°|, ce qui donnera c ZZ o, 
on auroit pour la hauteur du baromètre x 66 \ c’cft à dire 2.z p z 1 , ce 
qui cil impoflible; & fi le thermomètre étoit plus bas, ce qui rendroit c né- 
gatif la valeur de b feroit encore moindre. 

On voit par là que la réglé de Mr. Simpfon ne peut fubfiftcr avec les 
données tirées des expériences de Mr. de Luc. 


17. M.Bradley a trouvé que les réfraétions ctoient généralement parlant 
proportionelles aux tangentes de la diftance au zénith diminuée d’une partie 
aliquotc confiante de la réfraction elle -même; de forte que fuivant cette 
rcgle on a ç zz b tang (Z — y*), à & y étant deux cocfficiens 
confiants que Mr. Bradley détermine par les obfervations. Comme l’arc ç 
efl toujours ncceffairement très petit, on peut changer fans erreur fcnfïble 


f en — 1 "-?■ i ; ce qui réduit la formule précédente à celle-ci: tang yç 

y . 

\ fr, \ r ■ (in fie U 'J fin (Z 

ZZ y i tang (Z — y e) , favoir — 4 - - ZZ r . , 

CoffiÇ COl (Z — ft g) 


& c multi- 


pliant en croix, fin x cof (Z y() ZZ yê fin (Z yç) x cof y?, 

favoir fin Z — fin (Z — zyf) ZZ yJfmZ -}- y S fin (Z — ly?)» 
Nouv. Mcm. 177a. Nn 


x8x Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalb 
d’où 

formule trouvée ci-deffus en faifant zp ~ rn — i, & 7 
ZT N . L 


— - — ? , ce qui fe réduit comme l’on voit à la 

fin z 1 + uJ’ ^ 

-f** 

1 + fief 

(i m)AA 


I + — 

^15 

Ainfi la réglé de Mr. Bradlcy eft ncccfTaircmcnt fujctte aux mêmes diffi- 
cultés que celle de Mr. Simpfon, à laquelle elle revient dans le fond. 

1 8* Mr. Mayer donne dans fes Tables une formule différente des pré- 
cédentes, & qui en gardant nos dénominations fe réduit à 
70", 71 b fin Z tang -] u 

Ç ~ — - . — . ■ ■ ... ■ — 

(1 + o, 004(5 (c — 

en prenant l’angle « tel que 

V(i + 0,0046 (c — T < 5 J)) . 

tanga - » 

mais comme Mr. Mayer ne nous a point appris le chemin qui l’y a conduit, 
on ne peut juger a priori de l’exaétitude de cette réglé ; nous remarque- 
rons feulement qu’elle s’éloigne aflez de la réglé générale fuivant laquelle la 
réfraction eft fenfiblcment proportionellc à la tangente de la diftance appa- 
rente au zénith , lorfque cette diftance eft moindre que 7 o°. 




des Sciences et Belles-Lettres. 


183 


REMARQUES 

fur quelques cas particuliers de 1? équation indéterminée 

A ~ Bt — Cu. (*) 

Par M. Jean Bernoulli. 


O n fuppofe B & C premiers entr’eux, & B < *C; & on veut 

déterminer le plus petit nombre u tel que t foie un nombre entier. 

PREMIER CAS. 

Q 

Soit C un nombre pair & A ~ - -f- i. 

On a t ~ Ar -f - mC & u “ As -j- mB: & je dis qu’on 
a toujours 

i°. m — -f fi r = — P, 

i°. ni — — fi r — I e , 

& il faut remarquer que r fera toujours néceflàiremenr un nombre im- 
pair: car le produit de C par L° e(t pair; afin donc que ce produit dif- 
féré de i du produic de B par P, il faut que non feulement B, mais 
au/fi que r ou P loir impair. 

SECOND CAS. 

Q 

Soit C un nombre pair; A ~ ~ — — f— i ; & que dans l’équa- 

tion A ~ (C — B)t — Ct/, B ait la même valeur qu’auparavant; je dis 
que m aura les mêmes valeurs que dans le premier cas, avec la feule différen- 
ce que fi m étoic auparavant négatif, il fera pofitif à préfenr, 6c vice verfa. 
(*) V. Mém. 1768. p. a 10. 


N ti 1 


2.84 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

TROISIEME CAS. 

c 

Soit C un nombre pair Ôc A ~ - 
on aura les équations 

t — Ar -f- m C y u ~ A's -f- m B, 

dans lesquelles, à caufc de A ZZ A'D , & de C ~ CD , on a A 
& je trouve que r eft toujours négatif à caufc de ç ~ i & que 


m 


r + I 


i ; 


il en réfulte u ~ & t ZZ 

i a. 


QUATRIEME CAS. 

c 

Soit C un nombre pair ôc A ZZ - ôc qu’on ait 
A ~ (C — B) t — Cu 

on aura, comme auparavant, m pofitif ôc ZZ - ZZ i, 

. C — B + i 

ôc u . 




CINQUIEME CAS. 

Soit C un nombre impair ôc A — + - 

je trouve que 

i°. fi r cft: pair & négatif, on a m ZZ \r -f- i 

1°. - pofitif, - - m ZZ f r 

3°. fi r efi impair ôc négatif, - - m ZZ 

4°. - - - - - pofitif, - - m ZZ — 

On a, dans ce dernier cas, t ZZ oc u ~ . 

1 a. a 


*85 


bes Sciences et B eues-Lettrej. 

SIXIEME CAS. 

Soit C impair & A ~ —■ — -; on trouvera pour l’équation 

— (C — B)t — Cu les memes valeurs pour t & pour m que 

dans le cas précédent; mais comme on aura à préfent -f- B au lieu de 
— / f , & réciproquement, il faudra prendre les ni en conféquence; par ex. 

on vient de trouver t — — dans le 5 'Cas N®. 4, ce fera actuelle- 
ment le N°. 3. qu’il faudra appliquer; le u n’cft pas différent, pour ainfi 

C — B + S — , 

dire, on a u zzz . 

5 a 


SEPTIEME CAS. 

Soit C impair ôc A ZZ — 

1 a 

on fe trouvera dans le cinquième cas en tout point, excepté que par le 
N°. 4 , par exemple, 

C — r 


& 


U 


B — .t — 1 


HUITIEME CAS. 

On aura les memes rcfultats pour t & u dans l’équation — — 

(C B)t Cu , favoir t — ^ . u C D * 1 

Et les mêmes valeurs de ni relativement à r. 


'V r Art 


Nn 3 


28 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalh 


OBSERVATIONS D’ ÉCLIPSES 

tirées des Journaux de P Obfcrvatoire Royal. (*) 

Par M. Jean Bernoulli. 


I. 

Obferv citions d'Éclipfes des Satellites de Jupiter. 

L e c) Juin 1771. à IU h . x6‘ T. V. on voyoit encore le II' 1 Sa- 
tellite, niais pas à III’, 2g • Le crépufcule faifoic prelqu’entie- 
remcnc difparoîtrc les autres Satellites ; cependant je voyois deux des ban- 
des encore parfaitement. 

Le 1 4 à XV h . 2 2'. 25" de la pendule A, 

& XIV. 22. 4 T.V. Immerlion du V Satellite, un peu 

douteufe à caufc du crépufcule; mais je voyois encore bien les autres Satelli- 
tes & le ciel étoit très clair. 

Le 26 à Xi 1 ’. 4 6‘. 29" A 

ou X. 41. 37 T.V. Immerfion du III e Satellite bonne, 
au clair de Lune près qui étoit allez vif. 

Novembre le 3 à VI h . 55'. 22" A 

ou VII. 16. 35 T.V. Emcrfion du I r Satellite 
fort douteufe à caufe du peu de hauteur de Jupiter. 

En 1772. Le tems contraire, la grande déclinaifon de Jupiter, mes 
abfences & mes indifpofitions &c. m’ont empêché pendant plus d’une an- 
née de faire des obfervations d’éclipfes de Satellites; mais en attendant que 

(*) Lu le fi M:i 1773. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


2.87 

j’aye pu en reprendre la fuite, M. Steudel (*), après s’étre exercé à obferver 
des pacages à la Lunette méridienne & même quelques éclipfes de Satellites, 
en a fait plufieurs que j’ai confignées dans mon Journal d’obfervations, après 
les avoir réduites fur les données que fournirent les paflages; & comme 
elles peuvent donner lieu à quelques objections 6 c qu’elles ne font pas en 
grand nombre, il ne fera pas fuperflu d’entrer dans quelques détails fur ces 
réductions. 

A 

Août le ag i XII\ 30'. 45" de la pendule A 

ou IX. x 6 . 55 T.V. Immerfion du I r Satellite ; 
les bandes éroient très vifibles. 

Remarque. 

Suivant la marche de la pendule à raifon de -j- x'. 30" en 2. jours 
& l’obfervation du Soleil le x8, elle auroit avancé à X 1 '. du foir de 
3. 3'. 49"; or les réductions des obfervations des étoiles donnent 


pour G % - - 

IIP. 

3 '. 

5 *" 

(3 Dauphin 

III. 

1 . 

47 * 

et - 

III. 

1. 


P » - - 

ni. 

8- 

5 7 - 


En fàuvant les erreurs de Calcul, il fè peut qu’il y ait erreur de x' 
pour P & a Dauphin, « 5 c de 5 ' pour 3 5^, ou qu’on fe foie trompé fur 
les étoiles; j’adopte III h . 3'. 50". 

L’éclipfc eft annoncée à Vienne pour 1 X\ 39'. 1 8*» • 

La différence eft - - - n. z 3 * 

Septembre le 4 à IP. 3 6'. 43" A. Emerfïon du F Satellite. 

Suivant l’obfervation du Soleil le 4, la pendule avançoie à midi de 
III h . 1 x'. 13", 6c vers minuit de IIP. 1 x'. 35", comparant entr ’cllcs 
les obfervations du Soleil & celles des étoiles qui donnent 
pour A5S - IIP. 1 x'. 5 o". 

Fomahan III. 11. 53* 

(*) Candidat en Medeciac & Amateur d’Aflronomi*. 


i88 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

On peut foupçonner que la lunetcc n’eft pas dans le niveau, que 
l’axe panche du côté. de l’Eft, & que l’avance de la pendule eff plutôt plus 
grande que III h . x x'. 5 3" que moindre; mais fouffrayant III\ il'. 53" 
de Ii\ 3 6'. 43' il refte Xl\ 13'. 5 ° > or cette emerfion étant an- 
noncée à Vienne pour - XI. 36. 18 

la différence - - - n. 18, juftement celle que le P. Hcll 

fuppofe entre les Méridiens de Vienne & de Berlin, tirée de données fi 

douteufes, confirme qu’on ne doit pas toujours faire fond même fur les ré- 
fultats les plus probables. 


Octobre le 6. Emerfion du I r Satellite à 

VII\ 

5 1'- 

41 "A 

La pendule retardant alors fuivant 




les obfcrv. du Soleil le 5 & le 7 de 


ai. 

38 

de £ Pégafe le 6 


XI. 

39 

a. ss - 


XI. 

4 1 

y - 


X I . 

41. 

Si l’axe de la lunette panche à l’Eft 




le retard n’cfl pas fi grand; nous 




le fuppoferons de 


XI. 

35 

donc Emerfion du I r Satellite à 

VIII. 

13 . 

17 T. V. 

annoncée à Vienne pour 

vin. 


13 

différence 


I X. 

6. 

Le 11. Immerfion du III e Satellite à 

x. 

5 8- 

51 A 

Suivant les obf. du Soleil le 11 6c le 

il 



A avançoit alors fur le T. V. de 

— 

30. 

1 5 

donc Immerfion obfcrvée à Berlin à 

XI. 

x 9 . 

6 T.V. 

annoncée à Vienne pour 

XI. 

40. 

18 

la différence eft 


1 1 . 

I X. 


Octobre 


des Sciences et Belles-Lettres. 


Octobre 




le 13 . Emerfion du I r Satellite obfervée avec 
le télefcôpe grégorien un peu moins 


fort que la lunette, à - IX\ 

3<r. 

43“ 

La pendule avançoit alors fur le T.V. 



fuivant les obfervacions du Soleil 



le 1 1 & le il de — 

33- 

29 

1 2 de le 15 — 

33- 

5 1 

celles de « sf le 1 3 — 

33- 

3 2 . 

y - — 

33- 

32* 

( Pégafe — 

33- 

3i 

A » - — 

33- 

33 

Fomahan — 

33- 

3i 

3 Pégafe — 

33. 

3 1 

y Pégafe — 

33- 

32 . 


Ici robfervation de Fomahan ne dé- 
cide rien fur la ficuation de l’axe de 
la lunette, de peut plutôt la faire 
foupçonner jufte pour ce jour. 
Suppofant donc le retard de la pen- 
dule de - 

on a Emerfion du I r . Satellite à 
Elle eft annoncée à Vienne pour 

La différence eft 


X. 


33- 3o 

10 . 13 T.V. 

45 

11. 


Le 1 9 . Emerfion du IF. Satellite obf. à VII. 55 . 10 /I 

Le ciel ctoit fer ein & Jupiter près du Méridien; 
j’ai fait moi -meme cette obfervation & j’avoue 
que le moment précis de l’Emerfion m’a échappé ; 
mais à VIII 1 '. 55 ' je ne voyois pas encore le Sa- 
tellite de à VIII h . 5 C' il étoit déj;\ a fiez gros. 


Y.i.v. V,n I -T 71 


Oo 


ijo Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

Or les obfervations du Soleil du 
1 7 au 19 donnent pour ce 
tems l’avance de A fur le T. V. — 43. 37 
celles du 1 9 au 2 3 - — 43. 35 

celles de y le 19 - — 43. 37 

& de Fomahan - — 43. 3 <j 

Ainfi en' la fuppofant de - 43. 3 6 

Emerfion du II d . Satellite à VIII. 38- 46 T.V. 
Elle eft annoncée à Vienne pour 51. 51 

La différence eft - - 13. 5 

Octobre le 19. Emerfion du IV e . Satellite obfervéc 

par M. Steudcl à - VIII. 3 x - * 4 
ou en ajoutant - - 43. 39 

à - IX. 15. 53 T.V. 
Elle eft annoncée à Vienne pour IX. 34. 34 

La différence eft - - îg. 41 

Le il. Emerfion du I r . Satellite à - V. 48- A 
Beaucoup de vent, mais le ciel 
ferein & les bandes très vi- 
fibles. 

Suivant l’obfervation du Soleil 


le même jour A fur T.V. 

— 48 - 

*7 

celle de & ^ - 

- 

— 48 - 

20 

* 3 > - 

- 

— 48. 

2 1 

a X& - 

- 

— 48. 

2 1 

{ Pégafe 

- 

— 48 - 

18 

À VÜ - 

- 

— 48 . 

20 

i 

- 

— 48 - 

21 

Fomahan 

- 

— 48 - 

1 0 


des Sciences et Beites-Lettres. _ igï 

Ces obfervations peuvent faire foup- 
çonner l’inftrument d’avoir panché 
vers l’Efl, mais comme quelques- 
unes font marquées douteufes, je 
me fuis difpenfe d’y appliquer mes 
formules, & j’ai fuppofé fimple- 
ment l’erreur de la pendule de — 43 * if" 

Donc Emerfion du I r . Sarcllirc obf à VI. 36. 57 T. V. 
annoncée à Vienne pour - VI. 48- 5 4 • 

La différence cft - - 11.57 


Mr. Steudel ajoute à fon obfervacion la remarque fuivantc: 

„L’on diftinguoit encore une tache noire au-deflùs de la fécondé 
bande (fupérieure dans le tube), & voici la pofition des Satel- 
lites au tems de 1 emerfion du i‘. 



A VI h . 35' la tache avoit déjà pâlie le diamètre vertical &c fe 
trouvoit en c. 

A VII\ 30' elle étoit avancée vers le bord, elle paroilfoit al- 
longée 6c plus enfoncée dans les bandes. 

A Vif'. 40' elle n’étoit plus gueres vilible & je la diftinguois 
à peine.” 


Décembre le v x3. Emerfion du I r . Satellite à - III\ 9'. 4 $" s 4 

Ciel couvert; lorfque le rems s’éclaircit, le 
Satellite étoit déjà, mais à peine, vifible, 
d’où je conclus, dit Mr. S. que fon 
emerfion ne s’eft faite que quelques fé- 
condés avant. 


Oo x 


zyz Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalb 

Or fuivant une obfervation d’Algénib le z 3 , la 

pendule retardoit alors fur le T. V. de II\ 6 '. 9" 

& fuivant une obfervation du Soleil le 15 II. 6 . g 

d’où refultcroit 

Emerfion du I r . Satellite à - V. 1 5 . 5 1 

annoncée à Vienne pour - V. z'j. 15 

La différente cfl - - 11.34. 

II. 

Obfervations d’Eclipfes du Soleil. 

Le 3 Avril 1771. J’ai obfervé avec la Lunette de Dollond la fin de 
l’Eclipfe de Soleil, & comme elle étoit horizontale il m’a fallu faire 
l’obfervation au quatrième érage & me fervir de ma montre à fécondés, 
comparée avec la pendule N. 

J’ai vu la fin le matin à - VI h . 1 7 ’• z" N 

- ou à - VI. x. 5 6 T.V. 

Le z 6 O&obre. Lai obfervé I’éclipfe de ce matin avec la grande lunette 


de Dollond & à la pendule A qui retardoit 

le z 5 à midi fur le T. V. de - 5 z'. z 5 ' 

' - z 6 - - - - 53 - 53 

au commencement de l’éclipfe de - 51.3 6 

à la fin - - - - 5 z. 39 


Le commencement m’a échappé & à VIII h . 1 o' A, oy IX\ z| T.V. 
l’éclipfe étoit déjà affez avancée. 

J’ai pris enfuite affez exa&emcnr, à ce que je crois, plufieurs diftances 
de cornes avec le micromètre objeélif appliqué à la même lunette; je vais 
les rapporter, mais en prévenant que j’ai retrouvé dans le micromètre 
les mêmes défauts que j’ai indiqués dans mon Journal pour les inftru- 


des Sciences et Beues-Lbttrbî. ip3 

mens (*); car après avoir trouvé à IX h . 15' T. V. Ic diamètre du Soleil 
dc 3 i P + 5V + foo ou de S 2 *'* 2.3", o, à peu près tel qu# l’indi- 
que la cennoiffance des tems, il n’étoit que de 3^ p . i v . 8 e . ou de 
3 ’ L ‘‘ l"i 8 à IX. 5 o'. Par ces inégalités mes obfervations deviennent 
fans doute très défeclueufes, mais elles peuvent engager ceux qui ont de tels 
inftrumens à manier, à ne pas s’y fier avec trop d’aflurance & fans de fré- 
quentes vérifications. Voici les disantes que j’ai prifes: 


1 *. IJ'. 

37" 

A 

ou 

IX* 

. 6 '. 

13 " 

T. V. Difbnce des 

cornes 

. f 0 

1 • -55- 

0 

ou 

9'- 

0 ",6 

18 . 

37 

- 

- 


1 1 . 

1 3 

- 

- 

1 . 4 . 

9 

- 

10 . 

48 , 7 

20 . 

44 

- 

- 


13- 

ao 

- 

- 

I. 6. 

ia{ 

- 

1 1 . 

55. 8 

*7- 


- 

- 


a 0 . 

1 

- 

- 

i\. 1 . 

*7 

- 

1 3- 

Si. 3 

30 . 

IO 

- 

- 


ai. 

47 

- 

- 

*4- 3- 

0 

- 

14 . 

17 . 0 

41 . 

4» 

- 

- 


34- 

1 8 

- 

- 

6. 

1 

- 

15- 

49. * 

4 é. 

1 3 

- 

- 


38- 

JO 

- 

- 

é. 

a 

- 

1 5- 

50, 3 

48 . 

59 

- 

- 


41 . 

3* 

- 

- 

if 5- 

ai 

- 

1 J- 

44, 8 

Ji- 

55 

- 

- 


44 . 

33 

- 

- 

’f 5- 

5 

- 

1 5- 

a<5, 4 

IX. 0 . 

33 

- 

- 


53- 

1 1 

- 

- 

>f 1 . 

*7 

- 

U- 

5*. 3 

>7- 

35 

- 

- 

X. 

10 . 

>3 

- 

- 

0 . 10 . 

0 

- 

4- 

3°. 3 


J’ai enfuite noté la fin au plus tard à IX\ 1 5 2." A 

ou X. ix. 3 1' T. V. 

Mrs. Bodc & Steudcl, pour s’exercer, ont oblcrvé cette éclipfe par 
projeélion. 

III. 

Obfervations d’Echpfes de la Lune. 

Le 13 Oélobre 1771. J’ai obfcrvé pour la première fois un phéno- 
mène de cette efpece 6 c j’ai remarqué avec furprife la grande incertitude que 
jete la pénombre fur ces obfervations. J’ai fait ufage de la Lunette de Dol- 
lond 6 c je crois avoir vu la fin pour le plus tard à - Vl h . x/\'. 10" A 

c’eft à dire à - VI. 47. o T. V. 

(*) Le principal de ces défauts confiée en ce vis au moyen desquelles on pourroit y remédier 
que la réparation entre les deux demi - objeélifs fuivant les Mémoires de Marf cille p. 97 . 
cft trop grande & que le micromètre n’a pas les 


Oo 3 


itj4 Nouveaux Mémoires ds l’Académie Royalp. 

Le i i Octobre 1772.- Une force indifpofition m’obligea de quitter 
l’Obfervatoire avant que la Lune fût vifible, mais Mrs. Bode & Steudel fc 
font exercés à obferver leclipfc de ce jour, & j’ai fait la réduction de leurs 
obfèrvations. Mr. Steudel, en faifant ufàge de la machine parallatique & 
des deux tubes de 4 pieds, l’un acromatique, l’autre ordinaire, a noté les 
inftans fuivans à la pendule R que je fais marcher conformément au tems 
fidéral. La Lune s’étant levée totalement éclipfée , Mr. Steudel a vu : 


R 

ou fou/lrayant 

Tems vrai 

L’Emerfîon k 

V1IL 

4- 

30 


3o 

VIi. 

10 . 

0 

celle d’Ar.lhrchus à 

- 

16 . 

41 

54- 

3i 

- 

ai. 

9 

Copernic - 

- 

30 . 

3° 

S 4- 

34 

- 

35- 

56 

T ycho 

- 

34- 

10 

14- 

35 

- 

39- 

3o 

Platon 

- 

31- 

1 î 

54- 

35 

- 

40 . 

40 

M agi nus 

- 

3 9- 

10 

14- 

3<5 

- 

4 4- 

34 

Manilitis 

- 

48 . 

0 

S 4- 

37 

- 

53- 

13 

Pollidonius - 

- 

14- 

30 

5 4- 

38 

- 

5 9- 

îi 

Prom. acutum 

- 

y 9 - 

3o 

S 4- 

39 

VIII. 

4- 

5i 

Prom. Somnii 

IX. 

s- 

1 

54- 

40 

- 

10 . 

a r 

Mer des crifes 

- 

10 . 

0 

5 4- 

41 

- 

15. 

1 9 

Langrenus - 

- 

JO. 

40 

54- 

41 

- 

1 5- 

59 

Firmicns 

- 

1 1 . 

10 

54- 

41 

- 

i(5. 

39 

La fin de l’ombre - 

- 

13 - 

i 3 

54- 

41 

- 

18 . 

3 i 

- de la pénombre 

- 

16. 

40 

54- 

41 

- 

a 1. 

58 

ou 

- 

l 7 ■ 

00 



- 

21. 

18 


Or le 1 1 à midi A fur T.V. — xÿ. 19" & fur il 
le il - - — 31. 10 

donc le 1 1 il montroit à midi - 
le il - - - 

la différence eft - - - 


i\ zi'. 5 i ü 
1. x8- 7 

o. 53. 1 x 
o, 5 6. 57 
— 3 . 35 


Si on vouloit donc réduire ces obfervations avec la derniere exa&itude, 
il faudroit confidérer qu’abftraélion faite du gain de la pendule fur le T.V. 
la fin de l’obfcurciffement total a eu lieu û VIII\ 4'. 3 °” — 53'. ai" 
ou à VII h . 11'. 8'» il faudroit réduire ces VII\ 1 T. 8 ' en tems de la 
pendule par l’analogie L4 h : 3* 35” ’■ : x • y ■ fouflraire y de 
VHP. 4'. 3 °"i & P our être encore plus exaéf, réitérer la même opération 


des Sciences et Belles-Lettres. 


*95 

fur ce nouveau réfultat; mais nous réferverons cette peine pour des obfer- 
vations plus importantes, ôc nous nous contenterons de confidércr que la 
pendule doit avoir gagné i'. 8” en 77 d’heure & 1" en 6 ' à 7' de 
tems, de en appliquant dans cette fuppofition aux inftans obfervés les cor- 
reétions diftribuées dans la féconde colonne, nous adopterons ceux de la 
troifieme comme indiquant le tems vrai. 


Mr. Bode a obfervé avec Mr. Lambert & il s’eft fervi de la grande Lu- 
nette de Dollond; comme ils ont négligé les fécondes je me contente 
d’ajouter 30' aux inftans qu’ils ont obférvés à la pendule A ôc que voici: 


Emerfion dabord à 

VI\ 41 •A 

ou VII\ 1 0' T. V. 

- 

Kepler 

- 5 6 - 

1 6 

- 

Copernic 

VII. 5 - 

- ~ 35 

— — 

Platon 

8 - 

38 commence à fortir 

- 

Tycho 

- 10 

40 


Mer des crifes 

- 4 ° - 

VIII. 10 commence à quitter 

- fin 

- 

- 49 “ 

- “ 19* 



xy 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


ESSAIS 



Algorithme déduit du principe de la raifon 
fuffifante (*), 


Par M. Beguelin. 


SECTION I. 

i . 

Q uoique la fcience des nombres foit de néceflité géométrique, fondée 
fur le principe de contradi&ion, on fait affez que les lignes des nom- 
bres, &. les méthodes d’en exprimer les diverfes combinaifons ne font pas 
d’une néceflité abfolue. C’eft une affaire de choix, ou de convention. - 
x. L’Algorithme décadique, qui eft le plus généralement adopté a 
l’avantage d’exprimer avec un petit nombre d’élémens des quantités extrê- 
mement grandes. Cependant il ne paroit pas qu’il y ait cû une raifon fufli- 
fantc de lui donner la préférence fur tous les autres algorithmes poflibles. 
On croit communément que le choix de la progreflion décimale n’eft fondé 
que fur le nombre des doigts, & quoi qu’il en foit il eft certain que les opé- 
rations arithmétiques établies fur cet algorithme font très pénibles dès que 
les nombres font conlidérables; d’ailleurs les rapports de ces nombres 
entr’eux y font tellement cachés qu’il eft extrêmement difficile de les dé- 
couvrir. 

3. Il eft évident que plus on diminuera le nombre des élcmcns primi- 
tifs, plus les opérations arithmétiques feront Amplifiées, & plutôt aufli on 
pourra fc promettre d’appercevoir la nature des nombres & leurs rapports 
mutuels dans leur expreflion. C’eft la raifon qui Ht imaginer à Leibnitz 

l’arithméti- 

(*) Lûi ï f Académie le 10 Février & le aj Juin 1771. 


des Sciences et Belles-Lettkes. 


*9 7 

l’Arithmétique dyadique, qui réduit les chiffres aux deux élémens les plus 
fimplcs, le zéro , & l’unité. 

4. L’Arithmétique binaire réunirait tous les avantages poiïibles, & 
par conféquent elle ferait fondée fur le principe du choix, fi elle n’avoit pas 
deux inconvéniens: l’un c’efl que les élémens ont leur place aftéélée, com- 
me dans l’Arithmétique vulgaire ou dccadique; ce qui ôre à cet algorithme 
le grand avantage qu’a le calcul littéral de tranfpofcr les élémens à fon gré. 
L’autre inconvénient c’eft qu’il faut trop de chiffres pour exprimer un nom- 
bre médiocrement grand. Un nombre quelconque n qui n’aur3 dans 
l’algorithme vulgaire que ~ Q n -f- 1 chiffres, en exige n 1 dans 
la dyadique; ainfi pour les grands nombres ce rapport eft comme de 
1 o à 3. 

5 . Il fcmble donc qu’un algorithme qui remédierait à ces deux incon- 
véniens, & qui réunirait les avantages de l’Arithmétique commune, & de 
la binaire, ferait le plus propre à découvrir les propriétés des nombres, au- 
tant qu’il eff: poffible d’y parvenir dans l’immcnfe quantité de rapports qu’ils 
renferment. 

6 . Il eft aifé de déterminer les conditions de cet algorithme ; il doit 
fuivre la progreffion binaire, comme la plus fimple; il doit retenir les chif- 
fres vulgaires comme les plus commodes, & les mieux connus; ainfi ce 
n’efl proprement que l’expreffion des expofans des puifîànces du nombre i, 
en fupprimant le nombre lui -même. 

7. Cette méthode abrégé confidcrablcmcnt les chiffres Leibnitziens; puis- 
que de tous les nombres compris entre deux termes confécucifs de la pro- 
greffion binaire, il n’y a que le dernier feul qui contienne autant de chif- 
fres que la notation dyadique en exige; tous les autres en demandent 
moins, & fuivent à cet égard la loi des onces, ou des cocfficiens de l’équation 

du degré qui leur répond. Ainfi, par ex. entre & ^ 6 , il y aura: 

1 Nombre de I ChifP e. 

S - 1 

10 - - 3 

10 - - 4 

y - - 5 

1 6 


Niuv. Ment. 177' 


Pp 


xp8 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

donc, pour exprimer les nombres de 31 à 6 3, l’Arithmétique vulgaire 
emploie 6 q, chiffres, la dyadique 191, & notre algorithme exponen- 
tiel 1 1 x. En voici le Tableau: 

Algorithme vulgaire. Algorithme dyadique. Algorithme exponentiel. 


3 Z 


- 

100000 

- 

- 


- 

- J- 

33 


- 

IOOOOI 

- 

- 


- 

0 . J. 

34 


- 

IOOOIO 

- 

- 


- 

1. J. 

3* 


- 

IOOOI I 

- 

- 


- 

0 . 1 . J. 

3* 


- 

100100 

- 

- 


- 

a. J- 

37 


- 

ICOIOI 

- 

- 


- 

0. a. j. 

38 


- 

IOOI 10 

• 

- 


- 

1 . 2 . 5- 

3? 


- 

1001 I I 

- 

- 


0. 

1 . 2 . J. 

40 


- 

101000 

- 

- 


- 

3- 5- 

4i 


- 

ioiooi 

- 

- 


- 

0. 3 . J. 

4- 

- 

- 

1 0 1 0 1 0 

- 

- 


- 

»• 3- J* 

43 

- 

- 

IOIOI 1 

- 

- 


0 . 

«• 3- J- 

44 

- 

- 

101 IOO 

- 

- 


- 

a. 3 . J. 

4J 

- 

- 

IOI 101 

- 

- 


0 . 

a- 3. J- 

46 

- 

- 

10 1 II 0 

- 

- 


1. 

2 . 3 . y. 

47 

- 

- 

10 1 1 1 1 

- . 

- 

0 . 

I. 

a. 3- *• 

48 

- 

- 

I IOOOO 

- 

- 


- 

4- J- 

49 

- 

- 

I IOOOI 

- 

- 


- 

0 . 4 . y. 

JO 

- 

- 

1 IOO 10 

- 

- 


- 

1 . 4 . y. 

Ji 

- 

- 

1 IOOI 1 

- 

- 


0. 

>• 4- J- 

Ja 

- 

- 

1 10 IOO 

- 

- 


- 

2 . 4 . y. 

Ï3 

- 

- 

I IOIOI 

- 

- 


0. 

a. 4- S- 

J4 

- 

«■ 

I IOI 10 

- 

- 


1. 

2 . 4 . y. 

JJ 

- 

- 

110111 

- 

- 

0. 

I. 

*• 4- 5- 

5* 

- 

- 

1 I IOOO 

- 

' 


- 

3- 4- J. 

57 

« 

- 

1 I IOOI 

- 

- 


0. 

3- 4- J- 

J 8 

- 

- 

1 I 1010 

- 

- 


1. 

3 . 4 . y. 

J 9 

- 

- 

I I IOI I 

- 

- 

0. 

I. 

3- 4- J- 

60 

- 

- 

1 I I I 00 

- 

- 


2 . 

3- 4- J- 

61 

- 

- 

I 1 1 IOI 

- 

- 

0. 

2 . 

3 . 4 . y. 

62 

- 

- 

1 1 1 1 10 

- 

- 

1. 

2 . 

3 . 4 . y. 

*3 

- 

- 

1 1 1 1 1 1 

- 

0. 

I. 

2 . 

3- 4- J- 


8. Les réglés des operations arithmétiques qu’il faut Cuivre dans cet 
algorithme, font aifées à déduire de la nature des expofuns. 

I. La Notation en cil affez aifée. On a déjà en partie, & il eft très 
facile de fe former des Tables des dignités du binaire auffi loin que l’on vou- 


des Sciences et Beixes-Lettres. 


*99 

dra. Ainfi un nombre vulgaire étant donné on en /ouftrait fucceflivement 
les plus hautes puiffanccs de z au-deffous de ce nombre & les expofans 
donnent le nombre cherché. Ou bien on divife fucceflivement le nombre 
donné par z. Négligeant toutes les divifions fans refie , & marquant pour 
chaque unité reliante le nombre qui exprime le quantieme des reftes, en 
pofant o pour celui de la première divifion. Ainfi le nombre 5 9 étant 
donné, les unités reliantes des dividendes 59. 19. 7. 3. 1. donnent 
o. 1. 3. 4. 5. Réciproquement, fi l’on ajoute le nombre vulgaire qui 
répond à chaque expofanr, on transforme le nombre exponentiel en nombre 
commun. 

1 1 . La Rcfolution & la conipojition, font des opérations particulières & 
cet algorithme. Par la nature des expofans, il efl connu qu’on a: 
n — z(n — 1) ZZ 4 (;i — z) ~ S(n — 3) &c. Ou a de 
même: n ~ (n — 1) -j- (n — z) -f- (n — 3) z ( n — m ). 

Ainfi lorfque dans l’addition on doit ajouter divers expofans égaux on 
/ait qu’on a z n ~ (n -f- 1); 3 /z — n i( n -f- 0 > 4/2 ZZ {n -f- 2); 

^n—n,(n~\-z)-, 6n — (tt-j- i\(n -f- 2); 7* z n,(n -f- i),(u -f- 2); 

8« “ (n -f- 3); & en général m x n ~ (n -f- e) en pofant 

I e ZZ ni. 

9. IIJ. L ’ Addition n’a pas plus de difficulté que dans le calcul littéral. 
On écrit dans tel ordre qu’on veut les expofans différents; on ajoute le< 
égaux ; félon les réglés de la compofition. 

IV. La Sotijïraclion efl encore la même que dans le calcul littéral; on 
y peut employer le figne négatif pour les termes différons, 6c enlever les 
termes égaux; qu’il e/t toujours aifé de rendre tels par, les principes de la ré- 
folution ou de l’analyfe des expofans. Ainfi 8- 5 - 4 - z. 1.0 — £.5.3.0 

zz 8- 4. 2.. 1 — 3- = 7- <>• 6* 3. 3. 1. 1 — 6 . 3 zz 

7. 6. 3. z. 1. 

V. La Multiplication n’c/l que l’addition de chaque terme d’un 
faéleur avec tous les termes de l’autre. 


3oo 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


Ainfi ayant: F ZZ o. 

f ~ o. 


on a F f — o. 


i. 4. 5 

3 

1. 4. 5 

z. 3. 6 . 7 

3 - 4 - 7 - 8 

1. 2. 4. 7. 9 


VI. La Divifion confiftc à chercher combien de fois on peut fouftrai- 
re le divifeur, ou fes multiples du dividende. Ainfi ZZ -f- 

zVr donne o. 1. -f- ~. Ainfi encore — ~~ ZZ -j- — 
+ H + H donne P our quotient o. 2. 4. 5. 


1 o. Comme le principal but de cet algorithme doit être de faciliter la 
recherche des facteurs; il elt néceflâire, pour découvrir les méthodes qu’il peu* 
fournir, de fe faire une idée nette de la formation des produits; &puifqu’il ne 
s’agit que de produits impairs, il n’eft quefiion non plus que de faéleurs im- 
pairs. Soit m le plus grand cxpofànt du petic faéteur f 6c (m -f- p) le 
plus grand expofanr du grand faéteur f*'; que les lettres y 6c x dé- 
lignent tous les expofans intermédiaires, on aura F ZZ o.y(m -f- p) 
f — o . x . m, 6c le produit général fera 

Ff~ o.x.y. (m-j-p). (*-fy). ( m -f- y), (m -J-p -f x). ( 2 m -f - p). 

Mais puifqu’on n’oferoit fe flatter de trouver une méthode générale qui fafle 
découvrir cette formule dans chaque nombre exponentiel compofé, il faut 
la limiter en commençant par les cas les plus faciles. 


11. Le cas le plus fimple eft celui qui donne x ZZ o, y — o, 
p — o. On a ici Ff — o. 2.(m),(2 ni) ZZ o. {m -f- 1). (zm), parce 
que x 6 c y étant nuis, tous les termes de la formule où ils entrent éva- 
nouifient; il n’en eft pas de même de p, qui ne repréfente pas un expofant 
à part, mais conjointement avec m; ainfi p étant ZZ o, l’expofant 
(m -j- p) refte, mais fa valeur n’eft plus que ; de là réfultc le 


des Sciences et Bel les-Lï?ttrhs. 


3°ï 

T H É O R E M E I. : 

Tout nombre exponentiel de la forme o.(m -f- i). (im), ejl un nombre 
quarré dont la racine ejl zZ o . m. 

Ainfi 0.5.8 ZZ (0.4.) (0.4.) ZZ 189; 

o. 10. 18 ZZ (0.9) (o. 9) ZZ 263169. 

1 2. Soit x zz o, y ZZ o, la formule donne Ff ZZ 
o.mjm -j- p).(zm -j- p). 

THÉORÈME II. 

Tout nombre exponentiel à 4. termes , de la forme o . m. (m p) . (xm -j- p), 
ejl un nombre compofé dont les ficleurs font F ZI o. (m -f- p), 
f ZZ o.m. 

Exemple. 0.4.8*12- ZZ (0.8) (0.4) zz 4369. 

13. Soit x zz o, 6c pofant y ZZ a, c. à d. qu’au lieu de plu- 
fieurs termes differens que y complexe repréfente, il foie réduit à l’expo- 
fant unique a, la formule donne le Théorème fuivanr. 

THEOREME III. 

Tout nombre exponentiel compofé de 6 termes , de la forme o.a.m. (m -f- a), 
(m -{- p). ( 2 m -f- p), ef un nombre compofé dont les facteurs 
font F zz o.a.(m -}~ p); 6' f zz o.m. 

Exemple. 0.3.4.7.9.13 ZI (0.3.93(0.4) ZZ 8857 - 


I 4. COROLL. 
on aura le 


1 . Si dans le cas de l’Article 1 3 . on pofe a 
THÉORÈME IV. 


m, 


Tout nombre exponentiel à cinq termes , de la forme o. (m -f- 1). (m -f- p). 
(xm).(zm-|-p), a pour facteurs F ZZ o.m. (m -f- p), f — o.m. 


Exemple. 0.5.6.8*10 ZZ (0.4.63(0.4) ZZ 1377. 


3oi Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalb 

i 5 . Coroix. x. Si dans le cas de l’Art, i 3 . on pofe a zz p t 
on aura le 

THÉORÈME V. 

Tout nombre exponentiel à cinq termes , de la forme o. p. ni. (m -f- p -f- j). 
(im-f-p), a pour facteurs F — o. p. (m-j-p) <$’ f — o.m. 

Exemple. 0.1.8.11-18 ZZ (o. z. 1 o)(o. 8) ZZ 164 553. 

16. Coroll. 3. Si dans le cas de l’Article 1 4. on pofe p — m ) 
on a le 

THÉORÈME VI. 

Tout nombre exponentiel à q termes , de la forme o. (m -f- 1 ). (zm-f 1). 
(3m), a pour facteurs F ZZ o.m.im, & f — o.m. 

Exemple. 0.9.. 27.24 ZZ (o. 8 - 1 6 ) (o. §) ZZ 16908801. 

17.. Soit maintenant y zz o & x — b, la formule devient 
Ff — o.b.m.(m -f- p)i (m -f- p -f- b). (1 m -f- p\ 
d’où réfulte le 

THÉORÈME VII. 

Tout nombre exponentiel à fix termes, de la forme o. b. m. (m -f- p). 
(m -|- P -f- b), (im -f" P)> a P our fo&urs F zz o. (m -f- p.) 
f ZZ o. b. m. 

Exemple. o. z. 5 . 8- 1 1 3 ZZ (0.8) (o. z. 5) zz 9505. 

1 g- Coroll. Si l’on pofe ici h zz p on aura le 

THÉORÈME VIII. 

Tout nombre exponentiel à fix termes , de la forme o. p. m. (m -j- p). 
(m -j- zp). (zm -f- p), a pour facteurs F zi o.(m -f p). 
f zz 0. p. m. 

Exemple, o. 3. 5. 8. 1 1. 1 3 — (o. 8) (0.3. 5) zz 10.-537. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


3°3 

19. Soit préfentement y~a, x~b, la formule générale donne le 

THÉORÈME IX. 

Tout nombre exponentiel à 9 termes , de la forme o. a. b. ni. (a -f- b), 
(m -f- p). (m -{- a), (m -f- p -j- b).(im -f- p), a pour 
facteurs F zz o. a. (m — f- p), f zz o. b. m. 

Exemple. 0.1.2. 3. 6 . 8.1 1.1 2.17=1(0.2.1 i).(o.i.O— * 375 5 1 • 

20. Rkmarquf. L’application de ce Théorème, quoiqu’il /oit 

encore très limité, devient déjà plus difficile. La feule infpcction du nom- 
bre donné ne fuffit plus pour appercevoir qu’il appartient à notre formule. 
On a à la vérité S équations, pour quatre inconnues, mais par la nature 
du calcul qui n’elt point aüreint à un certain ordre, on ignore comment les 
lettres <2, />, p. ou auffi les lettres m, a. font fubordonnées entr’elles. 
Tout ce qu’on fait c’elt i°. que a, />, ni, ( a -f- b) font les moindres 
termes; i°. que (2 m -f- p) eft toujours le plus grand terme; 3 0 . que 
b <, m\ 4 0 . que a < {ni -f- p). On a donc dans notre exemple 
2/72 -j- p ZZ 17. a zz 1, ou 2. /> ZZ 1, ou 2, ou 3. 

/77. z= 2, ou 3, ou É Or a -f- b ne fauroit être zz 6 t donc 
772 z= 6 y donc p — J, donc b zz 1, donc j ZZ 2. 

xi. Coroll. i. Si dans le cas de l’Arr. 1 9. on pofe a~ b. on aura: 
THÉORÈME X. 

Tout nombre exponentiel de huit termes , Q de la forme o. (a -f- 1). 2 a. m. 
(m -f- a), (m -f- p). (m -f- a -f- p). (2 m -f- p), a pour fadeurs 
F ZZ o. a. (m -f- p.) & f ZZ o. a. m. 

" Exemple, o. 4. 5 . 6 . 8. 9. 1 2. 1 4 ZZ (o. 3. 9). (o. 3.5 .) ZZ 21 3 4 1 . 

22. Coroll. 2. Si l’on pofe en meme tems p ZZ o on aura un quarré: 
THÉORÈME XL 

Tout nombre exponentiel de fix termes , de la forme o. (a -j- 1). 2a. (m -j- 1). 

(m -f- a -f- 1 ). 2 m, ef un quarré dent la racine cjl o. a. m. 

Exemple. 0.8.1 1.1 4.1 8* 2-0 ZZ (o. 7. x o) (0.7.1 o) zz 1 3 29409. 


3.04. Nouvbaux Mbmoiibsi'de l’Académie Royale 

13. Coroll. 3. Si dans le cas de l’Arc. 19. on pofe a zz m, 
on aura le Théorème fuivant. 

THÉORÈME XII. 

Tout nombre exponentiel de huit termes , • & de la forme o. b. (m -J- 1). 
(m -f- b), (m-j-p)* (m-j-b-f-p)* ( 2. m — p), a pour facteurs 

F ZZ o. m. (m -f- p), & f ZZ- o. b. m. • 

Exemple, o. z. 6. 7.1 0.1 1 .1 3.1 6 zz (0.5.1 1.) (0.1.5 ) — 7 6997. 

I 

z\. Coroll. 4. Si l’on pofe ici b zz p, on aura le 
THÉORÈME XIII. 

Tout nombre exponentiel à fept termes, & de la forme o. p. (m + 1 )• 
(m -f- P + 1 )• ( m -f* 1 p)- 1 m. ( i m -f- p), a pour facteurs 

F zz' o. m. (m -f- p), f zz o. p. m. 

Exemple. o. z. 6. 8- 9. 1 o. 1 z ZZ (o. 5.7). (o. z. 5) ZZ 5^57. 


z 5 . Coroll. 5 . Si dans la formule §. 1 9. on pofe a — p elle 
donne le 

THÉORÈME XIV. 


Tout nombre exponentiel à huit termes , de la forme o. b. p. m. (b -f p). 
(m -f- p -f- 1). (m -f p -f- b), (im -f- p), a pour facteurs 
F ZZ o. p. (m -j- p), & f zz o. b. m. 

Exemple. 0.3. 5.6.9. il. 14.16 = (0.6. 1 1X0.3. 5) ZZ 8663 3. 


z 6 . Coroll. 6. Si dans la formule §.19. on pofe b ZZp, on a le 
THÉORÈME XV. 

Tout nombre exponentiel à neuf termes , de la forme o. a. p. m. (a -f- p). 
(m -f- p). (m -j- a), (m xp). (im -f- p), a pour facteurs 
F ZZ o. a. (m -J- p). f ZZ o. p. m. 

Exemple. 0.3. 6.7. 9. 1 0.1 z. 1 3. 1 5 ZZ (0.7. >9) (0.3. 6) ZZ 46063. 


-* DES Sciences et Belles - LeIttrhs. ' " 305 

17. Remarque i. Tous les xhéoremes, que nous venons de 
trouver ne concernent encore que des fadeurs de la forme x" -fi j , ou 
x n -j- x m -f- 1 . Ii feroic bien aifé de les étendre aux fadeurs de qua- 
tre termes, & au-delà. Mais comme l’application en devient toujours 
plus cachée à mefure que le nombre des termes augmente, il n’eft pas befoin 
de s’y arrêter davantage pour le préfenr. 

x8- Remarque x. Avant de finir cette première Sedion, il ne 
fera pas inutile de faire obferver un rapport a fiez curieux qui réfulte des 
exemples donnés, c’eft que la fortune des différences des expofans con- 
fie //tifs du produit , efi égale à la fortune des différences des expofans des 
facteurs. ", . 

Par ex. dans le cas de l’Art. 15. le produit eft o. 3. 5. 6 . 9. 1 %. r fi x S. 

dont les différences -font: 3 — {— 2. — f— 1 — {— 3 3 — j— 2. —J— 2. 1 6 . 

Legrand fadeur eft F zz o.ia.i 1. dont les différences font: 6 -fi 5 — 1 1, 
„ de le petit fadeur eft/— 0.3 .5 . ..ont les différences font : 3 -fi 2 — 5 . 

Remarque 3-. Çe rapport découle d’un autre qui en explique la 
raifon, c’eft que la famine içs ' différences des expofans conficutifs d'un 
nombre exponentiel , efi toujours égale 'au plus grand expofant de ce même 
nombre. 

— — *- ... 

Or dans tous les exemples que nous avons eus, le plus grand expofant 
du produit, favoir (xm -f- p), eft égal à la fomme des plus grands expo- 
fans des facteurs ; mais il peut l’excéder d’une unité, comme nous le ver- 
rons plus bas; & alors le rapporc obfervé n’auroit plus exactement lieu, il 
y aurait la différence de cette unité. C’eft que, quoique le plus grand ter- 
me delà formule Ff §. 1 o. foit toujours zz (xm -fi p), h fomme 
des termes inférieurs peut égaler, & même .excéder ce terme, ce qui 
parles réglés de l’addition donnera le plus grand expofant du produit 
— C 2 -™ + p -fi 1). 


Nota». Mim. 1771. 


Qq 


3 96 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

SECTION II. 

Recherches des formules qui expriment le produit de deux facteurs F & f . 

zy. La multiplication donne dans notre algorithme une fuite de pro- 
duits partiaux, qui comme dans l’Arithmétique vulgaire forment un rhom- 
be, ou une lozange, dont deux côtés repréfentent les deux fadeurs F 6c f, 
on en a un exemple Art. 9. 

Or chaque fadeur exponentiel eft, ou plein, ou vuide, ou coupé. 

J’entends par facteur plein celui qui renferme tous les termes dans l’or- 
dre naturel des nombres exponentiels depuis o jufqu’au plus grand terme 
m, ou m -}- p : 6c qui efl: par conféqucnt de la forme i m + I — i, 
ou z m + p+ ‘ — 1, parexemple F ZZ o. 1. z. 3. 4. 5 ôcc. 

Le facteur vuide efl celui qui n’a aucun terme intermédiaire entre le 
premier m o, & le plus grand zz m\ 6c qui efl par conféqucnt de la 
forme z m -f- 1, ou i m + p +‘ _j_ i } parexemple F ZZ 0.8. 

Enfin un facteur coupc eft celui qui outre les deux termes extrêmes o, 
6c m, ou m -f- p, a encore des termes intermédiaires, mais qui ne fe 
fuccedent pas tous dans l’ordre naturel, 6c qui par conféqucnt laiffent en- 
rr’eux des lacunes, ou des intervalles vuides, par ex. F ZZ 0.3. 5 . 6. 8- 1 i. 

La combinaifon de ces trois cas pofliblcs donne neuf efpeces différen- 
tes de produits, 6c les formules de ces efpcces font plus ou moins réguliè- 
res, félon que les fadeurs eux -mêmes le font plus ou moins. 

PROBLEME I. 

Trouver la formule générale du produit de deux facteurs pleins. 

3 o. Soit le grand fadeur F ZZ o. 1. z ... (m -j- p ), 6t le 
petit fadeur / ZZ 0,1 . . . m, les coëfficiens des termes du produit 
Ff feront: 

1.1.3 • • f- î) ... (m 1). m. (m — i).(m — z) xi 

Cdc on peut concevoir le rhombe formé par les produits partiaux com- 
me étant coupé verticalement en deux triangles, l’un vers la gauche, c*. fa a- 


des Sciences et Belles-Lettres. 307 

cre vers la droite, ayant un parallélogramme entre deux. Ainfi depuis 
l’origine o du triangle gauche, les coëfficiens iront en croiflànt d’une uni- 
té, de 1 jufqu’à m — 1, ce qui donne m termes croiflans. 

Enfuite le parallélogramme s’étendra depuis m jufqu’à m -j- p, cc 
qui donne p -f- 1 coëfficiens conftans, dont chacun eft ZZ m -f- 1. 

De là commence le fécond triangle égal & femblable au premier; mais 
dans une pofition renverfée, où les cocfficiens décroîtront fucceffivemcnc 
depuis m jufqu’à 1. 

Soit p.ex. jFzz o. 1. 1. 3. 4. 5. 6. 


f — o. 1. x. 3. 4 


on a les pro- 0. 1. x. 3. 

4. .5. 6 


duits partiaux 113 

4 5 6 

7 

a 3 

4 5 6 

7 8 

3 

4 5 ^ 

789 


4 5 6 

7 S 9 


Ff — IX o. i XI. 3 XX. 4x3.5 X 4. 5 X 5. 5 x6. 4x7.3 x8. XX^.IXIO. 

31. Corollaires, a. Donc, file petit fadeur f a x termes 

0. 1 — 3 . les coëfficiens du produit Ff feront 1. x . . . . x. 1. & 
un nombre exponentiel de cette forme eft divifible par 3. 

b. Donc, fi f ZZ o, 1, z. les coëfficiens de Ff feront 1. x. 3 ... 3. x. x. 
& un nombre de cette forme eft divifible par 7. 

c. Donc, fi / Z o. 1, i. 3. les coëfficiens de Ff feront 

1. x. 3. 4 . . . . 4. 3. x. 1. & un nombre de cette forme eft divifible 
par 15. 

d. Donc en général, fi f ZZ 0.1.x . . . m. les cocfficiens de Ff 
feront 1.1.3. . . (/n-j-i). . . (m -f- 1 ). (ni), (m — 1). . . . 1. & le 
nombre qui pourra être réduit à cette forme fera toujours divifible par 
»"+* — 1. 

31. Par les réglés de la fynthefe, ou de la compofition des expofâns 
(Art. 8-)» on ^ a ‘ c ft uc 1 ° Q a toujours 


Qq i 


308 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


* 

* 

* . . . * * * 

I 

ZZ * 

* 

* . 

. . * 

e 

X 

* 





zz * 

* 

« . 

. . * 

X 

I 

5 





* 

* 

* . 

. . 1 

I 

I 

# 


ZZXII...III* 

donc réciproquement toute fuite de cocfficiens ZZ 1 I i . . . I i i * 
eft ZZ » **....** * i. 

Si donc de la fuite des coëiïîcicns croiffans du triangle gauche 

i. x. 3- 4 fa — 0* fa). fa -f- 0 

on ôte fucceflivemcnt on aura l’opération fuivante 

-f- i . x. 3. 4 . . . . fa 1). ( m ). (m -f- 1) 

— XII.... 1 1 * 

1" refie ZZI 1 * x 3 • • • • fa x). ( r:i i).(/n-f- 1) 

— x 1 .... 1 1 * 

x 4 refie Z 1 * * 1. 3 • • fa — 3). fa — x). fa -f- 1) 


(/ri — i) c refle ZZ 1 * * a . . . • * * fa-f- 1) 

Mais à chaque fouflraflion, pour ne rien diminuer de la fomme primitive, il 
falloit augmenter de l’unité le coefficient fa-f- 1), & puifqu’il y a cû 

1 fouflractions, ce coefficient feroit devenu ZZ (x m). Ainfi les 

cocfficiens du premier triangle étant réduirs, font ZZ 1 -f- fa 1) fois *, 

& il refie à ajouter au premier coefficient du parallélogramme m — 1 
unités. 

Or les coëfflcicne conflans, au nombre de p - f- 1 , font 

fa -(- i). fa -f- 1) . . . . fa -J- 1) 

en y joignant (< m 1 ) 

la réduction donne * 1 1 . //?. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


309 

donc les coëfficiens du parallélogramme étant réduits donnent * (p) 1, de il 
refte m unités à ajouter au premier coefficient décroiflànt du fécond 
triangle. 

Mais la fuite de ccs coëfficiens eft m. ( m — 1). (m — 2.) . . .1 

Ainfi ajoutant au premier -j- ni. 

la réduction donne .... * 1 i . . . . 1 l 

ZZ * -j- (m) fois 1. 

En réunifiant ccs trois membres, on a la formule cherchée du produit des 
fadeurs pleins 

i. (m) ». ( p ) 1 . * (ru) r. 

33. Coroll. 1 . Ainfi à l’aide des cocfficiens réduits à l’unité par la 
fynthefc, & des places vuides qu’ils Liftent, l’algorithme exponentiel eft 
ramené ici à la dyadique, avec cette différence purement accidentelle, 
qu’ayant multiplié de gauche à droite, le nombre dyadique a l’unité à la gau- 
che, de fon plus haut terme à la droice. 

34. Avertissement. Comme il eft plus commode d’employer le 
zéro, qu’une étoile pour défigner les places vuides, nous nous fervirons à 
l’avenir du zéro. Il eft vrai que dans l’algorithme exponentiel o marque 
l’unité, & non une lacune, puifquc c’eft l’expofant de z\ Mais il n’y a 
point à craindre d’équivoque entre des nombres exprimés par les expofans, 
&c des nombres exprimés par l’Arithmétique dyadique. On ne fauroit con- 
fondre 0.1.3. 5. avec 101011, ou 110101. 

35. Coroll. x. De la formule trouvée 1 (m) o. ( p ) 1. o (m) 1 
réfulte le 

THÉORÈME XVI. 

Tout nombre exponentiel aujuel il manque autant de termes par ex. m entre o 
6 ' le premier expofant dans l'ordre des nombres , qu'il y aura de ternies qui 
Je fuirent immédiatement vers les plus hauts expofans, précédés d’une Jeule 

Q <1 3 


jio Nouveaux Mémoires de l’Académih Royale 

place vuide , a pour facteurs F ZZ o . . . . (m -f- p) & 

f o • * • • ni» 

Exemple. 

o I 5* ^|8* 9* 1 °* 1 1* = (o.i.». 3 . 4 . 1.3-4) = 3937» 

3 6. Coroll. 3. Si l’on pofc dans la formule p zz o, on aura 
oclle d’un quarré zz 1 . (m -f- 1 ) o (m) 1 ; de là réfulte le 

THÉORÈME XVII. 

Tout nombre exponentiel auquel il manque un terme de plus , par ex. m - 4 - 1 
entre o & le moindre expofant au-dejfus de o, quil y a de termes con~ 
fécutifs de là juj qu'au plus grand expofant , ef un quarré dont la racine 
ef — o . . . m ~ a ra + 1 — 1. 

Exemple. 

o | 6. 7. 8- 9 — (o. 1 . 1. 3. 4) (o. 1. i. 3. 4) zz 
PROBLEME II. 

Trouver la formule générale du produit , quand les facteurs font vuides , 
ou de la forme z m + p -j- j, & a"’ -f- 1. 

37. Cette formule réfulre tout fimplement du rhombe formé par les 
produits partiaux j qui font dans ce cas -ci 

o (m + p) 


• • • • 

™ 0-»» -f -p), 

d’où l’on voit i°. que les places vuides entre o & m font au nombre de 
m — 1 ; entre m & (m - f- p), au nombre de p — 1 ; & entre m -j- p 


ôc zm -f- p, au nombre de m — 1 . z°. que les quatre places rem- 

plies n’ont chacune qu’un feul terme, & que par conféquent le coefficient 
eft Z 1. 


La formule cherchée eft donc 

ZZ i.(m — 1)0.1 (p — 1)0.1 .(m — 1)0.1.' 


des Sciences et Bell*s-Lbttres. 


3 ** 

3 8 . Coroll. i . Cette formule eft la même que celle que nous avons 
trouvée fous un autre point de vue Art. n. Là o. m. (m-\- p). (imf-p) 
repréfente les nombres exponentiels eux- mêmes; ici on a les nombres 
dyadiques; qui marquent la place des puilTances du binaire. 

35). Coroll. z. De cette formule réfulte le 

THÉORÈME XVIII. 

Tout nombre exponentiel à termes , qui laiffe autant de places vuides 
(m — i ) entre le premier & le fécond terme , qu entre le troifieme & le 
quatrième , & qui a un nombre quelconque (p — i ) de places vuides 
entre le fécond & le troifieme , a pour facteurs F zz z m + p -f- i, 
f zz Z m -f I. 

Exemple. 

o. 4. 8- 11 ZI (o. 8) (o. 4) IZ 43 ^ 9 * 

40. Coroll. 3. Si l’on pofe p — o, la formule feroit 

1 — 1) o. 1. ( — 1)0. 1. (m — 1)0. 1. 

Or le figne négatif montre qu’il faut reculer les termes fuivans d’autant de 

places qu’en contient le nombre négatif; ainfi l’on a 

1 (m — 1)01 / N 

. , ZZ 1 . 1/72 1)0.0. I .(/72 ZVO. I 

i {m — I ; o . 1 . 

ZZ 1 . ( m ) o . 1 . (m — z) o . 1 . 

d’où réfulte le 

THÉORÈME XIX. 

Tout nombre exponentiel à 3 termes , qui a deux places vuides de plus entre le 
premier terme o & le fécond (m -J- 1 ), quentre celui-ci & le troi- 
fieme (zm), efl un q narré dont la racine ejl zz o.m ZZ z m -f-i* 

Exemple. 

o. 5). 16 zz (o. 8) (o. 8) ZI 66 049. 

PROBLEME 1 JL 

Trouver la formile générale du produit quand le grand facteur F efl 
plein — z m + p + ' — x, & que le petit facleur f ef vuide ZZ o.m 


3 tî Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

41. Cette formule réfultera encore immédiatement du rhombe des 
produits partiaux, & des principes de l’algorithme exponentiel §. 8- 

les produits partiaux font F* o zz iiiiiii... 


F x ni ~ iiiiiiii.... 

donc le produit total Ff ZZ iiiioiioooooi. 
ce qui donne la formule: ( m ) i.o.(p) i.(m)o. 1. 

THÉORÈME XX. 

4 1 . Donc tout nombre exponentiel qui à commencer par o aura pré- 
ci fément autant de termes JucceJJifs au nombre de m, Juins if une 
J'eule place vuide , quil y aura de places vuides avant le plus grand 
terme , 6’ qui aura entre les deux lacunes un nombre p quelconque de 

termes conjécutifs , a pour faclcurs F ZZ x m + f + 1 1 , tj 

f ZZ 2 m + I. 

Exemple . 

o. 1 . 2.. 3 | 5 • ^| 1 1 • = (o. 1.2.3. 4. 5.6) (0.4) zz 2159. 

43. Corollaire. Si l’on pofe p ZZ o, la formule devient 
(m) 1 . (m -{- 1 ) o . 1 . ce qui donne le 

THEOREME XXI. 

Tout nombre exponentiel qui à commencer de o a un nombre quelconque m 
de termes confécutifs ; 0 enfuit e un intervalle de m -f- 1 places vui- 
des avant le plus grand terme, a pour facteurs F ZZ x m "f | — 1 , 
& f ZZ 2 m + !. 

Exemple. 

o. 1. x. 3 | 9 ZZ (o. 1. x. 3. 4) (o. 4) ZZ 517. 

PROBLEME 


dbs Sciences et Belles - Lettres. 31J 

PROBLEME IV. 

44. Trouver la formule générale du produit , quand le grand facleur ef 
vuide , ou F — z m + p -f- 1 , (S’ que le petit facleur efl plein ~ z m + ' — x . 

Cette formule réfulte auffi tout Amplement de l’inlpe&ion des produits 
partiaux dans cette quatrième efpece. 


On a F ~ 1 r 

I a ..... I 
I I 


Ff ~ 1 1 1 1 o o o 1 1 1 1. 

donc la formule cherchée cft: (m -f- 1) 1 (p — 1) o .(m -}- 1) 1. 


45. Remarque. Comme le Problème IV. n’cft que l’inverfe du 
Problcme III. on peut trouver la formule, en fubflicuant dans l’efpece 3 me 
m p a m, 6c — p à -f- p; alors on a pour l’cfpece 4 me 

(m -\- p) 1.0 ( — p) 1. (m -f- p) o. 1. qui par notre analyfe de fituation 
revient à celle que nous venons de trouver, comme l’opération fui vante va 
le montrer. 


En plaçant les termes fur l’indication du figne négatif, c. à d. en recu- 
lant de p places, la formule devienc 

(™+p) ».o 

(p) o. (m) o. r. 


(mj-p) 1 o (m) o. 1. 
d’où il faut fouftraire — (p) r 
P unités puifque le („ 2 -|-j) t (p-i)o(mfi) r. 
le terme négatif a la 
caraclériffique x. 


— (/»ï 1) 1 (p- 1 ) 1 o (ni) o r. 
— 1 1 1 1 

=('«+!) I (p-l)o.l(w) I 
— ('«+ i)r.(p-i)o 


Nouv. Mim. 1772. 


Rr 


3’i'4 Nouveaux Mémoires db l’Académie Royale 

THEOREME XXII. 
âf 6 . Donc; tout nombre exponentiel qui aura un nombre égal quelcon- 
que m -j- r de termes confecutifs , vers les deux extrémités, & une 
J'eule lacune de (p — i) places vuides, aura pour facleurs F ZZ 
x m + p -J- i, 6’ f ZZ x m+ ‘ — i. 

Exemple. 

0.1.2..3.4I8.9.10.11.H zz (0.8) (o. 1. 1.3.4) = 79^7- 


47. Coroll. Si l’on pofe p ~ o, la formule devient 
(w) 1 . (/n -j- 1)0. 1 . 

Car on a (m) 


'■ 1 l - 

1 (m) 1 j 


(m) 1 (m -j- 1) o. 1. 


THEOREME XXIII. 

48. Donc: T'ont nombre exponentiel qui commence par la Juitc natu- 
relle o . ! . x . . m , C?’ qui de là au plus haut terme a une interrup- 
tion de m -f- 1 places vuides , a pour facleurs F z x m -f- 1, 
f ZZ x m +‘ 1. 

Exemple. 

o. 1. x. 3 | 9 ZZ (o. 4) (o. 1. 1. 3. 4) ZZ 5 xy. 

Ccft le cas du Théorème XXI. parce qu’en pofant p ZZ o , le grand 
faékur qui elt vuide, devient plus petit que le petit faveur qui par la fup- 
pofîtion cft plein. 

PROBLEME V. 

49. Trouver la formule générale du produit quand le grand ficleur ef 
plein , F ~ 1 — 1 , 6' que le petit ficleur eft coupé , en forte 
qu'il lui manque les expojans , v', v", v'" . . . . v n , entre les deux extrê- 
mes o & ni. 

Il feroit trop long de donner ici le détail des opérations qui conduifcnt 
à cette formule, & à celles des quatre cfpeces fuivantes; il fuffira d’en indi- 
quer les principes, & la marche, & d’en rapporter le réfultat. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


3M 

Il eft clair que le produit de cette f me efpece ne différé du produit de 
h première §. 3 z. où les deux faveurs font pleins., qu’en ce qu’il y man- 
que autant de produits partiaux, que le petit fadeur a de places vuides. 
Or fi la place vuide de l’expofant v avoir cté remplie, fon produit Fxv 

feroit v, (v -f- 1) (v -f- z) (v -j- m -f- p); c’cft donc ce 

qu’il faut fouftraire de la formule des fadeurs pleins, qui eft §.31. 
ZZ 1 . (m) o (p) 1.0 (m) 1 . 

Mais pour procéder à cette fouftradion, il fuffit de fe rappeller que s’il 
faut ôter la caradériftique 1, d’une caradériftique o, il faut emprunter la 
première unité vers la droite, laquelle par la nature des expofans (§- 8 ), 
depofe un coefficient 1 fur tous les termes inférieurs en defeendant vers la 
gauche jufqu’à ce qu’on arrive au terme v, où, fi l’on arrête la décompofi- 
tion, ce coefficient emprunté vaudra z , de par confcqucnt le refte de la 
fouftradion donne 1 pour cette place -là. 

Si au contraire il faut ôter le coefficient 1, d’un coefficient correfpon- 
dant zz 1, le refte de la fouftradion donne o, c. à d. une place vuide. 

De là on trouvera pour le cas d’une feule place vuide r, dans le petit 
fadeur, 

i.(v — 1)0. 1 (m — t) o (p) 1. o.(v — 1 ) 1. o.(m — v) 1 . 

Pour le cas de deux places vuides v', v" 

1 . (v — 1)01. (v" — v' — 1) o. 1 (ni — v") o (p) I. o (v' — 1)1.0 
(v" — v 1 ) 1 . o (m — v") 1 . 

Pour le cas de trois places vuides, v', v", v"'. 

i(v' — 1)0. x (v " — v — 1)0. 1. (v'" — v" — 1)0.1. (m — v") o. 
(p) i.o(v' — 1) i.o.(v" — v — 1) x.o.(v"' — v" — 1)1.0 (ni — v")i. 

Enfin pour le cas général de n places vuides, 

x.(v' — 1)0 i.(v '' — v — 1)0 1 (v” — v”— — 1)01. (ni — v n )o 

(p)i.o.(v' — 1)1 o (v" — v' — 1)10 (v” — v n — — 1)1.0 

(ni — v”) 1 . 


Rr z 


3i 6 Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale 

50. Corou. Donc fi l’on pofe v' — 1 ZZ a ; v" — v' 
— 1 — b y v " — v" — 1 ZZ c, &c. v n — v n — 1 zz 
on aura le Théorème fuivant. 

■ THÉORÈME XXIV. 

Tout nombre exponentiel dont les termes , à commencer de o, Je fuccederortt 
dans f ordre de la formule des coêjfciens 

i.(a) o. i.(b)o. 1 (c)o. 1 .... (q)o. i.(m — v n ) o (p)'i. o (a) 1.0. 
(b) 1. o.(c) 1 o (q) i.o.(m — v“) 1. 

a pour facteurs Fzn m ^ p ' f ' 1 1, f ZIo...(v' — l)(v'-f-l).. 

• • • (v" i).(v"+ 1) Cv"'— i).(v'"+ 0 . . . . (v n — 1) 

(v n + I ) ni. 

Donc pofanc b ZZ o, on a 

i.(u) o. 1. (m a 1)0 (p) 1.0. (a) 1.0 (ni a 1) 1 

— (a,« + p+ ‘ — 1) (o a (a -{- x) m). 

Exemple. 

o 1 4 1 6" 1 8 - 9 . io| 12 zz (x 7 — 1) (o. 1. x. 3 1 5) zz 5969. 

Ici a zz 3 , m — 4 ZZ 1, p ZZ 1. 

Pofanc c ZZ o, on a 

1 . (a) o. 1 . (b) o . 1 . (m — b — a — 2) o (p)i.o (a) 1 o (b) 1 . o. 

(rn b a x) 1 . ZZ (2' n ' i ' / ’+ , 1 ) (o . . . a)(a -f x) . . , 

. ,b(b-\- x) . . . . m). 

Exemple. 

©|x|4|6|8|io[i2 zz (2/ — i)(o. 1.3.5) = 54^1. 

On a ici a ~ 1 , b ZZ 1 , m — b — a — x zz 1 , p Z 1 , 

donc m ZZ 5 , m — j— p ZZ 6 , v Z x, v" ZZ b -f a -f x ZZ 4. 

Pofanc d zz o, on aura 

i.(a)o. 1 (£)o. i.(c)o. 1 (ni c — b a 3) o<p) 1.0 (a) 1 . o 

(b) 1 . o (c) 1 o.(m — c — b — a — 3) 1 . 


DES SCIENGBS ET Be ILES -LeTTR E S, 


3*7 


Exemple ► 

o |- 1 1 x 1 4_| | r o 1 1 a. = (o. i. x. 3.4. 5. 6 ) (0.3, .5) z= 5x07. 
Ici on a a ~ o y donc v' ZZi, i Z o y donc v" ~ x, c z 1, 
donc r" zz 4 , m — c - — b — a — 3 z 1, donc m ZZ 4. 

PROBLEME VI. 

5 1 . Trouver la formule du produit de la fixieme efpece, favoir celle où 
te grand facteur ejl vuide , F z= z m + p -f- 1 , & te petit facleur coupé r 

£ ZZ O . 1 ... (v' — 1) (v' -j- x) . . . (v" — 1 )(*"') 

Si de la formule du Problème IV. pour le cas de F vuide r f plein, 
qui e£t (§. 44.) (m -J- 1) 1 . (p — 1) o. {m -|- x) x,. 0x1 faudrait pour 
le produit partial 

(v — 1 ) a. 1 ( m -{- p — 1 ) o . r . 

©n aura, pour le cas d’une place vuide dans le petit fadeur, la formule 

(v) 1. o (ni — r) 1 (p — 1)0 (v) 1 o (m, — v) 1 , 

d’où ôtant encore (v" — 1)0.1 (m-f p — 1)0.1.. 

on a pour deux places vuides : v', v", 

(v') 1.0 (v" — v — 1)1.0 (ni — V) 1 .(p — 1) o. (v') r . c ( v " — v' — r)i o- 
(ni — v") 1 . 

On trouve de même pour trois places vuides, v',. v", v'",- 

(v') 1.0 (v" — v — 1)1.0 (y" — v" — 1)1.0 (ni — v") r. (p — 1)0 
(v') 1 . o (v " — v — 1)1.0 (v'" — v' ; — 1 )’ 1 . o (m — v'")* 1 , 

Enfin pour n places vuides la formule générale eft: 

(v') 1 . o (v " — v — 1) 1 . o . . . - (v n — v r -^ 1 — 1) r. o (i m — v 1 ) 1 . 
(p — i)o.(v') x. o(v" — . v'— 1) 1 . o . . . (y a — v 1 '—' — 1) 1 . o 
(m — v") 1 . 

CoROtt. Si l’on pofe pour abréger v' Z a, v" — v' — r — b , 
v — v — 1 ZZ c, 1 * . . v’ — v''~ l — r ~ <]., on formera le 
Théorcme fuivanc»- 


Rr 


y 


3 1 8 Nouveaux Mémoires de l’Açapbmie Royale 

THÉORÈME XXV. 

5 !.. Tout nombre exponentiel dont les termes i à commencer de o, fe fui- 
vront dans F ordre de cette formule des coëflîciens ■ 

(a) i.'o (b) i. o(c) i. o . . . . (q) i . o (m — v") i .(p — i)o. 
(a) i . o (b) i . o (c) i . o . . . . (q) i . o (m — v") i . 

en forte que l'ordre de la fuccejjion Joit le meme des deux cotés, aura 
pour facteurs F “ z ra + p -f- i , & f ~ o . . . (v' — i ) (v' -f- i ) . . 
. . (v" — i) (v"-f- i) (v n — i) (v n — j— i) .. .m. 

Donc pofanc b zz o, on aura 

(a) i . o .(m — a) i . (p — i) o.(a) i o.(m — a ) i . 

Exemple. 

o. i . i | 4 1 8- 9* i o 1 ix zz (o. 8) (o. 1. z. 4) zz 5911. 

On a ici a — 3 , m — a — 1, donc m ZZ 4, p — 1 Z 3 , 

donc p ZZ 4 - 

Pofant c ZZ o, on aura 

(a) 1 . o . (b) 1 . o (m — T b — a — 1)1. ( p — 1 ) o . (a) 1 o. (b) 1 0. 

( m — b — a — 1 ) 1 . 

Exemple. 

o. 1 | 3 | 5 | 8. 5? | '1 1 | T 3 = (o. 8) Co. 1.3.5) = iioji. 

Ici a ZZ z, i Z 1 ; rn — b — a — 1 Z 1, donc m 5, 

P — 1 — P — 3 - 

Pofanc d z Z o, on aura 

(a) 1 . o. (b) 1 . o(c) 1 . o (m — c — b — a — z) i.(p — 1)0. «Sec. 

Exemple. 

o| 3| 5 . 6”. 7 1 1 6 \ 19I2.1. ri. i 3 zzz(o. 1 6) (o. 3. 5 6 . 7) zz 1 5 i-jo 1 zi . 
On a ici a z r, b ZZ o, cz r, m — c — b — a — z ZI 3 , 
donc m zz 7, p — 1 zz 8, donc p zz 9. 


des Sciences et Beiies-Lhttres. 


3 *9 

5 3. Corole.* Si dans la formule on pofe p zz o, il y a un terme 
négatif ( r— 1)0, qui exige le recul d’une place pour tous les, termes fui- 
vans, mais fans foultra&ion, puifque la caradériltique du terme négatif cft o. 

Ainfi la formule devient dans ce cas 

(*z) 1 . o(Æ)i . o . . ,(q)i.o.(m — v n — 1) 1 . (a) o. (Z>-{- 1)1. o. (c)l .0 
.... (y) 1.0. (m — v n )i. 

Car dans l’addition 

de ( ni — v")i 7 ZZ (m — v " — 1 ) r — f- 1 

-f- (a) 1 . o (b) 1 o j -f- 1 -f (a 1)1. o(b) I o . 

on a la fomme .... ZZ (ni — v" — 1)1 o (a — i)o.i(Z>)io. 

— (m — v " — 1)1 ( a ) o (/»-{- 1)10. 

Soit b Z o, la formule devient pour une. feule place vuide 
(a) 1 . o.(m — a — 1) 1 .'(a)o.(m — a-j- 1) 1. * 

Exemple. 

o | x. 3|5 - 7. S = (0.4) (0.2.3.' 4) = 45 ? 3 - 

Ici a ZZ 1, m a 1 ZZ 2, donc m ZZ 4. 

Soit c Z o, la formule pour deux places vuides devient 
(d) 1 . o (b) 1 . o (m — b — a — 2)1 .(•;) 0 (Z>-f- O 1 • o Ç m — b — a — 1)1 . 

Exemple. 

o . 1 1 6 j 8 = (0.4) (0.1.4) ZZ 32 - 3 - 
Ici a ZI 2, b zi o, m — - b — a — 2 ZZ o, donc m ZZ 4, 
& la formule donne en nombres dyadiques 1 1 o o o o 1 o 1 . 

Soit d ZZ o, la formule pour trois places vuides devient 

(a) 1 . o (/;) 1 . o (c) 1 . o ( m — c — b — a — 3 ) i . (u) o (é -f- 1)1 o 
(Oi o(/h — c — b — a — '2)1. 

Exemple. 

0 | 5 { 8 j ~ (0.4) (0.4) zz 289. 


3i6 Nouveaux Mémoires j>e l'Académie Royale 

Ici azi, b zi o, fZo, m — c — b — a — 3 Z o, donc m — 4, 
& l’on a dans cct exemple par la formule en nombres diadiques 
100001001; car les termes (b) 1, (c)i, (m — c — b — a — 3)1, 
évanoui Ifcnr. 

54. Remarque. Jufqu’ici toutes nos formules n’ont renfermé que 
des termes pofitifs, ou tout au plus évanouiffans ; car quoique toutes les 
efpcccs paires, aient le terme ( p — 1), qui eft négatif lorfque p ZI o, 
cela n’opere que le recul d’une feule place, & tomme nous l’avons montré, 
il eft toujours aifé d’avoir une formule toute pofitive pour ce cas particulier. 
Mais dans les trois cfpeccs qui relient à examiner, la chofe eft différente ; 
on ne peut plus éviter que les formules des produits ne renferment quelques 
termes négatifs, parce que la lacune V dans le grand faéteur 11e s’étend 
que depuis le terme déficient V jufqu’au terme V m\ àc que le rap- 
port de V à m, n’cft pas donné, au lieu qu’on avoir toujours v" < m. 

PROBLEME VIL 

5 5 . Trouver la formule générale du produit de la y me efpece qui a le grand 
facleur coupé, F •= o . . . (V'— 1) (V'+ 1). . . (V"— 1) (V"+ 1). . 
. . (V N — 1) (V N — j— 1) . . . . (m-j- p), & le petit facleur plein — 

x m + l — 1 , 

Comme cette feptieme efpece eft l’inverfe de la cinquième, il n’y a qu’à 
fubftitucr dans la formule §.49. V à v, m-j -p à m & — p à 
-j- p , pour avoir la formule cherchée; elle eft par conféquent: 

\.(V ' — ï)o. 1 (V" — V — i)o. 1 . . . {V N — V N ~ 1 — 1)0 1. 
(m — V N -j- p) o ( — p) 1.0 {V — 1 ) 1 . o {V" — V‘ — 1)1.0.. 
. . .(K*— /^ v -‘— 1)1.0. ( m + p — V A )i. 

<j 6 . Remarque. Il feroit aifé dans notre analyfe de faire difparoî- 
tre le terme négatif ( — p) 1 , en reculant de p places les termes fuivans, 
de en fouftrayant p unités des places redoublées; mais en le faifant on 
s’expofe à avoir d’autres termes négatifs. L’opération feroit comme fuit: 

(m -j- 


. DBS. SCIHNCHS ET B E L t E S-LeTTR ES. 3ZI 

(m -f- P — V N ) ° ( — f) 1 0 (V — 0 1 ° 

ZZ (m — V : ') o ~f— (p) o 

-f- o(p — i)i(K' — p)io.ôcc. 

(/7Z O (/J l)l(V‘ />) I . o &c. 

— I .... I 

ZZ (ni — -V*)o. i(p-r-i) i o(V — p — r) i o &c. 
ZZ (m — V ! ')o (p) i. o (V — p — i)xo.&c. 

Or il eft poflible que (ni — V n ) foi t négatif, «St que (V p — i) le 

foie auflî ; & alors on n’auroic rien gagné à la transformation. 

Exemples. 

Soit y ZZ o, V ZI z, m ~ 4, p ZZ 3 > 

la première formule donne: ioiooooo — (3)1.01011111 
zz IOIOOOOO 

-f- o 1 o 1 1 1 1 1 
— 1 1 1 

zz 1 o 1 00 1 1 00 1 1 x 1 zz o. z. 5. 6 . y. 10. xi. 1 z. 

— (o. 1. 3. 4. 5. 6 . 7 )(o. 1. z. 3. 4) zz 7781. 
la fécondé formule donne: ioiooiiio — (z)i.oiiiix 

ZZ IOIOOIIIO 

-j- o 1 1 1 1 i 
1 1 

ZZ IOIOOIIOOIIII. 

Soit V zz o, V zz 3» m zz z, p zz 6 , 

la première formule donne: 100100000 — ((j)i.oiioiiiii 

zz: IOOIOOOOO 

-{- O I I O I I I I I 
I I I I X I 

zz ioooooiiioii zz o. 6 . 7. 8- 10. xi 

zz (o. 1. z.4. 5.&7.8 )(o. I.z) zz 3511. 

Nuuv. Mcm. 1771, - S S 


311 Nouveaux Mémoires de l’Académie Hoyaib 

la fécondé formule donne: i ooi — (O 0 * 1 nm o — (4)1.01 1 1 1 1 
ZI -f" 1 00 1 

-J- 1 1 1 1 1 1 o 
-f- o 1 1 1 1 1 
— 1 1 1 1 

— - -IOOOOOIIIO-II. 

Soir F'" ~ o, F" — 6, V ~ 3, m—6, p z t, 

la fécondé formule donne : iooiooiiiooiioii 

ZI 0.3.^.7.8.11.11.1415 = (o. 1. 1.4.5. 7 - 8 )(i 7 — 0 
= 5 575 3 = 439 x 117- 

Soit V" ~ o, V" ~ 5 , F" zi 3, V ~ i, m z 4, p ~ 4, 

la première formule donne: ioiioiooo (4)1.010010111 

ZI ioiioiooo 1 

-j- OIOOIOIIlV ZZ 1 o 1 1 000 1 000 1 1 1 
— 1 1 1 1 3 

= 0.1.3.7.11.11.13 zz (o. I. 4. 6. 7. 8)(o. I. 1. 3. 4) 
= 1 4477 * 

Soit F" zz 5, V" zz 4, F'zzi, F'izi, m zz 4, /» = », 

la fécondé formule donne: iiioii — 01 10 — (1)1. 00 1001 
ZZ iiioioiioooi zi o. 1.1. 4. 6.7 . 11 zi (o. 3.6) (o... 4) 
ZZ 1163. 

PROBLEME VJ JI. 

57. Trouver la formule générale du produit de la huitième efpcce , qui 
a le grand facteur coupé, ou F — o . . . (V' r) (V' -f- 1) . . . 

(V- — I) (V" (V‘ v — o (V N + 0 .... (m + p) 

ts le petit fadeur vuide, ou f ZZ i m -f- 1. 

Cette efpecc cft l’invcrfe de la fixicme, dont la formule eft à l’Art. 5 ï . 
/ infi fubltiruanr ici F à v, m -J- /j à m, 5 c — p h -f- p, on 
aura la formule cherchée 


des Sciences et Beues-Lettrks. 


3*3 

(K')i.o(r-K-i)l.o . . . i)i.o(/n^-^)i. 

5 8- Remarque i. Pour faire difparoftre le terme négatif 
( — p — 1)0, il n’y a qu’à ranger les termes voifins félon les règles de 
cette analyfe, & l’on aura, en décompofant convenablement les termes qui 
doivent coïncider par le recul de (p-J- i) places: 

(m -V*\p) i f (p) i 

{V')i o{V n -y-i) y — ■ 

~{m-y N - 1)1 o (p) i ( y~p- 1 ) o i ( y- y- 1)10. 
—( rn -y N -i)i o( P )i (y'-p-i)o(y"-y')i o. 

Par cette transformation la formule n’aura point de termes négatifs 
lorfque m > y N & p < y, mais elle en aura deux dans le cas contrai- 
re; ôc le cas m < y exigera même une fouftracHon d’unités, à caufe 
de la caraétcriftique i qui accompagne le coefficient ( m — y — i ), 
au lieu que la première formule rr’exige point de fouftra&ion, parce que 
( — p — i ) a la caraclériftique o. 

Exemples. 

Soit y" zz o, V zz 3 , m zz 4, p zz x, 

la fécondé formule donne : iiiooiiiiii — o. i. a,. 5.6.7. 8-9- * » 

ZZ (o. 1. 1. 4. 5. 6 ) (o. 4) — 1x13. 

Soit y " — o, K' zz 3, /n zz 4, p ZZ 4, 

elle donne: iiiooiiii — (x) o. 1 1 1 1 1 1 
ZZ iiiooiiii ( 

> zz 1 1 1 00 1 1 o 1 0000 1 
1 1 1 1 1 1 3 

zz 0.1.1.5.6.8.13 = (o. 1. 1.4. 5. 6. 7. 8)(o. 4) — 8551* 

Soit y" ZZ O, y zz I, K" ZI 1, m zi 3, P ZZ O, 

la formule donne: 1000101 zz 0.4.6 ZZ (0.3) (0.3). 

* . Ss x 


314 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

Soit V zz V" zz 4, ra z î, p zz i, 

on a i ioiooiiioii zz 0.1.3. 6.7. 8*i 0.1 1 zz(o.i . 3. 5 . 6)(°*5)* 

Soit V — 3 K V" — 6 t m — 3, p zz 4, 

la première- formule donne: iiioiioi — (5)0.11101101 

. — 1 JIOMOI ( 

> zi 1 1 1 1 01 1 001 1 

-f- iiioiioi 3 

Z= 0.1.2.3.5.6.9.10 — (0.1. 1.4. 5.7) (0.3). 

Soit F"zzo, Fizi, K" zi 4, ^"' = 5 , wz 4 , /».= 'x, 

I3 première formule donne: 11 01.001 — (3)0.1101001 

• ■ Z IIOIOOI . j • . , 

>Ziioiiiiiooi zz o. 1.3. 4. 5. 6. 7. 10 

I ICIOOI J * ' 

— (o. 1. 3. 6 )( 0.4). 

Soit V v, —o, V'—iy V"—^ V"—<n y tv — 7, V^—^.m—^p—éy 
la formule donne : iioiooioioi — (7)0.11010010101 


- r 


IIOIOOIOIOI 


. = 


IIOIIIIIIOOIIOI 


I IOIOOIOIOI 

zz o. 1. 3.4. 5. 6. 7. 8. 1 1. 1 2- 1 4 zi (o. 1. 3. 6. g. 1 o) (o. 4). 


5p. Remarque 2. C’eft à cette huitième cfpece de produits 
qu’on peut rapporter le plus convenablement les nombres premiers ; il fuffit 
'pour cet* effet de pofer m ZZ o, puifque f eft ici réduit à l’unité. De là 
le Théorème fuivant : 

THÉORÈME XXVI. 

6 o . Tout nombre premier ejl contenu dans cette formule générale : 

(V') 1 . 0 ( V"— V'— 1)1.0... (V N — V N ~' — 1 ) 1 .o( P — V N ) 1 (—p— 1)0. 
(V')i.o(V" — V' — 1)1.0. . .(V N — V N — — 1 ).i .o(p — V N )i. 

61. Remarque i. On peut, comme nous l’avons vu §.58» 
changer les termes (p — V N ) 1 ( — p — i)o(T)i o(F— F- — 1)10, 


des Sciences et Belles-Lettres. 


32-5 

en ceux-ci qui leur font équivalens ( — V N — 1)1.0 (p) 1 ( V — p — 1)0 
{V — V) \ .o. Mais alors il y a néccffairemenr, outre le recul des ter- 
mes, une fouftraélion de V N 1 unités à faire. 

61. Remarque i. Cependant, comme on a ici néceffairement 
p > l^ N , il eft pofîible de faire évanouir tous les termes négatifs de cette 
formule par une opération de cette analyfe qu’il eft à propos d’expliquer ici 
pour pouvoir l’appliquer dans des cas moins évidens. 

En faifant attention à la pofition des termes on peur ranger ceux de la 
formule transformée fur quatre lignes, en forte que les places cor- 
refpondcnr. 

A. . .-f i(K'-i)i.o(F"-F , -i)i.o. . . —V N -\- 1 pl. 

B \-o(p) 1 = 0 -f OpI- 

C. ..-f o(K'-i)o.i(K"-F'-i)i.o...(^-^- I -i)i.o(p-K A ')x— 0 >-f-i)pl. 

D. ..— (V”+I)i — (^ 4 -i)pl. 

Maintenant, pour fouftraire D de C, il n’y a qu’à emprunter la pre- 
mière unité du terme (/? — V*") 1 & l’on aura par les principes du calcul 

C-D— 1 (V*-i)o. 1 (y"-V'-i) 1.0 . . . ( V y -V N - 1 - 1 )io o (p-V s -i) 
acide A— 1 {V‘-i)i.o{V''-V'-i) 1.0 . . . {V*-V*~'-i)io 

C\A-D—o{V-i)o.o{V-V l -i)i.io. . (V h -VX-'-i)no{,p-V s -i)—(p\i) pl. 

fBzzo.i 1) 

A\B\C-D—<V ) i.o(F"^F-^)io . . . - i)io(p-F^-i ) li 

- = i(F'-i)i.o(F-F'-i)io. . . {V»-V N - 1 -1)10 (p-y*) =z(p+x) pl. 

Tl eft évident que cette nouvelle formule toute pofitive que nous ve- 
nons de trouver pour les nombres premiers, en rangeant les termes félon 
l’indication que donnent les termes négatifs pour la quantité de places à re- 
culer, il cft évident, dis-je, que cette formule eft celle du grand faéteur 
coupé .F, qui dans les nombres premiers eft ~ F x f. 

Soit par ex. V — 1, V" ~ 1 , V" ~ 4, p ZZ 5, on a 


}i 6 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

6 3. Si Von a dans la formule V ZZ 1, V" ~ i, K'" ZZ 3 &c. 
en force que toutes les places foient vuides, elle devient 

i(O° 0 > — V”)n 

mais ayant encore V N — P — 1, la formule deviendra pour le cas 
du grand fadeur vuide 

1 ( P — 0 °- 1 . 

Ainfi p ZZ 4 donne 10001 — 0.4 ZZ 17. 

6 \. Si dans la formule on pofe V' ZZ o, V — o icc. en forte 
qu’il n’y ait aucune place vuide, on a le cas du nombre plein dont la formu- 
le cft 1 (p) 1 ZZ (p-j- 1)1. 

65. Remarque 3. Si la formule générale §. 6 z. pour tous les 
nombres exponentiels premiers, étoit exclulivement applicable à ces nom- 
bres, on auroic la folution du problème fur les nombres, premiers. Mais 
cette formule, comme on voir, peut également convenir à tous les nombres 
entiers. La feule différence qu’il y a, & qui mérite d’étre obfervée, c’eft 
que les nombres premiers n’admettent que cette formule unique, au lieu 
que les compofés admettront toujours tout au moins encore une des neuf 
cfpeces que nous avons examinées, & donc il nous refte à trouver la 
neuvième. 

PROBLEME IX. 

66 . Trouver la formule générale du produit de la neuvième efpece , où 
les deux facteurs font coupés. 

Cette efpece, qui eft incomparablement plus étendue que les huit précé- 
dentes, & c qui les embrafle toutes dans fa généralité, n’a d’ailleurs de diffi- 
culté que dans la longueur de l’opération néceflàire pour déterminer fa for- 
mule. Mais comme les principes fur lesquels cette opération eft fondée, 
font exadement les mêmes que nous avons déjà établis, je me di/penferai 
d’entrer ici dans le détail du calcul. 

Il y avoit trois méthodes également fûres pour trouver cette formule; 
l’une de chercher immédiatement le produit des deux fadeurs coupés , en 


des Sciences et Belles-Lettres. 3 17 

pofant F — 1 ( W) 1 o (m -j- /> — V h ) 1 , & / z 1 (w) 1 o 
(m — v”)i» ici je mets pour abréger (/^)i o à la place de {V — 1)10 
(V" — V' — ï) IO . . . . (K* — — 1)10, & pa- 

reillement ( w ) 10 à la pla 6 e de (v — 1)10 (v" — v — 1)10 . . 
„ . .. (v n — v°~ l — 1)10. 

La fécondé méthode étoit de prendre pour bafe la formule du produit 
de la feptieme efpece, quia F coupé, & f plein, & d’en fouflraire la 
formule qui exprime la valeur des places vuides du petit fadeur. 

Enfin, la troifieme méthode c’éroit de chercher la formule des termes 
déficiens dans les deux fddeurs &c de la fouflraire de celle des fadeurs pleins 
1 (/n)o(p) 1.0(772) 1, qui efl la plus fimple de toutes, puifqu’elle n’a que 
cinq termes. Chacune de ces méthodes donne une formule en apparence 
différente des deux autres, mais qui par la réfolution de cette analyfe peu- 
vent toutes être ramenées à une même ; la derniere méthode a l’avantage 
d’être la moins pénible. Je n’en rapporterai ici que les réfultats. 

I. Si les fadeurs n’ont chacun qu’une lacune v, V, cela emporte 
dans le rhombe des produits partiaux deux fériés, l’une horizontale 
v . . . (v — f - - m - f - p ), l’autre oblique de haut en bas V . . . ( V ni ). 
Mais comme ces deux féiies fe coupent à la place V -f- v, cette place ne 
peut être comptée que pour une. Ainfi la fomme qui exprime la valeur de 
ces deux lacunes eft 

(v)o(F — v) 1 (v) x. 1 (m — v)x(v — V p ) I, 

Remarque i. I.a fubordination entre v & V étant indéter- 
minée ici j il eft indifférent lequel des deux nombres on fuppofe être le plus 
petit: dans la généralité on ne fauroit éviter les termes négatifs; ainfi j’ai 
fuppofé v < fi c’ctoit le contraire, cette fomme feroir 

(K)o(v — F)i (K)x.i(m — v)x(v — V-\- p) 1. 

Remarque x. Par les réglés de la réfolution, la formule trouvée fe 
réduit aux caradérifliques 1 & o, & devient 

(r) o (V — v) ! . o (v — j) 1 . o (m — v) I (v — V -f- p) o . 1 . 


318 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalb 

II. Si chaque fadeur contient deux lacunes, il y aura 4 interlèdions, 
chaque lacune forme deux nœuds qui avec fes deux points extrêmes don- 
nent 4 membres, par conféqucnc la Comme des quatre lacunes contiendra 
1 6 membres, favoir, en fuppofant v" <3 V\ & y m << y" t 

(v') o (v" — v') 1 {V — v") 2 (v') 3. 2 (v" — v — 1)3. 2 (m — v") 3 
(F - " — K' — m — 1 ) 2 (v) 3. 2 (v" — v' — 1)3.2 {m — v") 3 
V+p — y")^‘ — v')i 

laquelle ramenée aux coëfficiens limples, par l’analyfe de fituation donne 
20 membres, favoir: 

(v) o (v" — v) i . o {V — v " — 1 ) 1 . o (v — 1 ) 1 . o (v" — v — 1)1.0 
( m — v") 1 (y — V — m — 1)0 (v') 1 . o (v" — v' — 1)1.0 
( m . — v") 1 (v -f ■ p — V) o . 1 (v" — v — 1)0.1. 

\ 

67. III. Si chaque fadeur contient trois places vui des, chaque férié 
de la lacune aura 3 nœuds, & avec fes deux extrémités il y aura cinq varia- 
tions, & par conféquent cinq fois fix membres pour, exprimer la fomme 
non réduite; laquelle fera 

(v') O (v" — v) I (v'" — v") 2 {V — v'") 3 (v 1 ) 4. 3 (v"— v' — I ) 4. 3 

( V "' — v" — t ) 4. 3 (m — v") 4 (y" y — m — 1)3 (v') 4. 3 

(v" — v — ï ) 4- 3 (v'" — v" — 1)4.3 (in — v"')4(v'+p — K"')3 
(v" — v) 2(v"' — v") i.. 

Donc en la réduifant aux coëfficiens élémentaires 0. 1, elle fera de 
3 6 membres, favoir: 

(v')o(v'' v') I. o (v'" v" 1)1.0 (y — v " — 1) I . o (v' — 1)1.0 

(v" — v — 1 ) 1 . o (v" — v" — 1 ) 1 . o (m — v'") 1 (y — y — m — 1 ) o 
(v') 1 .o(v" — v — i)r.o(v"' — v" — 1 ) 1 .o(m — v"') 1 (y"— y — m —1)0 
(v') 1 . o (v" — v — 1)1.0 (v'" — v" — i)i.o(m — v'") I (y -\- P — y") 0 . 1 
(v M — v — 1)0.1 (v'" — v" — 1)0. 1. 

D’où l’on voit la loi générale pour v n ôc y N places vuides. La Comme 
à retrancher de la formule du produit des fadeurs pleins fera 

r. 


dbs Sciences et Bbeles-Lettres. 

r. (v) o (v" — v') i . o ( v " — v" — i ) i . o (v" — V— * 

11°. (y — v'J — i ) i . o (w) i . o (m — v”) i -f- 
ui°. (y — y — m — 1)0. i (w)i.o(w — v n )i -f 


• • 

(V N — V*— 1 — m — 1)0. i (w) i . o (m — v”) i -j- 

ÏV°. (v'-f-p — v'— 1)0.1 . . . (v n — v*~' — r)o.r. 

68* Remarque. Lorfquc le grand fa&eur a N places vuides , & 
que le petit fa&eur en a n , chaque férié déficiente oblique a n interfeélions, 
& chaque férié déficiente horizontale en a 2 V, ce qui, joint aux extrémités, 
donne n ( 2 V-J- i) -j- 2 V(n -f- 2) ~ xnN x N x n variations, ou 
termes non réduits. Or la formule réduite contient toujours N -j- n 
membres de plus qu’elle n’en avoit avant la réduétion; on aura donc 
2 n 2 V 3 iV — j— 3 n termes à foultraire de la formule des facteurs 
pleins, qui étant 1 (m) c (p) 1 . o (m) 1 , contient cinq termes, dont dans la 
fouflraétion les deux extrêmes relient ; les trois intermédiaires Ce décompo- 
fent en deux membres. Ainfi la formule que nous cherchons devroit tou- 
jours contenir mN -j- 3 2 V -{- 3 n -f- 8 membres; mais parce 
que les deux du milieu font homogènes, ayant tous deux l’unité pour coef- 
ficient, ils peuvent être réunis en un feul, ce qui réduit la formule à inN 
-j- 3 iV — 3 n 7 membres. 

THÉORÈME GÉNÉRAL XXVII. 

6 y . S'il manque un nombre quelconque N & n, de termes aux facteurs 
F & f, exprimés par les quantités exponentielles , la formule générale 
du produit fera repréfentée par les Z n N -{- 3 N -f- 3 n- f~ 7 
termes fuccejffs qui fuirent: 


3*9 
— 1)1. o-f 


Nuuv, Menu 17 71 


Tt 


33 o Nouvbaux Mémoires de l’Académie Royalh 

7 °. i (w) o. i (V' — v"-— 1)0 + 

11 °. i(w)o.i (m— y~ v n )o(V')i.o + 

J 7 J°. (V" — V' — m — z) i. o (w)o. i (m — v n )° -f- 

(V'" — V" — m — i) i. o (w) o. i (m — v n )o -f- 

. 

• * e 

• • 

(V N — V N— ' — m — i) i. o (w) o. i (m — v")o -f- 

IV ° . (p — V N )i.o(w)i.o (m — v*)i. 

Ce Thcoreme n’cfl que l’énoncé du refie que donne la fouflra&ion, 
lorfqtie de i (ni) o (p) i. o (m) i, on fouftraic la valeur des lacunes trou- 
vée (§.67.) 

Exemples. 

Soit N — 1, n Z Zi, V — 1, v'z=3, mz 4, p ~ i y 

la formule donne 1001 — (3)0.100110 — (1) 1.01101 

zz iioiiiioioi zi o. 1. 3. 4. - y . 6 . 8. 1 © 

/ 

ZI (o. 1.3.4. 5) (o. I * 2 - 4 ) = 1403. 

Soit N~ i, n z i, F 7 zz 1 , V" Z 4, v' z 1 , v" ZI 3 , mZhj’Zi, 
la formule donne apres la réduction 1000100101101 
ZI 0.4.7.9.10.11 IZ (o. z. 3. 5.6) (o. 1,4. 5) zi 5777. 

Soit iV ZZ 3, « = 3 > ^ = I, = 3 , V-‘ ~ 6 , V— Z, 

v" z 3, v"'zi 5, m — 6 , p zi, la formule donne i.o.iioi 

— (5)0.1 0 I 1 O I I o ( — 6)1.00.1 IOIO ( 4) I.O.OIIOIO ( 5)1 . 

oiooioi zz 1 1 1 1 o 1 o r o 1 o 1 1 1 zz 0.1.1.3.5.7.9.11.11.13 
ZI (o. z. 4. 5.7) (o. 1. 4. 6 ) zz 15013. 


— 1001 

-|- I OO I I o 

-f- O I I O I 
I 


des Sciences et Bhlihs-Lettrbs. 


33 i 


Soit N,ZZi 5, n ZZ 5, v ZZ x, v" — 3, v" ZZ 4, v” — 5, 

V T = 6 , V- I, K' = 3, V" zz 4, F" zz F'zz 7, 

m — 'j , p ZZ 1, la formule générale donne 1 o 1 1 1 1 1 ( — 6) o. 
ioiiiiiio( — 7)1.001 1 1 1 10 ( — 7) 1001 ni 10 ( — 6 ) 1.0 
o 1 1 1 1 1 o ( 7) I.OOI I II io( é* ) I OI OOOOOI ZZ 1 II I OI I 

II 01 001 z= o.i.x. 3.5.^.7.8.10.11.15 ~ (o. z. 5 . 8)(o. 1 • 7) 
1= 3838 i. 

PROBLEME X. 

70. Trouver P arrangement le plus fimple de la formule générale du pro- 
duit §. 6 y. 

Comme il n’eft pas poffible d’en faire une formule toute fimple & in- 
tuitive, telles que font les fix formules des fix premières efpeces, il ne 
refte qu’à la réduire en fériés addirives & foufixaétives, en forte que les pla- 
ces corrcfpondcnt ; en faifanc reculer les termes pofitifs d’autant de places, 
que le terfne négatif qui précédé en indique. 

Par cette méthode on aura, en fe rappellant que (u-) 1. o zz v” pla- 
ces, & en pofant pour ménager le terrain les premiers termes 
1 (iv)o. 1 {V — v" — i)o.i(h')o.i zz a, ce qui équivaut aux 
{V -f- v n -f- 1 ) premières places, 

A ~ •f a ( m — V — *'") o(V') i.o(V" — V — 1) = (m -f- V" + 1 place*. 

B recule de (m-J-i)i pl.— o o(u-)o.l(m v")o(F"'-K"-l) 1 =(m -f- V") places. 

C recule de (m)i pl. =f(l'' , ')o o(u-)o. 1 (m — v")o(K ,v -F'"-i)i = (m + V lT ) placer.- 


• • 

D recule de (m)i pl. = + (î' w-, )o o^o.l (m v , )o(K' r -t'* r-I -i) =: places. 

E reculede (m)i pi. =r-j-(^' v )o o(b-)o. I < [m — v")o [p)i 

F recule de {V K )pl -t(?t">t I ) 0 .°( ,,, ) | . 0 ( m - v ") 1 = (im + p + x) place*. 


Te x 


33x Nouveaux MÆmoirbs de l’Académih Rotaib 

Or en décompofant le terme (m — V — v") o, de la férié u4 y 
pour faire l’addition de Z?, on aura: 


A ~ -f û(K" — V — v” — j)o 
B = -K . . . K") o 

( m — F"-f ,)o (F') i o ( V" * — F' — x) i 

0(w) O I (m v") O (F'" F" — 

i)i. 

J + B = <K" — V'—v " — i)o 

d’où ctint (ni-fi) I ZT ■— 

0 («o o 1 (m— -F" — v")o(J")i.o(F" — V—i)i, (F'"— F"—- i)i. 

1 i 


\iefte = ( (r-r-v'-i)oi(») o I(m— F"— v")o(^")i-o(^"— V'— i)l.o(f""— V"— a)i. 


Pofànt de nouveau pour abréger ( V " — V — v n — i) o. i (w')o. i 
~b — \V" — V) places, & décompofant le terme (m — V " — v") o 
pour faire l’addition de C, on aura 


1 \B-m - I = 

•K =+({/'" )o 


l 1 . rtfle — a+biy" , -V"S-l)o 


(m-F'"+ 1)0 (H I. o<y"-V'- i)l. o (K'" - V" • i)i 

o(k-) o i (m — v")o (V x ' , -V 1 "- i)r. 

i .. 7 ..... i 


i (») o i (m-r" , -v n )o(r')i.o(r"-P-i)i.o(F" , -F"-i)t.o(F ,v -K'"-a)l. 


En procédant de même, & pofant (F'"' — K" — v" — i)o.i 
(u')o.i - c - {V" — V") places, on aura le troifieme refte : 

= a+ 6 + c(K' v — V" — v" — i)'o. i (w) o. i {m—V" — v n ) o 
{V) x.o(y " — v — i } i , o .... (v ,v — v" — i)i.o 
{V 1 — V" — z)i. 

& par la même raifon, après avoir ajouté enfemble toutes les fériés pofiti- 
ves jufqu’à E inclufïvcment, de avoir fouftraic tous les termes négatifs 
( — m) î , le refte fera 

— fl+A-f- . .. -f- e (m— V v — v n )o(V')l.°(V" V — i)i.o 

. . . 

de décompofant le terme (V') i.o, pour pouvoir fouftraire (K A )i, Sc 
ajouter la derniere férié i 7 , on a 

1 E “+*•}-*+...«(«— v")o(p)i (V'-p) i.o(F"-P'- j) i.o . . .(?*-?"-*- t.o(p - 0 
F =+( m -f •+• 0 ° 0 («O 1*0 (m — v" ) i 

•(F A i)£r. • • . . — i ........i 

. . F . . . *(m— V*— •v")c(p) i.o(,w)i.o(y , -p-v"-i)i.o(,V > '-V'-i)ilo.. .(,V !¥ -V N ~ 1 -i)i.o(j>fr^y t '')i 


des Sciences et Belles-Lettres. 


333 

Ainfi en remettant les valeurs de a, é, c . . . e, la formule géné- 
rale fera transformée en celle - ci ; qui n’a plus qu’un feul terme négatif dont 
le coefficient ne foie pas zz o, favoir le terme ( V — p — v" — i) i : 

i(w)o. i {V — v" — i ) o . i ( w ) o . i (y" — * V — v” — i ) o. i 

(u") o. i ( V N — y N — '-i) 0 .i( w )o.i (m — y N — v") o 

( p ) 1.0 (w) 1.0 ( y — p — v n — i) i.o (y — y — i) r. o .. . 

... (y N —y N -'—i)i.o(p+m — y»)i 

formule qui embraflè z m -f- p -f- z places. 

7 1 . Cette nouvelle formule étant de nouveau difpofée félon les réglés 
de l’addition donne les fériés fujvantes : 

A — -f- i(w)o.i ...ii — î) places. 

B recule de (v"-f- 1) pl. . . .. ZzC^'+v" f i ) pi. 

C recule de i) pl.~-j-(f^'')o.i(w)o.i . . . ZZ(K"in , ' , + i) pl. 


• • 

D recule de (f rW ~'+v n +i)pl. — -j-(y K )o.i(w)o.i l " i zz (y^j-v^j) pl. 
E recule de (y^-j-v") pl. zz-f- *(m)o (p)i. o (w)i . o . . . zz(pfmfv"fz) pl. 
F recule de (p -f- v") pl. ZZ -f- * (m)o * (ty) i .o (pfm - y N ) i i) pl. 

G recule de ( m -f- i) pl. ZZ — *(/n)o*(p -j- v")i (p’jV'frn+i )pl. 

Or quoique F contienne évidemment au moins une place de plus que 
la férié fouftra&ive G, puifqu’on a toujours m > v", on ne fauroic 
néanmoins dans la généralité fouftraire G de F, fa ns ramener des termes 
négatifs, parce que le rapport de m à v” eft indéterminé j il faut donc 
prêter à E une unité au bout de la férié il, c. à d. ajouter à E les ter- 
mes ( p -}- m -f- v n -f- i) o. i, & l’on aura 

+ -E -f- 1 zz -f- (m -f- i)o ( p )i.o(w)i.o.x 
— G ~~ ' — J ^°‘ ° 1 ■ ♦ • • 1 
G — -f- (m -f- i)o. i (p — i) o. i (w)i.o. 

Te 3 


£4-i 


334 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

Ainfi la formule générale réduite aux plus fimples termes, aura autant 
de fériés toutes poficives à additionner que le grand fadeur contient dé pla- 
ces vuides, & trois au-delà, & il n’y aura qu’une feule unité à fouftraire de 
toute la fomme, favoir à la place p -j- m -f~ v" -f- 3* 


La formule fera donc : 


A 

B 

C 


— -j~ 1 C”') ° • 1 

zz -j- (y) o. i (w) o. i 
ZZ -f- ( V ") O. I («') o. I 



— -j- {V n )o.i{w)q.i 

— -f- (m -f- i)o. i (p — i)o. i(w)i.o 

— -f- {m -f- z) o {IV) i.o {ni -j- p — V N ) I 

— {ni — j— p —J— v" — j— i) o . i . 


Soit par ex. V ZZ i, V" — 6 , V" ~ 8, v' ZZ i, v" ZZ 3 , 
r «" zz 6 , m zz 7, P — 1 , la formule donne 

A zi -j- iioiooi 

— -j- oiioiooi 

C — -j- oooooo 1 1 o i oo i 
J ) — _|— oooooooo 1 1 o i oo i 
£ — oooooooo I O 1 O I O I I o 
£ — otiooooooooiinoioi • 

— -j- i x 1 1 1 o mm3 1 2.2.0 1 

G — 00000000000000000 1 

_|_ IOOOOIOI II IIOI I I I ZZ O.5.7.8.9.IO.II. 

13. 14. 15.16 zz (o. 1.3. 4.5. 7.9X0. 1. 4.5.7) 
zz 1 2.688 i» • . . ■ 


335 


DES SciENCES.ET BELL ES-LeTTRES. 

PROBLEME XI. 

' yi . Déduire de la formule générale Art. 7 o. les formules des huit 
efpeccs de produits particulières , trouvées dans les recherches précédentes. 

Ce Problème doit fêrvir à montrer l’ufage & l’application des règles de 
Tanalyfe de fituation dans notre algorithme. Nous allons d’abord établir 
les principes qui doivent diriger l’opération. 

I. Principe .’ Lorfqu’une lacune quelconque V x , ou v z eft fuppo- 
fée ne pas exifter, tout terme de la formule où cette quantité P”, v r en- 
troit pofitivcmenr, non feulement évanouir, mais encore l’unité ou le zéro 
qu5 fuit ce terme difparoit, & même toute la férié de termes qui étoit ame- 
née par cette lacune. 

La raifon en eft que chaque place vuide V* y ou v* forme une lacune 
d’une fuite continue de places, qui s’entrecoupent par des næuds, & que tout 
terme où cette quantité ou v entre pofitivemenr, doit fon cxiftence à 
cette place vuide; & la fuppofe; lors donc que la lacune n’exifte pas, les 
termes qu’elle auroit produits & les nœuds qui l’auroient accompagnée font 
nuis. 

II. Principe. Mais fi la quantité V z y v r y qu’on fuppofe nulle, n’en- 
tre que négativement dans un terme de la formule, elle n’anéantir pas ce 
terme; ni le palTage ou le nœud, 1 ou o, qui le fuit; cette quantité et fie 
finalement d’avoir une valeur. 

C’eft que dans ce cas, le terme ne doit pas fon origine à la place vuid« 
V x y ou v r , & par confisquent n’évanouit pas avec elle. 

II I. Principe. Quand un terme contient plus de quantités négati- 
ves, que de pofttive.s, irela indique que les termes pofitifs qui fuivent celui- 
là doivent être reculés fous les pofitifs précédons, d’aurant de places qu'en 
contiennent les quantités négatives, 6c qu’il faut ajouter enfemble les nom- 
bres qui coïncident dans une même place; félon les réglés de l’addition ex- 
ponentielle. C’eft là toute l’opération qu’il y a à faire lorfque la carâété- 
rjftique du terme négatif eft o; n ais ii cette caraftériftique eft 1 , ii faut 
après l’addition fouftraire une unité de chaque place qui a été doublée. 


3 3 6 Nouviaux Mémoires de r’ A cadémie Royale 

Au refte il eft indifférent, & l’on peut choifir félon les occurrences ce 
qui fera le plus commode, ou de placer les quantités pofitives renfermées 
dans le terme négatif, avant, ou après les négatives, ou auffi de les em 
fouftraire; par le principe fuivant. 

IV. Principe. Pour faciliter l’addition & la fouftratftion des ter- 
me', on peut décompofcr à volonté les diverfes quantités contenues fous un 
même terme, c’eft à dire qui fe fui vent fans nœud, ou qui confervent 1* 
même cara&ériftique; pourvu que le nombre des places refte le même. 
Ainfi 

( V m — V" — ni) i = (— V")i (V" — m) i = (— V" — m)i(V'")i 
- (Y"‘) i (— V" — m) r, 

ainfi (ni) i zz i (V ‘ — i) i (m — V‘)i ~ i(V — — V — i)i 
(m — V"-\- 0 &c. 

Cela pofé, il fera aifé d’appliquer la formule générale réduite §. 70, aux 
diverfes efpeces de fa&eurs. 

I. Espece. 

F — ' — 1 ; f — ^ m + , . — r.’ 

Comme on a ici w & W nuis, les fériés reliantes font : 

A . . • — -f- 1 1 

E . . . ZZ-f-o(/n)o.i(p — 1)0.1 > — i(m)o.i(p — 1 )i.o(m)o. 1 

F . . . — -f o(m)o.o(p — 1 ) 1 (m -|— 1)1 J —o(m)o.o(p — 1)0. 0.1 

G. . . ZZ — o(m)o.o(p — 1)0. o. 1 —i(m)o(p )i.o(m)i. 

Ce qui eft la même formule que nous avons trouvée. Probl. I. §. 3 o. 

IL Espece. 

F — 2," + ' -J- ij / z= a" + 1." 

L’on a ici (w)i.O ZZ (m — 1)0 & (W)\.o ZZ (m -f- p 1)0. 

Pareillement (u-)o. 1 ~ (m — 1)1 & (W)o.\ ZZ (m-\- p — 1)1. 
Et d’ailleurs on a toujours (w)o.i ~ v" places, &. (W)o.i ZZ V** places. 

Ainfi 


des Sciences et Belles-Lettres. 


337 


Ainfi !a formule réduite §. 70. donne dans cette efpecc; puifqu’on a 
v z 1, v" z 1 v* z m — 1, v ~ i f y ZZ 

Y A — mJ r P — r > 


A 

• • 

• = -t- 

1 ( m — 1 ) 1 


B 

• • 

• — + 

0. 1 {m — 1) 1 


C 

• 

• • 

• = -f- 

0.0. 1 {ni — 1) 1 

• 


• 

• 

D 

• • 

• = + 

• 

• 

{ni -f- p — ■ 1)0.1 (m — 

-t)i 

E 

• • 

• — + 

0 »-f* «)o - 1 ( P — Oo 

1. 1 {m - 

F 

• • 

• = + 

(m -f- i) 0 {ni A- P — 

1)0. 1 

G 

■ • 

• ■ 1 

{xm-\- p A~ 0 °.i. 


■ les 

fériés 

A ... D forment un Iozange, 

dont 

Probl. I, 

ZZ 1 {ni) 0 ( 

' p ) 1 . 0 {ni) 1 , & l’on a 

ici ni 

/ 

P 



- />, donc 

on a 



A -j— B—f— C — {— .... — j— — —J— 1 [m-\-p — 1 )o( — p) 1 .o{m-j— p — 1 )i 

1 {m — 1)0 { p )o 

-f o ( P — 0* O 

— ( P )i 


donc A 
A 
A 

donc A 


. . D ZZ 4 - I ( m — 0 ° ( p )i.o {ni — 1)1 

-|- E zz -f- o (m — i)o.o.i{p — i)o.o.i(tn-i)o 


. . E zz -f- i{m — 1)0.1 ( p — i)o.i(m— 1)0.1 
-f- F ZZ -f- o {m 1)0 o.o(p i)o.o {m — 1)0.0. 1 

. . F — + 1 {m — 1)0.1 ( p — 1)0. i(m — 1)0. 1.1 
G — — o{m — 1)0 ( p )o (//i )o.o.i 


. . G ZZ 1 (/« — 1)0.1 (p — 1)0.1 (m — 1)0.1. 

C’eft la même formule que nous avons trouvée Probl. II. §. 37 * 

Vv 


Nour. Mcm. 1771 . 


33S Nouveaux Mémoires bf. l'Académie Rovtal* 

III. Espece . 

F z= x"+r.+ * — i- /z x* -f i. 

Ici ona ZZ o. (u’)i.oz(m — i)o; (w)o.i z(w — i^r, 

la formule générale donne 

A . . . ZI -f- i (m — i ) r 

» - - — ~f - (m'-j- i) O. I (p l)o. I (/ 72 — 1)0 

F ~ -J- (m -j- i ) o (p 4 ~ m ) 1 

G ... — — (zm -j - p -j- i)o. i. 

donc on a A -f- E — 4 ~ (m)i.o.i(p — i)o. i 

F ~ -f" {ni) o.o. o {p — i ) i . i {ni) r 

“f* E -f- I ~ -f~ (m) i.o (p ) i. o (/«) o. i 

— G ZZ — {m)o.o (p }o (m)o.i 

formule ZI (m) i.o (p )i (m)o.i 

comme au Frobl. III. §. 41. 


IV. Espece. 

F — a" +'4- 1, / — a" + ‘_ r . 

Ici forr a (IV)i.o ~ {m p — 1)0, (IV)o.x — t ) 1y 

w — °y V ~ 1. V" ~ x ... V N — ni -j- p — 1 . 
Atnfi h formule générale dorme 

^ =Z + r 

B ~ -j- 01 

C ~ -f- otît 

F) z -f- (ni-j-p — 1)0.1 

E H -f- (m-j-i)o.i(p — 1)0. r 

F ~ -f - ( m -f~ "F) o (ni 4- p — 1)0.1 

G — — (m 4 />4 1 )°* 1 


33 * 


des Sciences et Belles - Lettrhs. 
Ain fi A . . . D zz (m-j- 1)1 .i(p — x)i 


4~ F — 4" 04" — z)o.o.i 

A .... E — 4-04-1 )i.o(/> — i)o.i.i 

F —-j-(m-f-i)o.o(p — i)o .o.o(m — i)o i 

A .... F —4-04-1)1 (p — 1)0.1. iO — 1)0. 1 
— G zz — 04 - Oo ( p — 1)0.0.01 
fomme zz (m-f- t)i (p — i)o.i.iO — I ) 1 


z= O 4 - 0 i C/> — 1)0 (m-f-i)i 

comme Probl. IV. §.44. 


V. Espece . 

F=x”+'+-—i; f = 1°+ i‘+ i‘+ ... .+ 

Ici w eft indéterminé, ôc W ett nul; ainfi la formule donne 
A . . . —4-1 O) o . 1 

E * . . ~ 4 " 04 - 1)0. x(/> — i)o.iO)i.o 

F . . . zz 4~ ( m 4~ 1 ) 0 ( m 4“ p ) 1 

G ... — — o 4“ p ~h v * 4~ x ) 0 • 1 

& puifque O) o. 1 contient v " places, dcque v* < ta, on a 
^4-£ ZZ i(ir)o.iO — T’'*) o. 1 — i)o.x(u')r.o 

4 “ f' — ( m 4 ~ i)o(p — i)i.i(m ) 1 

donc A+E+F — i{w)o.iO — v ”)°(p )i.o(u')i.o(m — ■v , *)o.i 

— G — ( m 4 “ J )° ( P )o.o(r") 0.1 

fomme Z i(u)o.i(/n — r')o(/) )i.o(«’)i.o(/n — v”)! 

comme Probl. V. §. 49. 


Remarque. Pour s’aflurer qu’en ajoutant F à A -j- E, on a 
4 - i(u)i.o) 

4_ l ç m ^ t ç ZZ o(»)i.oO — v")o. r, il ny a qu’à décompofer 
les deux fommes, & l’on aura 


Vv x 


340 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalb 

-f- i'(w)i.o zz i (v- 1 ) i . o (v"- v- 1)1.0. . . . (v n - v n 1 -1)1.0 

-f- 1 (m ) 1 ZZ 1 (v - 1 ) 1 . 1 (v"- v'- 1 ) 1 . 1 . . . . (v n -v n ~‘ - 1 ) 1 . 1 (m - v") 1 

ZZ o(v'-i)i .o(v''-v'-i)i.o . . . .(v' 1 -v' , ~ 1 -i)i.o(/ 7 i-v' , )o.i 


VI. Espece. 

F — x" + * -f. 1, 

Ici l’on a V ZI 1, K" ZZ V N ~ m p — 1, donc 
(IV) 1. o zz (m -f- P — 1)0, ôc (IV) o. 1 ZZ (m -f- p — 1 ) * i 
tv reftc indéterminé: 


A 

B 

C 


La formule générale donne : 

. . . ZZ -f - 1 ( u ') 0 • 1 

. . . zi -f- o. i(iv)o. 1 

. . . zz — 0.0. 1 (u')o.i 


D 

L 

E 

G 


— -f- (m - f - p — 1)0.1 ( w ) o . 1 

ZZ -{- (m-f-i)o.i(p — 1)0. i(w)i.o 
ZZ -f- (m-\- ’i.)o(lV) 1.0.1 

— — ( m p v " _f_ i) o. 1 


Ici le lozangc AD donncroic par le premier Problème la fomme 
1 (ni) o (p) 1 . o (m) 1 , s’il n’y avoic point de lacune, & l’on a ici 
ni ~ (w)* *(m — v”) ôc p ZZ p — - 1. Mais comme lorfquc le 
lozangc eft plein on a dans (m)o toutes les places vuides, il faut réci- 
proquement que les places vuides deviennent ici pleines; ainfi (ni) o 
ZZ (iv) 1 . o (m — v")i, & (tri) 1 zz OO o. 1 (m — v") o, & l’on a 

par conféquent 


des Sciences et Belles-Lettres. 


34 * 


A. . .D — -{- i (u’)r .o(m — v”)i ( p — i)i.o(u')o.i (m — v")o. 

+ ^= + ( m 1)0.1 (p — i)o.o.i(h')i .o 

ZZ -f- i(it')i -o(m — v")i ( p — i )o. i (w).i .0.1 (ni — v" — i )o 
-f- F — -f- (m -j- 1)0 ( p — i)o.o( m )o.r. 

— -f- i(w)i .o(ni — v n )i ( p — i ) o . i (m*) i . o . i (ni — v” — i )o.i. 
— Gzz — ( m -f- i )o ( p — i)o.o(v")o.o.i 
fomme — i(w)i.o(m — v n )i (p — 1)0.1 (w)i .o ( m — v n )i. 


Remarque. Dans l’addition de E avec A ... D nous pofons 


-j- (w) o . i (m 
-f- i (w) i . q 

— v n ) 

1 = 

(w) 1 . 0 . I 

(m — a 1 

" I ) o, 

parce qu’en 

développant ccs 

ternies on a 





— f— (v' — i)o.i 

/ H 

(v — 

■V I )c 

u... .(v"- 

— v”— - 

— i ) o . i(m- 

— v’) o 

-f- i(v' l)l.l 

• o (y ' — 

-v'— l)l 

.i.o .. .o(v" 

— v ,—1 - 

— i)i.i.o 


1 O 

f* 

cl 

k-« 

II 

. i (v"— 

-v' — i)r. 

o . 1 ... i (v n - 

— v”— - 

— i)i.o.i(m- 

— v°— i )o. 

0 

— « 

H-i 

1 

M 

(v"— 

■v — i)r. 

o . ...(v"— 

— v 1 1 — 

— i )i.o.i(m- 

— v' — i)o. 



VIT. 

E S P £ 

• c 



F — -f- 

*■ + 

**+ • 

. .4-1- 

+ p 

i 

f ~ 1- 

+ ' — I. 

Ici l’on a u 

’ nul, < 

5e IV indéterminé; 

la Formule générale donne donc 

A ; 

• • 

=■ + 

I 




B . 

• • 

= 4- 





C . 

• 

• • 

= + 

(y) o.i 

• 




• 

D . 

• • 

= + 

• 

n». . 




E . 

. 

= + 

4- Oo. i (p— 

- 1) o. I 


F . 


= 4- 

(m -f- z) o(lV) i . 

o (ni 4* P ~ 

-V N )i. 

G . . 

• • 

— 

(m 4 - P 4 x ) ° • 1 




Vv 3 


34* Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 
Donc 

A...D~f i(^)o.i 

-\-E ~ f( ^+0 o (m-V*) o . i ( p- Q o . I ... 

i(tV)o.i(m-V*)o.i(p-i)o.i 

+ i 4 ' — t( CT - f- a» )o{ir)i.o (mjp-r *) I 

— fi( /^) o .i(ct- a ) o.i(p-i)i. o (V-p- 1 ) o. i ( V - V - 1 ) i . o . . . (m-ty- K A )i 
G ZZ-( CT -f- i) o(/>-i)o.o.i 

iom me ^(/^)o.i(CT-K> (p )i.o(K'-p-0z.o(^-F'-0i.o...(mt / ;-K A > 

comine §-5 5- & 5 


Remarque. Dans l’addition de F \ A. . ,E ayant i ajouter 
-|-(/>-i)o.i on a — j— (/? — i) o.i •- 

4- ( tV)o . i (iwfy-F*) i -f (F'- 1 ) i .o{V"-V '- 1 )i ,o . . . (wfr- i . 

& décompofant 

+Ï-î£iV- f—Oi.o *c. 

VIII. Espece. 

F = x° + i‘ + i* + .... + i" + ', / = i* + i. 

Ici l’on a ^ indéterminé, <3c v'zii, v'm . . . v"zz ct — i; 
donc (iv) i . o ZZ (ct — i) o, & (»•)<>. i — (ct- — i ) i . Ainfi la for- 
mule générale donne 

A . . • ZZ + 1 (ct — i ) i 

B ... — -i~ (V')o.i(m — i)r 

C ... — - f- ( V")o.i(m — i)i 


D 

E 

F 

G 


— -f- (V*)o. i (ct — i)i 

-J- (CT-f- l)0. I (p l)0.l(CT i)* 

-j- (ct — {— i.) o (IV) i . o (ct — p V s )i 

ZZ — (im-f-p- |-i)o. i 


nus Sciences et Belles-Lettres. 


343 


Or en décompofanc les termes pour faciliter l’addition, bn trouve 
A+ B— i ( V ‘ — i ) i . o(m — V ' — i )i (V)o.i 

donc enfin A ... D ~ \(lV)i.o(m — V N — 1)1 . o (JV) o. i 

6 c continuant l’addition 

A. ..D ~+i( IV) i . a (/n- V N -i)i. o (IV) o .i 

-f-F~+(m -f- i )o.i(p-\)o.i(m- i)o 

A...Ezz-h(ir~) i.o(ni-V h ’-i)i.o.i(p-i)o.i(V-p-x)o.i(V'-J/' , -i)o.T .... 

-j-F — +( + 2. )o(tV)i.o(m+p-V A )i 

^.TTT=z+r( W) i.o(m-V»-i)i.o(p ) i ( y'-p-i)o.i{P r, -V-ï)i.o. i . . V K )t 

-\-G—-(m -{- p -f- x » » • - )°- 1 

fbtnmc ~i(îV)uo(m-V N -i)uQ(p)i(V -p- i)o(V'-V r )i.o(V'-V-i)i.o .. (m\p-V‘')i 
ce qui cft la meme formule que nous avons trouvée Problème VIII. 

i 57- & 5- 8- 

Remarque i. Dans. 1 addition de E avec A . . . D ayant Si 
ajouter -f- (IV) o. i 

-j- i(p — i)o.i(nz- — i)o y on a 

(^)o.r —(V'—i)o.i(V" — V— i ) 0-. i .... 

i(p — l)o. I — l(p l)o.I 

~i(p — i)o.i(.K ' — p — x)o.i(V" — V — 1)0.1 .... 

Remarque x. Dans l'addition de F avec A . . . F ayant 

S ajouter (/> — i)o. \(V' — p — x)o.i (V" — V — i)o-.i 

avec (IfS) i. o (rn-^-p — K A )r, on a 

-fi(p-i)o.i(> r, -/)-x)o.r(F r "-F r '-i)o.r . . . 

+ (V‘-r ) x,a(V"-J. r '- 1) i .o . . . o(V N -V s -'- i)i.^rÆp-V y )ï 

— i(p*Ô r.o ( ÎV-p- x) o JA- x )t. ov r . . . r ( F*- F A - I -x>.a.i(/; i -f P -K A > 
— (p )i (F'-p-i)a(K" — K' )i.oCF'' / -F' ,, -i>.o..CK^-^'-'-i)i. 0 ..i(w+p-K A )i 


344 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 
THÉORÈME XXVIII. 

73. Tout nombre compofé dont le plus grand fadeur ejl , ou de la forme 
% n -j- 1, ou de la forme i" — 1, peut être reconnu intuitivement , en 
l'exprimant félon t arithmétique binaire ; & la fmple infpedion indiquera fs 
deux facleurs. 

Ce Théorème n’eft que le réfumé des Problèmes précédera, oà nous 
avons vû que les produits des fïx premières efpeces peuvent être repréfentés 
par une formule fimple & intuitive; voyez l’Art. 5 4. 

74. Remarque. S’il étoic poflible de faire évanouir les termes 
négatifs des formules des trois dernières efpeces de produits, & de réduire 
par l’addition chacune de ces trois formules à une feule férié, il n’y auroit 
point de nombre dont à la fimple infpedion on ne pût connoîtrc s’il eft pre- 
mier ou compofé, & dans ce dernier cas quels font fes deux fadeurs. Mais 
jufqu’ici tout ce que notre analyfe permet c’eft d’en faire évanouir la férié 
négative, comme le Problème fuivant en indiquera la méthode. 

PROBLEME XII. 

7 5 . Faire évanouir la frie négative de la formule générale des produits 
§.70. & la Jimplifer. 

Il eft aifé de voir par la nature de ce calcul, que la formule intuitive 
des fadeurs coupés eft f z -j- p — V*) 1 , & 

f ZI 1 (w) 1 . o (m — v”) 1 . Si donc on nomme R ôc r le nom- 
bre inverfe de f & de f c’eft à dire le nombre qui ayant la mê- 

me quantité de places, a dans chacune la caradériftique oppofée à 
celle que F ôc f ont à la même place, il eft clair qu’on aura 

R — o(W") o. 1 (m p — P rA )o, ôc r — o (u-) o. 1 (ni — v n )o. 

Or lorfque R , ou r, ne feront point fuivis d’autres termes qui ayent 
la caradériftique 1, on peut négliger les termes ( m -j- p — K A ’)o, Ôc 
(ni — v n ) o , qui n’indiquant que des places vuides n’ajoutent rien à la 
fomme totale lorfqu’ils ne font fuivis d’aucune place remplie; on peut donc 

en 


des Sciences et Belles-Lettres. 

en ce c3S-Ià metcre indifféremment R, pour o(/£'')o. r, 
o (îv) o . i . 


345 


& r, pour 


Cela pofé, la formule générale trouvée §.70. fc peut changer en 
celle-ci: 


A ... ~ + l 

r . . . = -h (no.i 


• 

D 

E 

F 

G 


- + (k a )o.; 

zz -f- (/«-{- 1)0. 1 (p — 1)0. i(w)i.o 
ZZ + (m-{- %)o(fP r ) 1.0 (m-f-p — V N ) I 

— — (jn — |— p — |— v" —J— 2) o. 1 . 


Or en permutant les premiers termes de E & F, qui contiennent chacun 
/72 — {— 2. places; on 2ura E zz (/» -j- p -j- 1) o. 1 (u) 1. o, & 
.F ZZ (ni -j- 1)0 . E . 


Enfuitc la fomme des termes B ... D zi o(V‘ — 1)0. i 

{V‘ — V — 1)0.1 (K* v — V N ~' — i)o, eft 

ZZ o(JV)o. 1 ~ R. Or R contient autant de places que F, 
c. à d. /72 —J— p -j— 1 places; on peut donc tranfpofcr R dans les 
772 — f— /? — f— 1 premières places vuides de la nouvelle férié E, qui de- 
vient E zz R.f. 

Pareillement le terme r de la férié A contenant m -f- 1 places 
peut être transféré, aux mêmes places vuides de la nouvelle férié F , qui 
devient F zz r. F. 


Xx 


Nouv. Mtm. IJJ1. 


346’ Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 
Ainfi la formule abrégée fera: 


A . . 

• — + 

1 

B . . 

• 

* — + 

• 

cno.r 

• 

D . . 

• 

• — + 

(F A )o.r 

E . . 

• — + 

R.f 

F . . 

=z: -f- 

r.F 

G . . 

• ___ " 

(z m - 4 - p -j- z) 0. 1 . 


Or le nombre rotai des places d’un produit quelconque Ff ne peut jamais 
aller au -delà de z m -}- p -j- z y comme nous le prouverons ci -déf- 
ions; & tel efl: exactement: le nombre des fériés E & F, qui toutes deux 
finirent néceflairemenc par l’unité (c. à d. par le plus grand cxpofanc de 
chaque fa&cur); en portant donc ces deux unités à la place fuivante 
z m -)- p -f- 3, elles y valent précifément l’unité fouftraélive de G - , 
de par conséquent la formule générale fera transformée en celle-ci qui ne 
contient que des le ri es pofitives, à ajouter enfemblc. 


B . . . 

___ 

+ 

(A" — 1)0. r 

C . . . 

• 

— 

+ 

(Oo.r 

• 

D . . . 

— 

+ 

(Oo.r 

y 

m • • 



+ 

R.(f-x) 

F . . . 

— 

-f- 

r. (f — O- 

COROLI. I. 

En 

appliquant cette nouvelle formule à l’efpe- 


ce VII. où l’on a f plein, & par conlëquenc r — (m -[- 1)0, elle 
devient 

A ... D — 1(^)0 ~ -f- 1 

E . . . — -{- R(f — 1) [-- + /?(/— 1) 

F .. . — -j- (/«-{- i)o(f — i)J -f- 1 (w)o(J'' — 1). 


3 47 


des Sciences et Bk ltes-Lettres. 

Exemple. 

Soit F — 43 = iioioi, f — 31 — iiiii, on a 
-R— ooioio, r~(m-j-i)o~(ï)o. Ainfi la formule donne 

' l 

OO I OI OI I I I r = IOIOI IOOIOI =0.1.4.5.8.10—1333. 

OOOOOI 1010J 

77. Coroll. i. Appliquant la même formule à l’efpece VIII, 
quia f vuide; & par conféquent r~o(m — 1)1.0, & f — 1=1, 


on aura en 

joignant A 

à F 



B . 

• • ___ 

(K' + 

1)0 (m — 

-1)1 

c • 

• 

• • 

(^" + 

• 

1)0 (m - 

-I)! 

• 

D . 

• • _ 


1 ) o(m — 

-0 * 

A . 

• • ■ 

Jli 



I*' . 

* * - 

( m ) 1 . 0 

(F— 1) 

I 

CO 

Il eft remarquable 

que par 

cette 


l’e/pece VIII. devient aulli compliquée que celle de l’efpece IX, puifqu’ellc 
conciendroit N -f- 2. fériés addicives, tandis que par la nature de cette 
efpecc il eft évident qu’elle peut être réduite à deux feules fériés, favoir 

4 - F ’ 

+ (" 0 ° F; 

d’ailleurs en rangeant la formule de l’cfpecc VIII. §• $ 7. 5 8 - 7 1, elle donne 

A. . . +i(F)i.o 
B . . . -f- (tfi) 1 . o ( p) 1 

C . . . i)o(V' — 1)0. i(K" — V — 1)1.0 . . . (m-j-p — V*)i 

D. . 1)1. 

Or A — D devient par la fouftraétion 

j -f- (y) o. x (K" — V — 1) 1.0 . . . (V”— V*-'— i)r.o 

- i-HK" + 1 . . )o.i 

Xx i 


348 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


& (F')o.i ZZ — 1)1.0; de même dans la férié C on a 

(/«-{- \)o(V — i) o. i — x(ni — i)i.i(V‘ — 1)1.0; ces fublK- 
tutions donnent 

A zz -(- 

B ... zz 4 - (ni) i . o (p) i 

C ... zz -f~ x ( rn — i )i.F 

D ~ — (V N -{- i ) o. i . 

Ajoutant également à la férié addicive A , <Sc à la fouftradive D y la quan- 
tité (V N i ) o (m — j— p — V N ) i , < 5 c tranfportant en B une des deux 
unités initiales de A & de C, la formule devient 

A ... — -j- F 

B . . . Z -j- i(m — i)o(/j-f-i)i 

C ... zz ( m ) 1 * F 

D ... — — (ni 4 - p -{- i ) o . i . 

Or A «Se B contiennent également (ni -j- p 4- 0 places, dont la plus 
haute efi nécefîàiremcnt l’unité; ces deux unités valent donc (m-^-p -\-\)o.i 

ZZ Dy & la formule toute additive efi réduite à ces trois léries 

A ... ~ (F — 1) 

B ... — 1 (m — 1)0 (p) 1 

C ... zz ( m ) 1 . F 

Voilà donc trois formules équivalentes pour I’efpece Vllf. toutes pofitives, 
dont l’une n’a que deux fériés, l’autre trois, & la troificme §. 77. en a 
V N 4" 1 • E8es femblent n’avoir aucun rapport cntr’cllcs, « 5 c cepen- 
dant elles prouvent qu’il cft pofiible dans cet algorithme de faire évanouir 
des fuites entières de fériés qui ne paroilToient pas fufceptibles de rédudion. 

PROBLEME XIII. 

79. Trouver la plus grande 6* la plus petite valeur du plus haut expo - 
faut du produit F f. 

Il cft clair que fa plus grande valeur fera celle qui rcfulte des fadeurs 
pleins, & la moindre celle qui rélulte des fadeurs vuides. Or dans le premier 


des Sciences et Belles-Lettres. 


34 ? 

cas la formule i (m) o (p) i . o (m) i, contient ira -f- p -j- 2. places, 
dont la première ou la moindre eft i°, «Sc par conféquent la plus haute fera 
+ ‘ t donc la valeur du plus haut cxpofant poflîble des produits efl: 
HZ x m — j— p — |— 1 . 

Dans le fécond cas la formule du produit des facteurs vuides efl §. 37- 
ZZ 1 (m — 1)0.1 ( p — 1)0.1 {m — 1)0. 1, elle renferme xm-\- p r 
places; donc la moindre valeur poflible du plus haut expofànt du produit eft 
ZZ ira p - 

S j. Coroll. 1. Comme dans la formule du produit des faveurs 
pleins, les plus hautes places font occupées par (m) 1 , il eft évident que, 
la Comme du plus haut expofànt des deux faétcurs, favoir xm -f- p y 
reliant confiante ZZ x c, ou ZZ ic -f- 1, le produit croitra à me- 
fure que m croît, «Sc par conféquent à mefure que p diminue.. Le plus 
grand produit eft donc celui de p ZZ o, c. à d. de F ZZ / Ou 
m ZZ c, ce qui efl le cas du quarré plein ; & le moindre produit eft celui 
de m zz 1; car fi l’on pofbit m ZZ o, on fortiroit de l’efpece, & 
FJ pourroic être un nombre premier- Ainli la formule du maximum 
dans l’efpece première eft 1 (c -f- 1) o (c) 1 zz xc -j- x places, « 3 c la 
formule du minimum eft 1 . o (x c — x)r.o.i zz 2- c -j- z place s- 

81. Coroll. x. Dans I’efpece des faflcurs vuides, c’cft le con- 
traire; puifquc les hautes places font occupées par (m — 1)0, plus m 
fera grand, plus il y aura de hautes places vuides, < 5 c par conféquent plus le 
produit fera petit; mais fi m — . 1 évanouit, la pénultième d’en haut 
fera pleine. Ainfi la formule du maximum de ccttc efpcce fuppofe m ZZ r;. 
p ~ xc — 2; elle eft donc i.i(xc — 3)0. i.r- Celle du mini- 
mum fuppofe p ZZ o; ou p zz 1, & par conféquent c ZZ m;; 

elle donne 1 (c — 1)0. 1. i (c 1)0.1, ou 1 (c) o. 1 (c — x) o . 1 ,. 

donc dans rous les cas le nombre des places n’eft que xc -f- 1. 

81. Coroll. 3. Le plus grand nombre compofé d’une clafle 
quelconque K c’cft celui que donnant les deux; faéleurs pleins, ôc égaux,. 

Xx -J - - - 


35° Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

ou qui ne different que d’une place. Le moindre nombre compofé de la 
claffe fuivante fupérieure K -f- i eft celui qui réfulce de deux fadeurs 
vuides, égaux ou qui ne different que d’une place. Or K contient 
te -j- 1 places, K -f- i en contient te -f- i, mais ayant 
te' — te -f- i, les deux nombres ont une égale quantité de places. 
Si donc il arrivoit que le minimum de la elaflc K -f- i excédât de 4, 
ou de plus de 4, le maximum de la clafle K, le nombre ou les nombres 
intermédiaires, feroient ncceflàirement des nombres premiers. C’eft ce 
qui arrive en effet, mais feulement dans les petits nombres. 

Soit la fomme des expofans de la clafle K y t m -\~ p ~ t c y 
donc celle de la claffe if -f" 1 f era — te -f- 1, donc la formule 
du maximum des fadeurs pleins, fuppofant p ~ o, eft (§. 80.) 

I (c -f- 1 ) o (c)i , celle du minimum des fadeurs vuides, fuppofe ici p ~ 1 ; 
elle eft donc (§. 8 1 •) 1 ( c — 1)0. i.i(c — 1)0.1. Or il eft évident 
que cette derniere formule ne fauroit excéder la première que dans le cas où 
l’on aura c — 1 nul , ou c z 1 ; alors le maximum de K fera 
Z 1001 Z 9. & le minimum de K -f- 1 fera 1111 ~ 15, 
donc, les nombres 1 1 & 1 3 font des nombres premiers. 

Soit maintenant la fomme des expo/àns de la claffe K , tm-j-p 
— t c — 1 ; par conféquent celle de la clafle TC -j- 1 — te ~ te -f- t. 
Ici la formule du maximum des fadeurs pleins fuppofe p — 1, elle eft 
donc §. 8 o. 1 (c) o. 1 . o(c)i, celle du minimum des fadeurs vuides fuppofe 
p — o, elle eft donc §. 8 1. i(c')o.i(c' — 1) 0.1 ~ i(c-f- 1)0.1 (c — i)o.i. 

II eft de nouveau clair que cette derniere formule ne fauroit excéder celle du 
maximum , qu’en fuppofant c — 1 nul, ou c — 1, alors le maximum 
de K eft 1 o 1 o 1 zz 1 1 , <Sc le minimum de K -f • i eft 10011—15, 
donc 13 eft un nombre premier. 

83. Excepté ce petit nombre de cas, il eft clair que divers nombres 
de la clafle K enjambent dans ceux de la claffe K - f- 1 , & que pareil- 
lement divers nombres de la claffe K -f- t fc confondent avec les plus 
grands de la claffe K -f- 1. Pour connoître donc l’étendue des nom- 
bres purs de la claffe K -J- 1 , il faut en déduire les deux enjambemens 
d’en haut & d’en bas. 


des Sciences et Bblles-Lettkes. 


35 i 

Si K cft de la claflè paire ic, l'enjambement inferieur fera §. 8x. 

ZZ I (c-f- l)o(c) I I (c — 1)0. I.l(c — 1)0.1 — (c)o.i.o.o 

(c — z) 1 , ou plus brièvement on aura le maximum de K, (z e + 1 — 1 )% 
& le minimum de K -f- 1 ZZ (z c + 1 -f- 1 ) (^‘ -J- O, donc l’en- 
jambement inférieur embraflè i JC + 1 — z c + 1 — z c + 1 — z c nom- 
bres de la claflè K-\- 1 , 6c le moindre nombre impair pur de cette claflè 
eft (x* + 1 — 1 ) s -j- z ZZ z 3 ‘ + 1 — z c + 2 -f- 3. L enjambement 
fuperieur commence au minimum de K -f- x, qui eft (z c + 1 -f- 1 ) 2 6c 
va jufqu’au maximum de K -j- 1 qui efl (z c + * — i)(x c + 1 — 1); ainfi 
il embraflè les x îc+1 — z e + 3 — z c + 1 plus hauts nombres delà 
clafle K -f- 1, & le plus grand nombre impair pur de cette claflè 

fera (z‘ + ' -f i) z — x ZZ x 2e + a -j- x‘ + 1 — 1. L’intervalle 
entre les deux enjambemens, ou entre le maximum de K, 6c le minimum 
de K -f- z, donne tous les nombres purs de la claflè K - f- 1 
ZZ ( z e + 1 -f- 1 ) 3 — (z c+ 1 — 1 )* Z z : + 3 . Il y a par conféquent 
x* + 1 — 1 nombres impairs purs , contenus dans cet intervalle. 

Pareillement fl K eft de la claflè impaire, zc -f- 1 fon maximum 
fera ZZ (x c + 1 -f- 1) (X e — 1), 6c le minimum de K ~f~ 1 fera 

— (x e -f- i) 2 , il y aura donc z zc — z‘ + 2 — z e nombres inferieurs 
de la claflè K -f- 1 , qui feront mêlés avec ceux de la claflè K , & le 
moindre nombre pur impair dans l’étendue de K -j- 1 fera z ,<+ * 

— X e + ‘ — x c -f- 3. 

L’enjambement fuperieur commence au minimum de K -f- x, qui 
eft ici z c+ 1 -f- 1) (x c -f- 1), &c finit au maximum de K -f- I 
ZZ (x e+ * — 'i)“. 11 occupe donc z ie +.‘ — z c + 1 — z c + ' — z c 
nombres fiipérieurs de la clafle K -f- 1, 6c le plus grand nombre pur im- 
pair de cette claflè cft x i,_ f* -|- z c "f 1 -f- z c — 1. Ainfi l’éten- 
due entière des nombres non mêlés clt ici (z c "** ' -f- 1) ( z c -f- 1) 

— (z c + 1 — 1) ( z‘ — ï) ZZ i c + 1 -f- z c + 6c elle contient 

par conféquent z e ' ,L 1 -f- x 1 — 1 nombres francs impairs. 

84. Cunou. 1 . Quand donc les fadeurs des nombres de la claflè 
À’ -f- 1 ont la fomme des plus grands expofans zz xc 


3$x Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalb 

on aura pour c zz 3 . . . 2 3 nombres purs impairs de 107 à 151 

c“4. . . 47 de 467 à 559 

CZZ 5 ... 95 de 1^55 à 1143 

c— ^ . . . 191 ... . ; de 8003 à 8383 

&c. &c. 


85. Cor o ll. x. Quand les fadeurs des nombres de la clafle 
K -j- 1 ont la ibmme des plus grands expofans ZZ ic -J- 1, on aura 


pour c ZZ 

X . . . 

15 

nombres purs impairs de 

5 1 

à 

19 

c ZZ 

3 . . . 

31 

• . . . . . de 

117 

à 

2.87 

c ZZ 

4 • » • 

63 

..... de 

96 3 

à 

1087 

c zz 

5 . . . 

I 17 

..... . de 

3 97 1 

à 

4113 

c ZZ 

6 • • • 
&c. 

*55 

...... de 

&e. 

1 61 3 1 

à 

1 663^ 


8<>. Cette théorie des nombres purs d’une dafie peut être de quelque 
fecours dans la recherche des nombres premiers. Sachant par ex. que 1 07 
eft un nombre pur de la clalTe ic z: je fai que les plus hauts ex- 

pofans de fes fadeurs feront 3 — f- 3 , ou 4 -j- 2, ou 5 -f- 1. 
Or 105 ZZ (0.1.4) (o. 2) zzz (0.1.5) (0.1) nombres qui ne peu- 
vent être augmentes de 2, fans varier les extrêmes, donc 107 zz 
(o.x. 3) (o.y. 3); mais x zz 1, y ZZ 1 donnent ni; x .ZZ x, 
y — o donnent 99; x ZZ 2, y zi o donnent 117; donc 107 
elt premier. 

Je fuis obligé de renvoyer à une troifieme Sedion, ce qui concerne 
l’application de nos formules à des cas limités. 

^ 


SUR 


des Sciences et Belles-Lettres. 


353 


SUR 

K INTÉGRATION DES ÉQUATIONS 

a différences partielles du premier ordre. 

Par M. de la Grange. 


i . 


L orfqu’on a une fonction u de plufieurs variables x, y , ç &c. on ap- 
pelle différences partielles de //, celles qui rcfulccnc de la différencia- 
tion de u en y fai fane varier chacune des quantités x , y, £ &c. h part; 
ainfi fuppofant que la valeur complette de du foie repréfentée par pdx 
-(- qdy -f- rdf -f- &c., les différons termes pdx, qdy, r d{ &c. 
de cette différentielle feront les différences partielles du premier ordre de a. 
Ou a coutume de reprefenrer les coclücicns p, q, r &c. des différences 

d at, d v. à z ôcc. dans la différentielle de u. par ^ , — , — . &c. de 

' ■' 1 d r d _r d { 

forte que la valeur complette de du fera repréfentée par ^ d.v -(- y-d}' 


— |— — d ^ — f— &c. Ainfi fi l’on a une équation entre //, x, y, ^ &c. 
d ï t 

& ^ &c. ce fera une équation à différences partielles du pre- 

mier ordre; & c’cft fur l’intégration de ce genre d équations que je me pro- 
pofe ici de donner quelques nouveaux principes. 


1. Suppofons que u foit une fonction de x & de y feulement, & 
que l’on ait pour la détermination de cette fon&ion une équation en c/, .v, j', 

du du f r ■ , , , du du 

— , — ; li on tait pour. plus de commodité, y- ~ p, — — g y pn 


dx’ A y 

iViiuv. Mem. 1 771 


Yy 


dy 


354 Nouveaux Mémoires de i’Acaoémie Royale 


aura du ~ pdx -f- ydy, & l’équation donnée fera entre les cinq va- 
riables i/y x, y y p, q; en forte qu’on pourra par cette équation détermi- 
ner par exemple q en u, x, y , p-, la quantité p fera donc encore in- 
déterminée, & la queftion fc réduira à la déterminer de façon que l’équa- 
tion du ~ pdx -f- q dy, ou bien d u — pdx — ydy ~ o 
foit intégrable, ou d’elle -meme, ou étant multipliée par un faéteur quel- 
conque. 


Soit en général M le faétcur que la différentiation aura pu faire difpa- 
roître, en forte que la quantité M(du — pdx — qdy) foit une dif- 
férentielle exacte d’une fonction de u, x de y que nous défignerons par A^; 

, , , T d N . . d N . . d JV , ... 

on aura donc d N -—du -f- d.v -f- — dy Mdu 

. du 1 dx 1 d y . y... 


— Mpdx — Mqdx', «Sc de là 

— — m, if = - 

du ’ dx 


M P y 


dN 

dy 


Mq ; 


d’où l’on tire les conditions fuivantes 

d M . d . ( Mp ) . d M d . <M ■/) 


d.'Mp) 


d.(Mq) _ 


dx du dy du dy dx . 

par lesquelles il faudroit déterminer AI & p. La derniere de ces équa- 

- d *' 


tions donne celle-ci: 


Vd y 


r0 + ^ 


d M 

? Tx ~ 


laquelle , en fubftituant pour ^ ^ leurs valeurs données par les 
deux premières, devient 


m(Ÿ- — — p ^ + î 

\dj dxy/ du J 


d u 


c’eft à dire, en effaçant ce qui fe détruit & divifant le refte par M, 

. tl — il n If. -i- qil — o ; 

dy dx ‘du •'du 

or comme q eft (hyp.) une fonélion donnée de x, y, u &c p, cette 
équation ne contiendra plus que l’inconnue p‘, & la difficulté fera réduite 
à déterminer par fon moyen la valeur de p- en //, x , & y. 


des Sciences et Behes-Lettres. 


35 5 


3- Quoique de cène manière on aie trouvé l’équation qui doit fervir à 
déterminer p, il paroic que l’on n’a gucres avancé dans la folution du pro- 


blème propofé ; car au lieu qu’on avoir une équation entre x , y, z/, , 


à u 


— pour la détermination de u, on en a maintenant une entre x , y, z/, p t 


^ , Y y -> P our détermination de p, laquelle, à la confidérer en gé- 
néral, doit être au moins auffi difficile à réfoudre que celle - là, fi même elfe 
ne l’cft pas davantage à caufe qu’elle contient une variable de plus. Il y a 
cependant une circonftance qui doit la faire regarder comme plus fimple 
que la propofée; c’efl que les différentielles dp & • n’y paroifient que 

fous une forme linéaire; d’ailleurs nous remarquerons qu’il ne fera pas né- 
ceffaire de réfoudre cette équation d’une manière complcttc, mais qu’il fuf- 
fira de trouver une valeur quelconque de p qui y fatisfaffe pourvu qu’elle- 
contienne une confiante arbitraire; car nous ferons voir bientôt comment 
à l’aide d’une relie valeur de p on pourra néanmoins parvenir à la folutiori 
générale ôc completce de l 'équation propofé-e. 


4. Pour faire voir d’une maniéré encore plus direéle comment l’équa- 
tion que nous venons de Trouver pour la détermination de p peut fervir i 
réfoudre le problème dont il s’agit, reprenons l’équation 

Au — pd.v — qdy zz o, 

dans laquelle q cft une fonflion donnée de p, u , .r, y, 6c où p efl fuppo- 
fé une fonélion de t/, x, y telle que l’équation foie intégrable, foie d’clle- 
meme, foie à l’aide d’un multiplicateur quelconque. Qu’on fuppofe que 
l’une des trois variables u, x , y devienne confiante, par exemple u, en 
forte que l’on ait l’équation à deux variables, pdx -f- qdy — o; 
foit L le faéleur qui rendra la différentielle pdx -f- qdy intégrable, 
(faéleur qu’on peut toujours trouver a poflcriori dès qu’on aura intégré 
l’équation pdx-\-,qdy ~ o); l’on aura donc L(pdx -f- qdy) — dr, 
t étant une fonélion de a-, & de y, dans laquelle u entrera suffi comme 

Yy l 


3 j 6 Nouveaux. Mbmoiaes de i’Acabkmib Royalb 


de 


confiante; par conféquent on aura Lp zz ^ , La — — ; mais en 

ax 1 dy 

regardant x , j, & u comme variables à la fois, on a pour la valeur com- 
plète delà différentielle dr, ^dx-f-^dy-}- — du: donc 

* ' dx 1 dy J 1 du 

on aura dr — Lpdx -j- Lqdy -f- ^ d//; ainfi l’équation du 

— pdx — qdy ~ o, étant multipliée par L f deviendra celle-ci 

Ç L + j£) d " — dt = o; qui devra donc être intégrable. Or 

comme t efl une fonction connue de u, a‘, • on aura réciproquement x 

égale à une fonction connue de r, z/, y, de forte qu’on pourra introduire 
la variable t à la place de la variable x ; qu’on farte donc cette fubflitution 

dans la quantité L - 1- , & comme l’cquation ne contient que les deux 

différentielles du & dr, il cft clair qu’elle ne pourra être intégrable à 

moins que la variable y ne difparoirtc entièrement de la quantité Z -j- . 

Suppofons, pour abréger, cette quantité ZZ P, & il faudra qu’en fubfli- 
tuant dans P à la place de x, fa valeur en y, u 6c r, la variable y s’en 
aille en même rems que x; donc aurti fi, dans la différentielle d P ~ 

— dx -4- — dy -I- — du. on fubftitue pour dx fa valeur tirée de 

d x 1 il .y J 1 du ’ r 

l’équation dr zz Lpdx -j- Lqdy -p t- dr/, il faudra que la diffé- 


rentielle dy difparoiffe; mais, la fubflitution faite, on a dP z 


dP . d ‘- L * d r ~ £ d “ . d P . .AP 

— * ; 

dx Lp 1 d v J 1 du 


+ d 7 d y + ^ du '> favoir 


des Sciences et Bejlles-Lettres. 357 

donc il faudra que l’on ait — — - x — — o. Or P — L 

dy p dr 

-f- ^ ; donc on aura cette équation de condition — 4 - 

1 du ^ à y ' àuày 

? /"àL | d 2 i\ . dr .de . 

— ;Cï7 + î7 rj - 0i ma,sonade J 4 d - — £ f< T y - L i' 


, d *t d.(Ip) Idp pdl 

donc on aura zi — — — -f- - — 

dxdu du du 1 du 7 


d y 

& - — d(Lq) 

dxdu du du 1 du ’ dydu du 

Cl ~~ -f- ; donc l’équation précédente deviendra — * 4 - 

du ' du 1 * dy ' du 

1 ?dl f/'dt . Idp p d L\ 

-J- - — — - f — -f- - — -f- — — ) — o, lavoir en otanc ce qui 

1 du p \dx du 1 du y 7 1 

fe détruit 

d L j Ldq q S à L [ L d p\ 

dy "* du p \.d x '* du J 

De plus les memes équations ’j-' C I/>, ^ zz Lq, donnent - y — 

à (La) r . pdL . Idp odl Ldq , 

— — — , lavoir -f- — - — - — — — - — o, donc re- 

dr * dy 1 dy dx dr ’ 

tranchant de cette équation , la précédente multipliée par p, & divifant le 
refte par Z, on aura celle-ci: 

dp d q pdq qdp 

-f- O 

dy dr du 1 du 

qui eft, comme on voit, la même qu’on a trouvée plus haut. 


5. Ainfi dès qu’on aura fatisfait à l’équation précédente par le moyen 
de la valeur de p, on fera aflüré qu’en chaflànt x de la quantité P zi 

L -f- — , par l’introduéHon de la variable r, la quantité y s’en ira en 

meme tems, de forte qu’on aura alors l’équation à deux variables P du 
— dr ZZ o. 

Soit donc L la fonélion de //, & de f par laquelle il faudra multi- 
plier maintenant la différentielle P du — d r pour la rendre intégrable, 

Yy 3 


35 8 Nouveaux Mémoires de l'Acaoémie Royaib 

(fon&ion qu’on pourra toujours trouver par l'intégration de l’équation 
Pdu — dt zz o) & comme L(Pdu — d r) fera une différentielle 
cxa&e d’une fonction de //, & r, fi on remet à la place de t fa valeur 

en t/, x, 6c y, ce qui, à caufe de»dr zz Lpdx -f- Lqày -j- ^d //, 

6c de P ZZ L -{- ^ , transforme la différentielle dont il s’agit en celle- 

ci: L'(Ldu — Lpdx — Lqdy ), il eft évident que cette derniere dif- 
férentielle fera pareillement une différentielle exaétc d’une fonélion de u, x f 
&c y, d’où il s’enfuit que LL fera le faéleur propre à rendre intégrable la 
différentielle d u — pdx — q dy, &c qu’ainfi on aura (Art. 4.) AI ZZ LL\ 
de forte que connoiffant L 6c L on connoitra fur le champ le fadeur M ; 
6c de là par l’intégration on pourra connoître la valeur de la fondion 
finie fMid u — pdx — ^dy). 


6. On voit donc clairement par Fanalyfe précédente que la folution du 
problème ne dépend que de la recherche de la quantité p à l’aide de l’équa- 
tion de condition 


dp 

dy 


d f d q 

dx ^ du 


+ 7 



laquelle eft connue depuis longtems; car dès que cette condition fera rem- 
plie, on pourra toujours trouver le multiplicateur Ai qui rendra intégrable 
l’équation du — pdx — qdx ZZ o, 6c l’intégration donnera en fui te 
la valeur cherchée de u en x, 6c y. 


Si la valeur de p, qui fatisfait à l’équation de condition, a toute la gé- 
néralité que cette équation comporte, on aura par fon moyen la valeur 
complet te de u; mais fi la valeur de p n’eft que particulière on ne trou- 
vera d’abord qu’une valeur particulière & incomplctrc de la fonélion cher- 
chée //; cependant fi la valeur particulière de p eft telle qu’elle renferme 
une confiante arbitraire on pourra completter la valeur de u de la maniéré fui- 
vünte. On cherchera d’abord d’après cette valeur particulière de p le multi- 


des Sciences et Belles-Lettres. 


359 

pBcarenr M qui rendra intégrable la différentielle du — pdx — qdy, 
& l’on aura en intégrant, l’équation f M(du — pdx — qdy ) ~ à 
une conft. 

Défignons pour plus de fimplicité pariVIa quantité fM(du — pdx — qdy) 
qui fera nécefTairement une fonction finie de c, x, & y; foit de plus « 
la confiante arbitraire qui entre dans la valeur de p , & il eft clair que cette 
confiante entrera aufli comme telle dans l’cxprefïion de N ; fuppofons 
maintenant que cette même quantité au lieu d’être confiante, foie auffi 
une fonction variable, & il eft vifiblc que dans ce cas la différentielle com- 
plexe de N ne fera plus fimplcment M{du — pdx — ÿdj), mais 

M(du — pdx — qdy ) -j- ~ d«; de force qu’on aura dans l’hypo- 
thefe de la variabilité de «, 

N — fM(jdu — pdx — qdy) -f- /j^d«> 

«t 

& par conféquent 

fM(du — pdx — qdy) — N ÆTd* 

o et 

Donc fi pour fatrsfaire aux conditions du problème on veuf que la diffé- 
rentielle M(du — pd.v — qdy) foit intégrable d’elle -meme, il fau- 
dra que la différentielle ^ d« le foit aufli en particulier; ce qui ne fau- 
roic évidemment avoir lieu à moins que ^ ne foit une fonction quelcon- 
que de et. 

Que f : et dénote donc une fonéHon quelconque de et } Si fuppofanc 
f : et — a , on fera ^ ~ f ; et; équation par laquelle on 


dJV 


pourra déterminer «. Enfuite on aura f — d<* zi f : «; donc 


f M(d u — pdx - — > qdy) ZI Al — - f : «; de là on aura l’équa- 
tion inrégrale N — f : « iz à une conft., ou bien fimplcment 


3^0 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

N — / : a. — o (à caufe que la confiante peut être cenfie renfermée 
dans la fon&ion / : «) laquelle fervira à trouver la valeur de la fonction u\ 
& il cil clair que cette valeur de u fera complette puifqu’dlc contiendra 
une fonélion arbitraire. 


7 . On voit donc aulfi par là que toute équation de la forme , 

dp d q dq . dp 

r, — ï; — * r. + * JT - °> 


où y ell fuppofée une fonélion quelconque donnée de //, x, y, p, ell telle 
que fi on connoit feulement une valeur particulière de p, mais qui renfer- 
me une confiante arbitraire on pourra toujours trouver la valeur com- 


plette de p; car il n’y aura qu’à tirer la valeur de ci de l’équation 


dN 

du 



de la fubftituer enfuitc dans la valeur particulière & connue de p. 


8 . Pour montrer maintenant l’application du théorème précédent, 
nous allons parcourir les principaux cas dans lesquels l’équation de condi- 
tion cfi facile à remplir par le moyen d’une valeur particulière de p qui fe 
prélêntc naturellement, & non.» en verrons naître les folutipns de la plupart 
des problèmes de ce genre qui n’ont été réfolus jufqu’ici que par des mé- 
thodes particulières. 

J". CAS. 

Lorfque q ejl une fonclion de p feu!. 


.Soit P une fonction quelconque de p, & fuppofons que l’on ait 
y — P, l’équation de condition (Art. 6.) deviendra, en fàifant d P ~ P' d p, 
dp P'dp P'dp Pdp 

d y d .r ^ du ' d u ^ ’ 

à laquelle il eft vifible que fatisfait cette valeur p — à une confi. 


On aura donc ainfi p “ & y ZZ A, ( A étant ce que de- 

vient P lorfque p ~ d’où l’on voit que la différentielle du — pdx 
— qdy deviendra du — *dx — Ady, laquelle efi évidemment 

intégrable 


des Sciences et Belles-Lettres. 3 61 

intégrable d’cllc-mémc. Intégrant donc on aura u — ax — A y — N; 
de là en faifant varier «, on aura ^ ~ — x — Ay Ça' étant — 
— Ji donc — x — A y zz j ' : «, équation d’où l’on tirera la va- 
leur de «, qui étant enfuice fubftituée dans l'équation N — f : « — o, 
ou bien u — ax — A y — f: a — o, donnera la valeur com- 
plette de u. 

ÎI d . C A S. 

Lorfqut q ejl une fonction de p &’ de y. 

Soit P une fonction de p de de y, en forte que dP ~ F d o 
-f- Qdy, & fuppofons q ~ P J l’équation de condition deviendra 

la même que ci-dcflus, à caufe que — ZZ — — & — — Hfl ■ 

1 dx dx du du 

ainfi on y pourra fatisfaire en prenant de même p — a; ce qui ren- 
dra P égal à une fonction de y fcul; de forte que la quantité du — pdx 

— qdy ZZ o, favoir du — ad* — Pdy fera intégrable d'ellc- 
méme, de l’on aura N ~ u — ax — fPdy. De là on tirera 

à N r dP , -, V ■ n 

— — x — J — dy, par conlequent on aura 1 équation j : a — 


— x — f — dy, laquelle fervira à déterminer a.\ enfuitc de quoi on 

o a 

aura u par l’équation N — f: a zz o, ou bien u — ax — J' Pdy 

— f :a — °- 

III™ CAS . 

Lorfqhe q ejl une fonction de p & de x. 

Dans ce cas il c(t clair que la valeur de p fera réciproquement expri- 
mée par une fonction de q, 6c x ; donc regardant q comme l’inconnue, 
& luppo/ant Q une fonction de q 6c x , on aura p ~ <^, 6c l’équa- 
tion de condition deviendra en fuppofant ^ — Q' f 


Sour. l'en. 177 î. 


Zz 


3 6x Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


i 

dy 


<h , 

d r A " 


Qdji 

du 


?Ç' d * 


du 


i laquelle on peut fatisfairc en prenant q égal à une confiante a, ce qui 
rendra Q égal à une fonction de x feu!, en forte que la quantité du 
pàx — ÿdy, ou bien du — Qdx — ad y fera in- 
tégrable d’elle -même. Ainfi on aura N ~ u — fQà* — «y, 

«Se de IA ^ ~ — f—dx — y — d’où l’on tirera a qu’on 

fubfiicuera dans l’équation N — f : a — o. 

IV- CA S. 

Lorfquune fonction de p & x cjl égale à une fonction de q & y. 

Soie P une fon&ion de p & .r, «5e Q une fundion de q «5c y, 
en forte que l’on ait P ~ Q, il cft clair que fi on prend une confiante a. 
6c qu’on fa fie P HZ a, &c Q ~ a., on aura par la première de ces équa- 
tions p exprime par une fon&ion de .v fcul, «5c par la fécondé on aura q 


exprimé par y feu!; en forte que les différentielles — , 


Aq_ dj 
• du 


ront nulles d’elles -mêmes; ainfi l’équation de condition fe trouvera rem- 
plie, & il efi; vifible que la quantité du pàx — qdy ~ o fera 

intégrable fans aucune préparation; on aura donc N HZ u — f 'pàx 
_ f q iy, & de I i £ = - /£ àx - /Ù d y- j':.; d'où 

l’on tirera la valeur de « pour la fubftitucr dans l’équation N — f.a — o; 
laquelle deviendra donc u — fp d* — fqày — / : <*• ~ o. 

V CA S. 

Lorfqnil y a encre p, q, x, & y une équation dans laquelle p, & q ne 
montent quà li première dunenfion. 

Soient X oc Y des fondions quelconques de a- «5c y, <3e fuppo- 
for.s que l’on ait q HZ pX -f- Y ; fubftituanc donc cette valeur dans 
l’équation de condition elle deviendra 

1î _ £ d a _ îf£ _ il' _ ï£lr + ( P x + r> 1? — o. 

dy dx dx dx au r 1 du 


ues Sciences et Belles-Lettres. 



Il eft d’abord clair que fi on fuppofe que p ne contienne point //, cette 
équation fc fimplifiera beaucoup, car elle deviendra, en faifanc pour plus 

de fimplicité — — X', &c ^ ZZ Y', 

* d z di 

ÿ. — xÿ- — x'p — y — o. 

d y d.r 

Mais cette équation eft encore trop compliquée pour qu'on puifïe trouver 
facilement une valeur particulière de p qui y /àtisLaffc- Conftdérons 
donc plutôt la quantité même du — pdx — ÿdy, ou bien, (en met- 
tant pX - f- Y h la place de q) du — p(dx -f- Xdy) — Y d y, 
laquelle doit ctre une différentielle exacte ou d’elle-mcme ou étant multi- 
pliée par un fadeur convenable AV, de il eft d’abord clair que, comme X 
eft une fonction donnée de x &c y, fi on cherche le fadeur m qui 
rendra intégrable la quantité dx -j- Xdy, & qu’on fuppofe enfuite 
m(dx -{- JYdy) z d{, on aura à rendre intégrable cette quantité plus 

fimpîe du — -d^ — f^dy; °ù ~ une fondion inconnue, &c 


Y une fondion connue de x, &c de y, ou bien de £ & de y, en fub- 
ftituant à la place de x fa valeur en y & { tirée de lcquation 
f m(dx -f- Xdy) — or on fait j que la quantité dont il s’agic 


fera intégrable fi l’on a 


,d Y 


d.- r 


d >- 


dv 


— ; ce qui donne, en intégrant fui- 


<t étant une confiante arbitraire; air.fi 
on a une valeur particulière de p , laquelle donne N — u — a ^ 


«m y, -~f Ti ày + 


<i.V 


fYdy, donc ~ ZZ — { ZI f : a; ce qui fervira à détermi- 


ner a.\ enfuite de quoi on aura l’équacion N — f: » — u — 

— J Ydy — f:* ZI o. Or comme l’on a — { ZI il 

eft clair que * fera une fondion quelconque de de forte que l’équa- 
tion qui fcrc à déterminer u pourra être représentée plus Amplement ainfi: 
u —fYdy — f: { ~ o. 


Z z i 


364 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royaih 

ci y 

Au reftc on auroit pu voir d’abord par l’équation - ~ f — dy -f- <* 
que la confiante a pouvoir être une fonétion quelconque de f, puifque 

d y 

l’intégrale / — dy efl cenféc prife en fhifanc varier y feu!, <5c f demeu- 

ranr confiante; de forte que la valeur de p étant complette, on auroit eu 
fur le champ par fon moyen la valeur complette de mais nous avons 
cru qu’il n’ttoic pas inutile de faire voir comment on y pouvoir parvenir 
aufli par le fecours de notre méthode , en fuppofant que la quantité « ne 
fût regardée d’abord que comme une confiante indéterminée. 


VI mt C A S. 

Lorfqu'il y a entre p, q, x, y une équation telle que x, & y ne remplif- 
Jcnt enfèrnble aucune dimenfion. 

Faifant x ~ fy, on aura donc une équation entre p, q , f, d’où 
l’on tirera q ~ P , P étant une fonétion de p 6c f feulement. Or en 
confidérant immédiatement l’équation d u — p d.r — ydy, (ainfi qu’on 
l’a fait dans le cas précédent) elle deviendra, par les fubflitutions, d u 
— p(fdy -f- yàq) — Pdy ~ o, favoir dw — ypdf — 
(yf -|- P) dy zz o ; & l’on voit que cette équation peut devenir in- 
tégrable en fuppofant p une fonction de f fcul, (ce qui rendra pareille- 
ment P une fonétion de f) pourvu que l’on ait p f -j- P ~ J pdf, 

favoir pdf ~ pdf ^d/> -f- d P, ou bien fdp -f- dP ~ o; 
équation différentielle entre p Ôc f, d’où l’on pourra par l’intégration 
tirer la valeur de p en f , laquelle contiendra une confiante arbitraire <*. 
De cette maniéré on aura par l’intégration N — u — yjpdf, & en- 

fuite — ~ — y/— dr ~ f’-*’, d’où l’on tirera a. qu’on fubfli- 

à a et 

tuera enfuire dans l’équation — f : a. ~ u — yfpdf — o. 

Au refte, comme on doit avoir dans ce cas y IZ Qx, Q étant une 
fonétion de p , & q , on pourra le réfoudre aufTi plus finalement par la 
remarque fuivante, à l’aide de laquelle on peut le réduire au V" 1 ' Cas ci- 
deffus. 


dis Sciences et Belies-Lettmks. 


3*5 


Remarque. 

Tels font les principaux cas rcfolubles en général, lorfqu’i! y a une 
équation entre p , q y x, & c y fans t/, & où par conféquent p & q peu- 
vent être des fondions de x & y feuls; il faut cependant y ajouter en- 
core ceux dans lesquels il y aura entre ces quatre quantités mêmes équations, 
mais en échangeant x , y , en p y q, & réciproquement; car à caufe de 

-tf. — o, • & 7^ ZZ o, l’équation de condition efl d -f ^ ZZ o, 

du ' du dy ax 


laquelle en regardant maintenant x, & y comme des fondions de p & y, 
peut fe mettre également fous la forme ^ ^ Z o, où p, & q 


ont pris la place de x, & y, & vzee ver/à. Ainfi il n’y aura qu’à traiter 
ces cas de la même maniéré que les cas analogues réfolus ci-dcffus, en fup- 
pofant qu’au lieu de chercher p, ôc q en x , & y, on cherche au con- 
traire x y & y en p, & y. 

Vll m ' CAS. 


- Lorfque q ejî une fonction de p & u. 

Soit P une fondion de p , & Uy en forte que dP zz P'àp -{- Qdzz, 
& (oit q ZZ P , l'équation de condition deviendra 

à_P pj'fp q p 

d y dx du. du ’ 

il efl clair qu’on peut fuppofer que p foit une fondion de u feul fans x 
ni y, ce qui réduira l’équation à celle-ci 


p p ‘ << p 
du 




— o; 


or comme P, P' & Q font des fondions données de p & u, il eft 
clair que l'équation précédente ne fera qu’entre ces deux variables, en forte 
quelle pourra s’intégrer par les méthodes ordinaires; ainfi on aura p en u t 
& comme l’intégration introduira une confiante arbitraire a dans la valeur 
de p, on pourra en déduire la valeur générale & completre de u. 

En effet l’équation du pdx qdy • — o, ou bien du 

— pdx — Pdy zz o donnera celle-ci dy ZZ — — — , ouïe 


Zz 3 


360 Nouveaux Mémoires de i’Académie- Hoyalk 

fécond nombre étant une fonction de x, 6c u feuls fera néceffaircment in- 
tégrable; de forte qu’on aura N ~ y — /JLZLiilj & de là on ti- 
rera la valeur de , qui étant fupppfée zt f : a fervira à déterminer 
celle de «, qu’on fubftituera enfuitc dans lequatiori intégrale N —f: a — o. 

vin mi C A S. 

Lorfque q Z pX -f V, X étant une fonction de x & y, & V 
une fonction de x, y, & u. 

Au lieu de confidérer l’équation de condition par laquelle on doit dé- 
terminer p, je com'idérerai d’abord, ainfi que j’en ai déjà ufé plus haut, 
dans un cas analogue à celui - ci ( V me Cas), la quantité du — pdx — qd y 
qui doit être une différentielle complerre, ou dans l’état où elle eft, ou après 
ia multiplication par un facteur quelconque M. Or mettant pX -f- V 
à la place de q elle devient du — p(dx -f- Xdy) — Vdy\ 6c cher- 
chant le multiplicateur m qui rendra dx Xdy égale à une différen- 
tielle exaéte dz., on aura d// — - <\z — .^dy, Quantité où - eft 

* mi m 

une fonction inconnue, & où V eft une fonction connue de x, y, u, ou 
bien de //, y, { en mettant à la place de x ù valeur tirée de l’équation 
f ni (d x -j- X dy) ~ Suppofons donc que cette quantité étant 

multipliée par M devienne une différentielle exacte; il faudra que 

M(àu — Vdy — - d{) foit la différentielle d’une fonétion de u, y , 

donc, en regardant d’abord £ comme conftantc, il faudra que 
M(du — dy) foit la différentielle d'une fonction de */, & y; ainfi 
il n’y aura d’abord qu’à chercher le multiplicateur M, qui rendra inté- 
grable la quantité M(du — V dy) confidcréc comme fonétion de u 6c y 
feuls. Soit donc f M{du V dy) ~ Z , il cft clair que Z con- 

tiendra auffi {, comme confiante; de forte que fi on veut maintenant trai- 
ter z comme variable, on aura pour la différentielle complette de Z, la 
t • *. ~ d Z 

quantité M(du — Vd y) -f- — dj 1 ; donc M(du — Vd y) — 

.... . v. - î . v. 

d Z ' / 

d Z — — d r, de forte que la quantité qui doit être une différentielle exaéte 
d{ 1 ‘ 


DES SciENCÉS ET B E L I ES -Le TTR ES. 


3*7 


deviendra d Z 


-(? + 


Mp . dZ\ , 

TJ** 


Or il eft vifible que pour que 


cette condition ait lieu il n’y aura qu’à fuppofer — ^ ~ ce 

qui donnera une valeur particulière de p qui contenant: la confiante arbi- 
traire a. conduira, à l’aide de notre méthode, à la folution générale du 
problème. On aura en effet N ~ Z — d’où ^ { 

— & de là N — f .a, — Z — a ç — f : a. — o . D’où l’on 

voit que « fera une fonction quelconque de £, en forte que l’équation qui 
donnera la valeur complctte de u , pourra fc mettre l'o us cette forme plus 
(impie Z — f : { — °* Au rc ffe on peut faire ici une remarque 
analogue à celle qu’on a faite ci-deflus dans la folution du V me Cas, dont 
celui-ci n’tfi qu’une généralifation. 

IX a ‘ CAS. 

Lorfque q ZZ p m XYV, X étant une fonction de x, Y une fonction 
de y, 6’ V une fonction de u. 

Je confidere encore immédiatement la quantité du — pdx — y dy, 

laquelle par la (ubftitucion de la valeur de q devient du pdx — 

p m XYVdy ; je fais p z= rv, v étant une fonfiion de u & j’ai du 
— rvdx — r m v m X YVdy\ je fuppofe maintenant v ZZ v m V\ ce 

«-* j 

qui donne v zi V - » & divifant enfuite toute la quantité précédente 

par v, j’ai — — rdx — r'XYdy; maintenant il eft clair que cette 
quantité fera intégrable fi on fait r n X ~ «, a étant une confiance, 
car elle deviendra — — V'—.dx — »Ydy; dont l’intégrale fera 




]/ uf — ctJYdyj de là on tirera donc la valeur 

V X 


de — qu’on fera ZZ f • x y & il n’y aura plus qu’à fubftitucr la valeur 

c. a. 

de a. qui réfultera de cette derniere équation dans celle-ci, N — f :«zo. 


3d>3 Nouveaux Mémoires de l’Académir Royale 


Remarque. 

Si l’on a une équation entre p , q t -ü, & x , on pourra regarder p t 
6c q comme des fondions de u 6c x feuls, «S c. le problème rentrera dans 
le cas où l’équation eft encre /», q, x , y , en prenant y à la place de u, 
- — - à la place de p, 6c ~ à la place de q\ car il eft vifible que 


l’équation du — 
j i P dz 

ày + 


pdx — qdy — o peut fe mettre aulîi fous la forme 
d — ~ o, qui réfulte de la précédente en changeant 


;/ en y, p en — -, ff en Il en fera de même, mutaris mutan- 

î v 

dis , du cas où l’on aura une équation entre p,. y, //, & y. 


9 . Les cas que nous venons d’examiner renferment d’une maniéré gé- 
nérale à peu près tout ce que l’on fait fur l’intégration des équations du pre- 
mier ordre entre trois variables; d’où l’on voit combien peu on eft encore 
avancé dans cette matière. Le principe que nous avons donné pour trou- 
ver l’intégrale complette d’après une intégrale particulière, eft-, connue l’on 
voit, très fécond, & fuffit feul pour réfoudre la plupart des cas où l’inté- 
gration réuftic. Nous remarquerons cependant fur ce fujet que fi au lieu 
d’avoir une valeur particulière de p laquelle renferme une confiante arbi- 
traire, on avoir une valeur particulière de u renfermant de même une 
confiance arbitraire, on ne pourroit cependant pas trouver par fon moyen 
l’intégrale complette; mais on pourroit y parvenir fi la valeur particulière 
de u renfèrmoit à la fois deux confiantes arbitraires. 


1 o. Pour démontrer cette propoficion & donner en même tems le 
moyen de déduire la valeur complette de u d’une valeur particulière renfer- 
mant deux confiantes arbitraires, fuppofons que cette valeur foie déterminée 
par une équation entre u, at, & y laquelle renferme outre cela deux 
confiantes a, & / 3 qui ne fe trouvent pas dans l’équation différentielle, 
il eft vifible que fi on différentie cette équation en forte que l’une des 
confiantes comme Q difparoiffe, on aura une équation différentielle qui 
fera néceflairement comparable à lapropofée du — pdx — qdy ~ o, 

6c 


BJÎS Sci.bn cps bj Behj^Letires. 



& d’où l’on pourra tirer par la comparaifon une. .valeur de p laquelle ren- 
fermera ^encore une confiante arbitraire «; en forte qu’on pourra cnfuite 
en déduire la valeur compler'te de u. Mais l’cquation en «, x, 6c y 
ne reofermoit qu’une conflantç, arbitraire- -S, ajoçs il efl vi/ible qu’en fai- 
Tant évanouir cette arbitraire par la différentiation, l’équation différentielle 
qui xn rcfultera ne renfermera plus de confiantes arbitraires; ainfi on ne 
trouvera qu’une valeur particulière de p qui n’aura point de confiante ar- 
bitraire, 6c qui fera par conféquent inutile pour la recherche de la valeur 
complette de u. • • 


ii. Il ne doit point au refie être' étonnant qu’une folution particulière,' 
qui renferme deux confiantes arbitraires, foit fuffifante pour en déduire la 
folution complette; car en y regardant de plus près on voit que cette 
folution remplit prefqu’en entier les conditions de l’équation différentielle, 
puifqu’on ne peut faire évanouir les deux confiantes arbitraires fans tomber 


dans une équation qui renferme à la fois les différences partielles ^ , Qt 


d u 


— ; eh effet, comme il y a deux quantités à éliminer, il faudra avoir trois 


équations; ainfi il en faudra ençore deux outre la propofee, ôc Ces deux 
ne peuvent venir que de deux différentiations différentes, l’une en faifànt 
varier „r, 6c l’autre en faifant varier y. 


On peut prouver de là même maniéré, que fi l’on a une fonélion u de 
trois variables,. v, y, laquelle dépende d’une équation différentielle du 


premier ordre entre u, .y, y, 6c 

• • • • *v 



du du 

d y* ’ 


6c qu’on ait une 


valeur particulière de u laquelle renferme trois confiantes arbitraires «, 
(3, y, cette valeur remplira prefqu’en entier les conditions du problè- 
me; car on ne pourra éliminer les trois confiantes qu’au moyen de -trois 
différentiations, l’une xélative à l’autre à y, 6c la irôifieme à £. 

Et ainfi de fuite. ’ 


Nouv. Mem. 1772 . 


Aaa 


%-j O NüllV'Ëiüx MtMOUÏS'D-É L*AcAd6mTB ROYALE 


I i. 


En général foit u une fonéliori de plufieurs variables x , y, 


du du 


£ &c. & foir donnée une équation entre u t x , y, £ &c. de — , — , 


ôcc. par laquelle il faille ffeterminer la valeur de u. Suppofons que 


du 

û l 

l’on ait pne valeur particulière de u, laquelle renferme les confiantes 
arbitraires «, y ôcc. donc le nombre foit égal à celui dçs variables 
x, y, £ &c.; qu’on en tire^la valeur d’une de ces confiantes çomm,e «, 
en force que Ton ait V — «, V étant une fonéfion de.#, x, y, 
l ôcc. & de (3, y &c.; qu’on différencie cette équation, ôc fuppo- 
lant dV ~ Mdu Pdx -f- @dy -f- R4( ôte.. on aura en 
divifant par M l’cquaiion 


, -i- 


ia + îh '+ î± ! -f &c. — 

‘ */ A/ ” M. f — 

. I . * ‘ ’ - i . - .J » v 


O. 


en 1 forte que — 


( Q du R 

Â?’ d7 ~ M 


ÔCC. 


P du 

. . -, . . ’ 

dx M à y Al ’ d{ 

& ces valeurs feront telles qu’elles fatisferont par l’bypothcfe à l’équation 
donnée. Maintenant comme la folution du problème dépend unique- 
ment de ce que l’équation précédente devient intégrable étant multipliée 
par Je faéèeur Mç- c’cft.à dire de ce que Mdu -f- Pdx -f- Qdy 
-f- ftd^ ôcc.. q£t une différentielle complctce de u , x, y, ^ ôcc. il eft 
clair que la folution aura lieu de même fi les quantités |3, y ôcc.} au 
lieu d’érre confiantes, font variables, pourvu que la meme différentielle 
continue à être complette ; or l’intégrale de cette différentielle, tant que 
P, y ôcc. font, confiantes, eft en force qu’on a dan» cette hyporhefè 
Mdu -f- Pdx -f- Qdy -f- Rdç -j- ôcc. ~ d K; mais fi on 
fegartfe ]3 comme variable, alors on aura Mdu -f- Pdx -j- Q$y 

-f Pd { -f ôcc. -f — dV\ donc Mdu Pdx -f Qdy 


dV 


-f- Rdç &c. — dV • — dpj . donc comme dV eft par 


dV 


elle -même une différentielle complette, il faudra que ~ df3 foit auffi 


DES SciBNCpS. BT B H t L B S - Le TTU R S. 


37* 


une quantité intégrable d’elle-même, ce qui ne peut avoir lieu à moins 
que ^ ne (bit égal à une fonction quelconque de 3. Ainfi fuppofant 
— f : j3, •& tirant de cette équation la valeur de P, on pourra la 


fubftituer à la place de (3, 6c l’on aura au lieu de l’équation V — «, 
celle-ci V — B ~ a, B étant ZI ff'.Q d/3; où il faut remar- 
quer que les quantités y &c. peuvent entrer d’une maniéré quelconque 
en qualité de conft. dans la fonétion f: & par conféquenc audi dans 
la fondioo B. Maintenant on pourra rendre de même variable la quan- 


tité y contenue dans V 6c B, 


en prenant 


d.(r — 

dy 


B) 



ce 


qui détermine y, 6c fubftituant enfuite cette valeur de y, on aura l’équa- 
tion V — B — C zz. a où C z y/:ydy; de ainfi de fuice. 


Par ce moyen l'intégrale incomplettc V ~ a deviendra de la for- 
me V — B — C — &c. Z *, & fera néccflairement complecte, 
puilqu’elle contiendra autant de fondions arbitraires qu’il y a*de variables' 
x y y, q &c. moins une. 


i 3 . Pour faire voir 1’ûlàge de cette méthode par un exemple très 


du 


général, fuppofons que X foit une fondion de — & x, que Y en loic 


du 


une de — 6c y, 

d y J 


du 


que Z en foit une de ^ 6c 


de ainfi de fuite, 

6c que l’on ait une équation donnée entre AT, Y, Z ôcc.', d’où il faille 
tirer la valeur de u\ comme le problème confifte à faire en forte que 
la quantité du — pdx — qdy — r df — ôcc. foit intégrable, ou 
par elle -même ou étant multipliée par un fadeur quelconque, en fup- 
pofant p ZI -p, y Z r — & cc ’ i ^ eft clair que la con- 


dition du problème fera remplie fi p eft une fondion de x feul, q de 
y feul, r de q feul &c.; or c’eft ce qui aura lieu fi on fait X, Y t 
Z ôcc. égales à des quantités confiantes ; car alors l’équation donnée fer- 

Aaa x 


37- Nouveaux Mémoikks de l’Académie Royalh &c. 

vira à déterminer une de ces confiantes par tontes les autres, en forte qu’il 
reliera autant de confiantes arbitraires (3, y &c. qu’il y aura de vanables 
x, y, ^ &c. moins une. De cette manière on aura V ~ u — f p dx 

- — J qày J r ^{ — &c. HZ a pour l’équation qui détermine la 

valeur particulière de u ; & comme cette valeur de u contient les confian- 
tes arbitraires *, 3, y &c. on pourra complcttcr la folution par la méthode 
expofée ci-dclTus. 


i 4 . Il cil clair qu’on peut généralifer encore le cas précédent, en fup- 
pofant que JV foit une fonélion quelconque de u, 6c que l’on ait X 


égal à une fondion de , 


dr 


& x. 


U' du 


Y une fonélion de , & y, 

é y ’ 

Z une fonélion de , &c p &c. car en faifant A', Y &c. confian- 


tes, on aura /> égal à une fonélion de x feul, divifée par IV, q égal 
à une fondion de y feule divifée de même par IV &c. de forte que la 
quantité d u — pdx — qày — r dp — &e. étant multipliée par fV 
deviendra iixégrable. 



NOUVEAUX 

MÉMOIRES 

D E 

L’ACADÉMIE ROYALE 

DES 

SCIENCES 

E T 

BELLES-LETTRES. 


CLASSE 

DE PHILOSOPHIE SPÉCULATIVE. 


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DISCOURS 

SUR LA QUESTION? 

Pourquoi .tant de per formes ont fi peu de goût , oar /néW ütt 
grand éloignement , />o*/r tout ce qui demande F exercice 
des facultés intellectuelles & une certaine contention d’efprit ? 
Et comment on pourroit reclifer leurs idées a cet 
a. égard ? 

Par M. F o r m r ÿ. 


L e mot d’n Prince des Poê'res Latins :' Neurenx les hommes s'ils Con • 
noijfoient leurs biens! (*) a toujours été vrai dans fa plus grand* 
univerfalité. Nous avons continuellement à notre portée des* avan- 
tages 1 fans nombre Ÿ que nous ne connoiffons pas, parce que nous fermons 
volontairement les yeux; nous les méprifons & les foulons aux pieds, parce 
que nous ne daignons pas fàvourer les douceurs que ces biens feroient capa- 
bles de nous procurer. Cette difpofition, déjà bien- étrange en elle-même, 
le paroit tout autrement quand on obferve quelle cft en raifon inver/e du 
prix des chofes. Moins elles- ont de valeur inrrihfèque, plus nous les eftimons 
& les recherchons. Ce qui peur réveiller & flatter nos fens, ce qui fert à 
nous amufer & à nous difliper, nous paroit inréreflàm: nous faifilTons, nous 
mettons à profit les moyens de jouir de cette forte d’objets, nous nous ré- 


(*) Felicet, fi fua bona norint I Virg. 


376 Nouveau» Mémoires de i’Académie Roïaib 

jouiffons de les acquérir, nous nous affligeons de les perdre. Mais les 
biens effectifs, qui fculs ont la double prérogative de conftitucr notre mé- 
rite réel, &c de nous frayer la route du vrai bonheur; ces biens par excel- 
lence, tantôt nous favons à peine s’ils exiftent, tantôt nous les entre- 
voyons, mais avec une parfaite indifférence; tantôt même ils nous déplai- 
fent, & nous nous refufons à toutes fortes de foins & de peines, quand il 
s’agit de nous les' approprier. 

Quels font ces biens? Ceux de l’ame, les lumières & les connoiffances, 
principe unique des vertus & de la félicité. Tandis que route notre vie de- 
vrbir être confacrée à développer & à perfectionner les fatuités de cette 
fubftance intelligente & immortelle, qui eft notre véritable Moi , nous ne 
nous occupons que de cette portion de matière qui y eft unie, de cette 
maifon d’argile qui fe détruit de jour en jour & qui va bientôt s’affaiffer. 
En vain l’on nous dit que nous n’emporterons avec nous que ce que nous 
aurons confié à cette ame, que les talens & les vertus dont elle^hira com- 
mencé ici bas, & pouffé auffi loin qu’il lui fera pofîible, l’exercice & l’accroif- 
fement: ce font autant de paroles perdues: nous reculons, je dirois pres- 
que que nous frémiffons à la propofirion de nous livrer à la culture de no- 
tre ame, autant & plus que s’il s’agiffoit des travaux les plus pénibles, les 
plus dégoûtans, les plus propres à faire de notre vie un tiffu d’amertumes, 
une chaîne de miferes. 

D’où vient une façon de penfer & d’agir qui répugne également aux 
principes de la faine raifon & à nos véritables intérêts? C’cft ce que je me 
propofe de rechercher dans ce Difcours; & je tâcherai de diriger cette re- 
cherche de façon que de la connoiflànce même des obftacles à l’exercice de 
nos facultés intellectuelles naiffe celle des remedes qui peuvent furmonter 
ces obftacles. 

I. 

i . Tout remonte dans l’homme Si l’éducation. Je fai bien qu’il j 
a des eaufes antérieures qui font dans le climat, dans les parens & 
même dans les ancêtres, dans la conftitution propre de chaque in- 
dividu qui vient au monde. Il y a des contrées où l’on refpire un air plus 

pur 


des Sciences et Beuss-Lhttrbs. 


377 

pur pour l’ame (*), fi je puis m’exprimer ainfi, tout comme pour le corps. 
On hérite du jugement, de l’imagination, de la mémoire, comme on hé- 
rite des défauts corporels &c des maladies invétérées. On a les organes de 
la penféc , (car on ne fauroit nier qu'elle ne tienne au méchanifme des or- 
ganes,) plus grofEers ou plus délicats, plus fouples ou plus roides. Com- 
me il nous eft impofîible d’influer en quoi que ce foit furtout cela , il feroic 
inutile de l’approfondir, au moins par rapporc au but de ce Difcours. 

Mais il en eft autrement de l’éducation; elle eft notre ouvrage: nous 
formons & façonnons à notre gré ces enfans qui nous appartiennent; 5c 
l’on peut dire que, généralement parlant, ils font 5c demeurent tels que 
nous les avons faits. On ne s’attend pas que j’entre ici dans l’immcnfe 
doétrine de l’éducation. Je n’en toucherai qu’un feul point. Le cara&crc 
primitif des enfans, c’eft la légèreté, l’inattention; on ne fàuroir les fixer : 
au moment où vous croyez qu’ils vous écoutent & vous fui vent, leurs yeux 
fe promènent, leur efprit bat la campagne, ils font à cent lieues de vous. 
Il faut beaucoup d’art 5c de dextérité pour obtenir d’eux qu’ils ftifTent quel- 
que chofê de fuivi, 5c qu’ils penfent à ce qu'ils font: ce n’cft que par une 
forte de progreflîon journalière 5c non-interrompue qu’on réuflit à cet égard; 
&c fi l’on n’y reuftit pas, il n’y a plus d éducation; lorfqu’on croit bâtir dans 
là fuite, c’eft en l’air & fans aucun fondemenr. 

On comprend donc d’abord que, fi l’on n’a pas mis les enfans dans la 
route de la réflexion 5c de la méditation, ou qu’on n’ait pas fu la leur rendre 
agréable, c’en eft fait pour le refte de leur vie; 5c qu’on ne doit pas s’at- 
tendre qu’ils feront, lorfque leurs fibres intellectuelles auront acquis de la 
confiftance 5c de la réfiftance, ce qu’ils n’ont pas fait lorfqu’cllcs feferoient 
prêtées 5c auroient pris le pli. A plus forre raifon, dans ces éducations qui 
font le plus grand nombre, où bien loin de fixer la légèreté des enfans, on 
la favorife 5c l’augmente , on les promène de diftra&ion en diftra&ion , de 
diftipation en dillipation, où l’on s’amufe de leur vain babil 5c on les excite 

(*) Datif un pays *ufli périt que l’etoit rie des elprits ftupides. Juvenal difoit de 
la Grèce, l’air de l’Attique pafibir pour pro- ctux-ci: 

duire des efpriu déliés, iSC celui de la Béo- Vervecum in pacrù, craffnqui fit acre nafei. 

iViuiv. Mcm. 1771 13 b b 


378 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

à lui donner une pleine carrière; il ne peut en réfulter autre chofc, fi non 
qu’on a fort bien élevé des Perroquets, (*), mais non des hommes. 

i. De l’éducation naît l’habitude, & cette habitude eft une fécondé 
nature. L’adolefcetic qui jufqua quinze ans a vécu fans réfléchir, n’ira pas 
le tourner de ce côté -là dans l’âge bouillant de la jeuneflè, dans le tourbil- 
lon des plaifirs, dans la fougue des paffions. Voilà pourtant les meilleurs 
tems, les plus beaux joirrs paffes: ceux qui fuivent ne fpnt pas propres à 
corriger les habitudes précédentes & à en contracter d’oppol'ées. Il y a à 
parier qu’un étourdi à vint ans fera encore un étourdi à foutante; que celui 
qui n’a fait que des riens dans le tems où il avoir les forces du corps 6c de 
l’efprit dans leur intégrité, où fon cerveau avoic une pureté, une fraîcheur, 
qu’on peut appciler vierges, ne fera pas des réalités, ne s’occupera pas de 
choies lcrieufes 6c folides, quand fes forces naturelles commenceront à dé- 
cliner, quand le champ du cerveau deviendra dur 6c difficile à défricher. 

3. Je trouve une troilicme caufe du dégoût des hommes pour tout tra- 
vail d’efprir, dans l’illufion des objets fenfibles. Ce font ceux qui nous af- 
fectent les premiers: nous en fommes environnés depuis le berceau jufqu’au 
tombeau. Leurs impreffîons nous tiennent donc, pour ainfi dire, fans 
celle alertes; clics rappellent notre ame du fond de fon domicile aux fron- 
tières de fon domaine, 6e, fi elles ne la privent pas de l’exercice de fes opé- 
rations intellectuelles, elles l’interrompent du moins 6c la troublent conti- 
nuellement. Tout cela cft dans l’ordre de la Nature, 6c jufqu’à un certain 
point dans l’intention de la Providence. Nous fommes placés ici bas pour 
nous confcrver 6c nous propager; pour vaquer à tout ce qui peut détourner 
notre deftruétion ou celle de la lociété. Ceux qui n’apperçoivent que ce 
premier point de vue, s’y bornent, 6c croient avoir rempli leur vocation 
kjrfqu’ils ont fait duement toutes les fonctions animales, 6c qu’on a pu les 
compter parmi les membres de la Société, comme on compte les pièces de 
bétail d’un troupeau (**). ; 

(*) Le PJîttacifmc cft le défaut, la maladie des Savans. Les vrais Phifolb-be* en Pont Peuls 
de tous ceux qui ne penfent pas; ce qui corn- exenits. 

prend non feulement le vulgaire, nuis la plupart .(**) Nos numerus fumvs, 5' fruges confumtrs nati . 


des Sciences et Belles-Lettres. 37^ 

4 . Les obftacles dont j’ai fait jufqu’ici l’énumération naiflent de l’hom- 
me même, ou des circonstances dans lesquelles il fe trouve placé. En 
voi.i d’autres dont la fource eSè dans la nature de l’objet, du travail & de 
l’application de l’eSjjrit, ou du moins dans les idées qu’on s’en fait, dans la 
m iniere dont on fe les représente. C’eSl d’abord comme ce qu’il y a de 
plus aride, de plus infipide & de plus rebutant. S’occuper d’idées, de qui 
plus eSt d’idées qu’il faut fimplifier, généralifer, reétifier, épurer, combi- 
ner & féconder, quelle tâche.' N’eft-ce pas marcher dans la région téné- 
breufe des ombres, s’enfoncer dans le pays immenSê des chimères? Com- 
ment faifir ce qui ne donne-aucune prife? Comment Concevoir ce qui n’a 
ni corps, ni couleur, ni figure, ni dimenfions, ni foliditc? Ainfi parlent 
ceux qu’on veut faire pafièr tout d’un coup des phénomènes aux réalités, 
des fenl'acions aux notions, de l’exercice de la force motrice à celui de la 
force repréfentative. J’avoue que la perfpeétive n’effc pas gracieufè pour 
eux; mais cela prouve d’autant mieux ce que j’ai die fur l’éducation & fur 
l’habitude, par. lesquelles feules on peur, au-moyen de quelques apprentifla- 
ges, de quelque partie du tenis employée à fe familiarifer avec ces objets, 
fe convaincre que, mieux connus, ils deviennent auffi rians, auffi attirans, 
6c même davantage que ceux des feos. Combien de Métaphysiciens 6c de 
Géomètres ont vécu plus dclicieufement au fe in des méditations les plus pro- 
fondes & des fpéculations les plus abstraites, que le pourceau d’Épicure (*) 
dans la fange des voluptés groflïercs, ou même que les Maîtres pafTés dans 
l’art de rafiner les plaifirs! Chacun eft attiré par quelque forte de plai- 
fir (**): il ne s’agic que de fe former le goût pour celui qui doit obtenir la 
préférence. Vous aurez autant de peine à détacher un enfant Studieux de 
Ses leçons &dc fes tâches, qu’à obtenir d’un enfant gâté qu’il renonce à quel- 
cune de fes fantaifies. 

5 . A l'idée de la féchercSîc, fe joint celle de la difficulté; 6c il eSl in- 
croyable combien les hommes s’exagèrent celle-ci. Oui, à la lettre, il y 
en a qui préféreroient de ramer la galere ou d ctre condamnés aux travaux 
des fortercSTcs, à l’obligation de palier le reSte de leur vie à penfer, à rai- 

(*) Epicuri de grege porcus. (’ *) Trahit fua qutmque voluptas. 

Bbb x 


38o Nouveaux iMïmoufs dk t’AcADiMiE Royalb 

former, à fe rendre compte à eux -mêmes de leurs idées, à les développer 
dans leur cerveau , ou fur le papier. Ce qui les confirme dans cette ré- 
pugnance, ce qui la rend invincible, c’eft que les premiers pas, furtour 
lorfqu’ils font tardifs, coûtent beaucoup. Mais eft -ce une raifon de per- 
dre courage, de de renoncer à l’entreprife , fi d’ailleurs on eft convaincu de 
fon importance? On a été arrêté au fécond pas; fi l’on avoit été jufqu’au 
quatrième, on auroit fenti un commencement de facilité; le fixieme atyoit 
été de plein pied: au dixième on auroit goûté le plaifir inféparable de l’ac- 
qui/ition de la vérité de du fenriment des progrès qu’on y fait. C’eft cc 
qui ne manque point d’arriver à ceux qui font un premier cours de Géonic-^ 
trie: ils fe croient d’abord en pays perdu; mais à mefure qu’ils avancent, ils 
découvrent tous les fentiers , ils fe démêlent de tous les défilés. 11 en cft 
de meme d’une philofophie fyftématique de de tout ce qui peut être traité 
feientifiquement. Tous les Volumes du célébré Wolff, lias dans leur or- 
dre, de avec une attention qui ceffe bientôt d’être une contention , coûtent 
réellement moins de peine à fuivre de à entendre que les Romans de Cyrus 
de de Clélic. Ceux qui devinent toutes les femaints une Enigme ou un 
Logogryphe, auroient lû tout Newton avec moins d’c/Fort de plus de fruit. 

6. Mais allons au vif, pénétrons dans les replis les plus fecrets du cœur 
humain, dévoilons ce que la faulfe honre s’efforce de cacher. Cette confé- 
dération de la fuivance produiront ces effets fur ceux qui voudront en profi- 
ter. Pourquoi ne cultive -c- on pas fênefprit, ou pour mieux dire, fon 
entendement, cette faculté fupérieure à laquelle ce qu’on nomme ordinai- 
rement efprit de talent font fort fubordonnés? C’eft qu’on croit de qu’on fê 
dit à foi -meme en fecret, qu’il n’y a rien à gagner? Tout autre travail eft 
payé, conduit à la fortune, aux richeffes, aux honneurs; celui-là feu!, 
celui d’avoir l’e/prit jufte, le raifonnement fa in, la vue de famé nette de 
perçante, celui-là feul demeure infruéhieux de ftérile. Si l’on a dit de la 
Vertu qu’elle recevoit des éloges, mais qu’on la laiftoit morfondre (*), le 
lot de la Raifon perfe&ionnéc cft moindre encore, on la méprife , on 
«’en raille, on laifle raifonner tout feul celui qui n’a que cette trifte faculté 

(*) yirtu* laudûtur 6 1 algtt. 


DES Scè«NCES ET B EULKS-LeT TRES. 


38 * 

en partage. Louis XIII. eut un favori, un Connétable, qui parvint à 
ce faîte d’élévation , parce qu’i! excclloit dans la charte aux petits oifeaux. 
Louis le Grand donna l’un des plus importans portes de l’État à un 
homme qui jouoit fupéricurcment au billard. Mais Bacon , l’immortel Bacon y 
eft mort difgracié & infolvablc. C’eÜ donc perdre fes peines & fon tem? 
que de fe former à penfer, candis qu’il fuffh d’êrre en état d’agir; de faire 
des efforts pour acquérir le fàvoir, tandis qu’on n’a befoin que de favoir-fai- 
re. Gardez-vous de conclure ainfi. Tout cela ne feroit pas même vrai, 
quand nous n’aurions à jouer qu’un rôle partager fur la feene de ce monde: 
le favoir (*) & la vertu n’y font pas toujours négligés & méprises; mais 
cela ert de toute faurtèté, dès- là que nous travaillons fous les yeux d’un 
Juge fupréme, aufli éclairé qu’inregre, dès - là que nous afpirons à une ré- 
munération infinie & immanquable. 

7. Fnfin qu’eft-ce qui nous dégoûte du travail intérieur? N'y en 
a-t-il point quelque autre raifon plus myftérieufc encore? Soyons de bon- 
ne foi. Nous n’aimons pas ce travail parce qu’il nous oblige à rentrer en 
nous-mêmes; & nous n’aimons pas à rentrer en nous- mêmes, parce que 
notre amour-propre en eft mortifié, parce que nous ne pouvons nous diffi- 
muler des défaucs, des vices, qui nous déplaifent auranr que déplaît à un 
homme laid de contrefait fon image que lui offre la glace trop fidcle d'un 
miroir. Je ne voudrois pas affirmer que l’homme, que tout homme ref- 
femblât au portrait que le Duc de la Rochefoucauld (**) en a fait dans 
fes Maximes; les traits m’en paroiffent trop révolcans, & on l’a accufé de 
les avoir copiés d’après lui -même. Mais on ne fauroic difeonvenir que le 
fond du cœur humain a bien des ombres & des taches, quelquefois même 
des plaies & des abfeès; & que cela ert encore plus à préfumer de ceux qui 
ont vécu longcems fans réflexion, de ceux qui ont négligé ou même craint 
de fe connoître & de fc fonder. Or, quand les chofes en font venues à ut» 

(*) LaifTrz dire le» fors: fe favoir a fon prix, trouve dms les Lettres de Madame de Sévig ni, 
Fait, dt la Font. Tom. III. p. 95. de l’Édir. en 8 Vol. de Paris 

(fous le rirre d’Amfierdam) 1756. Je crois que 
(**) M. Je la RochefaucaulJ a fiif on porrraif Te Cardinal de Ret { auroit pu peindre le Duc dans 
trî» délivantageux du Cardinal Je Ret {, qui fe le niAue goût, dtfr à dire, en vraie caricature. 

Iibb 3 


Nouveaux Mémoires de i/Aca»4*uk Royaie 

certain point à cet égard, on ne peut plus fe réfbudre à jetter le moindre 
coup d’œil fur foi -même, à faire le moindre acte réfléchi: on cherche plu- 
tôt à s’étourdir jufqu’à ce qu’on arrive au moment où le gouffre de l’avenir 
nous engloutit fans retour. 

Telles font, fi je ne me trompe, les vraies caufes de la difpofition fur la- 
quelle devoir rouler la première Partie de ce Difcours. J’ai infinué d’avance 
que les remedes en naîtraient immédiatement. Je crois donc pouvoir me 
difpenfer de revenir fur mes pas & d’entrer dans des difcufTions ultérieures 
fur des faits fufîifamment confiâtes. Je me bornerai à l’énoncé d’autant de 
Maximes que j’ai indiqué d’obûacles, que ces Maximes ferviront manifefte- 
ment à prévenir ou à détruire. Il ne s’agira que de les appliquer, ce qui 
ne furpaflera la portée de perfonne, & de les réduire en pratique , ce qui 
décidera du fuccès de ce Difcours. 

IL 

Maxime I. Dans l éducation , attachez-vous cT auJJ ‘bonne heure 
qu'il ejl pojjièle à former fefprit , & fur tout le jugement de vos éleves. On 
tombe ici dans diverfes fautes. i . On regarde les enfans comme des ma- 
chines, ou comme de fimples jouets, pendant un beaucoup trop, long efpa- 
ce de tems. Quand leur efpric perce, on ne s’attache qu’à leurs faillies, 
pour les exalter ou s’en divertir. C’efi pourtant ce qui devrait le moins in- 
térefler. La naiffance de leur raifon, & fes progrès, font des objets tout 
autrement dignes d’attention. Mais , par le plus étrange de tous les pro- 
cédés, on celTe de les carcfler, peu s’en faut que je ne difë de les aimer, 
dès que leurs folies enfantines prennent fin, de qu’ils montrent du penchant 
aux occupations férieufes. Alors on les abandonne à des Maîtres qui les 
enfeignent quelquefois de la maniéré la plus bifarre, foie en les occupant 
de minuties qui leur gâtent le goût, foit en leur débitant des chofes qu’ils 
ne font pas encore en état de comprendre, foit enfin avec une pédanterie &■ 
des rigueurs qui les rendent pour toute leur vie ennemis irréconciliables des 
études & de l’application. 

Maxime IL Que les parens , ou ceux qui en tiennent la place , /oient 
attentifs à former eux -mêmes dans leurs enfans ou éleves , l'habitude de pat- 


ues Sciences et B.ellbs-Lettrbs. 


383 

fer & de réfléchir. J’avoue à regret que j’impofe ici à la plupart d’entr’eux 
un devoir qu’ils ne fauroient remplir, puifque cette habitude leur manque à 
eux -memes, qu’ils (ont eux- mêmes légers & frivoles, llupides ou vicieux. 
Mais enfin je ne m’addreffe ici* & ne pourrai m’adreflèr dans toutes les 
Maximes que j’ai à propofer, qu’aux perlonnes qui font douées de qualités 
propres à les bien faifir 6c à les appliquer avec fuccès. Je les invite donc à 
rendre les en fa ns capables d'abord d’attention, & enfuite de réflexion; 
deux opérations qu’il faut bien diftinguer & fiibordonner. On exige 
d’abord 1’atrention : il faut qu’un enfant ccfle de voltiger, & qu’il s’occupe 
d’une feule & même chofe pendant un terns déterminé, bien entendu que 
cette chofe foit à fa portée, & que ce tems n’cxcede pas certaines bornes, 
qui feront dans les commencemens fort rclTerrées, 6c iront enluitc en crcif- 
fanr. Quand on a gagné ce point que je tiens pour capiral, £c qui eft pour 
l’ordinaire le plus difficile, on raifonne avec fes élevés , & on les invite à 
raifonner, en ne s’élevant jamais au-deflus de leur fphere. Vous les voyez 
(è prêter volontiers à cet exercice, le rechercher, y trouver du plaifir. 
Alors vous êtes dans la bonne voie, il ne s’agit plus que de la fuivre. 
Vous ne ferez plus rien encrer dans le /prit des enfans qui ne foie muni du 
fccau de la raifbn, pour m’exprimer ainfi : ils ne jugeront plus avec précipi- 
tation, ils céderont d être decififsj &, dans tous les cas qui fc préfente- 
ront, ils voudront voir, examiner, &c s’aflurer de ce qui peut être connu, 
avant que de prendre un parti, d’enoneçr pofirivement une affirmation ou 
une négation. < . 

Maxime III. Prévenez Us impr.ejjions trop fortes des objets JerflbUs 
qui pourraient traverjer Us bons effets des deux Maximes précédentes. Il ne 
faut pas détruire d’une main ce que l’on édifie de l’autre. Si l’on veut for? 
mer des cleves appliqués 6c qui deviennent intelligcns, on ne doit pas les 
diffi airc foi- même, les diffiper, «Se leur meccre en tête l’envie de jouir de tous 
les plaifirs qui font à leur portée. Voilà ce qui rend 1 éducation des enfans 
des Grands beaucoup plus difficile que celle des enfans des petits. Ils ent 
continuellement autour d’eux tout ce qui excite la vanité, entretient le luxe, «Se 
fert d’amorce aux différentes cfpccc* delà fenfualité. Si l'on ne les ifolc jufqu’à 


Nouveaux Mémoires ue l’Académie Royale 

un certain point de ces diftraétions de de ces tentations, ils n’auront d’yeux 
de d’oreilles, de génie ic de goût, d’attention &c d’application que pour la 
bagatelle, de bientôt après pour les écarts de les excès. On pourroit leur 
montrer dans ces objets des caradercs de vanité propres à les leur faire mé- 
diter: on pourroit les entretenir des dangers qu’on court en s’y livrant, & 
leur mettre fous les yeux les exemples de ceux qui en ont été les vi&imes. 
Il n’y a qu’à lire dans Horace, comment fon pcrc le menoit à la fagefie de à 
la vertu au milieu des écueils du monde. Mais Horace a- 1 - il été bien fage 
6c bien vertueux : 6c de fon propre aveu, n’a - 1 - il pas mené, tant qu’il a pu, 
la vie d’un agréable débauché? Il y a donc un meilleur parti à prendre, c’eft 
celui de la retraite 6c de la fuite. Éloignez aufli longtems que vous le 
pourrez 6c que les circonftances de votre état le permettront, Je Monde de 
la mondanité des yeux de vos éleves: procurez-leur des plaifirs purs 6 c (im- 
pies, doux & innocens; car, Ci vous leur en iaiflcz trop tôt apptreevoir de 
goûter d’autres, ils perdront leur docilité, ils vous -échapperont, & fembla- 
bles à des courfiers qui ont rompu leur lien, vous les verrez galopper à tra- 
vers champs, fans pouvoir les rattraper. 

Maximes IV. V. VI. Rende ç la route de la réflexion agréable. 
Rende j - la facile. Rendeç-la utile. C’eft ainfi que vous détruirez les 
trois obftaclcs indiqués dans les Articles 4 . 5 6c. 6. de la première Partie. 
Je ne faurois détailler ici routes les pratiques 6c routes les précautions nécef- 
faircs pour tirer de ces Maximes les fruits dont elles font fufceptibles ; ce fe- 
roit écrire un Traité d’éducation complet. Je me borne donc à dire que 
l ’ agrément dépend furtout de la clarté avec laquelle on enfeigne, de l’af- 
fe&ion qu’on témoigne à (es difciples, ôc de mille petits focrets particuliers 
que de bons 6c fages Maîtres favent diverfiHcr pour réveiller de foutenir l’at- 
tention, pour faire que les heures qu’ils donnent foient défirées, qu’on les 
voie commencer avec une vive (àtisfaftion de finir avec un vrai regret. Cela 
s’étend aux entretiens que des parens fenfés ont avec leurs enfans: ces en- 
tretiens vaudroient encore mieux que toutes les leçons, fi l’on favoit les mé- 
nager de les diriger à leur véritable but, à rendre les enfans journellement 

plus 


bes Sciences et Belles-Leitb.es. 


385 

plus éclairés & meilleurs. Mais, ou le* peres & les meres ne parlent point 
à leurs en fans, ou ils ne leur difent que des inutilités, ou ils ont des hau- 
teurs, des rudeffes, qui banniflènt bientôt toute confiance. La facilité 
naîtra de l’ordre & d’une fuite non-iaterrompue d’occupations. Sans l’or- 
dre, on ne fait qu’un chaos de la tctc de fes élevés: & quand on fuivroit 
un afiez bon ordre, la trop grande multitude de chofes qu’on enfeigne pour 
l’ordinaire à la fois, fait qu’elles s’embrouillent & s’étouffent réciproque- 
ment, lors même que des dilciples appliqués fouhaitenr & tâchent de fe les 
approprier toutes. Mais -ce qui mérite le plus d’attention, ce qui influe le 
plus fur les éducations, c’eft que le travail foit réglé de quotidien ('). 
Rien de plus funefte aux études & aux progrès que ces lacunes qu’on nom- 
me, vacances, ces féjours à la campagne, ou toute autre interruption de 
quelque durée. L’excellente difpolition à s’occuper tous les jours, qui 
avoir coûté des années à acquérir, peut s’afEoiblir en huit jours, fe détruire 
en un mois, après lequel il fera plus difficile de la recouvrer qu’il he l’avoit 
été d’y parvenir. Il eft déjà très fâcheux que les maladies, qui ne dépen- 
dent pas de notre volonté, viennent à la traverfè, .& dérangent les meil- 
leurs plans, gâtent quelquefois les meilleurs caractères. Au moins ne faut- 
il pas donner lieu foi -même à des inconvénicns qui deviennent Bientôt ir- 
rémédiables. Enfin Yutilitê fera la compagne inféparable du travail agréa- 
ble & facile. Un enfant, à plus forte raifon un adolefcent, qui fera con- 
vaincu par fa propre expérience, par l'on propre fentiment, que depuis un 
an par exemple, il fait beaucoup plus de chofes bonnes à favoir, oa qu’il 
les fait beaucoup mieux ; que tous les jours fes connoilfances s’étendenc, fon 
jugement fe fortifie ; un enfant qui, par le feul principe d’une noble émula- 
tion, aura devancé fes compagnons d’étude; qui, fans être trop flatté ni 
applaudi, verra que fès parens fie fes maîtres font contcns de lui , & lui ren- 
dent dans l’occafion les témoignages les plus avantageux; un tel éleve re- 
cueillera les fruits aétuels de fes progrès, de comprendra fans peine que d’au- 
tres fruirs beaucoup plus précieux l’attendent s’il ne fe relâche point, qu’il 
obtiendra des polies confidérables, qu’il les remplira avec honneur, &c qu’il 
(*) Nulla dus fine linea. 

Souv. Man. i 77a. 


Ccc 


38^ Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

jouira dans la fodceé de tous les avantages de de tous les agrémens qui peu- 
vent rendre la vie douce & heureufe. Si avec cela on lui donne les in- 
ftruâions les plus effèmielles de toutes, celles de la Religion, fi on les in- 
culque dans Ibn efprit, fi on les grave dans fon cœur, la perfpc&ive d’un 
bonheur fort au-deffus de celui qu’on peut goûter ici bas, achèvera de l’ani- 
mer & de l'enflammer, lui fera furmonrer toutes les difficultés, applanir tous 
les obflacles: & c’eft ce qui me conduit à ma derniere Maxime. 

Maxime VII. Par la liaij'on des lumières & des vertus rendeç 
P intérieur toujours attrayant, afin que la crainte de fit connoitrc ne détour- 
ne jamais des opérations intellecluelles. Il n’y. a point de fageffie fans vertu; 
& pour un Chrétien, il n ; y a point de vertu làns piété. Quand on par- 
viendroit a former les génies les plus difiingués; quand on les verroit s’éle- 
ver aux premiers rangs dans la République des Lettres, ou dans la fociété; 
s’ils lonc avec cela méchans, faux, vains, vicieux furtout 6c impies, il vau- 
droit mieux qu’ils n’euflent jamais cxiffé, ou qu’on ne leur eût jamais pro- 
curé les connoiflfances ôc les talens dont ils font un fi funefte abus. De 
telles gens font bien plus l’opprobre & le fléau de leur fiée le qu’ils n’en font 
l’ornement ôc la gloire. Audi, malgré toute leur réputation, malgré les 
chefs- d’œuvre qu’ils ont produits dans certains genres, on peut dire qu’ils 
ne favent ni penfer, ni réfléchir, que leur jugement eft une machine détra- 
quée, Ôc leur entendement encore à naître. Cependant ce font des feux 
folets qui égarent le plus grand nombre de ceux qui entrent dans le monde, 
& qui les conduifent droit au précipice. Oh! que leur intérieur doit ctre 
un fombre manoir! J’entcns les ferpens de l’Envie qui y fifflenr, je vois les 
crins de la Difcorde qui s’y hériffent: toutes les Furies y habitent: Cerberc 
fait retentir 1 entrée de fes hurlemens; & quand Charon les aura pafles dans 
fà barque, ils iront partager le fort des Ixions ôc des Sifypbes. 




res Sciences et Belles-Lettres. 


387 


5 


application 

DU PRINCIPE DE LA RAISON SUFFISANTE 

a la dcmonfl ration d’un Tliéoreme de M. Fermât fur les 
nombres polygonaux, qui n’a point encore été 

démontré. (*) 

Par M. Becueliîi. 


C ’eft une choie finguliere , & quî femble mériter également f attention 
des Philofophcs, de des Analyftcs, que la première, la plus élémen- 
taire des fcicnces exactes, «l'Arithmétique foie précifément celle où il eft le 
plus difficile de démontrer un grand nombre de théorèmes, de la certitude 
desquels on eft néanmoins convaincu depuis longtems. Il Icmble que dans 
une fcience /I évidente, donc les élémens font fi bien connus. 6c fi exacte- 
ment déterminés, il ne devroic y avoir aucun rapport qui ne pût erre aisé- 
ment découvert a priori, & qui ne fût fufceptible d’une démonftration clai- 
re & direde. Cependant c’eft le contraire qui arrive le plus fouvent. La 
plupart des théorèmes fur les nombres n’ont été apperçus que par l’in— 
duétion; plufieurs d’entr’eux ne font point démontrés encore; &c ceux qui 
le font, font été pour l’ordinaire par des voies fi détournées , de d’une ma- 
niéré fi indirecte, que leur démonftration ne répand que peu ou point de 
jour fur la nature même des nombres, &c fur la liaifon des véricés que cette 
fciencc renferme» 

On auroit tort de penfer que c’eft la fimplicité de ces thcorcmes qui en 
rend la démonftration fi difficile. Il eft vrai que les notions les plus (im- 
pies, font les moins fufceptibles d’être dcmoncrées; mais ce n eft que lors- 
qu’elles font par elles -mêmes plus évidentes que les principes qui entre- 
{*) Lû à l'Acadéiufi k 3 Die. 1771. 


Ccc Z 


388 Nouveaux Mémoires de i’Académib Rotaib 

roicnr dans la preuve. Or les théorèmes donc je veux parler nont point 
cette évidence - là. 

On pourroic plutôt dire, que comme la diverfitc des rapports entre les 
nombres s’étend à l’infini, leurs combinaifons deviennent fi compliquées, 
que Pefpric de l’homme eft trop borné pour les déméler; mais cette ré- 
flexion prouve Amplement qu’il peut y avoir une infinité de théorèmes - 
d’arithmétique que nous ne connoilfons point; elle n’explique pas encore 
diftinâemenc pourquoi les théorèmes qu’on connoit fone fi difficiles à dé- 
montrer, tandis qu’il eft cercain que chaque théorème tient à tous les autres, 
& qu’il defeend par une gradation dire&e du plus fimple de tous. 

Je crois appercevoir, fans néanmoins prétendre l’affirmer généralement, 
que la véritable folution de ce paradoxe Te trouve dans la nature même des 
théorèmes d’arithmétique donc il eft ici queftion. Ils ne font pas en tout 
fens d’une nécefficé géométrique; ils tiennent en partie au principe de la 
raifon fuffifante, & en partie à celui de la coatradiftion ; 6 c comme les 
méthodes de I’Analyfe ne font fondées que fur ce dernier principe, il n’eft 
pas étonnant qu’en cherchant par ces méchodes feules la démonftration d’un 
tel théorème, ou fe trouve enfermé dans un cercle qui ramene pour l’ordi- 
naire au même point d’où l’on étoit parti. 

Pour expliquer ma penfée, je l’appliquerai au théorème qui doic faire 
I’objec de ce Mémoire. Ce théorème que Mr. Fermât a annoncé le pre- 
mier, mais fans en donner la démonftration, c’eft que tout nombre entier 
peut être exprimé par autant de nombres polygonaux, tout au plus, que le 
polygone conricnc de côtés. Perfonne n’a encore démontré ce théorème 
ni dans fa généralité, ni dans aucun cas particulier, excepté celui du quar- 
ré ; dont Mr. de la Grange a donné l’hiftoire < 5 c la démonftration completce 
dans nos Mémoires de 1770. • 

Il eft ai fé de juger par l’analogie que tous ces cas particuliers doivent tenir 
fucccffivement les uns aux autres, &c que c’eft le plus fimple qui devroit 
conduire aux plus compofës. Il fembloit donc naturel de commencer par 
le théorème fur les nombres triangulaires, pour pafTer de là aux quarrés & 
aux polygones fupérieurs; mais c’eft que dans tous ces cas, & même dans 


des Sciences et Belles-Lettres. 38 f 

le plus fimple, l’inconvénient donr j’ai parlé fe retrouve toujours. Ces 
théorèmes ne font pas d’une néceffiré abfolue en tour fens; & il n’eft. pas 
facile par conféquenc d’y appliquer le principe de la contradiétion. It n’im- 
plique pas qu’un nombre entier, qui eft la fomme de i ou de z ou de 3 
triangulaires, ne foit en même tems la fomme d’un plus grand nombre de 
trigones. S’il étoic impo/Iible que les nombres compofés d’une certaine 
quantité de quarrés, puflent l'êtré d’une autre quantité, le théorème parti- 
culier de Bachet fur le cas des quarrés auroit pû êrre démontré auffi aifément 
en Arithmétique, que celui de l’égalité de la fomme. des trois angles d’un 
triangle h 180 degrés l’eft en Géométrie. Les propofitions géométri- 
ques ont une double néceffité, s’il eft permis d’employer cette expreffion; 
l’une c’eft qu’il implique contradiction qu’elles ne foient pas vraies , & l’au- 
tre qu’il eft impoffible que la chofe foie d’une autre maniéré. Nos théorè- 
mes arithmétiques n’ont que la première de ces deux néceffirés; il eft de 
néeeflité que tour nombre entier puifle être décompofé tout au plus en qua- 
tre quarrés; mais il eft fi peu impoffible qu’il renferme plus de quatre quar- 
rés, qu’au contraire la chofe eft inconceftable à l’égard de tout nombre au- 
deffus de 4. 

Cerce différence efîènticlle enrre ccs théorèmes d’arithmétique, 6 c 
ceux de géométrie, exige donc auflï une diverficé dans la maniéré de les 
démontrer; comme dans les premiers il n’eft proprement queftion que 
d’unc fimple poffibilité, confiante à la vérité, mais nullement exclufive, il 
femble qu’il eft naturel de recourir au principe qui fonde & qui explique la 
poffibilité des chofes, je veux dire, au principe de la raifon fuffifante, qui 
doit fuppléer ici à la difficulté qu’il y a d’appliquer directement le principe 
de la contradiction. C’eft en cherchant dans la nature même des nombres 
la raifon de certaines propriétés, qu’on peut s’affurer que ces propriétés ne 
font pas purement accidentelles; affurance que la fimple induction ne fà ti- 
roir donner. Et fi cette méthode n’eft pas auffi exaéte que celle qui eft 
fondée fur le principe de contradiction , elle a au moins l’avantage de répan- 
dre plus de jour fur l’objet qu’elle embraffe, que ne le feroit une démonflra- 
tion rigoureufe , à laquelle on n’arriveroie que par des routes indirectes «St 
détournées. Ccc 3 


Ipo Nouveaux Mémoires de l’Ac a dé-mi e Royale 

PROBLEME , 

Une férié quelconque de nombres polygonaux étant donnée , trouver combien 
de termes de cette- férié peuvent fujfire pour repréfenter un nombre entier 
quelconque qui nexcede pas le plus grand terme de la férié, 

CONSIDÉRATIONS PRÉLIMINAIRES, 
i , Soit la férié propofëp félon l’ordre de Ces termes : 
i, A, B, C, A E, F, G, , . , . _¥, F, 

Comme dans les fériés polygonales la fécondé différence eft confiante, fort 
cette fécondé différence ZT d t on aura par conféquenr les premières diffé- 
rences comme fuie ; 

o , d —J— i , 2 .d 4 * J , "tfd i , q. d -j— i y , tid —f— i , 

ce qui donne la valeur de chaque terme de la férié, fa voir: 


A zz 

d 4 " 

Z 

B zz 

3 d 4 - 

3 

c — 

6d -f 

4 

D zz 

I o d -f- 

5 

E zz 

i 5 d -f 

6 

• F — 

2-1 </ -f- 

7 

G ~ 

A 

l8 d 

• 

S 

• 

X zz 

1 * 

(■"“ + 

M + « + 


A» r 3" + A 7 i i 

— c — ï — ) d + n + *• 


a. Remarque i. Il eft évident qu’au delà du terme B , 
tout terme eft plus petit que le double du terme qui le précède immédiate- 
ment, puilqu’on a: 


des Sciences ht Belles-Lettres. 


39 l 


c 


a B — 

0 d 

X 

D 

~ . 

x C — 

%d 

— 3 

E 

HZ 

xZ> — 

5^ 

— 4 

F 

— 

ÎE — 

9 d 

— 5 

G 

• 

— 

x F — 

iqd 

9 

— 6 

9 

X 


— 

• 

Snn . 



n 


+ i. 


$. 3. Remarque x. On peut obferver en paffant qu’t/n nombre 
polygonal quelconque, plus le polygonal qui le précédé de deux places , ejl égal 
au double du polygonal immédiatement précédent , plus la différence ton - 
ftante d. Car fois le terme T de la férié, la différence de ce terme au fui- 
vant V étant pofée HZ D, on a T D ZH V, donc X HZ 
V d -f- d-, donc X + T-nV-^T+D + d — 

iV 4 - d. 

4. Remarque 3 ' Puifque nd t eft la différence du 
terme quelconque X à fon conféqucrit Y , le plus grand nombre entier 
qui précédé le polygonal Y e/l X -f- nd* Or l’excès de x V fur X 

eft d -*f- n — 1 4 (§, 1 .) Ainfi l’excès de 1 V fur 

X -f- nd eft ~ -f* n — I. Cet excès eft pofitif 

dès que n > 4 ; il l’eft meme dans le cas de n z 4, fi en même tems 
on ù d Hz. 1 , parce qu’alors 3 — x d HZ -f" i - 

§. <$ . Proposition h Si le nombre entier e tombe enrre le 
premier & le fecofld terme i, & X, de la férié polygonale, le plus grand 
nombre t de polygonaux requis pour repréfenter e eft: t zz d -f- î. 

Cela eft évident* puifqu’il n’y a ici qùe le feul ternie 1 qui puiffe erre 
employé à repréfenter r* de que la plus grande valeur de e eft e HZ 
A — 1 ZH d i, 


5 )z Nouveaux Mémoires dh l’Académie Royalh 

§. 6. Propos, z. Si e tombe entre A & 5 , le plus grand 
nombre t de termes de 1a férié requis pour repréfenter e, fera: t ~d - f- z. 

Ici le maximum de e eft ~ B — i ' — 3 d -j- z — 2 .A 
-f- d — z, qui donne t ~ d, & le maximum de t eft, A -J- d -j- i } 
qui donne t ~ d -f- 2-. 

7. Propos. 3. Si e tombe entre B 6c C, le maximum de 
f eft encore t zz d -j- a. 

Car ici le maximum de c eft e C — 1 — ^ -f- 2^ -f- d 4, 

qui donne t ~ d — 1 . 

Le feul cas douteux qui k préfente ici c’eft celui de t — B -j- A 
-f à 4- 1, quidonneroit t — d -j- 3. Mais décompofant B on a 
e — 4^ -j- à — 2, qui donne t — d -f- z. 

§. 8- Propos. 4- Si e .tombe entre C < 3 c Z>, le maximum 
de f eft encore t z (/ -f 2. 

Car ici le maximum de e eft, e — D — 1 — C -f- +d — 

C -h 3^4 -f- d — 6, qui donne t ~ d — 2. 

Il n’y a ici que deux cas douteux. Le premier , qui ne renferme qu’un feul 
nombre, eft le cas de e ~ C A -f d -\- 1. Mais décompo- 

fanc C 2 B — 2, -on a / — 2 B ~-j— A. —j— d — - j } çç qui 

donne t ZZ d 2. 

Le fécond cas douteux renferme les deux nombres e — C -f- 2.^ 
-f- à, & e zz C -f- zA -f- d -f- i . Le premier fe décompofc 

en z B z A d — 2. Le fécond en B - f - 5 A -f- d 5. 

Donc t — d -j- 2. 

NB- c/ — S ne fauroit être ici négatif, puifque B -f- $A -f d 5 

— 9 d -f- 10, de que cet intervalle ne va que jufqu’à D — 

10 d -f- 5 ; ainfi x/ > 4. 

$. 9. Propos. 5. Si le nombre e tombe entre & £, le 
maximum de t eft encore t — d - f- 2. 


Ici 


des Sciences et Belles-Lettres. 


393 

Ici le maximum de c eft e zz i 5 c / -J- ç — £) -{- 4 -j- </ — 8> 

ce qui donne t ~ d — 3* 

I! ne peur y avoir ici que trois cas douteux , dont le premier embraflè un 
nombre, le fécond deux nombres, & le troifieme trois nombres confécutifs. 

Le I. Cas douteux eft e — D-l~A-f-d-j-i — 
izd -j- 8* Mais décompofant D — C -j- B -j- d — z, on a 
ezz C B -{- A zd — i — C-f-B+zA+d — 3, 
ce qui, lorfque d — 3 efl poficif, donne t ~ d -j- i, & dans tous 
les cas on a B -j- z A -j- d — 3 ~ C, donc ce cas -ci donne 
e ~ zC y donc t ~ z. 

Le II. Cas douteux eft i°. t ~ D -j- z A -|- d, z a . c -f- i 
= D -f- zA -j- d -f i. 

Or décompofant D en C -|- B -f- d — 2, on a g — C 
-f - B zA -\- zd — 2, & zA-\-zd — 2 — 3 A -f- d — 4 

ZZ B -f- d — 1, donc e ~ C -{- 2 B d — 1, ce qui 

donne t ~ d -f- 2. Le nombre fuivant e -f- 1 feroit ~ C 
-f- zB -f- d, 2 c décompofant B on z e -f- 1 ~ C -j- B 

-j- 3 A -j- d — 3. Or d — 3 ne peut jamais écre négatif 
ici, puilque e -f- 1 ~ 1 3 d 1 o , donne, en pofant d — z, 36-, 
2c que le maxinunn de e{\jd 5) ne donneroic que 35. 

Le III. Cas douteux embrafte trois nombres, e ZZ D -j- 3 A -f- d — 1 , 
e -f- 1, & e -f- 2, ou 1 4</ -f- 1 o, 1 1, 1 2. 

Or en décompofant D en C -j- B -j- A — 4, on a g — C 
-j- B -f- 4 A -f - d — 5, ce qui donne t ~ d -j- 1: ou lorfque 
d — 5 eft négatif, on reéompofe 3-^» en Z/ -j- 3, & l’on a 

e n C-f- 2# -j- t/ — 2, donc e ~ d -j- 2. Car d — - 2 ne 

peut jamais être négatif ici, comme il eft aifé de s’en convaincre; le nom- 
bre e -j- 1 feroie donc “ C -f- zB A -\- d — 1, ce qui donne- 
roit t ZZ d -f- 3; mais décompofant un 5 , il devient C - j- B -j- 4 A 
-f- d — 4, donc t ~ d -f- 2 2c d — 4 ne fauroit être négatif. 

Nikiv. Mém. 1771. Ddd 


3?4 


Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


Le nombre e -j- z donneroit donc e -J- z zz C -j- B -f- $A 
-}- d — 3, donc t ZZ d -f- 3. Mais en décompofant B , on a e -j- 2 
~ C-f- 7.^ d — 6 , donc r ZZ -f- z. 

NB. Ici d — 6 ne fauroit être négatif, puifque d ZZ 5 donne 14^ 
-f- 1 i ZZ 1 5*/ -f- 7, ce qui excédé E. 


§. 10. Propos. 6. Si le nombre e tombe entre les termes E 
te F, la plus grande valeur de t cil encore d -f- z. 


Le maximum de e elt ici : e z z 1 d -f- 6 zz E -f- 5 A -f- d — 1 o. 
Il ne peut y avoir ici que quatre cas douteux : 

I. e zz E A d 1 1 nombre. 

II. e zz E xA d\ d-\- 1 z nombres. 

III. e zz £’ -f- t, A d — 1; d', d- f- 1 . . . 3 nombres. 

IV'. e zz E-\~j\A-\-d — z; d — 1; d ; d -f- 1 ... 4 nombres. 

I. Décompofant E ~ D -\- 5^-f- 1, on a e~D-f- 7^/ — 4 . 


Mais 6 d -f- 4 iz C, donc f ZZ D -f- C -j- d, donc t zz d -f- z. 

II. Le nombre E zA -j- d ell donc zzD-\-C-\-A-\-d — 1, 
qui donne t ZZ d -f- z. 

Le nombre fuivant donneroit ici t ZZ d -f- 3. Mais décompofant 
C z zB — z , ce nombre devient ZZ -D -j- z£ -f- A -f- d — z , le- 
quel donne t ~ d z. 

III. Le nombre E -f- 3 A -f- d — 1 devient (en décompofant E 
en zC -\- B — 5) zz zC -f- zB -f- d — 3 , donc t zz d -f- 1 , 6 c 
d — 3 ne fauroit être négatif ici. Donc le fécond nombre e zz z C 
-{- iB d — z donne t zz d -f- z. 

Le nombre fuivant donneroit t ZZ d -f- 3. Mais décompofant B 
en 3 A — 3, on a ici e ZZ zC -f- B -f- $A -j- d — 4, donc 
r ZZ d -}- 2, & d — 4 ne fauroit être négatif. 

IV. Le nombre E - f- qA -f - d — z fe décompofc en D -\~ C 
-f- 3 A-\-d — 3, donc r ZZ t/ -f- z. Ici d — 3 n’ell jamais négatif. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


3?5 

Pour le nombre fuivant, il faut encore décompofer C en zB — z, 
& l’on a e — D zB -\- d — 4, donc t — d -J- z. 

Le 3 e nombre donne e ~ C -j- 4 B -f- A -f- d — 4, donc 
t zz d -j- Z. 

Enfin le 4 e nombre E-\-qA-\-d-\-i fe rcfoud en C -j- }B 
-f- 4^4 -j - d — 6 , donc r zz 4 a. 

§. 11. Propos, y. Si le nombre e combe entre F & G, le 
maximum de f efl: encore f ZI d -f- Z. 

Ici la plus grande valeir de c elè e ZZ F -f- <L 4 -f- J — 1 2. zz 

-f- 7. 

Il ne peut y avoir ici que cinq Cas douteux 

I. e zz F A d -J- 1 nomb. 

II. e ~ F-\- zA-\- d y d-\-i z - - 

III. e zz B -j- 3 A d — 1 , -j- dy -j- d -f- 1 . . . . 3 _ _ 

IV. e zz I* -j- <\A -j- d — Zy -)- d — 1 y -j- dy d x . . 4 - - 

V. t zz I 7 — j— 5 si — (- d — 3 ? ^ — 2.» d — i y d \ d -j- i ... 5 - - 

7 . Cas douteux. 

Décompofant F zz E -j- C — 3 > ona c — E -j- C -j- A -f~ d — i t 
& t d -f- T . 

Mais fi d — z eft négatif, on aura au moins d Z i, & l’on a 
e ~ z D A y ou zz F -J- zii ; & dans les deux cas t — 3 _ — d-f- z. 

1 1 . Cas douteux. 

i er nombre e zz F-f- i ^4 -{- t/. Ici F fc décompofc en F -j- C — 3, 

ce qui donne e ~ E C zA -f- d 3, donc t ZZ d-f- 1, & 

lorfque J — 3 eft négatif, il faut décompofer E ~ D -f- B zA — 6”, 
& l’on aura: e zz D -f- C -f- B -f- <%A -f- d — 9. Mais C-f- 4^4 — 7 
— F), donc e ~ z D B -f- d — z, & t — d -j- 1. 

Si d — z elt encore négatif, ona 1/ z 1, & recompofant on a 
f — F -f- F — 1 , ce qui donne t ZZ 3 ZZ d -f- i. 

Le z* 1 nombre n’a point de difficulté, puifqu’il donne d’abord e ~ zD 

B -\- d — 1, & t — d -j- z. 


Ddd i 


3 Nouveaux Mémoires de l’Académie Rüyaib 

III. Cas douteux. 

i" nombre e tz F -f- 3-^4 -f- à — i zz E -|- C -f- B 

-j- d — i, donne t ~ d - f- 2. 

s/ nombre e ZZ I -f- 3-^ “f" d ZZ E -j- -}- d 2 , 

donne t ZZ d ~f- 2 . 

NB. Ici d — 2 ne fauroic être négatif. 

y nombre e zz F -f- 3-^4 -f- d -f- i ~ E-j- xB -j- 3^~h d — 4, 
donne t zz d -{- 2. 

NB. Ici d ne fauroic être moindre que 2. 

Mais fi Ton a d ZZ 3 , il faut décompofer £, & rccompofer les ter- 
mes inférieurs, & l’on aura c z H -f- 2C -f- xA -j- d — 3, 
donc / ZZ d -f- 2. 

I V. Cas douteux. 

1 er nombre e ZI £ -j- 4-<4 -{- d — 2 ; or .F ZZ £ -f- C — 3, & 
3-4 zz B -f* 3, donc t z: £ -j- C B A d — 2, donc 
t ZZ 4 -f- 2. 

NB. Ici — 2 ne fauroit plus être négatif 

2 d nombre « z £ -f- C -f- B -j- A -f- d — 1 exige la 
décompofition de C, & donne f z £ -f" 3^ -{- -<4 -j- d — 3 > 
donc r z d -f- 2. 

NB. Ici d — 3 nc fauroit plus être négatif. 

y nombre fz£-)-3^4‘^ + ^ — 11 exige la décom- 
pofition de £ ZZ D B - f- 2^4 6, qui donne e zz D -f- 4$ 

yA -f- d — 8, de en recompofant les inférieurs, E ~ IJ -j- C 
-j- 3 B -j- d — 3, donc t ZZ d -j- 2. 

4 e nombre f z B -f- C -j- 3 # -f- d — Ici il faut une 
décompofition, & il fuffit de décompofer B , puifqu’ici d — 5 ne fe- 
rme pas négatif ; on a donc e z D -f- C -f- 2# -f- 3 A -f- d — 5, 
& f Z 1/ -f 1 * 


des Sciences thï ' Bei.ees-Lettr.es. 


3?7 


V. Cas douteux. 

i CT nombre e ZZ F -(- } A -f- d — 3. II faut décompofer 
F ~ E -f- C — 3, & recompofèr jA ~ B -f- zA -f- 3, 
& l’on a e — E C B zA -f- d — 3, donc t ~ d -J- z. 

Ici d — 3 ne fauroit être négatif. 

z A nombre e ~ E -\- C B zA -f- d — z. Ici il 
faut encore décompofer C ~ zB — z, de l’on a e E -f- 3 B 
-f- 4- d — 4, donc t ~ d -j- ■ z. 

Ici d — 4 n’eft: plus négatif. 

3 e nombre e ~ E -f- 3 B zA -j- d — 3. Ici il faut en- 

core décompofer B en A, & l’on a e ~ E zB -{- ^ A d — 6 , 
donc t ~ d -j- z. 

Ici d — 6 ne fauroit être négatif. 

Le 4 e nombre eft donc e ~ E zB j A d — - 5; 

décompofanc encore un B, j’ai e — E B 8 A -j- d — 8> 

donc t ~ d -|~ z, & la moindre valeur poiïible de d eft ici d ~ 8- 

Le 5 'nombre eft donc e ~ E -\- B 8 A -j- d — 7, <5 c 
décompofanc encore B, il devient e ~ E ~\~ nA-\-d — • 10, 
donc t ~ d -f- z. 

NB. d — 1 o ne fauroic être négatif fans donner e plus grand 
que G. 

§. 1 z. Comme il n’eft pas queftion de réfoudre notre problème par 
induétion, il feroic fuperflu de pouffer plus loin ces recherches; les cas 
que nous avons développé fuffifenr pour indiquer l’ordre & la marche du 
procédé qui ramené toujours au nombre fixe t ~ d -f- z la quantité 
des termes polygonaux néctiïàire à exprimer tout nombre entier. Le 
développement de cet ordre doit fournir les principes de la folution tiu 
problème. 

ESSAI DE SOLUTION. 

§. 13. Il eft aifé de voir par le développement précédent: 
i°. Que le nombre des Cas douteux eft toujours égal au nombre ab- 
folu qui accompagne le moindre des deux termes polygonaux moins deux 

Ddd \ 


p.c)% Nouveaux Mémoires^ tvn. l’Académie Royale 

unités. Par exemple, entre les termes D , & E> ayant D ZZ i o d-\- 5, 
le nombre des cas douteux fera 5 — x ZZ 3 - Ainfi le premier inter- 
valle qui admet des cas douteux eft celui d’entre B de C, puifquc B zz 

Tfd - f- 3, on a ici le nombre des cas douteux c ~ 3 — 2 — t, 

donc en général ayant le terme quelconque, polygonal X ~ -- ^ " d 

__f_ /2 —J— x , §. i . on a entre X & Y f c — n — 1 . 

2®. Que la quantité des nombres douteux que chaque cas renferme 
répond exactement à l’ordre du Cas : ainfi le premier cas douteux de chaque 
intervalle 11’a qu’un feul nombre; le fécond embrafTc deux nombres, le troi- 
fieme trois &c. donc fi le nombre des cas douteux de l’intervalle X , Y 
cil — c, la quantité des nombres douteux fera 1 -f- 2 -f- 3 

— j— . . . — j— c* ZZ — a , de puifque nous venons de trouver c ZZ 

n — 1 , il y aura — - — - nombres douteux dans cet intervalle. Si par 

exemple X eft le 8 me terme de la férié polygonale, à commencer de l’uni- 
té, on aura X ZZ G ZZ 2 8 d -f- g, donc c ~ 6 y ôc n ~ J, 

u nn — n 

& ZZ XI. 

3°. Les termes généraux qui expriment les cas ôc les nombres douteux 
d’un intervalle quelconque X . . . Y font 

X+ iA + (J + 0 
A -f- xA d y {d 1 ) 

X-\-ïA + {d—i\ d , (</+i) 

X -f- -j- d — 2, ( d — 1 ), d, {d- f- 1 ) 

. • 

. • 

X -\- C A {d C -j- 2), ( d C-f-3) • • • • • (d-f-j), 

OU 

X-j - (n — i)A-\-(d — n — {— 3 )i ^ — « -f- 4) • • • 


d rs Sciences et Bell es - Lettres. 


3 99 

4°. Le terme général qui exprime la plus grande valeur du nombre 
entier e à reprélènter d3n^ un intervalle X, Y elt e — X -f- nA 
-f- (d — i«). Si par ex. X elt le 8"” terme de la férié, ou le 7"'* de- 
puis A } on a n ~ 7, & e ZI G - J- 7 A -f - (d — 14). 

5 0 . Les nombres qui ré*pondenc au premier cas douteux de chaque in- 
tervalle font fucceUivemenc 

e — 5 d -f- 6 entre B & C, 

e — 8^+7 entrc C & A 

t ~ 1 2 d -f- 8 enrve D & F, 

e ZZ 17^ -f- 9 entre L' «Sc F, 

e ~ x 3 d 10 entre F & G, 


« — entre X & F. 

é>*. Le premier nombre des féconds cas douteux cft fucceUivemenc 
e ~ yd -j~ g cnrre C 6 c D, 

e ~ 1 3 d -f- c» encre D & F, 

e ~ 1 8 d 10 entre E &c F t 

t — 14 t/ -f- 11 entre F &c G, 


e ~ a JL±l±fd+n+ 5 entre X & Y. 

7*. Le premier nombre des troifiemes cas douteux eft fucceffivemenc 
t ZZ 14 d -j- 10 entre D &c E y 

e ~ 1 9 d -(- 11 eiitre F & F, 

« IZ x5 d il entre F &' G, 


»'i+n + S 


-f - 77 ~f~ ^ entre X & 


Y. 


e ZZ 


a 


400 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

8°* Réfumant tous ces cas on aura le premier nombre pour chaque 
ordre de cas douteux, dans un intervalle quelconque 

r. cas c — Q" + ° + 4 )j -f n 4, 

U'- • • * = C Lt r t 6 J + » + J. 

nr. . . c = + n + 6, 

!V'. . . * = + n + 1, 

V. . . « = (=±f±2)a + « + s, 

( n — i)'. . . e zz Q*-+ * n ^d- f- zn -f- z, 

ou pour un cas q quelconque 

« = C + T ?+I ) ‘ / + n + ? + 3 - 


9°. Les premiers nombres des cas douteux dans un même intervalle, croif- 
fent uniformément de la quantité d-\- i . Il en faut dire autant des fecorids, 
des troifiemes, & des autres nombres. Mais d’un intervalle au fuivant l’ac- 
croiflement de ces nombres elt — (n -f- i)d-f- i ; d’un intervalle au troifie- 
me il c(t parconféquent (zn -f- $ )d-j-z; au quatrième (^n 6 ) d 3, & 

en général s’il y a 5 fauts d’un intervalle à l’autre, l’accroiflement du nom- 
bre corrcfpondant fera ZZ ( s-\-i)nd -f- 3 - + ~ d 1. 

Par ex. de C à F il y a z fauts, donc s zz a; ici n ~ I 3 , 
donc 1 ’accroilfement eft zz 15*/ -f- 3 . 

1 o°. Tout nombre douteux cfl: contenu fous la forme: 

(d — p -f 1) 4- aA -f- bB -f cC -f- . . . tT % 

&c 


DBS SCIHHGES ET BbLLES-LettEHS. 40a 

ôc pour que ce nombre puiffc être exprimé par d -f- x termes polygo- 
naux, il faut le transformer en forte que l’on ait 

a-\- b — p r f- i z 1. 

Or on peut toujours augmenter le nombre abfolu négatif p ; on n’a pour 
cet effet qu’à décompofer les grands termes de la férié polygonale en d’au- 
tres plus petits, jufqu’à ce qu’on parvienne à l’équation : 

p a — f- b c -|— ... t — - i. 

Mais fi par cette décompofition il arrive que p devienne plus grand que d t 
ce qui rendrait I’exprefïion d -f- i — p négative, il eft toujours pof- 
fible de rendre p plus petit; il n’y a pour cet effet qu’à convertir par la 
fynthefe les polygonaux inférieurs avec leurs cotifficiens a , b , c &c. en 
un ou plufieurs polygonaux fupérieurs. 


ii°. Pour mieux juger de l’effet de la décompofition des polygonaux 
fupérieurs, par rapport à raccroiffement du nombre abfolu négatif p dans 
l’expreffion ( d — p), nous allons mettre fous les yeux la décompofition 
des fept termes qui fuivent le premier terme A. 


On a B zz xA -f- ( d — i ), 

C ~ ,A + (d — 6 \ 

D — <)A -f- {d — 13), 

E — 1 4 A + (d — x x\ 
F ~ xoA + (t/— 33 ), 
G — x'/ A -j- ( d — 40, 
H = 3 5-4 + (d—6 1 ), 


x - n -^=--A + (J — nn + 3), 

d’oà l’on voit que par la décompofition d’un fêul polygone le nombre né- 
gatif p peut augmenter dans le rapport de nn à n - f- 4 , ou que fon ac- 

croilTement relatif eft ZZ \nn j n x. Ainfi par ex. changeant 

le polygonal F en 10 polygonaux A, ayant ici n~6 y on gagne fur p, 

Nuur. Ment. Ece 


4 oz Nouveaux MÉmoisb-5 de l’Académie Royalh 


f — - ZZ i 3, '!En effet on a ici — p ZZ ' — 33, d r où re- 

tranchant le coefficient de A zi; zo,' relie' ï‘3." 

Il n’efl pas befoin de faire remarquer que cet accroiflêment du nom- 
bre abfolu négatif peur être modifié prefqûe à volonté fi, au lieu de décom- 
pofer un polygonal quelconque en A y on le dccompofc en B, C, D &cc, 
c’efl ce qu’il cil aifé de conclure de ce que nous allons dire de la rccom- 
pofiïion. 

1 z\ Dans la réduélior. des polygonaux A en des polygones fupé- 
rieurs, on a; 

3 ^zzfl-f- 3 , 

GA zz z7?-f 6 — C-\-<Sr 

1 o A zz 3/i — */ — f— 1 1 zz C -f- B -f- J-\- 1 3 zz D -j- 1 5 , 

1 ïA zz 5^-f- 15 “ zC+.Æ-f 19 ~ IJ B x A 1 8 

ZZ iî-f- 2-4 r 

ziyl zz 7# 11 — 3 G -f- R -{- 2.7 zz 1.D -\- A 30 

— c-f- 3 z zz F -f 35 , 
z8^ zz 9 J?-bA+z 7 = 4 C+ 0 +A+}iz::iD+C+%A +38 
zz. F-f-D-f-B -f-qi. zz B -j-C -j-A- f-43 zz G-f- 48, 

d’où Ion voit en général que chaque nombre —~A fe recompofe en 

A» 

/r — 1 maniérés différentes, par l’acceffion d’un nouveau terme, & comme 
chacun de ces nouveaux termes peut le réfeudre en tous les termes au-def- 
fous de lui, il en réfulte — — combinai ions pofiibles. Mais la quantité 


de nombres douteux dans un intervalle n’eft que -- -, $.13. N°. z. 

II y a donc pour chaque intervalle tout au moins autant de combinaifons 
differentes poffibles' qu’il en faut pour fatisfaire à tous les nombres dou- 
teux renfermés dans cet intervalle. 


Par exemple, dans l’intervalle f 7 , G, om/rz 6 , il y a donc 1 5 
nombres douteux. Mais F ZZ io/f -f- — 3 3 zz — 3 y, & 

ir^ peut être exprimé (N°. rz.) en cinq manières générales, /avoir par 


■ dbs Sciences ex tIetiabs. 403 

B, C, D , E, &. F, dont F fo décopiprofe toutou moins en 5,, £ en 4, 
D en 3, Ce n 2, B en 1 ; on a donc .15 -f- 6 21 .expreflîons pour 

fàtisfaire k 1 équation 1 ZZ d 2. . 

.V • 

§. 1 4. Obfervons encore que la quantité des nombres douteux, .quoi- 
que déterminée en Toi (§. 1 3 . N°. 2.), j?ejjt diminuer confîdérablement fé- 
lon. la valeur de la différence confiante d , ce qui cfî auflî affujerti à un or- 
dre régulier. En effet comme dans un intervalle quelconque X, r V f le 
moindre nombre renfermé entre X &..¥] çft X -J- 1, 6 c le plus grand 
X -f- (/z -f- 1 )d 7 (§.13. N°. 4.), . ôc que le plus .grand nombre douteux 
eft X -j- (n — i)A -j- d -f- ic, toutes les fois que l’on aura ( n — ij A 
-f - d 1 > (/z-f- i)d, ce nombre douteux n’exiffera pas. Or (/r — f— i)d 
~ ( ri — 1 ) A -f- 2 d — 2 /z 2, donc ie nombre douteux .exile lors- 
que 2ZZ > d — I. • • • 

l , 

Pareillement le moindre nombre douteux de la première •claiTe.ou du 
premier cas cfl X -\~ A d -\- 1, donc quand A -j- d -j- 1, ou 
2 d 3 > (/z -|- 1)1/, tous les cas 6 c les nombres douteux ccffetit. Or 
cela fuppofe 3 > (n — i)d. D’où Ion peut former les Tables fui vantes. 

•Il n’y a point de i r cas douteux fi 3 >(zz- — 1 )d, 

2 rf . . , fi.4 >(/z — 2) c/, 

. - 3 e • • • fi 5 r* \ n — 3 .M 


(n — 1 ) e . . . fi n > d — 1 . 

Le plus grand nombre douteux ccffe 


dans le i r cas li 

dans le id . • f; 

dans le 3 e . . fi 

•• 

dans le (n — i) e fi 


• 3 >( n — - 0<4 

- 5 > O — 2 .M 

• 7 ^ — 3)^4 j 

✓* 

2-n >J -f- *• 

Eec 2 


404 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalb 

Ainfi dans le cas quelconque q le nombre douteux quelconque m ceflera 
d’exifter, ou, ce qui revient au même, excédera le plus grand nom- 
bre renfermé dans l’intervalle de deux polygonaux immédiats lorfque 
q -f- m -f- 1 > (n — q)d. 

Soit par ex. q le 4 e cas, ou la quatrième clafTe de nombres douteux, 
m le troisième nombre de cette dafle à commencer du plus petit; on aura 
q ~ 4, m — 3, donc fi 8 >. (n — 4 )d, ce nombre tombe au-delà 
de l’intervalle donné. Car ce nombre feroit X -f- 4 A -f- </, & fi 4 A 
-f- d > (n -f- i)d, on a ]d -f- 8 > («+ i)d, donc 8 > (n — 4 )d. 
Ainfi lorfque X eft le huitième polygonal à commencer de A, on a 
n un 8» donc lorfque d — 1, le nombre A" -j- j\A d tombe déjà 
au-delà de Y, parce qu’alors on a 8 > 4 d. 

§. 15. Pour démontrer rigoureufement le Théorème général de Mr. 
Fermât il fuffiroit donc de démontrer qu’un nombre douteux quelconque 
énoncé généralement peut toujours être exprimé par d -j- x nombres po- 
lygonaux. Or ce nombre général feroit exprimé §. 14. par cette forme: 
e ~ X -f- (q)A-f-d — q -f- m -f- 1, où AT défigne le polygonal quel- 
conque d’où commence l’intervalle X, Y; q défigne la clafie où fe trouve 
le nombre douteux, & m le quantieme nombre douteux de cette claffe; de 
forte que ni ~ 1, a, 3 • • • q- Il eft évident que ce nombre, s’il ne pou- 
voit pas être réduit fous une autre forme, feroit exprimé par d -f- z -f- m 
polygonaux. Il s’agit donc de décompofer les grands polygonaux X , V, 
T &c. & de recompofer les petits A , 5 , C, jufqu’à ce que le nombre m 
foit écbpfé. 

Or on a par la nature des polygonaux :X~V-\-nd-\-i i ôc 
nd~nA — a n; on a donc: 

e ~ V -j- (q -j- n) A -f- d -f- m -f- a — q — a /7, 
ce qui donneroic t ~ d m — n. Mais la plus grande valeur de m 

eft ni ~ q (§. 1 3. N°. i.) & la plus grande valeur de y, eft c ~ n — 1, 
(§. 1 3. N°. 1 .) Ainfi la plus grande valeur de m eft m ~ n — 1 . Dans 
ce cas on aurait t — d -f- z. - ' 


dbs Sciences et Bellbs-Lettrbs. 


4°î 

Dans toute autre valeur de m il eft évident que le nombre t feroit ex- 
primé par moins de d -f- z termes polygonaux ; car le nombre des clafles 
q n’entre plus dans I’expreffion de r, & la plus grande valeur pofliblc de m. 
étant m — n — 1, toutes les autres valeurs donneront t <* d -}- z. 

Mais par cette même confidération il peut très aifément arriver que la 
décompofition de -V en V rende la quantité d -f- m -j- 2 — q — m 
négative, quoique c foit contenu dans l’intervalle X y Y , ôc dans ces cas -là 
il ne feroit point clair combien de polygonaux il faut pour exprimer le 
nombre e. Ce qu’on voit c’eft que les polygonaux trouvés V -f- {q -f- n)A y 
ne font pas propres à exprimer le nombre e puifqu’ils l’cxcedcnr. Mais de 
même qufc la décompofition du grand terme X en V y de A y a donné une 
valeur négative, de même la recompofition des A en B, C, D &cc. dimi- 
nuera les nombres négatifs, jufqu’à les rendre poficifs; car on a (y -f- n) A 
“ B -f- {q -f- n — 3) A -j- 3, & par conféquent: 

e—V-\-B-\~{q-\-n — ?>)A -f- d m -f- 5 — q — ^n y 
donc C ZZ d -f- 4 -f- m — n. Ainfi le nombre négatif a diminué de 3, 
& celui des polygonaux n’a augmenté que de l’unité. 

§. 1 6 . La généralité des expre/fions V, q y n y m, ne permet pas de 
montrer que l’on parviendra toujours à une fubftitution qui donne t ~ d 
-j- z. Ainfi je ne crois pas qu’on puifîè par cette voie parvenir à une dé- 
monftration rigoureufe du Théorème général. Mais en démontrant 
1°. qu’il ne peut y avoir de doute que fur les nombres entiers que j’ai indi- 
qués ; z°. qu’il y a dans tous les intervalles autant de fubftitutions diffé- 

rentes à choifir qu’il y a de nombres douteux; 3°* q ue k m <-*me raifon 
fuffifamc qui fait que dans les fept premiers intervalles on arrive toujours à 
une expreflion où l’on a tout au plus t — d -f- z, a également lieu dans 
un intervalle quelconque, puifqu’à mefure que l’intervalle croît, le nombre 
des décompofitions «St des réductions des polygonaux croît auffi en meme 
raifon, ou plutôt en raifon plus forte; 4 0 . qu’à mefure que les nombres 
douteux renfermés dans un intervalle quelconque X , Y y s’éloignent de X 
pour s’approcher de Y y la valeur abfolue de d croît aufli; en forte que les 
nombres négatifs qui l’accompagnent, par ex. — q — in, peuvent de- 

Eee 3 


40(5. Nouveaux Mémoires bb l’Académie Royale 


venir toujours plus grands fans rendre Texpreflion d -|- m — q i n 

négative, on aura prouvé, -ce me femble, qu’il n’y a point de raifon. de douter 
de la vérité du Théorème de M. Fermât pour les nombres d’un intervalle 
donné, &c par conlequent pour un nombre entier quelconque. 


§. i 7. Pour montrer, autant que la nature du fujet le permet, qu’il y 
a une railon f Lifîilanre de s’aflùrer que dans tous les cas douteux on peut ré- 
duire le nombre e à d -f- z polygones, nous allons encore faire une petite 
analyfe de la décompofition d’un polygonal, relativement à la quantité de 
termes polygonaux que le nombre c exige. 

Que e loit reprefenté par t polygonaux, lorfquc l’on emploie à le re- 
préfenter le polygonal X , il s’agit de voir quel rapport ce nombre t aura 
au nombre t\ qui réfultcra de la décompofition de X. 

Or A" ZZ V - f- nd -{- i, & ayant toujours nd ZZ nA — in, 


on a: 

X z V -f- n A — a n -f- i, donc t . t' : : t . i — v. 
Mais par la même formule on aura V ZZ T -f- ri A — a. ri -f- i , & ayant 
ici ri ~ n — i, cette fubfliturion donne: 

ATzz T-j- (zn — i )A — 4 /•/ — 4, donc r.f"::i.4 — in. 
Par la même méthode on trouvera: 

X — S -j- (3 n — 3 )A — 6 n-j- y, donc 7 — 3 n. 

Y — R -f- (40 — 6 )A — grz-j-id, donc f.t ,r ::i.n — 4/7. 
D’où l’on voit qu’en général en décompofant le polygonal X en un terme 
quelconque inférieur Q, en fuppofant qu’à commencer de A , X eft lé 
72 m % & Q le (n p) e de la férié, on aura: 

X ZZ Q -f (pn — — ^A— zpn-{-j>p, 


donc t . i p : : 


pp -f p + * 

a 



Or 1 ?. pic grande valeur pofliblc de p efl n — 1, & la moindre, p ZZ x; 
pofan: donc p ZZ n — ///, on aura m ZZ ï,i . . ( n — 1), ou m < n , 

lu ■’i -A- n ■ ■ ■ m — M/r 4- 1 # . •/! • / — ■ 

o valeur qui clc toujours négative des 

1 t 


& t 1. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


407 

que n > 2, ou au lieu du rapport confidérant le nombre abfolu des poly- 
gones que la décompofirion de X & Q fait évanouir, on trouve ce nom- 
bre — pn — -pp — -p — -nn-j--ni — -mm — -n ~ — — 

m m m 

2 . 


§. 18. Réciproquement en recompofànt les A en des polygones 
fupérieurs, on augmente le nombre des polygonaux dans la raifôn fui- 
vantc , comme il eft aîTé de s’en convaincre,. 


de A 

en B 

on a t. t' : 

3 • 4> 

A 

. . C 

. . t . t" : 

6. y. 

A 

. . D 

► . t . : 

1 Q . 16. 

» 

A 

. .X 

.. . t.c n -':: 

p'nn + Jn + x 





en forte que fur chaque B qu’on tire des A, on augmente le nombre des 
termes polygonaux de 1; fur chaque C, de 3 ; fur chaque D f de 6; & en 
général fur chaque polygone de l’ordre n, ce nombre augmente de - - --- 

polygonaux. On trouvera de même qu’en réduifànt B dans les polygo- 
naux fupérieurs 

on augmente fur C . . . y 

D . 2 

E ... s 

F ... 8 

G , , .11 &c. 

Pareillement les C recompofés donnent fur D ... o 

£ ... 2 

F ... * 

G ... 6 

H . . .10. 


408 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

Il fèmble au premier coup d’œil que la compofition & la décompofi- 
tion devroient produire un effet contraire, puifqu’un grand polygone en 
donne plufieurs moindres, & que plufieurs moindres n’en font qu’un feul 
plus grand. Aufli, excepté les nombres abfolus, ou les polygonaux d’uni- 
tés, il eft très vrai que la décompofition augmente le nombre des polygo- 
nes, & que la compofition les diminue; mais ccttc augmentation & cette 
diminution eft toujours accompagnée d’une diminution plus forte dans les 
unités, ou dans les nombres abfolus, ce qui produit la diminution totale du 
nombre des polygones dans la décompofition, & l’augmentation dans la 
recompofition. 


§. i 9. Quand donc un nombre douteux quelconque . 

e ~ X q A -j- d -f- 1 s donne 

r = i + x + y, on eft toujours fur de pouvoir faire évanouir ce 
nombre y par la décompofition de X en ou en T t ou en S &c. 
puifquc chaque décompofition diminue f, & par conféquent y, d’une quantité 

'tlZll — - im - — ' - ; mais il en réfultera le plus fouvent une quantité né- 
a 1 


gativc — ce qui ne feroitpas un inconvénient tant que d -f- x — q 
fêroit pofitif; cela prou veroic feulement que le nombre e peut être expri- 
mé par moins de d -f- z polygonaux. r Dans le cas au contraire où 
d -{- z — { fera négatif, il faudra, comme nous l’avons déjà mon- 
tré, recompofer les polygonaux inférieurs, jufqu’à ce que, ou — q éva- 
nouifte, ou du moins d -f- z — ■ { devienne pofitif. 

Or puifque fur chaque B tiré des A on augmente de un la quantité 
J _J_ 1 — il eft clair que cette feule réduction fuffiroit, quel que 
fût le nombre {, à le faire difparoître, pourvu que l’on eût 3 qA à r*- 
compofer. Mais fi on n’a pas 3 ^A à réduire, on peut changer les A 
en C, parce que fur cette réduûion on gagne une unité de plus que fur 
celle de A en B , puifque 6 A~ iB - f- 6 izC-f- 8. Par 
la même raifon, en changeant les A en D on augmente les unités de 
fîx ; au lieu que la même quantité de A, réduite à des B , n’augmente les 
nombres abfolus que de trois ; ou de quatre , étant réduite à C ôc B. 


Pareillement 


des Sciences et Belles-Lettres. 409 

Pareillement en réduifanc les A en E , on gagne fur chaque E dix 
unités; la compofition] en 5 B ne feroit gagner que cinq ; en C- f- 3 B 
fix ; en îC-f fl fept &c. 

Il eft vrai que ces diverfes réductions ne donnent pas tous les nombres 
naturels, & qu’ainfi on ne fauroit toujours faire di/paroître le nombre néga- 
tif — par la compofition des A. Mais cela n ’eft pas néceflàire non 
plus pour prouver la vérité du Théorème; il ftiffit qu’on pui/ïe toujours 

diminuer les unités que q renferme, au point que d -f- z q devienne 

pofitif, ce qui doic toujours être polfible, puifquc par le §.14, à mefure 
que q 6 c n croilfcnt, d croît aulfi, en forte qu’il n’eft pas befoin de dé- 
truire pour rendre d -f- z — { pofitif; & obtenir l’unique choie 
requife ici. 

§. 10. C’eft donc la compofition 6c la décompofition des nombres 
douteux qui renferme la raifon fuffifante de funiverfalité du Théorème de 
Mr. Fermât à l’égard de ces nombres -là; il ne relie plus qu’à montrer que 
fur tous les autres nombres entiers, ce Théorème eft évidemment démon- 
tré. C’cll ce qui eft manifefte par l’e.xprcflion même de ces nombres. 

Il eft d’abord clair que tous les nombres X, X -f- 1, AT-f- z &c. 
jufqua A" -f- d -f- 1, donnent t zz 1, z, 3, 4 . . . (.7 4 - 2); or le 
nombre fuivant A'-f- d-\- z cil zz X-\ -A, ôc par conféqucnt X-j-A t 
X -j- A -f- 1, X -j- A z . . . . A -j- A -f- d, donnent 

t zz z, 3 , 4 . . . {d -j- z). Ainfi le premier nombre douteux eft 
AT-f- A -f- d i . Or le fuivant A" -j- A -f- d -j- z eft zz X z A. 
Ainfi A r + z A, Af-f- z A — j— 1, X-\- zA+x ... A r -f z A-f-d- 1, 
donnent f ZZ 3 , 4, 5 . . . (d -f- z). 

Par la même raifon ayant X -j- z A -j- d -j- z ~ X -{- 3 ^ °n a 
de là jufqu’à X — 3 A -|— d z, t — 4 > ^ • • • C d-\- z). 

Il en fera de meme des cas fuivans jufqu’au nombre A" -f- (n — z )A 
-j-J-f-z zz A -f - (n — 1 )A toute la fuite jufqu’à X -f- ( n — 1 ) A 
-j-d-j-z — n, donne t zz n, n-j-i, n- f- z . . . {d-\- z). 

Suiiv . M im . 1770.- Fff 


410 Nouyeaux Mémoires de l’Académih Royalb 

Enfin au-delà du dernier nombre douteux X -J- (n — i)A-j-d-j-i 
le premier qui fuit fera X -f- nA, & le dernier de l’intervalle eft 
X -{- (n -J- i ) i, (§. i 3 • N°* 4-) 31 X -f- n A -(- d — x n ; ces nom- 
bres donnent t m (n -j- i ), (n-j-x), (/2 — f- 3 ) • • • — n ). 

Ainfi le feul fcrupule qui pourroit relier feroit la po/Ebilité qne l’on eût 
d < n. Mais dans ce cas -là le premier nombre de la clafïe X n A 
— X nd 'Ln feroit plus grand que le dernier nombre de l’inter- 
valle qui eft X -j- n d -j- </, (§. i 3. N°. 4.); ce nombre appartiendrez 
donc à un intervalle fuivant entre les polygonaux Y Sx. Z. 

ADDITION AU PRÉCÉDENT MÉMOIRE. 

§. xi. En réflcchiflant fur cette propriété de la férié polygonale, 
que d -f- x termes de cette férié fuffifent pour exprimer tous les nombres 
entiers, il paroit évident que ce qui rend cette propriété polfible c’eft 
i°. parce que le premier terme de cette férié eft l’unité, x°. que cette 
férié a une différence confiante ; car fi toutes les différences étoient varia- 
bles, le nombre t ne pourroit jamais être confiant. Il femble donc 
qu’on en peut conclure que toute progre/Iion algébrique d’un ordre n quel- 
conque dont le premier terme efb — 1, doit exprimer tous les nombres 
entiers poffibles au moyen de la fomme d’un certain nombre t de fes 
termes. 

§. il. Mais la difficulté confifle à déterminer par une formule gé- 
nérale cette valeur de t pour toutes les progreflions algébriques. Ce qui 
eft évident, c’eft que la progreffion étant: 1 , A, B y C, D . . . on ne 
fauroit avoir t <J A — 1; enfuire il paroit clair que plus il y aura de dif- 
férences variables, plus auffi le nombre t doit être plus grand que A — 1; 
enfin la valeur abfolue d de la différence confiante doit entrer pour quel- 
que chofe dans la détermination de t Or il eft vifible qu’elle n’y entre 
pas toute entière, puifque dans la férié polygonale elle ne contribue point à 
augmenter la valeur de t ; il femble donc qu’elle n’y contribue que dans fon 
rapport à A — 1 . D’après ces élémens on auroir dans une progreffion 


des Sciences et Belles-Lettres. 


algébrique quelconque t ~ A 


i + n — ï -f 


A — 


4H 
, ou 


Î = A -f n -f -^7-7 — 2., bien encetidu que de la fraftion 
— - il n’y a que les entiers qui entrent en confidération. 


Dans les nombres pyramidaux fi les côtés du polygone font zz p, 
l’ordre du pyramidal Z= m, on 2ura A — p -j- m, & la progreflion 
étant ici de l’ordre m - f- 2, on a n ~ rn 2, ôc d ~ p 2 ; 

donc - , ne donne point d’entiers, & l’on auroit par la formule 

t ~ p -j- 2. m — p -f- 2. n — 4. 

Par ex. dans la férié 1.5. 15. 3 5.70 . . . on a p ~ 3 , m — i f 
n — 4, donc on auroit t Z 7. 

Dans la férié 1.5. 14. 30. 55 . . . on a p zz 4, m~ 1, n — 3, 
donc t ~ 6 . « 

Dans la férié : 1 . 6 . a o . 5 o. 105... on a p Z 4, m z i, 
/z 4, donc t z 8- 

Dans la férié: 1. 8 - 3 5 * 1 1 2 - 2-5 4 • • • on a p — 4, m zz 4, 
n ~ 6 , <donc t Z 11. 

Dans la férié: 1. 10. 55.120. 1001 . . . on a p — 3, m — y, 
n ZZ 9, donc t z= 1 7. 

Dans la férié des puifianccs, on a A ~ à ZZ (1 x 2 x 3 x . . . n), 
donc t Z 2 4 - n -f- 7 — 2.. 

1 ' a" — 1 

Donc cette formule donneroit 

pour n ZZ 1 . 1- 3* 4- 5- 7 . 

' = 1. 4 - <?• * 9 - 38 - 79. 171. 


§. 23. Mais quoique cette formule fcmble fe vérifier dans les pro- 
gressons des nombres pyramidaux, dans celles des puiflànces, & dans di- 
verfes autres, je ne dois pas diflimuler qu’elle ne fe foutient pas générale- 
ment. M. Euler , à qui je l’ai communiquée, m’a fait remarquer que s’il y 
avoit une formule générale poflible, il faudrait que le premier terme de 

Fff 2 


4ii Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

chaque différence y entrât pour quelque chofe; puifquc fans cela on pour- 
roit toujours, en déterminant arbitrairement ces premiers termes, trouver 
des progreffions auxquelles la formule' ne feroit pas applicable. Lai même 
remarqué que dans la progreffion pyramidale i. 5. 15. 35.70. 1 16 ... . 
où félon la formule ci-defîus on auroit t ~ 7, il faut huit termes pour 
exprimer le nombre G 4. La raifon en eft que dans les quatre premiers 
termes A , Æ, C, J), il entre à chaque terme une nouvelle indéterminée, 
puifqu’il y a ici quatre différences; & que chaque indéterminée peut 
augmenter la valeur de t, dans l’intervalle où elle entre; raifon qui ccffe 
dès qu'il n’entre plus de nouvelles indéterminées. Ainfi il paroit qu’il ne 
fauroit y avoir une formule générale, mais que pour chaque progreffion al- 
gébrique il faut tout au moins trouver la plus grande valeur de t dans les 
n premiers intervalles, avant d’en conclure quelle fuffira dans tous les in- 
tervalles fuivans. 

Les deux premiers intervalles d’une progreffon algébrique quelconque 
ne fouffrent point de difficulté. D’abord l’intervalle 1 . . A donne 
t — A — 1, & fi l’on nomme le premier terme de chaque différence 
fucceffive a , é, c, d &c. on a A ~ a -f- 1, donc pour le premier 
intervalle, t — a. 

Quant au fécond intervalle A . . foit q le nombre qui exprime 
combien de fois A eft contenu en B, en forte qu’il refte encore au 
moins A , mais non 2 .A-, la plus grar.de valeur de t dans cet intervalle 
fera t — a 7, & pofant c/A -f- a ~ B — m, on aura 

or on a toujours B — b -f- 


B — a m 

1 — 1 ’ 


1, donc 


t — a -\- 


* + a + 1 


en forte que m ~ 


2, a — |— 

. . A 

& en général 


2 ., 3 


a -f- I 

foit tout au moins “ 1, & tout au plus ~ a -f- 

m — b -f- a -f- 1 — (a -f- 1)7. Lors donc que la fraction 

b -j- a -f" 1 m 

a -f I 

l’on a b > 


donne des entiers, ce qui doit arriver toutes les fois que 

— 1, l’intervalle A . . B donnera t plus grand que 
ne l’avoit donné l’intervalle 1 . . A. Dans les fériés polygonales, par 


des Sciences et Belles-Lettrbs. 


40 

exemple, ou l’on a m n n — i HZ b y cette fraétion devient — - — i 

a + 1 ' 

donc t ~ a -f- i . 

Le troifieme intervalle B . . Ç eft déjà plus compliqué, parce que 
le même nombre e compris dans cet intervalle, qui exigerait la plus grande 
quantité de termes pris d’une certaine maniéré, peut en exiger moins, en 
les prenant d’une autre façon. Si, par exemple', pour avoir le plus grand 
refte d’unités a , on ne peut prendre que q fois B en forte qu’il refte 
rA — j— u, le nombre e — qB -f- rA -f- a fora le nombre de l’in- 
tervalle B . . C, qui donne la plus grande valeur de r, laquelle fera 

i i a • C — rA — a — m 

t ~ q r a y oc Ion aurait q ~ HZ 

« + J* + (t — r ) a — f" . -, , -f, • , 

: mais il peut très ailement arriver qu on 

ait qB -f- rA -f- a ~ ( q — s)B -f- (r -f- x)A -j- a — u y 
& par conféquent t ~ q -f- r-j-.v-f-a — s — u. Toutes les 
fois donc que les nombres négatifs s u, excéderont le pofitif x y la va- 
leur de t fera diminuée par cette transformation. 

A plus forte raifon le même cas aura lieu, & en plus d’une maniéré, 
dans les intervalles fupérieurs; de forte qu’il n’y a dans les progreflion.s algé- 
briques au- delà du fécond ordre, que le développement d’autant d’inter- 
valles qu’il y a de différences qui puiffè indiquer la véritable valeur de f. 
Encore ce développement jufqu’à l’intervalle n ne fuffira-t-il pas tou- 
jours -, car quoique la raifon des nouvelles indéterminées cefle au - delà de 
cet intervalle, il peut arriver néanmoins que la valeur de t croiflc encore, 
par la raifon que le nombre da*ns l’intervalle quelconque ultérieur X . . Y y 
qui doit produire cet accroiffemenc e ZZ a -f- qA - f-pB-j-nC-j-...-j-X , 
ne fera ni rédu&ible à de moindres termes, ni plus grand que Y. Mais les 
cas où ni l’une ni l’autre de ces conditions n’aura lieu, doivent être bien ra- 
res, & ne peuvent gueres prolonger le développement au-delà des pre- 
miers termes qui fuivent l’intervalle n. 


Fff 3 


414 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 


SUR LE PROBLÈME DE MOLYN EU X. 

Par M. Merian. 

— 1 ■ - ■■ ^ 

TROISIÈME MÉMOIRE. 


§. 1. 

Théorie du Docteur Berkeley. 

L e philofophe qui réclame aujourdhui votre attention, cft bien digne de 
l’obtenir: c’cft le Doéteur Berkeley, mort Évêque de Cloyne en Ir- 
lande, efprit fubtil, mctaphyficicn profond s’il en fut jamais. Il n’eft 
pourtant queftion ici ni du fyftême de l’Idéalifme, dont il fut le zélé defen- 
feur, ni de l’eau de goudron, dont il a fi fort prôné les merveilles. Un ou- 
vrage antérieur de ce favanc homme doic fixer nos regards, ouvrage qui a 
déjà paru en 1709, fous le titre, EJ] ai dune nouvelle Théorie de la Vifion. 

Cette Théorie a joui d un avantage rare, & donc peu d’écrits philofo- 
phiques peuvent fc glorifier, c’cft d’avoir été, au bouc de vingt ans, con- 
firmée par l’Expérience, je veux dire par les obfcrvations faites fur les aveu- 
gles-nés à qui l’on a réuffi à abattre la cataracte; j’aurai foin de le faire re- 
marquer dans le cours de ce Mémoire. 

Or, fi cette théorie eft vraie, elle détruit, ou du moins elle ébranle 
puifTammcnt les folutions du problème de Molyncux que nous avons pro- 
pofées dans notre dernier Mémoire. Mais comme elle n’a point été imaginée 
dans ce defîein, & qu’en 1705 Mr. Berkeley ne connoifl'oir, ni ne pouvoic 
connoître aucune de ces folutions; il nous faudra prendre ici fa place, & 
nous charger de l’application des principes que fon livre nous fournit. Je 
vais doric'les y puifer, en développer les conféquences, les étendre par des 
réflexions nouvelles, & par la voie la plus - courte, & la plus lumineufe, 
les amener à mon fujet. 


des Sciences bt Belles-Lettres. 415 

En tout ceci je ne parle pas en mon propre nom. Je continue de faire 
l’office d’hiftorien ou de rapporteur: ■ & je me transforme tour à tour en di- 
vers perfonnages, pour épuifer, autant qu’il eft en moi, les matières que je 
traite, & pour les préfènter par toutes leurs faces. Si donc ici je me fais un 
rempart de la do&rine du Dotftcur Berkeley, c’eft pour éprouver la folidité 
de ce rempart; fi je combats avec fes armes, c’eft pour en eflayer la trem- 
pe. . - Après quoi, il me fera libre de réfuter fa-ïhéorie,. .ou d’en relever les 
endroits foibles, fi tant eft que je les pui/Te découvrir. 

§. ». 

Application de cette Théorie. 

Nous avons vu que les philofophes qui accordent à l’aveugle-niJe pou- 
voir de diftinguer le globe du cube, fe fondoient fur l’identité foit des per- 
ceptions, foit des idées transmifes par la Vue, & par le Toucher. L’étendue 
& les figures que nous voyons, & l’étendue & les figures que nous touchons, 
ne peuvent être les mêmes que de deux manières; ou c’eft la même percep- 
tion immédiate qui affc&e la Vue & le Toucher; ou c’eft la même idée ab- 
ftraite, tirée des perceptions immédiates que nous offrent ces deux fens. Il 
faut donc les envifager fous ce double afpeét: & fi nous prouvons que le fens 
de la Vue & celui du Toucher ne fauroient transmettre à lame ni les mêmes 
perceptions, ni les mêmes idées, nous aurons renverfé, d’un fèul coup, 
tous les argumens qui militent en faveur de ces philofophes. 


§. 3. 


Si la figure vue, & la figure touchée donnent la même perception 

immédiate. 


Et d’abord, fi l’Étendue & la Figure font dans la claffe des perceptions, 
ou des qualités fenfibles dont nous fommes immédiatement affe&és, il eft 
contradictoire qu’elles foient les mêmes pour les deux fens. Voir une qua- 
lité tangible, toucher une qualité vifible; ce feroit voir par le Taft, & 
toucher par la Vue; ce feroit voir ce qu’on ne voit pas, & toucher ce que 
l’on ne touche pas. 


4ï£ Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale 

Nos fens ont leurs limites exa&ement marquées, & ne fauroierit em- 
piéter l’un fur l’autre. L’ame eft modifiée par chacun d’eux d’une façon 
particulière; Sc ces modifications confticuenr les diverfes qualités fenfibles. 
Si donc l’Étendue & la Figure tangibles 6c vifibles font au nombre de ces 
qualités , loin d’être les mêmes, il n’y a pas plus de reflemblance eutr’elles 
qu’entre les font &c les odeurs, ou entre les odeurs 6c les couleurs, ou entre 
les couleurs-dc les laveurs-:- & il fera tout aulfi abfurde de prétendre voir une 
figure tangible, ou toucher une figure vifible, que de vouloir .flairer un Ton, 
voir une odeur, ou favourer une couleur. 

A parler rigoureufement, il eft donc faux que nous puiflions jamais 
voir 6c toucher la même chofe. Nous pouvons exercer ces deux fens à la 

fois, & par là former des liaifons entre les perceptions 6c les idées introdui- 
tes par la Vue, & par le Toucher; mais les perceptions qui nous viennent 
immédiatement de ces deux fens, n’en demeurent pas moins diftindes & dif- 
femblables. Que par exemple un fon 6c une couleur fe prélèntcnt, ea 
mêmetems, àmonefprit; cela peut, à la longue, les lier dans mon ima- 
gination; mais cela ne les fait point reflembler. Il en eft ainfi de toutes 
les autres qualités fenfibles, & par conféqucnt des qualités tadiles 6c vifuel- 
les, & par conlequent de l’Étendue & de la Figure tangibles 6c vifibles. 
Elles peuvent s’alfocier, s’unir; mais cette union, quelque étroite qu’elle 

foit, ne les fait point changer de nature. 

Je fais que ces deux elpèces d’étendue 6c de figure portent le même 
nom, 6c j’en dirai la raifon plus bas. Ici je me contente d’obfcrver que 
l’identité du nom n’emporte point l’identité de la chofe. Lorsque, dans 
deux langues, le même mot s’emploie en deux le ns, perfonne ne s’avife, 
pour cela, d’identifier les objets qu’il défigne. En Latin le mot cor fignifie 
le cœur, 6c en françois une trompe de chafie. Il ne s’enfuit point de là 
que le cœur foit une trompe de chafle, ni rien d’approchant. Et lorfque, 
dans la même langue, je donne à mon chien le nom d’Hecîor, le héros de 
Troie n’eft point par là métamorphofé en chien, ni le chien en héros. 

C’cft ainfi que chaque Sens a fon langage propre; 6c lorsque les mêmes 
termes s’y rencontrent, les chofes lignifiées ne Iaiftcnc pas d’être d’une 

nature 


1>es Sciences bt BEttEs-LETTaES. 


4 1 ? 

nature différente. On dit une douce mélodie , un fon aigu , un efprit pe- 
fant. Eft-cc à dire que l’on peut favoiirer ou toucher les Tons, & pefer 
les efprits à la balance? Jugeons de même des mots d’étendue & de figure, 
appliqués également aux qualités vifuclles, &. aux qualités faciles : & nous 
concevrons que leur identité nominale ne prouve point leur identité réelle. 

L’aveugle qui ouvre les yeux, eft frappé de fen/âtions toutes neuves, 
pour lesquelles il n’a point encore de langue; & fi on la lui lai /loir faire, il 
ne penferoit pas feulement à fe fervir d’aucun des termes qui lui défignent 
les objets tangibles: tant l’intervalle doit lui paroître immen/è entre ces deux 
fortes d’objets; tant il eft loin de foupçonner'que ce qu’il voir, puiffe être ce 
qu’il a touché. Et c’eft ce que l’expérience a conftaré dans les aveugles- 
nés à qui l’opération de la catara&e a procure l’ufage de la vue. 

§. 4. 

Si la figure vifible & la figure tangible donnent la même idée abfiraite. 

Nous venons de démontrer que la perception immédiate ne nous dé- 
couvre rien de commun, rien de femblable entre l’Étendue & la Figure tan- 
gibles & vifibles. Voyons à préfent fi cette identité, ou cette reftèm- 
blance, réfide dans l’idée abftraite que nous nous formons de l'étendue ou 
des figures. 

L’avcuglc - né, dira - t - on, s’eft fait des idées abftraitcs de la fphériciré 
&c de la figure cubique, d’après les impreflions qu’il a reçues par le Toucher. 
Il procède de la même maniéré fur le globe & le cube devenus vifibles; de 
les memes idées renaiflènt dans Ton efprit. D’où il conclut que les figures 
qu’il voit font les figures qu’il a touchées. 

Cela eft bientôt dit; mais en fuppofant meme la po/Iibiliré de ces opé- 
rations, nous avons déjà fait voir (*) que la ckofe n’eft pas, à beaucoup 
près, auffi aifée qu’on fe l’imagine. Que de réflexions fit de comb'inaifons 
cela n’exigeroit-il pas? Que de perplexités, & de doutes ce voyant novice 
n’éprouvera-t-il pas, avant de parvenir à ranger les figures vifibles en claffes, 
& à efquiffer dans fdn efprirdes notions auffi pures, & au/îi quinceilenciées, 

(*) V. Mém. 11. 

Nouv. Mcm. 1771. G gg 


4x8 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

que celles du cube & du globe vifible en général? Pour peu que l’on y fon- 
ge, on ne conçoit guercs qu’il puiflc y réuftir fans le concours du fens de la 
Vue avec celui du Toucher. 

§• 5 . 

Sentiment du Docleur Berkeley fur les idées abfr dites. 

Mais il y a plus. Ces prétendues abftrafrions ne fauroicnc avoir lieu, 
& ne font que de belles chimères. 

Vous me parlez d’idées communes, extraites également des impreflions 
que font fur nous la Vue & le Toucher. Ces idées en quoi confiftent- dits? 
que font-elles? où font-elles? Il faudroit néceffaircmcnt qu’elles fuflenc 
dépouillées de toute couleur , de toute lolidité, en un mot, de toutes les 
qualités vifibles & tactiles, & même de tout ce qui eft matériel. Or il n’y 
a point de pareilles idées. Ni le Toucher, ni la Vue, ni aucun fens ne fau- 
roit nous les transmettre; & ce qu’on nomme l’Entendement pur ne fauroit 
les enfanter. 

J’en appelle à l’Expérience. Eflayez de concevoir un globe, un cube, 
une figure quelconque, une furface, une ligne, un point, qui ne foit ni co- 
loré, ni folide; & vous vous convaincrez que cela eft au-defïùs de vos for- 
ces. Quand vous aurez exclu toutes les qualités taétiles 6c vifuelles, il ne 
vous reftera rien dans l’efprir. 

Je comprends très- bien que je puis abftraire les unes des autres les par- 
ties intégrantes dont les objets matériels lont compolés. Ainfi dans un 
homme je puis confidérer feparément la tctc, les bras, les pieds &c. Mais 
fi je veux écarter de ma conception tout ce qui eft vifible, palpable, ou 
appercevable par quelque autre fens, l’objet s’évanouit tout entier, fans 
laifièr la moindre trace après lui. 

C’eft donc à tort que l’on croit pouvoir fe former de la figure cubique, 
6c de la figure fphérique, des idées abftraites ôt générales, dans la lignifica- 
tion que l’on attache à ces termes. 

Rien n’exifte en général; tous les philofophes en conviennent. Cepen- 
dant ils admettent des idées générales; exception finguliere; tout comme 


DES SCXËNCES ET ÊELtHS > LETTRHS. 


4 *9 

fi les idées n’exiftoient point, ou pouvoient s’affranchir de la loi préfcrire à 
toutes les exigences; tout comme fi elles pouvoient être, fans être d’une 
manière déterminée. Vous demandez, par exemple, ce que c'eft que 
l’idée du Triangle en général. Voici I étrange définition que vous en don- 
nera le fage Locke. C’eft l’idée d’uo triangle qui n’eft ni reétangle, ni obli- 
quangle, ni équilatéral, ni ifocèle , ni fealène , ni de telle ou de telle gran- 
deur, ni de telle ou de telle couleur; qui n’eft rien de tout cela, & qui 
pourtant cft tout cela enfemble; car il comprend tous les triangles poffibles, 
avec toutes leurs modifications poffibles. Eft-il jamais monté dans 
l’efprit de l’homme une idée auffi bizarre , compofée de parties auffi difeor- 
dantes? ou plutôt peut -on donner le nom d’idée à cet amas de contra- 
diéHons? 

Mais en renonçant à ces idées, & en les renvoyant aux ténèbres de 
l’École d’où elles font forties , à quoi fe réduifent cès abftraétions, «Se ces 
gcnéralifations dont les philofophes font tant de bruit? A deux chofcs, à 
des images, & à des lignes. 

D’abord les impreffions fenfibles laifïcnt dans l’Imagination des peintu- 
res qui nous les retracent au befoin, & qui par leur reffemblance, nous fer- 
vent de modèles propres à les faire reconnoître, & à les rapporter aux claf- 
fes où elles appartiennent: modèles vifibles pour les impreffions que nous 
devons à la Vue, tangibles pour celles que nous devons au Toucher, <3 c 
ainfi pour les autres fens; modèles enfin compofés, ou mixtes, pour 
les impreffions réunies de plufieurs fens, lorfque nous les avons déployés k 
la fois. 

Enfuite, pour fixer encore mieux ces modèles dans notre efprit, on les 
attache à des fons articulés,' ou k des caraâèrcs, lesquels, par une longue 
habitude, fe lient fi étroitement avec eux, que déformais ils font conftam- 
ment réveillés dans la mémoire, & reproduits les uns avec les autres. 
Dans ces images, & dans cette nomenclature confifte tout le myftère des 
idées générales & abftraites. 


G gg i 


4io Nouveaux Mbmoikks de l’Académie Royale 

§• 

L'aveugle -né du Problème. 

Reprenons notre aveugle -né. Nous convenons qu’il n’a dans fon efprit 
aucun de ces êtres fcholaltiques, aucune de ces idées pures, dégagée de toute 
image fenfible & matérielle. Il ne connoîc encore qu’une étendue & des 
figures tangibles, & inféparables du fens du Toucher: il n’en a reçu que 
des imprdlions 6c des repréfentations de ccttc efpèce; il n’a d’autres modè- 
les dans fon imagination : toutes fes pièces de comparaifon, les idées qu’il 
en tire, les rcflèmblances qui en naiffent, & les noms qu ! il leur donne, fe ré- 
fèrent à ce fens. 

Or, en ouvrant les yeux, que rerrouvc-t-il de tout cela? Abfolumenr 
rien. Il ne retrouve ni les chofes, ni les mots; tout ell nouveau, tout eft 
d’une nature différente. 

Nous avons prouvé que les impreffions immédiates des deux fens n’ont 
rien de commun. Les images de ces impreffions, ou les modèles tirés 
d’après elles de part & d’autre, ne le rciïèmblcnt pas davantage, parce 
que ce ne font que ccs impreffions memes, affaiblies dans l’imagination. 
Enfin les noms ne (ont que des lignes arbitraires, difîèmblables, de tout 
point, aux chofes lignifiées: 6c d’ailleurs, ne les ayant appliqués jufqu’ici 
qu’aux objets tangibles, il ne fonge pas plus, & moins encore, à les 
rapporter aux objets de la Vue, qu’à ceux de l’Ouïe, de l’Odorat, ou 
du Goût. 

Quand vous lui diriez que ce font les mêmes objets, & qui portent les 
mêmes noms; il feroit hors d’état de vous concevoir. L’un des deux; ou 
il croira que vous vous moquez de lui; ou fi vous lui perfuadez que vous 
parlez férieufèment, il ne pourra s’en prendre qu’à un caprice du lan- 
gage, en vertu duquel il fait qu’on attribue fouvenr à un genre d’objets 
ce qui appartient à un autre genre, comme dans les exemples allégués 
plus haut. Mais cela ne lui fournit aucune lumière pour démêler ccs 
objets: tout au contraire, cela même l’affermira dans l’opinion que ces 


des Sciences et Belles-Lettres. 


411 

objets n’ayant rien de commun que le nom, ce feroit peine perdue que 
de vouloir les reconnoitre à la vue. 

Mais qui pis eft, il a raifon en tout ceci; c’cft à nous à nous inftruire 
dans Ton école, de à apprendre de cet aveugle quelles font les chofcs 
que nous voyons. Sa voix eft la voix même de la Nature: fon dp rit, 
encore tout neuf dans le monde 'vifible, n’eft imbu d'aucun de ces pré- 
jugés que la combinaifon habituelle de la Vue de du Toucher a engen- 
drés dans nos écrits , de qui nous font éternellement confondre les limi- 
tes, les opérations, les objets, de les qualités de ces deux fens. 

§• 7- 

Le vifible & le tangible font des chofes hétérogènes. 

Je dis d’abord qu’il a raifon de croire que les chofcs vifibles diffé- 
rent totalement des chofes tangibles. Elles different, en effet, non 
feulement en nombre, mais encore en genre; ce fonc des chofes hété- 
rogènes; de s’il pou voit refter là-deffus une ombre de doute à ceux qui 
nous ont fuivis avec attention, j’ajouterois ici une preuve de mon Do&eur, 
qui ne laiffe rien à délirer. 

Suppofons que l’Étendue &c la Figure vifibles de tangibles foient des 
chofes homogènes: il s’enfuivra qu’on peut les ajouter enfemble, de les 
combiner de manière à former un tout homogène. Or effayons de 
prolonger une ligne vifible, en la mettant bout à bout avec une ligne 
tangible. Que réfultcra-t-il de cette opération? en a-t-on même 
l’idée? ne feroit -elle pas auffi abfurdc que fi l’on prétendoit renfor- 
cer un fon en y ajoutant une couleur? En faifant le même effni fur les 
furfaces, ou fur les folides vifibles de tangibles, on trouvera les me- 
mes contradictions dans le réfultac, ou plutôc on n’y trouvera rien 
du tour. 

Voilà donc deux ordres 'de chofes hétérogènes qui ne fe touchent 
par aucun point de communication : de tant que nous les appcrcevrons 

Ggg 3 


qzx Nouveaux Mémoires de l’Académib Royalb 

féparément, il n’y a aucun terme moyen qui puiffe les rapprocher dans 
notre entendement, & nous ménager un partage de l’un à l’autre. 

§• 8 . 

Deux objections. Réponfe à la première. 

Je me ferai ici quelques objections que le Doftcur Berkeley ne s’eft 
point faites; mais que je réfoudrai conformément à fa Théorie, d’après 
laquelle je continue de Taifonner. 

Ces objeétions peuvent être prifes, foit du principe matériel, exiftant 
dans nos corps, qui reçoit les imprertions fenfibles, & les transmet au 
cerveau, foit de la première origine de ces imprertions dans les corps 
extérieurs qui affrètent le nôtre. 

„Si le fyftcmc nerveux eft l’inftrument commun de la fenfation; 
„ eft -il concevable, que ce principe homogène introduife dans lame 
„des perceptions & des idées auiïi hétérogènes que nous le difons? Tous 
„nos fens en effet peuvent ctre réduits au Toucher, 6c ne diffèrent que 
,,par une organifation proportionnée au plus ou moins de fubtilicé des 
„ corps, ou des corpufcules, qui viennent les frapper; tels que les fels 
„ volatils qui s’évaporent des corps odoriférans, les fels de toute efpèce 
„diffous par l’organe du Goût, les particules de I’atmo/phère qui ébran- 
,,1'ent le tympan, les pinceaux lumineux qui rayonnent au fond de l’œil, 
„ô c les parties plus grortieres qui affe&cnc le Toucher proprement dit, 
„cn agilfant fur cette toile nerveufe dont tout notre corps eft tapiffé. 
„On peut confidérer tous ces organes comme des épanouiftèmens des 
„ nerfs optique, auditifs, olfaéloires &c. En un mot, il y a partout 
„des nerfs ébranlés, de la matière en mouvement, des corps faifant im- 
„preflion fur des corps.,, 

Je tombe d’accord de tout cela; mais je réponds que tout cela ne 
fâuroic détruire une vérité de fait, ni renverfer les limites éternelles que 


Ues Sciences et Belles-Lettres. 4.1$ 

la Natur» elle -même a pofées. La conclufion que l’on voudroit tirer 
ici ne prouve rien, parce qu’elle prouveroit trop. Si elle prouvoic que 
l’Étendue & la Ligure visibles doivent relTembler à l’Étendue & è la 
Figure tangibles; elle prouveroit également q’ue les Tons doivent reflcm- 
bler aux odeurs, les odeurs à la lumière, celle-ci aux faveurs, de les 
faveurs aux qualités ta&ilcs; ce qui eft contraire à l’Expérience. 

Il faut donc bien que la ftru&ure variée de nos organes fuffife pour 
changer, du tout au tour, les repréfentarions qui fe font dans lame 
par leur moyen. Et il me fcmble même que de cette manière tout eft 
dans l’ordre. Car entendons-nous. Quand je nomme hétérogènes les 
perceptions & les idées que nous recevons par différons fens; ce n’cft 
pas à dire que de côté de d’autre, ce ne foient des perceptions de des 
idées; je ne nie point qu’elles n’ayent ceci de commun. Mais ce font 
des perceptions de des idées qui ne fe reffemblent point, &c c’eft fur quoi 
tombe leur différence générique, ou leur hétérogénéité. 

Il eft des philofophes qui penfent que la Vue ne nous donne pas 
feulement la même idée de 1 Étendue de de la Figure que nous donne 
le Taft, mais encore celle de la foüdité. Parlé même, di/ênr-ils, que 
la Vue s’arrête à la fupcrficie des corps, elle fent les rayons réfléchis 
ou repoufles, de nous avertit ainfi de 1 impénétrabilité de la matière (*). 

Mais je leur demande s’ils ont jamais fenti ces rayons réfléchis ou 
repoufles, & s’ils auroient jamais connu ce mécanifme de la vifion fans 
avoir étudié l’Optique? Ceux mêmes qui ont le plus approfondi cette 
belle fcience, ne laiflent pas de voir comme les autres hommes, de n’ont 
pas les yeux plus perçans que nous. Ils favenr, à la vérité, que les 
objets fe voient par des jets de lumière qui rebondiflfcnt de deffus leurs 
furfaces, foit en les touchant, foit fans les toucher; ou bien ils favent 
que la vifion eft produite par le mouvement vibratoire d’un fluide éthéré, 
daDS lequel nos yeux de les objets font également plongés , mouvement 

(*) Boullicr, Eflsi fur l’ame de* Mets. Pjrî. II. Ch. 6 . §. J 7. 1 9. 


414 Nouveaux Mémoires de l’Académib Royale 

qui fe fait fans déplacer la maffe de ce fluide, 6c analogue aux vibra- 
tions de l’Air qui produifent le fon. Mais ils ne prétendent pas voir, 
ou fentir, ni ces jets de lumière, ni la force qui les fait rebondir, ni 
l’Éther en vibration, ni la force qui le fait vibrer. S’ils voyoient ou 
fentoient ces chofes, leurs opinions ne feroient pas partagées comme nous 
venons de le dire. . 

Quoi qu’il en foit, la Vue, ainfi que les autres fenfi, eft: une efpèce 
de Ta&, mais trop fubtil pour être apperçu, 6c qui donne à l’amc des 
perceptions toutes différentes de celles que produit l’attouchement im- 
médiat. Ces angles vifuels, ces axes optiques, ces bâtons croifés &c. 
font très -propres à dévoiler à l’entendement le myftère de la Vifion. 
Mais nous n’appercevons rien de tout cela; ôc ce que nous n’apperce- 
vons pas ne fauroit fuggérer aucune idée à notre efprit. Celle de la fo- 
lidité n’entre donc pas plus par la Vue qu’elle n’entre par l’Ouïe: 6c quand 
on penfe voir les folides, ce n’eft qu’une pure illufion , caufée par le mé- 
lange des idées ta&iles avec les idées vifuelles, comme il fera expliqué 
plus bas. Aufli Locke reconnoît-il que la notion du folide nous vient 
du Toucher feu!; mais il s’arrête à moitié chemin, ôc n’a point pouffé 
cette théorie jufqu’où naturellement elle devoit le conduire. C’efè 
donc encore une étrange erreur, lorfqu’on prétend que la Vue nous 
donne une idée plus nette des corps que 11 e fait le Toucher; puis- 
qu’elle ne nous donne aucune idée de la folidité, ou de la matière. 

§• 9 - 

Re’ponfe à la fécondé objection. 

La caufe externe de nos perceptions fe nfibles donne lieu h une 
autre obje&ion, à peu près femblablc à celle que nous venons d’exa- 
miner. 

On dira „que l'Etendue & la Figure tangibles doivent néccffaire- 
„ ment avoir quelque refllmbiancc avec ce que nous appelions Etendue 


des Sciences et Belles-Lettres. 


415 


„& Figure vifibles; puifqu’après tout c’eft la même caufe originaire qui 
„en fait naître la repréfentation dans notre efprit. Cetce caufc c’eft 
„ l’Étendue & la Figure matérielles, ou les fubftances étendues 6c figu- 
rées qui exiftcnt hors de nous, & qui agilTent fur la Vue, auffi bien 
„que fur le Toucher. Or que leur adion confiftc en tout ce qu’il vous 
„ plaira, il faudra au moins admettre une certaine analogie entre les re- 
„ préfentations qu’elle excite ou occafionne dans nos differens Cens, 6c 
„vous avez tort de mettre une diftance aufii énorme entre la Figure 6c 
„ l’Étendue vifibles & tangibles, 6c de les prendre pour des chofcs hé- 
„térogèncs. „ 


Cette fécondé objcdion n’étant au fond que la première retournée, 
je pourrois renvoyer à mes réponfes précédentes. 

Les perceptions 6c les idées, introduites par divers fèns, font des 
perceptions 6c des idées; elles ont cela de commun, je ne le contefte 
point. Qu’il y ait un rapport eflentiel, une analogie fondamentale 
entre nos fenfations, je fuis très -porté à le cioire. Toutes ccs choies 
ont été faites avec poids & mefure; & l’on reconnoîc partout la main 
du fouverain artifte. Mais ce rapport, cette analogie ne fe déclarent 
par aucune rcflcmblance fenfible: 6c par là les fenfations, telles que nous 
les avons, font hétérogènes, ou de différente nature. 

Les fubftances matérielles qui font hors de nous, peuvent avoir plu- 
lieurs qualités dont chacune ne fe manifefte que par le fens qui y eft 
approprié. Du moins eft -il de fait qu’elles excitent en nous des rc- 
préfentations différentes, félon l’organe qu’elles affedent ou femblent af- 
feder. Et ce que vulgairement nous appelions la même fubftance ma- 
térielle, nous donne, par la Vue, par l’Ouïe, par le Tad, 6cc. des 
perceptions tout à fait diffemblables. Nous n’en voulons pas d’a- 
vantage. 

Mais enfin, que font ces objets, ou ces fubftances matérielles hors 
de nous? Nous ne les connoilfons pas. Elles ne reffemblcnt nullc- 

Hhh 


Nour . Mttn . 1771 


4i<j Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

ment aux qualités fcnfibles qui paroiflcnt en réfultcr: elles ne font ni 
lumineufes, ni colorées, ni fonores, ni favoureufes, ni chaudes, ni froides, 
ni &c. Tous les philofophcs en conviennent. Et des philofophes 
d’une grande célébrité, les Leibnitzicns par exemple, vont jufqu’à leur 
refufcr les qualités que l’on nomme premières, l’étendue, la figure, la 
folidité. II eft mérue fort à croire que ces qualités ne font, comme 
les autres, que des apparences, des phénomènes qui n’exiftent que dans 
l’etre penfanr. 

Ainfi les objets externes font tout autre chofe que les corps que 
nous voyons, que nous touchons, # ou en général qui tombent fous nos 
fens, ccs derniers n’étant que dcs 'afîèmblages, ou des groupes de qua- 
lités fcnfibles. Quel eft donc ici votre raifonnement? Vous inféreA 
la rcffemblancc de l’Étendue & de la Figure tangibles à l’Étendue & à 
la Figure vifibles, de l’identité de leur caufe produélrice, ou occasion- 
nelle. Mais pourquoi fe rcflemblcroient- eiles, fi elles ne refiemblent 
pas meme à cette caufe? D’ailleurs, cette identité de caufe eft une 
fuppofition entièrement .gratuite de votre part; puifque les caufes de 
nos fenfàtions nous font cachées, 6c que les objets fenfibles que nous 
appercevons ne font point ces caufes, mais les effets que ces caufes 
produifent en nous. Toute votre objeétion porte fur cette fauffe 
idée, que l’Étendue 6c la Figure vifibles, 6c l’Étendue 6c la Figure 
tangibles ne font que deux copies, tirées d’après le même original, 
par un peintre nommé la Vue, 6c par un autre appelle le Taft. 
Or vous venez de voir combien cette idée eft chimérique, 6c loin 
de la vérité. 

Les détails où nous fommes entrés, ne font point fuperflus: de 
très -grands philofophcs paroiffent s’être trompés, faute d’y avoir fait 
attention. L’auteur de la Lettre fur les aveugles, pour prouver que 
l’œil peut, fans l’aide du Taft, difeerner les objets qui font hors de 
lui, & connoître leur figure, fe fonde fur la deftination de nos or- 


bbs Sciences bt Bellbs-Lkttrhs. 417 

ganes, fur la beauté des miniatures deflïnées fur la rétine, & nom- 
mément fur ce qu’il n’y a rien de plus précis que la reflemblance de 
la repréfentation à l’objet repréfenté. (*) 

Prenons ici la liberté de lui demander ce qu’il entend par cette 
reflemblance, d’oi'i il fait qu’elle a un fi haut point de précifion, 6c 
même qu’il y ait aucune reflemblance du tout entre ces deux cho- 
fes. Cet objet repréfenté lui efi-il donc connu? & connoît-il au- 
tre chofe que des reprélèn rations? Quand je tourne la vue tantôt 

fur un certain objet, tantôt fur le fond d’un œil que je fuppofe dépouillé 

de la felérotique 6c de la choroïde, placé dans le trou d’une cham- 

bre obfcure, & dirigé vers le meme objet; fans doute que la minia- 
ture dcflïnée au fond de cet œil reflèmble, en petit, à l’objet que 
je vois en grand. Mais ce dernier objet n’eft encore qu’une image, 
deflïnée au fond de mon propre œil, où la rétine de l’autre œil, & 
fa miniature font deflïnées de même, fans quoi je ne les verrois pas. 
Il n’y a donc ici qu’une reflemblance d’images. Quant à l’objet, ou 
aux objets externes, que ces images repréfentent, nous ne les con- 
noiflbns pas, & ne favons par conféqucnt s’ils rcflcmblent ou non, 
ou jufqu’à quel point ils reflèmblent aux images repréfèntatrices. Nos 
pbilofophes même nieront cette reflemblance: ils foutiendront hardi- 
ment que les perceptions 6c les idées ne peuvent reflèmblcr qu’à des 
perceptions & à des idées. 

Ils nieront encore que ce foit la deftination de nos organes 
d’opérer de ‘pareilles reflèmblances. En quoi, par exemple, la fen- 
fation du fon reflemblc - 1 - elle à l’air qui trémoufle, ou au corps 
fonore dont les parties s’éloignent 6c fè rapprochent alternativement 
les unes des autres? Encore cet exemple eft-il très -imparfait: ce 
ne feroient ici que des reflcmblances fenfibles; puifquc par air, corps 
fonore, 6c mouvement, nous ne pouvons entendre que des objets de 

(*) Lettre fur les aveugles, p. 70. 


Hhh 1 


4*8 Nouveaux Mémoires oh l’Académie Royale &c. 

la Vue ou du Toucher, & non les objets ou les fuhftances externes qui 
cauftHC en nous ces perceptions. 

Après cette digrt/Iïon , fi c’en cft une, je devrois revenir à mon 
aveugle-né. Mais ce Mémoire n’eü déjà que trop long. Il importe- 
roit fans doute de traiter cette matière de fuite, & fans interruption. 
Mais il m’importe encore d’avantage de ne pas vous ennuyer. 



i 


NOUVEAUX 

MÉMOIRES 

D E 

L’ACADÉMIE ROYALE 

DES 

SCIENCES 

E T 

BELLES- LETTRES. 


CLASSE 

DE BELLES-LETTRES. 


Hhh 3 




P 



: ¥ * ¥ ¥ ¥ *■ ****** ¥ 



DISSERTATION . 

SUR 

CATHERINE DE BRANDEBOURG . , 

Êptufc de Gabriel Betlen , Prince de Tranfylvanie . 

Par M. K u s t i r. 

■ ■ ■ ■■ — ■ ■ ■■ ■ ~ ■ r 

Traduit du Latin. 


J e me propofe de répandre du jour fur fhiftoire de Catherine de 
Brandebourg, fille de l’Éle&cur Jean Sigis.münd & d’AiîNB 
fon Époufe, mariée à Betlen Gabor, Prince de Tranfylvanie. 
Je crois rendre par là un bon office à ceux qui aiment les détails hilloriqucs, 
d’autant plus qu’on' ne trouve prefque que le nom de cette Princdlè dans 
la plupart des Auteurs qui ont écrit l’Hiftoire de Brandebourg. 

Betlen Gabor, en Hongrois, fignifie la même chofe que Ga- 
briel Betlen; les Hongrois ayant coûtume de mettre le nom de fa- 
mille avant le furnom. C'eft donc à tort que Hiibner, & même le doâe 
Keysler, ont employé le fufnom Hongrois & le furnom Allemand enfembie, 
en appellant ce Prince Gabriel Gabor , puifque Gabor & Gabriel font un 
feul & même nom. Il ne faut non plus écrire, ni Bktlem, comme on 
le trouve fur une médaille, niBETLEHEM. Le nom propre efi Betlen. 
Cette famille étoit également ancienne, illuftre & floriflànte, comme je 
pourrois le prouver par plufieurs témoignages; mais je me borne à celui de 
Jean Dayka, dans fa Lettre à Parcus, qui a été inférée dans le Tome II. des 


432. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale 

Monimenta Palatina, p. lî- 7* Le Prince dont il eft queftion ici , reçut 
de la Nature les plus excellentes qualités, & fut en particulier un Guerrier 
illuftre, doué d’une force de corps extraordinaire. Lorsque fon prédécef- 
feur mourut, il obtint fans peine de lui fuccéder, & l’Envoyé Turc y don- 
na fon confentement au nom du Sultan. Il y a diverfes médailles qui font 
foi qu’il fut à la fin élu Roi de Hongrie. Je n’ai pas déficit! de raconter ici 
au long de quelle autorité il jouifloic ; quelle part il eut aux troubles de Bo- 
hême; avec quels applaudiffemcns il fut reçu des États de Boheme < 5 c cou- 
ronné, à la Diete de 1 6xo, en préfence des Ambafladeiirs de l’Empereur 
ôc du Grand -Seigneur, des Rois de France Ôc de Pologne, ôc même du 
Roi de Tartarie; enfin combien d’allarmes il caufa à l’Empereur Ro- 
main. Je me bornerai à dire, qu’ayant enfin renoncé au titre de Roi de 
Hongrie, (en vertu d’un accord entre lui ôc l’Empereur Ferdinand II.) 
il fur décoré de celui de Prince du St. Empire Romain, avec la pofleflion 
des Duchés d’Oppcln ôc de Ratibor qui lui fut conférée par l’Empereur. 
Il eft vrai qu’il ne les pofieda jamais effeélivement, mais il en porta le titre, 
& conferva même celui de Roi, jufqu’à fa mort arrivée en i 6 2.9. 

Ce Prince ayant perdu fa première époufe, qui mourut quatre jours 
après fes noces, demanda en mariage Catherine de Brandebourg, ôc 
envoya pour cet effet une fplendide Ambaffade à l’Eleéteur George 
Guillaumf. Celui - ci, qui ainioit tendremem fa-Speur, vit avec plaifir 
qu’elle fût recherchée par un Époux fi recommandable, ôc par fon mérite 
perfonel, ôc par fes richeffcs; ôc il écrivit à ce fujet une Lettre au Roi de 
* Litr. A. Pologne *, qu’il avoit plufieurs raifons d’inftruirc de la nouvelle alliance 
qu’il alloit contra&er. Mais ce mariage déplut infiniment au Monarque, 
** tire. b. comme on le voit par fa réponfe **. Et il refufa pareillement d’honorer 
les noces de fa préfence, comme il y fut invité par des Lettres preffantes 
tin. c. de l’Époux ***. Cela n’empêcha pas qu’elles ne fuflènt célébrées avec beau- 
coup de magnificence au commencement de l’année 1 611, (le 18 Février) 
à Calfovie, où les Envoyés de Gabriel s’étoient rendus pour recevoir la 
Princeffe. Il exifte encore un petit Livre où toutes ces folemnités font 
décrites; de l’Ouvrage intitulé Theatrum Europeeum en fait mention. 

Cependant 


sbs Sciences ht Beeies-Lhttrhs. 433 

Cependant ce mariage ne fut ni durable, ni fécond. Au bout de trois 
ans, le Prince de Tranfylvanic quitta le monde & fon Époufe, étant décédé 
le 14 Novembre, 1 Comme il avoit une extrême affeétion pour 

Catherine, il obtint fans peine des Grands qu’ils la reconnoîtroient 
pour Dame & Maîtreffe; le Sultan y confencit, & Dewerdeck a mis dans 
fa Silejia numifmatica une médaille où Catherine eft repréfentée, 6 c 
au revers de laquelle on trouve cette légende : D. G. nata Marchioniffa 
Br and. & TranJJ. P r inceps, partium Regni Hungariœ Domina , Siculo- 
rum Cornes , ac Julice , Cliviæ, Montium Dux. Ce gouvernement ne fut 
pourtant pas de longue durée; car, peu de mois après la mort de fon 
Époux, elle rencontra une réfiftance prefque univerfelle à l’exercice de fon 
autorité. Je m’appuie ici fur le rapport d’un témoin oculaire, favoir Paul 
de Strasbourg, Envoyé de Suede à la Porte, qui, dans la Relation (*) de 
fon voyage à Conftantinople 6 c des négociations dont il y avoit été chargé, 
a inféré ce paffage qui fc rapporte au fujet que nous traitons: „Munka ^ eft 
„une fortcreffc 6 c un territoire de la haute Hongrie, à douze milles de Caf- 
„fovie, qui en eft la métropole. Sa Jurisdiétion eft très étendue. Le 
„Châtcau eft fort 6 c fitué fur une haute montagne, tout le terrain d’alen- 
tour étant uni. Il y a trois villes & 340 villages qui en dépendent, entre 
^lesquels on diftingue Bôrckfaç, qui eft fort eftimé û caufe de fon extreme 
, fertilité 6 c des vignobles excellens qu’il porte: le vin qu’on en fait a le plus 
grand débit dans toute la Pologne. Gabor Betlen , Prince de Tran- 
sylvanie, avoit afligné ce domaine entre autres biens dotaux, à Sa Séré- 
„niflïme Époufe Catherine, ayant obtenu pour cet effet le confente- 
„ment de l’Empereur Ferdinand 6 c des États de Hongrie; cependant ceux- 
-ci, après la mort du Prince, drefferent des embûches au Capitaine Jean 
. ,Ballingh , demandant contre l’équité, & la foi donnée au nom de l’Empc- 
„rcur, que le Château fût livré au Palatin Efterhafi. Le Capitaine implora 
„le fecours de George Racockzi, alors Prince de Tranfylvanie; 6 c il réfifta 
S main armée au Palatin Efterhafi 6 c aux autres Catholiques Romains. 
„Quand nous approchâmes de la ville , il vint au devant de nous avec un 

(*) Voyez le Tome II. des Monim. Ptlat. p. 1 8 J & fuir. 

Kouv. Item. 1771. liî 


434 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royalh 

^nombreux cortege de nobledè, & pour faire honneur à S. M. le Roi de 
„Suede, il ordonna plufieurs décharges d’artillerie & de rrroufquererie. Je 
„padai douze jours dans ce Château, envoyant de fréquens Couricrs à la 
„Princede Cathekinb qui réfidoic à Tokay, & en recevant de fa parc. 
„Je fus pleinement informé de tout ce qui conccrnoit fon état & fa litua- 
nien, tant par elle -même que par des amis dignes de foi. J’appris donc 
„quc Sa Séréuité s’étoit laide perfuader par le Baron Etienne Czaky de cé- 
„der à l’Empereur la forterede de Tokay, en difpcnfant la garnifon du fer- 
ment de fidélité qu’elle lui avoir prêté; qu’Elle avoir pareillement ordonné 
„au Capitaine qui commandoic à Munkaz, de remettre ce domaine au Pa- 
„latin; qu’EUc avoit eu l’imprudence de livrer à Czaky fon argent comp- 
tant, & à Ecicnne Scney, Chancelier de Hongrie, fes bijoux; qu’Ellc 
„s’ctoit laide extorquer un a&e (igné de fa main & fcellc de fon fceau, par 
„lcquel elle indituoit les fils du Prince Racockzi pour fes héritiers; 6 c 
„qu’en effet ce Prince l’avoit trompée par mille artifices, ayanc furtout fo- 
„menté foigneufement les inimitiés 6 c les divifions qui régnoient entr’elle & 
,, Etienne Betlen , Gouverneur de Tranfylvanie, & frere du Prince défunt; 
„jufqu’à ce qu’à la fin, à la recommandation & avec le fuffrage de Cathe- 
„k r N E , tant auprès des États de Tranfylvanie qu’à la Porte Ottomane, 
„Racotkzi eut obtenu la Principauté. Et après que la Princcdc Cathe- 
rine eut ainfi entièrement abdiqué le gouvernement, Etienne Betlen, 
„Gouvcrneur de Tranfylvanie, la fit encore folliciter par fes fils & par foa 
„gendre George Racockzi de le reprendre, étant bien perfuadé qu’il ne l’ob- 
„tiendroit jamais pour lui -même, à caufe de la force du parti Catholique 
„qui lui étoit oppofé.,, Telles font les circonftances rapportées par Stras- 
bourg; & je pourrois en tirer encore plufieurs autres de fa narration, fi je 
ne craignois d’écre trop long. Je vais donc abréger ce qui me refte à 
dire. Catherine ayant ainfi renoncé aux États que fon Époux lui 
avoit laides, changea de pays 6 c de fituation. Étant revenue en Alle- 
magne en 1^33 avec de grandes richefles, fuivant le rapport d’Imhof, elle 
époufa François Charles, Duc de I.auembourg; 6 c l’annce 1649 Éit ^ 
derniere de fa vie. I J our conclure , voici encore quelques faits. Après 


dis Sciences et Belles-Lettres. 435 

la mort de Gabriel, l’Eleâeur George Guillaume envoya deux de lès 
Confeillcrs, Jean de Kof pot h ôc Frédéric de Gôtçe, comme pour compli- 
menter & confoler fa Sœur, mais principalement pour l’a/Iiiler de leurs 
bons confeils. 

Il exifte encore une Lettre de Jean Truchfes de W ’t^haufen à la Reine 
de Suède, qui apprend que le Grand-Duc de Ruffie voulut époufer Ca- 
therine. Mais plufieurs de Tes amis lui dccon/cillerent ce mariage, & 
furent d’avis qu’on fît partir des Envoyés pour aller au devant d’elle & la 
ramener dans fa patrie. Et il eft vraifemblable, ou même à peu près cer- 
tain, que c’eft ainfi qu’elle revint en Allemagne. Keysler affirme qu’elle 
donna à Notre Dame de Laurettc le collier précieux qui environne la Toi- 
fon d’or; ce qui feroit croire qu’elle embrafla la Religion Catholique Ro- 
maine. Enfin, fuivant PuffendorfF, elle étoit en 1^4^ à Scheningen, où 
elle pafla quelque tems; mais Abel le nie. 


EPISTOLÆ 

rationc nuptiarum B et h le h emi Gabor , Princ. 

Tranfylv. feriptæ. 


A. 

Serenijjîme ac Potentijjimc Rex, Domine cognate & affinis , uti 
Parens obfervandijjirne ! 

ÇyereniJJimus Princeps Dominus Gabriel , Sacré Romani Imper ii & Tranjylvamœ 
(3 Princeps, partium Regm Hungariœ Dominus , Syculorum Cornes , Oppoüce & 
Ratisboriæ Dux , Dominus nofter charijjimus , mijit ad nos legatos fuos Magnificos, 
Generojos, & Nobiljfimos, Juœ Dileclionis Cancellanum, fj prémuni Cubicularium, nec non 
ex ordinum Militarïum Germanicorum Jüœ Dileclionis Ducloribus, ac per eosdern a nobis 

Iii a 


43^ Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

petiit, ut Sororis nojirœ minimes naturala Tutor legitimus, hanc fuœ DilcBioni defpon- 
faremus. 

Quod ttfi maximi momenti negotium effe, ideoque matura admodum deliberatione 
egere non immerito judicaverimus ; cum tamen ex Dominorum Legatorum relut ione in- 
telleximus , jam J'uam Imperatoriam Majefiatem a Principe Tranfylvaniœ hujus fui con- 
fiai confciam redditam, idqut Majefiati Imperatoriœ adeo propemodum probatum fuijfe, 
ut non modo memoratos Legatos clementijjime liber alifimeque habere, fid eisdem etiarn cer- 
tos Vies duel ores afignari voluerit , qui eos ad extremos usque Ditionum Impera- 
toriœ face Majcfiaris ( per quos in itinere ad nos trar.seundum erat ) fines ducerent & co- 
mitarentur : noluimus rejeBis DileBionis fuœ defideriis nos a petit a noftra farniliari- 
tate atque affinitate , qua tanquam vinailo non nobis tantum, Jed & Imperatoriœ & re- 
firœ Regiœ Majefiati & omnibus qui nos cognatione attingunt, magis magisque devinciri 
poffit, alieniores oflendere , maxime cum Hifioriarum monumentis probe teneamus Tran- 
fylvaniœ Principes , Parentum memorir., indignos non judicatos , cum quibus Domus 
Aujiriaca, ex qua tôt lmp erat or es prodiere, ajfinitatem contraheret. Cum itaque exifii- 
memus Dileclionem fuam pro ante memorati matrimonii confummatione breyi nos pluri- 
bus requifituram ; vo/umus S. R. Majefiati vefirœ imprimis negotium omne exponere, 
certa fpe freti, ficut Imperatoriœ Majefiati illud gratum ù acceptum ejfe intclleximus, 
ita vefirœ quoque Regiœ Majefiati idem non minus probat um iri. Eandem quoque 
yefiram Regiam Majefiatem quam ojficiofijfime rogamus, velu Sororem nofiram charifi- 
mam, quee cum Seremfiima Regir.a S. R. Majefiatis vefirœ honorât ifp.ma conjuge ex 
Ferdinando primo Romanorum Imper atore laudatif : mo genus ducit , quœque S. R. Ma- 
jefiati vefirœ petitœ nuptiœ DEO jurante optatum Tranfylvaniœ Principi finern forti 
ri potuerunt quam nobis unico fuo vicinior erit , optime fibi commendatum habere , cam- 
que favore & benevolentia fua Regia complecli , atque ica Ù nos & tanto majora de S. R. 
Majefiate vefira & corona inclyta benemerendi fiudia excitare. ' Porro S. R. Majefiati 
vefirœ alia quoque obfequia officia & diligentia nofira femper & ubique fitnt eruntque & 
paratiffima & promtifi/na. Dabuntur ex Arct nofira Colonicnfe ad Spream ad diem 
Oclobris g. Anno i6zz. &c. 


S. R. M. V . 


Ad Regem. 


G EORG I U S TV J LU ELMV S, 
Dû gratta Marchio Brandcôurg. 


437 


des Sciences et Belles-Lettres. 

B. 

/ UüfïriJJîme Princcps &c. Optajfemus, ut Illujlritas vejïra mot arias & re ad- 
huc integra de ineunda cum Principe TranJ'ylvaniœ Affinitate ad nos pro eo ac par erat 
retulijfet, memintjfetque , cum Legationis nofirœ qua Anno Jhpcriori Illujlritati vejlrœ 
Iudicium voluntatemque nojlram aperuimus , tum rej'ponjl fui , quo fe ai his nupeiis ab- 
horrere, neque absque fcitu & ajfer.jii nojlro quicquam eJJ'e faclurum declaraverat. 

Cum auteni rem prope corjeclam Ilia frit as vejïra judicio & arbitrio nojlro Jubjicit, quam 
fyncert & candide nobifeum agat , quamque & beneficii accepti gratum & fidei data: te- 
nacem & tôt neceffitudinum memorcm fife ojlendat, or bis judicabit univerjùs. Nurn Se- 
renijjimus Romanorum Imper ator his nuptiis faveat , non indagamus. Quid rationes, 
qui! exempla ab Illujlritate vejïra adducla valeant, non dijeeptamus, cum in altero neque 
nos dependere ab aliéna arbitrio velimus , neque Illujlritas vejïra debeat, in altero binum 
quidem exemplurn J'ed utriusque Matrimonii Turcicœ fervituti obnoxii infelix & inglorius 
exitus: nec difparem Illujlritas. vejïra domui fuœ polliceatur, nos parem ominari & pre- 
cari nolumus. I toque non tam laboramus quam redo vel orbis Judicio laudabili, ad fuique 
tum nominis tumgeneris clarit atem tuer, dam falubri conflio ,Illu Jlrit as vejïra ujaejl,quam 
graviter & molejle ferimus , pojl habit am- eu in parte autorit atem nojlram Regiam benefi- 
ciarii feudalisque officii necejjitudinem negleclam, affirûtatis , fidei, a/n taux jura parvi 
ceftimata , renovatumque prions doloris vulnus Suecica affihitate injlichim, cui Jànando 
nifi Illujlritas vejïra diligent ius incubuerit, fed nova hoc acerbitate veteres cicatrices r ef ri- 
eur e voluerit, ineunda nobis omnino ratio cum ordinibus Regni foret, qua & Illu Jlrit atem 
Ve Jl ram officii fui J'erio admoneamus , & quid nobis & Reipublicœ in ejusmodi occaficni - 
bus debeat, quare fide ligii feudi objlrida fit , luculentius Illujlritati vejlrce declaremus, 
& denique ne quid incommodi ex duplicata hac affinitate Reipublicœ eveniat , dejlinatcque 
confilia Principis TranfytVcniœ ex légat is anno fuperiore interceptis nobis pat ef ad a no- 
ceant , profpiciamus tejlatumque faciamus nos ejusmodi injuriis permoveri , quœ eo gra- 
viores acerbioresque funt quod cum iis proficifcantur , qui hafee ob accepta à nobis bénéficia 
vel vitœ fuœ dijerimine propuljàrc deberent. De cœtera IUuJlritatem vefiram hne ac fé- 
liciter valcre cupirnus Ùc. 


Ad Elecl. Brandeburg. &c. 


433 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

C. 

« 

Ad Principem Trdnfylvaniæ B et le hem G^b or. 

/ [lu fl ris Princcps , Amice nojler charijjîme , quo animo nos erga has nuptias, 
quibus Sponfii, cujus JororGuftavo hofli nojîro etiam nunc nefarium beUum. gerenii, 
mp ta eft deducitur, affeSos ejfe oporteat, facile IUuJlritas vefira judicare potejl. Feret 
igitur œquo animo, fi Illufiritati yejlrœ , cum Sueco hofte noftro affinitatem incunti, in 
cohoneftandis nuptiis , quibus hofies nofiri interfuturi fini, in pr ce fintia gratifie ari non 
potuerimus. Cceterurn propeijàm Illufiritatis vefircc voluntatem bénigne ampkSimur, 
& in pofierum fincere adnitenti de nobis & Republica Polona bette mereri paribus ojjicüs re- 
Jpondebimus. Quant bene valere ç/ipimus. 

.. Si cismu nvus Rex. 




dbs Sciences et B ïlles-Lettres. 


SUR 

LE BEAU ET SUR LA PENSÉE 
EN LITTÉRATURE. 

Par M. de C a t t. 


L e Beau ne différé des autres objets de nos fenfàtions ni par fa nature, 
ni par la manière dont nous l’uppercevons , ni par les queftions aux- 
quelles il donne lieu. Les Corps font odoriférans, fonores, colorés par 
l’effet de certains rapports qu’il y a entre ce s corps, la conformation de nos 
organes & la conftitution de notre ame. Le Beau eft beau par l’effet de 
certains rapports qu’il y a entre les objets, la conformation de nos organes 
& la conftitution de notre ame. On demande, quelles font les propriétés 
des objets, quelle eft la conformation des organes & la conftitution de 
l’ame d’où réfultent tous ces rapports. La Phyfique enfeigne que le mou- 
vement élaftique des petites parties des corps conftiruent les fons, que la 
différence qui fe trouve dans les corpufcules de la lumière forme les cou- 
leurs. L’Anatomie développe les merveilles des organes, la Métaphyfiquc 
s’efforce de fixer la conftitution de lame lorsqu’elle examine l’influxion phy- 
fique , les caufes occafionnelles & l’harmonie préétablie. La Littérature 
éclairée par le flambeau de la Philofophie ne pourroit-elle pas fixer les qua- 
lités qui fc trouvent dans les beaux objets & qui ne fe trouvent pas dans les 
laids, & découvrir la conftitution de l’ame &, pour ainfi dire, l’organe inté- 
rieur dont l’objet eft le Beau? Comment fixer les qualités qui différencient 
les beaux objets des laids? Beau vifible, beau mufical, beau moral, beau 
littéraire : le bcau m’environne de tout côté. Le beau vifible fc trouve tantôt 
dans la figure, tantôt dans la couleur, tantôt dans la proportion & dans la 
fymétrie, quelquefois même dans la confufion. Le beau mufical confifte, 
ou dans l'harmonie, ou dans la mélodie, ou dans l’une dedans l’autre ; le beau 


440 Nouveaux Mémoires bs l’Académib Royal* 

moral .... dans quel labyrinthe je m’engage! L’énumération com- 
plette de toutes les efpeces de beau pafle mes forces, je l’avoue, Ce celle des 
différentes qualités qui diftinguent les beaux objets eft à mon avis au deflus 
des forces de l’humanité, Ce autant que cette énumération étoic pofiible, les 
de Croufaz, Hucchefon, le Pcre André & Montefquieu qui m’ont prévenu, 
l’ont déjà faite. 

Je rentre dans mon objet, Ce je trouve qu’en Littérature la feule qua- 
lité qui excite en nous ce plaifir déterminé qui accompagne ou plutôt qui 
conftituc 4a. beauté, eft l’imitation de la belle Nature. La Nature pour le 
littérateur ne fe borne pas au phyfique, elle s’étend aux aétions, aux pen- 
fées, à tout ce qui eft ou peut être une fuite de la conftitution des hommes, 
Ce des autres êtres foit exiftans foit pofliblcs, foit conçus & imaginés comme 
poflïbles. Quelle étendue! l’imitation .... nous favons tout cela, l’Abbé 
Batteux nous l’a dit, mais il a oublié de mettre à la tête de Jon Ouvrage un 
Chapitre fur ce que c'ejl que la belle Nature ; fans ce Chapitre le traité do 
l’Abbé Batteux refte fans fondement (*). On croit d’abord avec un Au- 
teur qui s’eft acquis de la célébrité en jettant fes idées fur le papier Ce les 
laiflànt devenir ce quelles peuvent , qu’il eft facile de fàtisfaire à cette queftion 
Ce aux autres que ce même Auteur nous propofe; il y auroit fatisfait lui- 
même s’il s’étoit donné la peine de penfer un peu avant de jetter fes idées 
fur le papier. 

La belle Nature eft celle qui eft ;i fa place, Ce tout objet repréfenté avec 
fes vrais rapports appartient à la belle Nature. Les vrais' rapports font, no« 
pas tous ceux qui fe trouvent dans les objets, mais ceux qui conviennent 
au but que l’Artifte fe propofe. 

Le but général eft de plaire Ce de toucher; le but particulier eft d’ex- 
citer un fentiment déterminé, tantôt la colere Ce tantôt la compalïion, tan- 
tôt-la terreur, tantôt l’admiration. 

L’Artifte peut -il obtenir le but général ou le but particulier s’il n’ex- 
prime pas ft bien l’objet qu’il veut repréfenter, qu’on le reconnoifte d’abord 

Ce 

(*) Diderot, Lettres fur les lourds fie muets, p. 10 6 . 


H 


44l 


i •' D E f : S G IËWCÆ S. E.Ti B B E L »S<r JQ* TTR ES. 

• 6c .qu’on fe di flingue de tout autre; oa s’ifcmànique' de cette exprefEon non- 
■équivoquedàns laquelle il ae peut jamais biehdiftinguerles objets, né man- 
que- c-il pas fon premier but, &c il n’en diltinguc aucufl. Voilà pourquoi 
une peinttup admirable dans un poème deskint ridicule fur la toile (*). 
-Voilà pourquoi lè peintre ne pourrait point. • prendre le moment frappant où 
Neptune élevl fa tête hors de î eau, s’il vouloir rendre avec Ton pinceau les 

beaux. vers 3dc.V*rgiley -• '"■» - - 

' > Inter ta -magno mifeeri murmure pontum ..... - ■ 

Emtffàmqae kyemem fenfit Neptumis & irais , • • t 

Stagna refit fa radis; graviter commutas St alto r 
Profpiciens , [arrima placidum caput extulit unda. 

Virgile nous repréfente Neptune, & le peintre v ne peut repréfenter qu’un 
homme plongé dans l’eau. Virgile faific cous les rapports, le peintre ne 
peut faifir que ceux qui font vifibles 6ç indépendants du mouvement. Vir- 
gile prend tout le tems couyenable & néccflaire h l’aâion, le peintre ne 
peut prendre qu’un moment, & par conféquent il lui eft impoffible de pein- 
dre fiicceûivement, ainfi que Virgile fait, les Vents déchaînés, lés flots agi- 
tés, la mer bouleverféc jufqu’au fond, Neptune appe rcevant le defordre qui 
regae dans fon Empire, la colere de ce Dieu contre les Vents, le Coin qu’il 
prend de la mer, la réfolution qu’il forme de lui rendre le calme, & fa for- 
tic de l’eau pour exécuter fon deflèin. Si Virgile eût dit Amplement: x4t 
caput inter e a Neptunus fufulit unda , Cependant Neptune leve fa tête au- 
dejfus de T eau, auroit-.il. .fait un tableau admirable?,' Le beau moment du 
poète cil, j’ofe le dire, toujours le beau moment du peintre, mais c’efl: lorfque 
le poëte prend un moment 6c lorfque le peintre peut clairement exprimer foa 
objet dans ce. moment. II le peut fans difficulté s’il veut peindre Poljphe- 
me qui fait craquer fous fes dents les os d’un des compagnons d’UlyfTc (**). 
Cependant qui pourroit fupporter cette vue fur la toile? qui verrou fans 
horreur un gèqnt tenir un homme en travers dans fa bouche énorme & le 
fang ruijjeler fur, fa barbe. Çê.fikr fa poitrine? (***) Ce fora celui qui a pû 

(*) Id. ib. p. 109. (***) 179. a8o. 

(“) P- -79- 
Hou v. Mtm. 17 Jl. 


Kk k 


44^ Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

fans horreur tracer cette defcription, ôc j’ofe ajouter, celui qui peut /ans 
horreur lire celle de Virgile. (*) A peine eft- elle diminuée par l’harmo- 
nie des vers, la magie du ftile^ l’art admirable dont le pocte s’cft fcrvi pour 
fauver cette de/cripcion. Il la met dans la bouche d’un Grec qui demande 
grâce aux Troycns ennemis & qui pour les toucher leur repréfente le 
fpe&aclc horrible qui l’a frappé & le dangeT qui le menace. Cependant on 
fouhaireroit qu’il eût donné à entendre ce qu’il décrit. . On fent ,que..Vir- 
gile a oublié la fécondé forte de rapports qu’il ne faut jamais manquer, celle 
des objets repréfèntés avec notre nature. Nec pueras coram populo Medea 
trucidet: les images font horribles, & jamais il n’cft vrai de dire que 
D’un pinceau délicat l'artifice agréable 
De ces affreux objets fàfiè- un objet' aimable 

à moins qu’il ne les voile en partie & pour n’en montrer que ce qu’il y a de 
plus fupportable. Si j’étois peintre je ne choifirûis jamais Achéménide ôc 
le Cydope pour le fujet d’un de mes tableaux, je craindrois de ne pouvoir 
pas rendre Achéménide aflez reconnoi fiable. Si une fuite defujers tirés de 
1 Ènéide m’aidoir â le bien diftinguer de tout autre qui auroit pû aiïifter à ce 
dégoûtant fpc&aclc, je reprefenterois Achcmcnide profterné aux pieds 
d’Énée ôc lui montrant à une diftance convenable le Cyclope, qui ne tien- 
droit pas un homme en travers dans fa bouche énorme, mais qui en auroit 
un dans fes mains élevées comme pour l’écrafer contre un rocher. Le 
fpeâatcur intelligent fc fouviendroir du repas affreux de Polypheme fans 
voir le fan g ruijfeler fur fa bouche & fur fa poitrine. 

{**) Il n’eft point de ferpent ni de monftre odieux 
Qui par l’art imité ne puiffe plaire aux yeux 

mais c’eft Iorfque l’imitation eft faite avec ces ménagements, c’eft lors- 
qu’elle eft conforme aux rapports que les chofes ont avec rtotre nature 

Car il elt des objets que l’art judicieux 

Peut offrir' à l’efprit & doit foultrair. aux yeux, ou, doit offrir à l’efprit A 

reculer des yeux. 

O Æntià. lib. III. 

Boileau Art poétique V. r. a. 


des Sciences et Belles -Lettres. 


443 

Il en eft que l’art ne doit pas même offrir à l’efprir. Je ne parle pas de ce 
qui bleffe la pudeur, on Taie qu’il faut en éviter jufqu’aux apparences. Je 
parle de ce qui ne s’accorde point avec le ton général de l’Ouvrage, ou avec 
le but particulier de l’Auteur. S’il nons-préfente le partage des Ifraélites «k 
travers la Mer Rouge, qu’il fe garde bien de décrire les jeux d’un enfant 

(*) Qui va, faute & revient 

Et jçyeux, à fa mere offre un caillou qu’il tient. 

Dans un prodige où fe montre le doigt de Dieu^ cet enfant eft ridicule; il 
feroit charmant dans une partie de plailir faite au bord de la mer. Un 
peintre judicieux (**) ne plantera jamais un vieux chêne gercé , torti /, 
ébranché à la porte d’un payfan aifé & diligent, encor moins devant la re- 
traite d’un philofophe folitaire mais fociable; il le peindra à la porte d’un 
.payfan pauvre & indolent, qui néglige de le couper par pareffe, ou devant la 
chaumière d’un mifantrope difgracié de >la Nature, dont la mauvaife humeur 
eft nourrie par la vue de cet arbre, ou d’un courtifan réduit à la mifere par 
les jeux cruels de la Fortune, qui a bien d’autres foucis que ceux d’embellir 
le lieu de fon exil. Ce chêne- eft -beau lorfqu'il s’accorde ayeç, le but de 
l’artifte, il eft laid lorfqu’il le contrarie. Par la même raifon on doit confi- 
dércr le rapport des circonftances entr’ellcs. Dans le Bacchus de Michel- 
Ange tout rcfpire une douce ivreffe. Le grand artifte auroit-il donné 
l’air d’un homme égayé par le vin à Bacchus vainqueur des Indes? Dans la 
Venus de Médicis on voit éclater la pudeur virginale. La Déeffe ne fait 
que fortir des flots auxquels elle doit fa aaiffance. La pudeur feroit place 
à la hardieffe 5c à l’ambition dans Vénus difputanc la pomme, à la honte 
dans Vénus prife aux filets de Vulcain; cette Déeffe déplorant aux pieds 
de Jupiter les malheurs d’Énée feroit affligée; elle feroit preffante deman- 
dant à Vulcain les armes pour fon fils. Dans ces deux circonftances elle 
auroit l’air fupplianr, mais varié par des nuances différentes occafionnées par 
les différentes partions qui l’agitcroient. Quand même la Nature fe montre- 
roit toujours dans toute fa perfection, la fcience des artiftes ne fe borneroit 

(*) Moyfe fauvé. Idylle héroïque par S. Ama>J. Voy. Art poét 

( 4 ‘) Voyez Diderot Muets, p. iof. 

K k k x 


444 Nouveajüx Mémoires de. 'l'Académie Royal* 

4 

pas à peindre les faces quils auroient eues devant les yeux. (*) Us auroicm 
à choifir la face convenable à leur bue & aux autres circonftancçs; la beauté 
peut être majeftueufe 6c refervcc, ou tendre & gracieufc, dédaigneufe 6c 
fiere, ou 'douce 6c prévenante. D’ailleurs l’attitude, le mouvement, la 
physionomie de. la même perfoone varient fuivant les occasions 6e ouvrent 
un vafte champ au choix des artiftes. . Un choix qu’il n’eft pas moins im- 
portant de bien faire c’eft celui des exprefiions, qui doivent être. convenables 
au fujet, Verfibus exponi tragicis rts comica non vult. Le teint ba&B.é 
d’Hcrcule ne convient pas à G^nimede 6c fa pe^u du Lion de Némce ne s’ac- 
corde pas avec la délicatcfiè d’iole.- . Le bon choix du ton général du eoler 
ris anpene aifément ces Tons imita^ifs^ ces expreflipns: pittoresques fur les- 
quelles on a _ tant jdiflèrté. *.»• 

Les rapports dont nous venons de parler font généraux, ils doivent 
être obfervcs non feulement dàn^ rods les rems; dans routes les langues, 
mais dans tous les Beaux-Arts. Us contiennent Tunique fondement des 
beautés communes de la Poéfie, de la Peinturé 6c de la Mufique. (**) 
Dans les Ouvrages de ccs* troi^ airs-ks^bjérs doivent être fi bien repré- 
fenrés qu’on les difiingue de tout autre. 1 ; Tout ce qui révolte doit être 
foigneufement éviré, & le ton général rie doit jamais être’ démenti. Voilà 
\es Analogies : le poète, le peintre, & le muficien choififiènt les fujets 6c 
les rapports qu’ils peuvent exprimer avec clarté 6c avec force, 6c ils aban- 
donnent ce que leur art ne peut pas'émbéîlir, 6c qua dejperat iraclata ni- 
tefeere pojfe relinquit. Virgile nous montre Neptune fortant de la mer; le 
peintre nous le repréfente hors de l’eau; le muficien par un concert 
bruyant, confus 6c artificment mêlé de difionances, nous donne l’idée d’une 
tempête; il change de ton, il rend les difionances moins fréquentes & 
moins fenfibles pour-exprimer la mer qui s'appaifé'; &' enfin par la douceur 
de, la mtfique, par les confonances 6c par la peciteflè des intervalles, il nous 
donne l’idée d’un calme profond. 

... o .... i . * 

(*) Voyez Batteux I. Part. p. 1 1 3. 1 14, 

(•**) Voyez Diderot Lettres fur les muets, p. 10J 


41 * , *\ *' 


des Sciences et B ei-i.es- Lettres. 


445 


La belle Nature eft une pour le peintre, pour le poëte, Sc pour le mu- 
fîcien. (*) • Chacun d’eux nous peint Didon mourante; (**) la maniéré 
eft la même puifque l’un imite les expreflions de l’autre, (***) la différence 
conftfte uniquemeutdans les moyens. Les couleurs ne frappent pas les oreil- 
les, les fons n’affeftent pas les yeux ; les Ions inarticulés de la Mufique fontplus 
harmonieux que les fons articulés de la Poélie, mais ils expriment les idées 
d’une maniéré plus vague, ou plutôt les mots expriment les idées, & les fons 
rappellent direâement coût au plus le fouvenir des mots, & par conféquenc 
celui des idées. 

i Ces trois arts fe reflèmblent auffi en ce qu’ils font attention aux rela- 
tions que j’appellerai locales; elles tirent leur fource de l’affociarion natio- 
nale des idées; cette affociation explique pourquoi ce qui paroit beau à une 
nation paroit laid à une autre, pourquoi la Nature ici doit être reprélcnrée 
toute nue, & là avec certains traits de [art, & pourquoi ces traits font bien 
différées à Paris «Sc à Vérone (+); pourquoi Lucrèce & le Tafle apres lui 
ont employé avec applaudiffement la comparaifon du charme des fables qui 
enveloppe des leçons utiles , avec une médecine arnere donnée à un enfant dans 
un vàfi bord » de miel , & pourquoi la même comparaifon ne feroit pas fouf- 
ferte dans un poème épique françois (ff); pourquoi le Marquis Maffei a 
pu faire ufage d’un anneau pour faire penj'er à Mérope que fon fils efi îajfaf- 
fin de lui-même , & pourquoi M. de Voltaire n’a pu s’en fervir; depuis V An- 
neau Royal dont Boileau fe moque dans fis Satyres , cela fimbleroit trop 
petit fur notre Théâtre. (+ + +) Tant il eft vrai que la moindre circonftan- 
ee fuffit fouvent pour changer le goût d’une nation. 

Les aflociations d’idées, qui font la principale fource de ce qu’il y a d’ar- 
bitraire dans le beau, dépendent principalement des mœurs , des coutumes. 


(*) Diderot, p. ito. 

' (* *) p. a 1 1 . & fuiv. 

(***) Bon pour faire connoîrre les objets, 
mais s’il s’agit de peindre les pjflions , alors les 
tons différons le font û bien p.lr eux -mêmes que 
fouvenr ce n’eft que p'r leur moyen que tes mors 
nous font d;fi:ugcer ces n.éiuts pa.'iisns fins 


équivoque; tes tons font fa bafe de la Mufique 
comme de la déclamation. 

(-J-) Voyez Voltaire, Lettre à Mr. Maffei de- 
vant Mérope. 

(ff) Voltaire, EfTai fur la Poéfie épique 

Chap. I. 

(ff f) Voltaire, réponfe à Mr.~iie la Lindelk 
devant Mérope. 

Kkk 3 


44^ Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

du climar, de la religion de du gouvernement; il eft donc néccffaire qu’un 
littérateur connoifTe les coutumes & la religion des Auteurs qu’il lit, pour les 
entendre, & encore plus pour en juger. Il devroic même pofleder à fond 
la prononciation de leurs langues, qui change l’expreflion & qui donne aux 
mots ce qu’ils ont de pittorefque. 

Uululatus des latins prononcé à la françoifè ne fait plus entendre -le 
hurlement du loup. (*) Prononcez le procumbit hiimi bos de Virgile com- 
me fi le poète avoir écrit humibos' en un feul mot, ou ce qui revient au 
même, arrêtez-vous fur la dernière fyllabe de humi, & gliflez fur la fuivante, 
vous effacerez tout le fou imitatif de ce vers. Si l’on n’entend pas bien 
diftin&ement le bruit cadencé d’un cheval qui galoppe dans le vers quadru- 
pedante putrem fonitu quatit unguia campum , la raifon en eft qu'on ne mar- 
que pas affez les longues & les brèves en prononçant. 

Voilà les principaux rapports qu’un artifte, auffi bien qu’un juge, doit 
obferver & confidérer. Tout ce qui ne renferme rien de contraire à co« 
rapports eft beau. L’artifte ne réuflira jamais, 6c le juge fe trompera tou- 
jours, fi l’un & c l’autre ne fàififtent pas les vraies relations -^es' chofcs &c les 
expreffions propres à mettre ces relations dans tout leur jour. C’eft la 
première ou plutôt c’eft l’unique règle, les autres n’en font que des modi- 
fications. 

Scribendi recle fapere ejl & principium & fons , & ce bon fens dont 
parle Horace ne confifte qu’à voir les vrais rapports 6c la maniéré de les ex- 
primer, 6c par conféquenc à abandonner ce qu’on ne peut rendre par des ex- 
preflîons convenables. C’eft uniquement parce qu’il eft impoffible de bien 
repréfenter la métamorphofe de Progné 6c de Cadmus, que la Théâtre ne 
doit pas offrir ce fpe&acle. (Nec in avem P rogne vertatur , Cadmus in an - 
guem.) Tout ce qui eft conforme à cette réglé eft beau , donc toute la Na- 
ture eft belle quand elle eft à fa place, donc il n’y a point de Nature laide 
en elle -même, mais il y a fouvent de laides imitations. 

L’imitation proprement dite, confifte à repréfenter les rapports qui fe 
trouvent dans ies choies memes. L’imitation dans ce fens eft un miroir 

(*) Voyez du Bos. 


des Sciences et Belles-Lettres. 


447 

plan, une chambre obfcure qui peint les objets cels que la Nature les pré- 
fente; auÆ la principale réglé de l’imitation eft qu’elle foit vraie. Cepen- 
dant on doit s’appcrcevoir que c’eft une imitation. L’art Ce décele tou- 
jours dans un tableau, parce qu’il manque de relief, & dans une ftatue, 
parce qu’elle eft deftituée de couleurs. On s’effrayeroit fi les couleurs réu- 
nies aux reliefs nous momroient des hommes, non des ftatues. (*) 

Dans les Ouvrages d’efprit, l’Auteur le montre à découvert fi ces Ou- 
vrages ne font pas dramatiques, & s’ils le font, quand même ils feroient 
portés au comble de la perfeétion , l'Auteur ne caufc qu’une illufion mo- 
mentanée. Augufte & Oftavie furent touchés jufqu’au fond de l’ame par 
les vers qui regardoient Marcellus, mais la récompenfe qu’Augufte & Oâa- 
vie accordèrent à Virgile dans le moment même, montre bien qu’ils ne 
crurent pas entendre Anchife. Si le fpeftateur oublioit qu’il eft au Théâ- 
tre, il le jetteroit fur Cléopâtre (**) pour la déchirer <Sc lur Orofmanc (+) 
pour lui arracher le poignard, (-f-j-) 

Mais quand l’Auteur s’annonce, pour ainfi dire, comme imitateur de lui- 
même, quand il déclare qu’il expofe fes propres idées ou qu’il exprime fes 
propres pallions, il ne doit dire que ce qu’il penfe ou ce qu’il fent, ou il 
faut qu’il trompe par fen imitation. Tibulle aimoit-il, ou feignoit-il d’ai- 
mer, quand il fouyiroit fes vers? Cicéron étoit-il ému quand il faifoit 
tomber les tablettes des mains de Céfar, étoit-il irrité quand il fou- 
droyait Verrès, Catilina 6c Antoine? 

Le littérateur qui ne fait qu’exprimer les rapports de la Nature n’eft 
littérateur que par le ftile. C’eft un peintre en portraits; tout fon mérite 
confifte à ne pas défigurer les traits de l’original & à le revêtir de couleurs 
vraies; le mérite n’eft pas petit, mais il eft infiniment moindre que celqi 
du peintre en hiftoirc qui choifit le moment, imagine les perfonnages, in- 
vente les attitudes, les traits &c les couleurs. 

(*) Voyez les Notes fur les premiers vers du (-}-{*) On ne ponrroit affifter à une Tragédie 
Liv. 3. de l’Art poétique de Boileau. fans renouveller la fceoe de Don Quieheittc & 

(**) Dans Rodogune. des marionettes. 

(f) Dans Zaïre. 


448 • Nouveaux Mémoires de l’Académie .Royale 

Le plus haut degré de perfection confifte à inventer, & l'invention ù ima- 
giner des rapports qui n’exiftent point, mais que le littérateur trouve parce 
qu’ils pourroicnr exifter. Si le rapporc n’a pas été imaginé par l’Auteur, 
il n’y a ni invention ni penfée. 

En Philofophie une penfée eft un état de l’ame qui apperçoic un des 
termes d’une propofition ou une proportion entière, fournie foie par l’en- 
tendement , foit par la nature des chofes. En Littérature une penfée n’cft 
jamais qu’une propofition dont les termes logiques font comparés par l’efprit 
de l’écrivain. S’il trouve la comparaifon des termes toute faite, il peut énon- 
cer une penfée philofophique , mais il n’ofFrc point de penfée littéraire ; car 
celle-ci n’exifte que lorfque le rapporc eft le fruit de l’imagiaation de 
l’artifte. 

Dans ce fens le quil mourût du vieux Horace dans Corneille eft une 
penfée; le fonge de Décius là mort volontaire, a’elt pas une penfée dans 
Cicéron. C’eft Corneille qui a imaginé la réporife d’Horace, qui a com- 
paré & réuni les idées qu’elle renferme; Cicéron dans l’exemple cité n’ima- 
gine rien, ne compare rien, il rapporte un fait. 

Meme, fi un poète metroit en aftion la mort de Décius & faifoit dire 
h ce héros, je vais m'immoler pour la pairie , cette exprefiion dans ce cas 
ne contiendroit point de penfée littéraire , ce ne feroit point le génie. du 
poëte qui auroit inventé ce fentiment. Dans les paroles de Moyfe, Dieu 
dit que la lumière foit & la lumière fut , il y a une très - belle penfée dans 
le fens philofophiquc; il n’y a point de penfée, dans le fens littéraire, pour 
nous qui favons que Moyfe rapporte un fait; il y en avoit une dans ce fens 
& fort belle pour Longin qui croyoit que Moyfe avoit imaginé ce qu’il 
avoic écrit. 

Le fculpteur qui a placé la ftatue d’HercuIc Mufagete à une des entrées 
du Parc, a eu une penfée très-hcureulc; il a imaginé une allufion auiïi jufte 
que délicate à ce héros qui foutient & orne les arts & les fcicnces avec cette 
main qui a moifïbnné tant de palmes. Le peintre qui repréfenteroit cette 
ftatue dans une des vues du Parc, n’auroit aucune penfée, parce qu’il n’in- 
▼enteroit rian. 


Le 


des Sciences et Belles-Lettres. 


449 

Le PoufTin repréfente unpayfage; j’y vois le beau d’imitation. Il y 
place le tombeau d’une jeune fille avec cette infeription : j ai aujji vécu en 
Arcadie ; j’y trouve le beau d’invention & j’admire lapenfée. 

En montrant que feflence du beau en littérature confifte dans I’exprcf- 
fion des vrais rapports, que les rapports Pont fondés, ou fur la nature des 
chofes, ou fur la maniéré d’envifager les objets, que par conféquent il y a un 
beau général qui eft du relTort de tous les hommes ôc de tous les âges, ôc 
par conféquent invariable, & un beau national, perlonnel même, & par 
conféquent arbitraire jufqu’à un certain point, que l’un ôc l’autre fe divi- 
fent en beau d’imitation ôc en beau d’invention; j’ai fatisfait, je penfe, à 
la première queftion: quelles font les qualités qui fe troûvent dans les beaux 
objets ôc qui ne fe trouvent pas dans les laids ? Je tâcherai de réfoudre la fé- 
cond e queltion dans un autre Mémoire. 



Nuuv. Mcm. *771. 


LU 


4$o Nouveaux Mémoires dk l’Académie Royale 


SUR LA PHILOSOPHIE DE L’HISTOIRE. 

Par M. f £ c u e l i 

SECOND MÉMOIRE. 


Non..,, .i. u "I r n fait diffère de l’autre par les principes & les motifs , les tendances & 
huit des faits les vues, le local & l'individuel. On fe rencontre rarement dans 

les principes, on eft encore moins d'accord dans les vues, & quant au 
fyftcmc local on ne convient jamais. Ainfi la diverfité des faits s’étendant 
fur leurs caufes productrices, incidcntelles & finales, on peut la regarder 
comme indéfinie. Pour comprendre la diverfité indéfinie qui a lieu parmi 
les agens & les actions, on n’a qu'à fuivre la façon d’agir des hommes en 
général. En produifant un acte, on cherche à améliorer fon fort. Le 
fort de chacun confifte dans l’aflèmblage de fe s facultés, de fes forces & de 
fe s rapports, rellreints & modifiés félon fa pofition & la place qu’il occupe 
dans le fyfteme focial. Par cette détermination inhérente à la notion du 
fort l’on voit qu’il eft impoflible de le changer, fans paffer par deux états 
qui different réellement l’un de l’autre. Un de ces états paflànt pour meil- 
leur dans l’efprit de l’agent, la diverfité qu’il met dans fes notions fe rc à di- 
verfifier fon aéte. D’ailleurs chaque fociété forme un corps dont les par- 
ties font plus ou moins unies, félon le degré de la bonté, de l’étendue & 
de la force du lien focial ; & il eft de la nature des fyf ternes tant pratiques 
que fpéculatifs de maintenir l’ordre qui eft rélatif à l’emplacement des par- 
ties, de forte qu’on ne peut placer l’un ou déplacer l’autre, fans produire 
des changemens plus ou moins perceptibles. Chaque combinaifon d’éve- 
nemens & d’intérêts reffemblc à une partie d’échecs, où l’on ne peut re- 
muer une feule pièce fans former une pofition du jeu différente. Il y au- 
roit un fèul moyen par lequel les hommes pourroient mettre plus d’unifor- 


ues Sciences et Bell es -Lettre s. 


45 1 

mité dans leurs aéfions; ce feroit de les oonformer aux règles immuables 
de l'ordre & de la convenance univerfelle des chofes ; mais l’ordre focial ne 
retraçant point celui de la Nature, chacun de ceux qui s’attachent à connoî- 
tre ces notions abftraites a fa maniéré propre de les appliquer & de les com- 
menter. Le code de la Nature a beau être clair, fimple, évident, les 
hommes apportant à fa Ieéture un cfprit préoccupé de leurs intérêts, ils ont 
fait à l’égard du code des loix naturelles ce qu’on leur a vu faire à l’égard 
du code des loix religieufes, qui a occafionné autant de feétes qu’il y a eu 

d’dprits prévenus en faveur de quelques hypothefes. 

Une notion fert à diriger la marche de nos idées, lorfqu’à fon défaut La décrété 
on tombe dans l’erreur: or en omettant la confidération de la diverfité in- f air ' ]' a u ” 
définie des faits on met de l’égalité dans les faits qui ne font que fcmblablcs, d '. 
ce qui fait que l’on confond les faits de diverfe efpecc, & que l’on fe trompe <>««»>«. 
dans leur application & dans leur imputation. Il elt donc de toute nécefli- 
té de faire intervenir la notion différentielle des faits dans toutes les difeufi- 
fions de l’hiftoire réfléchie. Lorfqu’une notion eft riche, féconde & éten- 
due en même rems, on doit la mettre au rang des principes; & la diverfité 
indéfinie des faits n’influe pas moins dans le monde moral, que le principe 
des Indifctrnablts n’a d’influence dans le /yfleme des corps. On établit 
également des deux côtés l’impofïîbiliré de prendre un objet pour l’autre. 

A confidérer le fyflemc des êtres moraux comme dirigé par la répartition 
infiniment diverfiriés des talens & des penchans, il n’y a rien de plus gratuit 
que la fuppofition du même emploi que feroient deux hommes de leurs fa- 
cultés, foit naturelles, foit aquifes. Ce différent emploi des forces qui cota • 
courent fi diverfement à la produélion des aâes, font regarder chacun de ces 
aétes comme un Tour, déterminé par des raifons & des rapports qui lui font 
propres. Si l’on voit les faits tenir les uns aux autres, ce n’eft jamais par 
l’cnfemble de leurs rapports, mais par celui qui eft le plus univer/êl de cous. 

Dans la combinaifon des faits hiftoriques on agit à peu près comme dans la 
clalfification des corps, que l’on unit par le moyen de leurs propriétés les 
plus foncières & les plus univerfelles, fans que ces claffifications faflbnc ja- 
mais évanouir la diverfité qui eft propre à chaque corps. Quand les chofes 

LU x 


lui de la di- 
verf.ïc des 
attit particu- 
lier! & mdin- 
duck. 


451 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

font extrêmement variables & fujcttes à fe décompofer, on ne les réduit 
pas aux raifons générales, niais aux raifons particulières. Les météores, 
ces emblemes des opinions vulgaires, font de cet ordre; & il y a mille cas 
où l’individualité attachée à un événement moral fe conferve en entier; ce 
qui nous doit rendre fort refervés dans l’ufàge des Parallèles â'hijfoire , dans 
lesquels, malgré leur reflcmblance apparente , il y a toujours quelques par- 
ties diflemblables. 

De la diverfité des faits l’on peut déduire la diverfité de leurs caufes oc- 
cafionnelles; car un événement feroit d’abord confondu avec un autre, 
fi les caufcs occafionnelles de ces deux actes pouvoient être les mêmes. 
Pour conferver l’individualité à ces caufes, il eft donc néceflàire de les ren-r 
dre, d’un côté, complet tes ou analogues à tous les rapports fpécifiqucs de 
l’agent & de l’a&ion, & de les réduire, de l’autre côté, à de juftes bornes. 
S’il faut rendre ces raifons complettes pour ne pas omettre une détermina- 
tion qui eft entrée dans fade , il faut fe garder de leur donner trop d’éten- 
due, afin de n’y pas faire entrer des déterminations qui n’appartiennent pas 
à l’aéte. En négligeant de prendre ces précautions on perd de vue ce que 
l'acte contient de /pécifîquc , & l’on eft porté par là même à changer les 
raifons particulières & individuelles en générales, vagues & indéterminées, 
qui embrafTanc trop d’objets à la fois, ne fervent jamais à éclaircir un 
feul fait ifolé ou détaché des autres. D’abord que les raifons qui devroienc 
être particulières conviennent à des faits de diverfe efpece, on eft dans le 
cas de ceux qui faute de fignes diftin&ifs ne peuvent pas s’orienter. 

La néceffité indifpenfable où l’on fe trouve de recourir aux raifons par- 
ticulières, dans tous les cas fpécifiques, fe rapporte à la nature de ces rai- 
fons, qui doivent être tirées du fond des difpofitions que l'homme a appor- 
tées à fade. Ces difjjofitions font internes ou externes. Les difpofitions 
internes font relatives au ton de l’efprir & à celui de famé de chacun, ou à 
fo façon de penfer & d’agir. La façon de penfer eft la maniéré qui cft pro- 
pre & particulière à chacun de fe confidérer foi même, t’eft à dire l’ufage 
qu’il fait de fa raifon & de fon efprit. De mille embarras d’où l’homme 
s’eft tiré avec plus ou moins d’adrefîè, il fe forme une idée plus ou moins 


des Sciences et Behes-Lettres. 453 

diftin&c de fa faculté de faifir & de combiner les chofcs. Comme il croit 
que ce jugement pratique vient de l’expérience & des faits, il y adhéré & 
I l’y renonce jamais. A force de fe complaire dans cctcc opinion favorite 

de fon ame, elle intervient dans chaque acte 6c réglé les degrés du plaifir 6c 
du déplaifir que lui caufcnt les aétes qui fe rapportent à lui. Sur un homme 
qui a une idée plus étendue du prix de fes facultés, le même aéfe, foit favo- 
rable, foit défavorable, fait une impreflion plus vive 6c plus forte que fur 
un autre qui n’a pas conçu de foi -meme la même idée. On feroit tort 
aux hommes, 6c on démentirait en même temps l’expérience, fi l’on ne 
pofoit pas en fait que tous les hommes croicnp avoir afîes de raifon pour fe 
conduire; puisqu’il n’y en a aucun qui ne fe foit trouvé quelquefois dans 
la nécefîité de s’en fervir. C'eft à caufe de l’univeifàlité de cette préten- 
tion, que l’ufage ordinaire de la raifon s’appelle le fins commun. Ainfi 
l’échelle fur laquelle les hommes mefurent réciproquement leurs talens, ne 
concerne que ce que chacun a fait pour embellir fon efprit 6c pour étendre 
fa raifon. Le Savant met en ligne de compte la juftcfTe de fes notions 
aquifès, & l’homme du monde fait valoir la multitude de fes obfervations 
ufuelîes 6c pratiques. L’on ne convient ni dans l’évaluation du mérite de 
la même efpece, ni dans l’appréciation du mérite d’une efpece différente; 
parce que chacun évalue fès propres idées félon la fuccefîion de fes a&es, 
foit intelleâuels, foit publics, 6c qu’il met aux notions qui lui font les plus 
familières un prix égal à celui de la-vie. L’homme ne s’ouvre jamais avec 
moins de referve que pour prôner la marque diftin&ive de fon être. La 
vie de chacun nous offre par confcquent affés d’occafions par lesquelles il 
nous met àâ fait de ce qui l’affeâe le plus. Lorsqu’on connoit, par plu- 
fiéurs faits analogues à cette opinion dominante de l’homme, l’état de fon 
ame, on dit que l’on connoît l 'ajjîittc de famé ou le caractère de l’efprit de 
quelqu’un. Car faifir le cacaéfere, c’efl favoir en quoi l’on met le princi- 
pal mérite , qui, par rapport aux variations que l’on fait fubir i l’ame, doit 
être confîdéré comme leur terme moyen. Cette appréciation feroit plus 
aiféeàfaire, fi l’homme ne faifoit varier à chaque inftant l’opinion qu’il a 
conçue de fon mérite. Le bonheur 6c le malheur, le plaifir 6c le déplaifir, 

LU 3 


454 Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale 

l’état, la condition & le rang font palTer la préfomtion humaine par une in- 
finité de variations qui font changer l’homme d’un inftant à l’autre. L’ame 
différé tant d’elle -même qu’il faut beaucoup d’art pour en tracer un por- 
trait tout à fait reffemblant. Le meilleur cft d’imiter la méthode de ces 
favans peintres, .qui, après avoir vu l’homme dans plufieurs attitudes & 
polirions différentes, s’arrêtent enfin à celle qui eft la plus connue. On ne 
reconnoît un homme que par l’exprefTion des traits que l’on a vus le plus 
fouverrt, & qui ont laiffé les plus longues traces. Ce qui dans le moral 
donne une teinte ineffaçable à l’ame eft l’impreffion habituelle du rang’ de 
la dignité ôc de l’office. L’homme qui n’a pas toujours lieu d’être content 
de fes difpofirions internes, cherche à fe faire valoir par fes qualités exter- 
nes ; ôç attentif à ne pas laiftèr tranfpirer le fecrct de fes imperfeûions ôc 
de fes faibles, il s’empreffe à dépayfer les autres par l’art qu’il met dans la 
repréfentation de dans le foin de figurer. Ayant formé fes habitudes, fes 
penchans ôc fes goûts fur les notions que la fociété a adoptées, il ne fépare 
jamais de la repréfentation de fon propre bonheur, ce que la fociété peut y 
joindre. De tous les rapports foçials celui qui tient immédiatement à fon 
exiftence publique l’intérefle le plus; ôc ce qui concerne fa pofition faciale 
agit fur lui avec toute la force de l’intérêt, qu’il prend à fa dignité. A me- 
fure quelle eft plus grande ôc plus étendue il s’en occupe davantage; ôc le 
maintien de l’autorité met en mouvement toutes les facultés ôc les difpofi- 
tions internes. L’ame, montée fut Je ton de la dignité dont l’homme eft 
revêtu, penfe & fè détermine en conféquence; ôc l’idée de la dignité exté- 
rieure, fondue, pour ai nfi dire, dans celle de la dignité intérieure, en cft 
inféparable. D’où il fuit que pour rendre raifon d’un événement particulier 
ôc individuel il faut recourir à l’affiette inftantanée de l’ame, réglée & diri- 
gée par le principal rapport focial de l’agent. Ainfi la loi de la diverfité 
indéfinie des a&cs particuliers peut être conçue en ces termes : Trouve ç U 
jujîe rapport. entre la difpofition acluelle de l ame & l’office de ragent. Les 
idées variables ôc qui diversifient tous les événement particuliers font , l’af- 
fiette de l’ame qui eft diverfe dans chacun, & le rang qui varie indéfini- 
ment. De la fituation interne de l’ame, produite par les faits précédons, 


des Sciences et Beeles-Lettres. 455 

l’homme tire Tes premières réfolutions, qu’il modifie & arrange enfuite fé- 
lon f intérêt auquel il eft aftreint par fon office. Si l’homme tte réfléthic pas, 
H confond ces deux notions. L’humeur prend la place de l’office, ou l’of- 
fice remplace l’humeur. Mais pour peu qu’il réfléchifle, il féparc le politi- 
que du moral, pour les unir enfuite conformément à la confédération qui 
a prévalu. L